0.1 KHÁI NIỆM VÉCTƠ 0.1 0.1.1 Khái niệm véctơ Đại lượng vơ hướng đại lượng có hướng Một đại lượng vơ hướng đại lượng biểu diễn số (vơ hướng) Ví dụ độ dài, khối lượng, nhiệt lượng, v.v Một đại lượng có hướng đại lượng xác định biết độ lớn, phương chiều Ví dụ vận tốc, gia tốc, lực, v.v 0.1.2 Định nghĩa véctơ Véctơ đại lượng có hướng Định nghĩa Một véctơ (hình học), hay đoạn thẳng có hướng, đoạn thẳng có quy định thứ tự hai đầu mút Điểm mút thứ gọi điểm gốc (điểm đầu) điểm mút thứ hai gọi điểm (điểm đầu) −−→ Ta ký hiệu véctơ có điểm gốc A điểm B AB Đường thẳng −→ qua A B gọi giá véctơ AB Một véctơ có điểm gốc trùng với điểm gọi véctơ không −→ −−→ → → − − ký hiệu Ví dụ AA = BB = −→ Độ dài đoạn thẳng AB gọi môđun hay độ dài véctơ AB −→ ký hiệu |AB| Véctơ có đọ dài gọi véctơ đơn vị Hai véctơ gọi cộng tuyến hay phương giá chúng song song hay trùng Hai véctơ phương chiều (hướng) hay −→ −−→ ngược chiều Ta nói hai véctơ AB CD hướng tịnh tiến −−→ véctơ CD cho C trùng với A B D vế phía A −→ −−→ Ngượi lại ta nói hai véctơ AB CD ngược hướng → − Quy ước i) Ta quy ước véctơ hướng với véctơ Hiển nhiên → − | | = ii) Từ sau, ta nói hai véctơ hướng hay ngược hướng hiển nhiên chúng phải phương −→ −−→ Hai véctơ AB CD gọi chúng hướng độ dài −→ −→ Ví dụ Trong Hình ??, hai véctơ AB AC không chúng −→ −−→ khơng phương độ lơn, hai véctơ AB, AD khơng không độ lớn chúng hướng 2 Khái niệm hai véctơ cho ta khái niệm véctơ tự sau Một véctơ tự véctơ cần xác định hướng độ lớn điểm đặt tùy ý Thực chất véctơ tự “lớp tương đương” véctơ có → − − hướng độ lớn Người ta thường dùng ký hiệu → a , b , để −→ − véctơ tự Nếu cho trước véctơ tự → a véctơ AB thỏa −→ → − → − mãn AB = − a AB gọi véctơ buộc hay véctơ đại diện véctơ → a 0.2 0.2.1 Các phép toán véctơ Phép cộng trừ hai véctơ → − − Định nghĩa Cho hai véctơ (tự do) → a , b không gian Tổng hai → − − véctơ → a b véctơ có véctơ đại diện xác định sau: chọn O, A − → − −→ − −→ → −−→ − B cho OA = → a , AB = b Khi ta định nghĩa → a + b = OB −−→ −−→ → − − Định nghĩa đắn: O A = → a A B = b −−→ −−→ O B = OB Chú ý i) Véctơ tổng véctơ đường chéo hình bình hành có hai kích thươt dựng hai véctơ ban đầu Do ta nói phép cộng hai véctơ dưa quy tắc hình bình hành Định nghĩa phép cộng hai véctơ phù hợp với quy tắc hợp lực hai lực đồng quy học ii) Theo định nghĩa phép cộng hai véctơ quy tắc hình bình hành, ta thấy với hai điểm A, B tùy ý ta có −→ −−→ −−→ AB = AM + M B, với điểm M − − iii) Ta định nghĩa phép cộng n véctơ → a1 , , → an sau: chọn −−→ → − − − − − → − → − điểm O, A1 , , An cho OA1 = a1 , , An−1 An = an , −−→ → − − a1 + + → an = OAn Phép cộng véctơ có tính chất sau Mệnh đề Phép cộng véctơ có tính chất: → − → − − − i) giao hoán: → a + b = b +→ a; 0.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VÉCTƠ → − → − − − −c = → − ii) kết hợp: (→ a + b )+→ a +( b +→ c ); → − − − iii) có phần tử trung hịa véctơ không, tức → a + =→ a , với véctơ → − a; → − − − − − iv) véctơ → a có véctơ đối −→ a , tức → a + (−→ a)= Chứng minh i) Ta chọn điểm O, A, B, B thỏa mãn (xem hình vẽ) − −→ −−→ → −→ −−→ → OA = B B = − a , AB = OB = b Khi → − − − −→ −→ −−→ −−→ −−→ → → − a + b = OA + AB = OB = OB + B B = b + → a ii) Ta chọn điểm O, A, B, C cho − −−→ − −→ → −→ → OA = − a , AB = b , BC = → c Khi (xem hình vẽ) → − → −→ −−→ −−→ −−→ −→ − −c = (− (→ a + b )+→ OA + AB) + BC = OB + BC = OC Hơn nữa, → − − −→ −→ −−→ −→ −→ −→ → − a +( b +→ c ) = OA + (AB + BC) = OA + AC = OC iii) Hiển nhiên −→ −→ − − iv) Nếu → a = AB ta đặt −→ a = BA Khi −→ −→ −→ → − → − − a + (−→ a ) = AB + BA = AA = − Từ mệnh đề ta định nghĩa hiệu hai véctơ → a → − b → − → − → − → − a − b a + (− b ) Phép cộng trừ hai véctơ cịn có tính chất sau Mệnh đề Với hai véctơ tùy ý, ta có → − → − → − → − − − − − a|−| b | |→ a + b | ≤ |→ a | + | b | |→ a − b | ≥ |→ → − − Trong hai bất đẳng thức trên, đẳng thức xảy → a b hướng 4 → − − Chứng minh Dễ thấy đẳng thức xảy → a b − − phương Hơn nữa, rõ ràng |→ a +→ a | độ dài đường chéo hình bình hành → − → − có hai kích thước a b Do theo bất đẳng thức tam giác ta có bất đẳng thức thứ Để chứng minh bất đẳng thức lại, ta biểu diễn → − → − → − → − − − − |→ a | = |(→ a − b ) + b | ≤ |→ a − b | + | b | → − → − → − → − − − − − Suy |→ a | − | b | ≤ |→ a − b | Tương tự, | b | − |→ a | ≤ |→ a − b | Mệnh đề chứng minh xong 0.2.2 Phép nhân véctơ với vô hướng − Định nghĩa Tích véctơ → a với số thực α véctơ, ký → − → − − hiệu α a , có mơđun |α|.| a | hướng với → a α > 0, ngược − hướng với → a α < Phép nhân véctơ với vơ hướng có tính chất sau → − − Mệnh đề Với véctơ → a , b α, β ∈ K, ta có − − i) 1.→ a =→ a; − − ii) (−1).→ a = −→ a; − − iii) α(β → a ) = (αβ)→ a; − − − iv) (α + β)→ a = α→ a + β→ a; → − → − − − v) α(→ a + b ) = α→ a +α b Chứng minh Tính chất i) ii) suy trực tiếp từ định nghĩa phép nhân véctơ với vơ hướng − − − − − iii) Ta có |α(β → a )| = |α|.|β → a | = |α|.|β|.|→ a | = |αβ|.|→ a | = |(αβ)→ a | Hơn → − → − → − nữa, αβ > hai véctơ (αβ) a α(β a ) hướng với a , − αβ < hai véctơ ngược hướng với → a Do chúng iv) Đẳng thức hiển nhiên → − → − a = α + β = XXXXXXXXXXX 0.3 HỆ VÉCTƠ ĐỘC LẬP, PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 0.3 0.3.1 Hệ véctơ độc lập, phụ thuộc tuyến tính Các định nghĩa − − − Định nghĩa Cho k véctơ {→ a1 , , → ak } Ta nói véctơ → a biểu thị tuyến → − → − tính qua hệ véctơ { a1 , , ak } có k số thực α1 , , αk cho → − − − − a = α1 → a1 + + α k → ak Khi ta nói → a tổ hợp tuyến tính − − véctơ {→ a1 , , → ak } − − Hệ véctơ {→ a1 , , → ak } gọi phụ thuộc tuyến tính có k số thực α1 , , αk không đồng thời cho → − − − α1 → a1 + + αk → ak = Một hệ véctơ gọi độc lập tuyến tính khơng phụ thuộc tuyến − − tính Nói cách khác, hệ véctơ {→ a1 , , → ak } độc lập tuyến tính có → − − − α1 → a1 + + α k → ak = α1 = = αk = 0.3.2 Các tính chất − − Mệnh đề Hệ véctơ {→ a1 , , → ak } phụ thuộc tuyến tính có véctơ hệ biểu diễn tuyến tính qua véctơ cịn lại Chứng minh Hệ véctơ cho phụ thuộc tuyến tính có số α1 , , αn không đồng thời cho tổ hợp tuyến tính hệ → − cho ứng với k số thực Điều tương đương với việc véctơ → − , i = 1, , n, với αi = 0, tổ hợp véctơ lại hệ Mệnh đề sau nói lên ý nghĩa hình học hai véctơ phụ thuộc tuyến tính Mệnh đề Điều kiện cần đủ để hai véctơ phụ thuộc tuyến tính chúng phương Một cách tương đương, hệ hai véctơ độc lập tuyến tính chúng khơng phương → − − − Chứng minh Hai véctơ → a , b phụ thuộc tuyến tính α→ a + → − → − 2 β b = α + β = Khơng tính tổng qt ta giả sử β = → − − Từ b = − αβ → a 6 Định nghĩa Ba véctơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng − − − Mệnh đề Cho hai véctơ không phương → e1 , → e2 Khi véctơ → a đồng → − → − phẳng với hai véctơ e1 , e2 tồn cặp số thực − − − (α1 , α2 ) cho → a = α→ e1 + α2 → e2 − − − Chứng minh Giả sử ta có biểu diễn → a = α1 → e + α2 → e2 Khi ta chọn −−→ → −−→ − − điểm O, E1 , E2 , M cho OEi = ei , i = 1, OM = → a Rõ ràng bốn − − − điểm O, E1 , E2 , M nằm trện mặt phẳng Vậy → a ,→ e1 , → e2 đồng phẳng Ngược lại, ba véctơ đồng phẳng Ta chọn điểm O, E1 , E2 , M Khi đó, ta dựng hai đường thẳng qua M − a = song song với OE1 , OE2 cắt OE2 , OE1 lầt lượt E2 , E1 Khi đó, → −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ OM = OE1 + OE2 OEi phương với OEi , i = 1, Theo Mệnh đề 5, −−→ −−→ −−→ → − − − a = OM = OE1 + OE2 = α1 → e1 + α2 → e2 Bây giờ, → − − − − − a = α1 → e + α2 → e2 = α1 → e1 + α2 → e2 − − từ khơng phương (độc lập tuyến tính) hai véctơ → e1 , → e2 ta có αi = αi , i = 1, Mệnh đề Điều kiện cần đủ để ba véctơ khơng gian phụ thuộc tuyến tính chúng đồng phẳng → − − − Chứng minh Giả sử ba véctơ không gian → a , b ,→ c phụ thuộc tuyến tính Khi theo Mệnh đề 4, ta giả sử → − → −c = α→ − a +β b → − → − − −c phương với → − Nếu → a b phương → a , b Ngoài ra, theo Mệnh đề ba véctơ cho đồng phẳng → − − − Ngược lại, giả → a , b ,→ c đồng phẳng Nếu hai ba véctơ này, giả sử → − → − → − → − − → − − − −c = → a b , phương α→ a + β b = Khi α→ a + β b + 0→ → − → − Ngoài ra, hai ba véctơ, giả sử a , b , khơng phương theo → − −c biểu thị tuyến tính qua hai véctơ → − Mệnh đề véctơ → a b Điều có nghĩa ba véctơ phụ thuộc tuyến tính 0.4 CHIẾU VÉCTƠ − − − Mệnh đề Cho hệ ba véctơ không gian → e1 , → e2 , → e3 không đồng phẳng → − Khi đó, véctơ a khơng gian biểu diễn tuyến tính cách qua ba véctơ đó: → − − − − a = α1 → e1 + α2 → e2 + α3 → e3 Chứng minh Chọn điểm O, E1 , E2 , E3 , M cho −−→ → OEi = − ei , i = 1, 2, 3, −−→ → OM = − a Qua M, dựng mặt phẳng song song với mp(OE2 E3 ) cắt đường thẳng OE1 M1 Tương tự ta dựng M2 , M3 giao điểm OE2 , OE3 mặt phẳng qua M song song với mp(OE1 E3 ), mp(OE1 E2 ) Khi ta hình hợp chữ nhật xác định ba kích thước OM1 , OM2 , OM3 −−→ −−→ − Do OMi , i = 1, 2, 3, phương với OEi = → ei nên ta có −−→ −−−→ −−−→ −−−→ → − − − − a = OM = OM1 + OM2 + OM3 = α1 → e1 + α2 → e2 + α3 → e3 Tính ba (α1 , α2 , α3 ) chứng minh tương tự chứng minh Mệnh đề Hệ Trong không gian, hệ bốn véctơ phụ thuộc tuyến tính Chứng minh Thật vậy, hệ bốn véctơ có ba véctơ đồng phẳng theo Mệnh hệ cho phụ thuộc tuyến tính Ngồi ra,theo Mệnh đề 8, véctơ lại hệ biểu diễn tuyến tính qua hệ ba véctơ khơng đồng phẳng Do hệ cho phụ thc tuyến tính theo Mệnh 0.4 0.4.1 Chiếu véctơ Các định nghĩa Một đường thẳng chọn véctơ đơn vị gọi trục Hướng véctơ đơn vị gọi hướng trục Nếu ta xem đường −−→ thẳng đường thẳng ∆ trục với véctơ đơn vị OE với −−→ −−→ hai điểm M, N ∈ ∆ ta có M N = αOE Khi số α (có thể âm hay dương) −−→ −−→ gọi độ dài đại số véctơ M N véctơ OE ký hiệu −−→ α = A1 B1 Nói cách khác, độ dài đại số véctơ M N −−→ −−→ − − phương đơn vị → e |M N | → e M N phương −−→ −|M N | ngược lại −→ − Trong không gian, cho véctơ → a = AB, trục ∆ mặt phẳng (P ) không song song với ∆ Qua A B dựng mặt phẳng song song với (P ) cắt ∆ A1 B1 Các điểm A1 B1 gọi điểm −−−→ chiếu A B ∆ theo phương (P ) Véctơ A1 B1 gọi véctơ −→ chiếu AB ∆ theo phương (P ) ký hiệu −−−→ −→ A1 B1 = Pr∆,P (AB) Trong trường hợp khơng sợ nhầm lẫn, ta nói gọn điểm chiếu véctơ chiếu hình chiếu Hình vẽ 12 Nếu đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng (P ) ta gọi phép chiếu phép chiếu vng góc hay phép chiếu trực giao Để đơn giản, ta viết Pr∆ phép chiếu trực giao lên ∆ Chú ý Chương ta nghiên cứu “đại số véctơ”, khái niệm hình học thơng thường điểm, đường thẳng, mặt phẳng, quan hệ chứng quan hệ song song, quan hệ vng góc đường thẳng, mặt phẳng, đường thẳng mặt phẳng, góc đường thẳng, mặt phẳng, đường thẳng với mặt phẳng, véctơ, , xem biết 0.4.2 Tính chất Các tính chất phép chiếu véctơ liệt kê mệnh đề sau Mệnh đề i) Các véctơ có véctơ chiếu (trên trục, theo phương) ii) Véctơ chiếu tổng hai véctơ tổng véctơ chiếu véctơ thành phần − − iii) Pr∆,P (α→ a ) = αPr∆,P (→ a ) Chứng minh i) Hiển nhiên 0.4 CHIẾU VÉCTƠ → − − ii) Giả sử → a , b cho trước Hình vẽ 13 − − −→ − −−→ → −→ − → Chọn điểm A, B, C cho AB = → a , BC = b Khi AC = → a + b Gọi A1 , B1 , C1 hình chiếu A, B, C lên trục ∆ theo phương (P ) Khi −−−→ −−−→ −−−→ A1 C1 = A1 B1 + B1 C1 Từ suy kết luận mệnh đề −→ − −−→ − iii) Lấy điểm O trục ∆ dựng OA = → a , OB = α→ a Chú ý α dương Hình vẽ 14a âm Hình vẽ 14b Gọi A1 , B1 hình chiếu A, B lên trục ∆ theo phương (P ) Khi đó, theo Định lý Thalet ta có OB1 = α OA1 −−→ −−→ Từ OB1 = αOA1 mệnh đề chứng minh xong Mệnh đề sau cho phép chiếu trực giao Mệnh đề 10 Độ dài hình chiếu vng góc véctơ lên trục mơđun véctơ nhân với cosin góc trục véctơ Chứng minh Hình vẽ 15 −→ − Từ điểm O tùy ý trục ∆ ta dựng OA = → a dựng điểm A1 ∈ ∆ −−→ hình chiếu vng góc A lên ∆ Khi OA1 hình chiếu vng góc −→ ca OA lờn Suy Ô −−→ |OA1 | = |OA| cos (OA, OA1 ) 10 0.5 Tích vơ hướng hai véctơ → − − Định nghĩa Ta gọi tích vơ hướng hai véctơ → a b số thực xác định ÿ → − → − → − → − − − a b = |→ a |.| b | cos (→ a , b ) − Ta gọi tích vơ hướng véctơ → a với bình phương vơ hướng → − viết a Tích vơ hướng có tính chất sau → − − − Mệnh đề 11 Với véctơ → a, b, → c số thực α, β, ta có − − i) → a = |→ a |2 → − → − − − ii) Điều kiện cần đủ để → a ⊥ b → a b = → − → − − − iii) → a b = b → a → − → − → − − − − iv) α(→ a b ) = (α→ a ) b = → a (α b ) → − − → − − → − − v) → a ( b + → c)=→ a b +→ a −c Chứng minh i) Ta có → − − − − → − − − a → a = |→ a |.|→ a | cos (ÿ a ,→ a ) = |→ a |2 → − → − − − ii) Giả sử → a ⊥ b Khi góc → a b → − − Ngược lại, giả sử → a b = Từ suy → − − |→ a | = | b | = π → − − → a b = ÿ → − − cos (→ a , b ) = → − → − − Từ đó, → a = = b góc giữ chúng π2 iv) Ta có ÿ ÿ → − → − → − → − → − − − − − − α(→ a b ) = α[|→ a |.| b | cos (→ a , b )] = sign(α)|α|[|→ a |.| b | cos (→ a , b )] Từ suy điều cần chứng minh − −→ − −→ − −−→ → v) Chọn điểm O, A, B, C, D cho OA = → a , OB = b , OC = → c − → −−→ → − → − OD = b + c Hơn nữa, giá a ta chọn O làm gốc hướng 0.5 TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ → − a 11 b c Hình 1: Tính chất phân phối tích vơ hương phép cộng → − a làm hướng trục Gọi B , C , D hình chiếu B, C, D lên − giá → a Khi → − − → − −→ − − → − − a( b +→ c ) = |→ a |.OD = |→ a |(OB + OC ) = → a b +→ a −c Mệnh đề chứng minh xong Chú ý Tích vơ hướng hai véctơ có ý nghĩa thiết thực lĩnh vực → − học Ví dụ, ta có cơng thức tính cơng A lực f điểm đặt lực di → − −→ chuyển đường thẳng từ điểm A đến B A = | f |.|AB| cos ϕ → − f ϕ A B Hình 2: Cơng lực tác động lên vật di chuyển từ A đến B lực f → − − → − − Ví dụ i) Tính (→ a − b )(→ a + b ) 12 Giải Ta có → − − → − → − − → → − → − − − (→ a − b )(→ a + b ) = (→ a − b )→ a (− a − b)b → − − → → − → − → − − − =→ a→ a + (− b )→ a +− a b + (− b ) b → − − = |→ a |2 − | b |2 ii) Chứng minh hình bình hành, tổng bình phương hai đường chéo tổng bình phương tất cạnh − −→ − −−→ → Giải Giả sử ta có hình bình hành ABCD Đặt AB = → a , DA = b Khi XXXXXXXX 0.6 TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ 0.6 Tích có hướng hai véctơ 0.7 Tích hỗn tạp ba véctơ 0.8 Tọa độ véctơ 0.8.1 Hệ trục tọa độ Descartes vng góc 0.8.2 Tọa độ điểm 0.8.3 Tọa độ véctơ 0.8.4 Biểu thức tọa độ tích vơ hướng 0.8.5 Biểu thức tọa độ tích có hướng 0.8.6 Biểu thức tọa độ tích hỗn tạp 0.9 0.10 13 Đường phương trình đường mặt phẳng Mặt đường không gian 14 Bài tập Bài tập 0.1 Cho véctơ a b tạo nên góc 60◦ Biết |a| = 5, |b| = Tính |a + b| |a − b| Bài tập 0.2 Cho |a| = 13, |b| = 19, |a + b| = 24 Tính |a − b| Bài tập 0.3 Tìm điều kiện hai véctơ a, b để i) |a + b| = |a − b| ii) a + b = k(a − b) iii) |a + b| = |a| + |b| Bài tập 0.4 Chứng minh tổng véctơ có gốc tâm đa giác có đỉnh đa giác véctơ khơng Bài tập 0.5 Cho tam giác ABC Tìm điểm G mặt phẳng mp(ABC) −→ −−→ −→ cho GA + GB + GC = “ Bài tập 0.6 Trong tam giác ABC, dựng đường phân giác AD góc A −−→ Hãy biểu diễn véctơ AD dạng tổ hợp tuyến tính véctơ −→ −→ AB, AC Bài tập 0.7 Cho tam giác ABC Gọi M, N, P trung điểm −−→ −−→ −→ ba cạnh BC, CA, AB Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ AM , BN , CP theo −−→ −→ véctơ BC CA Bài tập 0.8 Hình thang cân ABCD có đáy AB, đáy CD góc −→ −−→ −→ −−→ “ = π Hãy biểu diễn véctơ − A BC, CD, AC, BD dạng tổ hợp −→ −−→ tuyến tính AB AD Bài tập 0.9 Tìm góc đỉnh tam giác cân biết hai trung tuyến xuất phát từ hai đỉnh kề đáy vng góc với √ Bài tập 0.10 Cho hai véctơ a, b biết |a| = 3, |b| = góc a b 30◦ Tìm góc hai véctơ a + b a − b Bài tập 0.11 Chứng minh véctơ p = (bc)a − (ac)b vng góc với c 0.10 MẶT VÀ ĐƯỜNG TRONG KHÔNG GIAN 15 Bài tập 0.12 Cho hình chữ nhật ABCD điểm M tùy ý Chứng minh −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ i) M A.M C = M B.M D ii) M A2 + M C = M B + M D2 Bài tập 0.13 Cho bốn điểm A, B, C, D tùy ý không gian Chứng minh −−→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ BC.AD + CA.BD + AB.CD = Từ suy hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vng góc cặp cạnh đối diện cịn lại vng góc Bài tập 0.14 Cho ba véctơ a, b, c không phương Chứng minh a ∧ b = b ∧ c = c ∧ a a + b + c = Bài tập 0.15 Chứng minh a ∧ (b + la) = (a + mb) ∧ b = a ∧ b, với l, m hai số thực tùy ý Bài tập 0.16 Chứng minh a ∧ b + b ∧ c + c ∧ a = ba véctơ a, b, c đồng phẳng Điều ngược lại có khơng? −→ −−→ Bài tập 0.17 i) Định nghĩa (ABC) số thực k cho AC = k.BC Tính (ACB), (BAC), (BCA), (CAB), (CBA) theo k ii) Cho (ABP ) = l, (ABQ) = m Tính (P QA) (P QB) Bài tập 0.18 Cho ba véctơ a, b, c tùy ý Chứng minh với ba số thực l, m, n, ba véctơ la − mb, nb − lc, mc − na đồng phẳng Bài tập 0.19 Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(−1, 2) B(4, −3) Xác −→ định tọa độ độ dài AB Bài tập 0.20 i) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba véctơ a = (2, 4), b = (−3, 1), c = (5, −2) Tính tọa độ véctơ 2a + 3b − 5c, a − 24b + 14c ii) Trong không gian Oxyz, cho ba véctơ a = (5, 7, 2), b = (3, 0, 4), c = (−6, 1, −1) Tính tọa độ véctơ 3a − 2b = c, 5a + 6b + 4c −→ −→ Bài tập 0.21 Cho hai véctơ SA = (−3, 0, 4) SB = (5, −2, −14) Tìm Ÿ Ÿ −→ − → −→ − → −→ −→ −→ −→ véctơ đơn vị SE cho (SA, SE) = (SE, SB) véctơ SA, SB, SE đồng phẳng 16 Bài tập 0.22 Ba lực có điểm đặt đỉnh hình lập phương theo thứ tự có cường độ 1,2,3, hướng với véctơ đường chéo mặt hình lập phương qua đỉnh Tính cường độ hợp lực Bài tập 0.23 Tìm góc giữ hai véctơ trường hợp sau: i) a = (3, 4), b = (1, 7); iii) a = (8, 4, 1), b = (2, −2, 1); ii) a = (2, −6), iv) a = (2, 5, −4), b = (−3, 9); b = (6, 0, 3) −→ −→ −→ Bài tập 0.24 Cho hai véctơ SA = (8, 4, 1), SB = (2, −2, 1) Tìm véctơ SC thỏa mãn đồng thời bốn điều kiện sau: Ÿ → −→ π −→ −→ −→ −→ − SC ⊥ SA; |SC| = |SA|; SB, SC < −→ −→ −→ SA, SB, SC đồng phẳng Bài tập 0.25 Tính diện tích hình bình hành dựng hai véctơ a, b trường hợp sau đây: i) a = (2, 3, 1), b = (5, 6, 4); iii) a = (8, 4, 1), b = (2, −2, 1); ii) a = (5, −2, 1), iv) a = (−2, 6, −4), b = (4, 0, 6); b = (3, −9, 6) Bài tập 0.26 Tính diện tích tam giác ABC với A(3, 4, −1), B(2, 0, 3), C(−3, 5, 4) Bài tập 0.27 Phép nhân có hướng hai véctơ có luật giản ước hay khơng? Nghĩa a ∧ c = b ∧ c với c = có thiết a = b? Bài tập 0.28 Người ta gọi vétơ (a ∧ b) ∧ c tích véctơ kép ba véctơ a, b c Chứng minh (a ∧ b) ∧ c = (a.c)b − (b.c)a Bài tập 0.29 Chứng minh (a ∧ b).(c ∧ d) = a.c a.d b.c b.d Bài tập 0.30 Cho ba véctơ a = (3, 1, 2), b = (2, 7, 4), c = (1, 2, 1) Tính (a, b, c); (a ∧ b) ∧ c; a ∧ (b ∧ c) 0.10 MẶT VÀ ĐƯỜNG TRONG KHÔNG GIAN 17 Bài tập 0.31 Gọi α, β, γ ba góc tạo véctơ tùy ý a với ba véctơ sở e1 , e2 , e3 Chứng minh cos2 α + cos2 β + cos2 γ = Bài tập 0.32 Cho bốn đỉnh hình tứ diện A(2, 3, 1), B(4, 1, −2), C(6, 3, 7), D(−5, −4, 8) Tính độ dài đường cao hình tứ diện xuất phát từ đỉnh D Bài tập 0.33 Lập phương trình quỹ tích điểm cách hai điểm A(2, 1) B(−1, 4) Bài tập 0.34 Lập phương trình điểm M cho M A = 2M B, với A(4, 0), B(1, 0) Bài tập 0.35 Lập phương trình quỹ tích tâm đường trịn tiếp xúc với trục Ox qua điểm (3, 4) Bài tập 0.36 Lập phương trình quỹ tích điểm mà tổng bình phương khoảng cách từ đến hai điểm F1 (−2, 0) F2 (2, 0) số không đổi k Bài tập 0.37 Lập phương trình quỹ tích điểm mà hiệu bình phương khoảng cách từ đến hai điểm F1 (−2, 0) F2 (2, 0) số không đổi k Bài tập 0.38 Lập phương trình quỹ tích điểm cách hai điểm A(1, 2, −3) B(3, 2, 1) Bài tập 0.39 Lập phương trình quỹ tích điểm mà tổng bình phương khoảng cách từ đến hai điểm F1 (−a, 0, 0) F2 (a, 0, 0) số không đổi k Chỉ mục độ dài đại số véctơ, đại lượng có hướng, đại lượng vô hướng, điểm chiếu, điểm gốc, ba véctơ đồng phẳng, biểu thị tuyến tính được, giá véctơ, hệ véctơ độc lập tuyến tính, hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính, hướng trục, môđun véctơ, trục, véctơ, véctơ đơn vị, véctơ nhau, véctơ buộc, véctơ phương, véctơ chiếu, vécto tự do, 18