MỤC LỤC PHẦN I ĐẠI SỐ CHƯƠNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA 3 CĂN BẬC HAI A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Căn bậc hai số So sánh bậc hai số học B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Ví dụ minh họa Bài tập tự luyện CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A2 = | A| 10 A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 10 B CÁC DẠNG TỐN 10 Phá dấu trị tuyệt đối 10 Điều kiện để 10 Sử dụng đẳng thức Phương trình - Bất phương trình 14 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 15 A có nghĩa A2 = | A| LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG 11 21 A TĨM TẮT LÍ THUYẾT 21 Định lí 21 Khai phương tích 21 Nhân thức bậc hai 21 B CÁC DẠNG TOÁN 21 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 26 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Tài liệu tự học Toán - HKI LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG 32 A TĨM TẮT LÍ THUYẾT 32 B DẠNG TOÁN 32 Khai phương thương 32 Chia hai thức bậc hai 32 C PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 32 D BÀI TẬP TỰ LUYỆN 36 BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI 41 A TĨM TẮT LÍ THUYẾT 41 Đưa thừa số dấu 41 Đưa thừa số vào dấu 41 Khử mẫu biểu thức lấy dấu 41 Trục thức mẫu 41 B CÁC DẠNG TOÁN 41 Đưa thừa số vào dấu 41 Khử mẫu biểu thức dấu căn-Phép nhân liên hợp 43 Sử dụng phép biến đổi thức bậc hai cho toán rút gọn chứng minh đẳng thức 44 Sử dụng phép biến đổi thức bậc hai giải phương trình 47 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 48 RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN BẬC HAI 54 A TĨM TẮT LÍ THUYẾT 54 B CÁC DẠNG TỐN 54 Thực phép tính rút gọn biểu thức có chứa bậc hai 54 Giải phương trình 62 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 63 Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Tài liệu tự học Toán - HKI CĂN BẬC BA - CĂN BẬC n 67 A TĨM TẮT LÍ THUYẾT 67 Căn bậc ba 67 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 67 Thực phép tính với bậc bậc n 67 Khử mẫu chứa bậc ba 74 Giải phương trình chứa bậc ba 74 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 75 CHƯƠNG HÀM SỐ BẬC NHẤT 77 NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ 77 A TĨM TẮT LÍ THUYẾT 77 Khái niệm hàm số đồ thị 77 Tập xác định hàm số 77 Hàm số đồng biến, nghịch biến 77 B CÁC DẠNG TOÁN 77 Sự xác định hàm số 77 Tìm tập xác định hàm số 78 Xét tính chất biến thiên hàm số 82 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 85 HÀM SỐ BẬC NHẤT 96 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 96 Định nghĩa 96 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 96 C BÀI TẬP LUYỆN TẬP 98 Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Tài liệu tự học Toán - HKI ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT 101 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 101 Đồ thị hàm số y = ax với a = 101 Đồ thị hàm số y = ax + b, a = 101 Cách vẽ đồ thị hàm số bậc 101 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 102 C BÀI TẬP LUYỆN TẬP 106 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU A TĨM TẮT LÍ THUYẾT 110 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 110 C BÀI TẬP LUYỆN TẬP 114 HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG 118 A TĨM TẮT LÍ THUYẾT 118 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 118 Hệ số góc đường thẳng 118 Lập phương trình đường thẳng biết hệ số góc 119 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 122 PHẦN II HÌNH HỌC 125 CHƯƠNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 110 127 MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC VNG 127 A TĨM TẮT LÍ THUYẾT 127 Hệ thức cạnh góc vng hình chiếu cạnh huyền 127 Một số hệ thức liên quan tới đường cao 127 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 127 Giải toán định lượng 128 Giải toán định tính 128 Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ C Tài liệu tự học Toán - HKI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 129 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC 134 A TĨM TẮT LÍ THUYẾT 134 Tỉ số lượng giác 134 Giá trị lượng giác cung đặc biệt 134 Hàm số lượng giác hai góc phụ 134 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 134 Giải toán định lượng 134 Giải tốn định tính 135 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 135 CHƯƠNG ĐƯỜNG TRÒN 139 SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRỊN - TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRỊN 139 A TĨM TẮT LÍ THUYẾT 139 Nhắc lại đường tròn 139 Cách xác định đường tròn 139 Tâm đối xứng - Trục đối xứng 140 B CÁC DẠNG TOÁN 140 Chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn 140 Quỹ tích điểm đường trịn 142 Dựng đường tròn 144 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 145 ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG CỦA ĐƯỜNG TRỊN 152 A TĨM TẮT LÍ THUYẾT 152 So sánh độ dài đường kính dây 152 Quan hệ vng góc đường kính dây 152 Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Tài liệu tự học Tốn - HKI B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN 152 Giải tốn định tính định lượng 152 Giải tốn dựng hình 154 Giải tốn quỹ tích 154 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 155 LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY 158 A TĨM TẮT LÍ THUYẾT 158 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 158 C BÀI TẬP LUYỆN TẬP 158 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN 160 A TĨM TẮT LÝ THUYẾT 160 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 160 C BÀI TẬP LUYỆN TẬP 162 TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRỊN 166 A TĨM TẮT LÝ THUYẾT 166 Các tính chất tiếp tuyến 166 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 166 DỰNG TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRỊN 166 GIẢI BÀI TỐN ĐỊNH TÍNH VÀ ĐỊNH LƯỢNG 168 Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn 170 Sử dụng tính chất tiếp tuyến để tìm quỹ tích 172 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 173 TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU 181 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 181 ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC 181 ĐƯỜNG TRỊN BÀNG TIẾP TAM GIÁC 181 Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 182 C BÀI TẬP LUYỆN TẬP 183 D HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ 184 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN 187 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 187 Hai đường trịn có hai điểm chung 187 Hai đường trịn có điểm chung 188 Hai đường trịn khơng có điểm chung 189 Một số tính chất 190 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 191 C BÀI TẬP LUYỆN TẬP 195 PHẦN I ĐẠI SỐ CHƯƠNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA BÀI A TÓM TẮT LÝ THUYẾT CĂN BẬC HAI CỦA MỘT SỐ CĂN BẬC HAI Định nghĩa Căn bậc hai số học số a ≥ số x khơng âm mà bình phương a Ký hiệu a x= a⇔  x ≥  x2 = a , với a ≥ Tổng quát R: Mọi số dương a > có hai bậc hai hai số đối a > gọi bậc hai số học hay gọi bậc hai dương a − a < gọi bậc hai âm a Số có bậc hai Số âm khơng có bậc hai SO SÁNH CÁC CĂN BẬC HAI SỐ HỌC Định lí Với hai số a, b khơng âm, ta có a < b ⇔ a < b B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Tính (−8)2 16; 1,44; ✍ Lời giải Ta có 16 = > 42 = 16 1,44 = 1,2 1,2 > (1,2)2 = 1,44 (−8)2 = ! 64 = > 82 = 64 Rất nhiều học sinh nhầm lẫn công thức a2 = a, dẫn tới cho Cần ý a2 = |a|, (−8)2 = | − 8| = Ví dụ Tính giá trị biểu thức sau … 0,16 + … 25 ✍ Lời giải … 0,16 + = 25   10   + (−8)2 = −8 = 2 + = 5 3 − 0,36 16 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ BÀI A Tài liệu tự học Toán - HKI VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN TĨM TẮT LÝ THUYẾT Hai đường trịn phân biệt khơng thể có q hai điểm chung, qua ba điểm thẳng hàng khơng thể có đường trịn, cịn qua ba điểm khơng thẳng hàng có đường trịn Như vậy, hai đường tròn phân biệt có thể: Có hai điểm chung Có điểm chung Khơng có điểm chung ! Hai đường trịn có nhiều hai điểm chung chúng trùng HAI ĐƯỜNG TRỊN CĨ HAI ĐIỂM CHUNG Cho hai đường tròn (O ; R ) (O ; r ) với R > r d = OO Trường hợp gọi hai đường tròn cắt nhau, điểm chung gọi giao điểm A r R d O Sử dụng bất đẳng thức tam giác O AOO ta có O A − O A < OO < O A + O A, từ suy điều kiện R − r < d < R + r ! Nhận xét Hai đường tròn cắt A O O Có hai tiếp tuyến chung chúng đồng quy với đường thẳng OO Nếu toán cần vẽ đường phụ, ta thường vẽ thêm dây chung chúng Th.s Nguyễn Chín Em 187 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Tài liệu tự học Toán - HKI Bài tốn: Cho hai đường trịn (O ; R ) (O ; r ) với r < R cắt A B Hãy dựng tiếp tuyến chung hai đường trịn đó, biết OO = d Lời giải M M A O O N N Phân tích Giả sử dựng tiếp tuyến chung hai đường tròn M , M theo thứ tự tiếp điểm tiếp tuyến chung với (O ; R ) (O , r ) Gọi A điểm đồng quy hai tiếp tuyến với OO , ta có AO OM r r rd = = ⇒ AO = ( AO + O O ) · ⇔ AO = AO OM R R R−r ⇒ Xác định vị trí điểm A Khi Tiếp điểm M giao điểm (O ) đường tròn đường kính AO Tiếp điểm M giao điểm đường thẳng AM đường tròn (O ) Cách dựng: Ta thực Xác định điểm A tia OO cho AO = rd R−r Dựng đường trịn đường kính AO , đường trịn cắt (O ) M Dựng đường thẳng AM , tiếp tuyến chung cần dựng Chứng minh Ta có AM O = 90◦ ⇒ AM tiếp tuyến đường trịn (O ) Ngồi ra, ta có rd AO AO R−r = r = O M = = rd AO AO + O O R OM +d R−r Suy OM ∥ O M ⇒ OM ∥ AM ⇒ AM tiếp tuyến đường trịn (O ) Biện luận Bài tốn có hai nghiệm hình (tức tồn hai tiếp tuyến chung (O ) (O )) HAI ĐƯỜNG TRỊN CHỈ CĨ MỘT ĐIỂM CHUNG Cho hai đường trịn (O ; R ) (O ; r ) với R > r d = OO Trường hợp gọi hai đường tròn tiếp xúc điểm chung gọi tiếp điểm Ta có hai khả tiếp xúc: Tiếp xúc ngồi: d = R + r r O Th.s Nguyễn Chín Em A d 188 R O https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Tài liệu tự học Toán - HKI Tiếp xúc trong: d = R − r A ! d O O Nhận xét: Hai đường trịn tiếp xúc ngồi với có ba tiếp tuyến chung M A O A O d d O O Hai đường tròn tiếp xúc với có tiếp tuyến chung Hai đường tiếp xúc với mà cần vẽ đường phụ, ta thường vẽ thêm tiếp tuyến chung chúng HAI ĐƯỜNG TRỊN KHƠNG CĨ ĐIỂM CHUNG Cho hai đường trịn (O ; R ) (O ; r ) với R > r d = OO Trường hợp gọi hai đường trịn khơng giao Ta có hai khả Ngoài nhau: d > R + r r R d O O Trong nhau: d < R − r Th.s Nguyễn Chín Em 189 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Tài liệu tự học Toán - HKI d O O ! Chú ý Hai đường tròn phân biệt tâm (d = 0) gọi hai đường tròn đồng tâm Hai đường trịn ngồi có bốn tiếp tuyến chung, + Có hai tiếp tuyến chung cắt đoạn OO + Có hai tiếp tuyến chung không cắt đoạn OO A O O Hai đường trịn khơng có tiếp tuyến chung MỘT SỐ TÍNH CHẤT Tính chất Đường nối tâm trục đối xứng hình tạo hai đường trịn Tính chất Nếu hai đường trịn cắt dây cung vng góc với đường nối tâm bị đường chia làm hai phần Cụ thể, theo hình vẽ ta có: OO ⊥ AB I A = IB A I O O B Tính chất Nếu hai đường trịn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm Cụ thể, theo hình vẽ sau ta có O , O , A thẳng hàng Th.s Nguyễn Chín Em 190 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Tài liệu tự học Toán - HKI A d O B A O d O O PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Ví dụ Hai đường trịn (O ) (O ) cắt A B Từ A vẽ đường kính AOC AO D Chứng minh ba điểm B, C , D thẳng hàng AB vng góc CD ✍ Lời giải A I O O D B C Gọi I giao điểm AB OO , suy I trung điểm AB Trong tam giác ABC , ta có OI đường trung bình nên OI ∥ BC Trong tam giác ABD , ta có O I đường trung bình nên O I ∥ BD Suy OO ∥ BC ∥ BD , nên ba điểm B, C , D thẳng hàng Vì AB ⊥ OO ⇒ AB ⊥ CD ! Nhận xét: Trong lời giải ví dụ tận dụng đầy đủ tính chất hai đường trịn cắt Ví dụ minh họa việc sử dụng tính chất hai đường trịn tiếp xúc Ví dụ Cho hai đường tròn (O ; R ) (O ; r ) tiếp xuca với A Vẽ tiếp tuyến chung BC (B thuộc đường tròn (O ), C thuộc đường tròn (O ) Chứng minh ABC tam giác vuông Tính số đo góc OMO Tính diện tích tứ giác BCO O theo R r Gọi I trung điểm OO Chứng minh BC tiếp tuyến đường tròn ( I, I M ) ✍ Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 191 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Tài liệu tự học Toán - HKI B M C H O A I O Qua A vẽ tiếp tuyến chung trong, cắt BC M , ta có M A = MB tính chất tiếp tuyến (O ; R ) M A = MC tính chất tiếp tuyến (O , r ) Suy M A = MB = MC = BC Tức ABC có trung tuyến AM ứng với cạnh BC nửa cạnh nên tam giác vng Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có MO phân giác góc AMB MO tia phân giác góc AMC Suy OMO = 90◦ (vì hợp hai tia phân giác hau góc kề bù) Tứ giác BCO O có OB ∥ O C (vì vng góc với BC ) nên tứ giác hình thang, S BCO O = (OB + O C )BC Hạ O D vng góc với OB, suy tứ giác BCO H hình chữ nhật nên BC = O H Trong OO H ta có O H = OO − OH = (R + r )2 − (R − r )2 = 4Rr ⇒ O H = Rr Vậy ta S BCO O = ( r + R ) · Rr = Rr (R + r ) Ta có I M đường trung bình hình thang BCO O , I M ∥ OB ⇒ I M ⊥ BC Vậy BC tiếp tuyến đường tròn ( I, I M ) ! Nhận xét: Ta có OO tiếp tuyến đường trịn có đường kính BC Chúng ta biết “Nếu đường thẳng d qua điểm bên đường tròn (O ) cắt đường trịn này” câu hỏi đặt thay đường thẳng d đường trịn kết luận vị trí tương đối hai đường trịn Ví dụ minh họa nhận định Ví dụ Chứng minh đường trịn qua điểm bên điểm bên ngồi đường trịn khác hai đường trịn cắt hai điểm ✍ Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 192 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Tài liệu tự học Toán - HKI A B d O O Giả sử đường (O ) qua A B, A (O ), B bên (O ) Gọi R , r theo thứ tự bán kính đường trịn (O ), (O ) Ta có O A = OB = R , O A > r O B < r Xét OO B ta có OO ≤ OB + O B < R + r (1) Nếu R ≥ r OO B, ta có OO ≥ OB − O B < R + r (2) Nếu R ≤ r OO A , ta có OO ≥ O A − O A > r − R (3) Từ đó, ta |R − r | < OO < R + r ⇔ Hai đườn tròn (O ) (O ) cắt ! Nhận xét Như lời giải sử dụng kiến thức Vị trí tương đối điểm với đường tròn Hệ thức liên hệ cạnh tam giác Để từ nhận bất đẳng thức |R − r | < OO < R + r Ví dụ Cho đoạn thẳng AB điểm M không trung với A B Vẽ đường tròn ( A ; AM ) (B; BM ) Hãy xác định vị trí tương đối hai đường trịn này, từ suy số tiếp tuyến chung chúng ✍ Lời giải Để xét vị trí tương đối hai đường tròn ( A ; AM ) đường tròn (B; BM ), ta phải xét trường hợp vị trí điểm M đoạn thẳng AB Trường hợp Điểm M nằm A B, ta có AB = AM + MB ⇔ d = R + r Vậy hai đường tròn tiếp xúc ngồi với chúng có ba tiếp tuyến chung N M A d B Trường hợp 2: Điểm M nằm tia đối AB (hoặc tia đối BA ), ta có AB = BM − AM ⇔ d = R − r AB = AM − BM ⇔ d = r − R Th.s Nguyễn Chín Em 193 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ M Tài liệu tự học Toán - HKI A B A B M Vậy hai đường tròn tiếp xúc với chúng có tiếp tuyến chung Trường hợp 3: Điểm M nằm đường thẳng AB, ta có | MB − M A | < AB < MB + M A ⇔ |R − r | < d < R + r Vậy hai đường tròn cắt chúng có hai tiếp tuyến chung M C B A Nhận xét: Để tránh bỏ sót trường hợp, em học sinh nhớ lại vị trí tương đối điểm đường thẳng, cụ thể với điểm M đường thẳng AB ( M không trùng với A , B) cho trước, ta có Nếu M thuộc đường thẳng AB, + M nằm A B + A nằm M B + B nằm A M M khơng thuộc đường thẳng AB Ví dụ Cho hai đường tròn (O ; R ) (O ; r ) tiếp xúc với A Vẽ cát tuyến qua A cắt hai đường tròn B C Chứng minh tiếp tuyên B C song song với ✍ Lời giải Xét hai khả tiếp xúc (O ; R ) (O , r ) Trường hợp 1: Nếu (O ; R ) (O ; R ) tiếp xúc với Trong tam giác O AC , ta có r OA OB = = ⇒ O B ∥ OC OC R O A Nên tiếp tuyến B C song song với chúng vng góc với O B vng góc với OC C B A Th.s Nguyễn Chín Em O O 194 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Tài liệu tự học Toán - HKI Trường hợp 2: Nếu (O ; R ) (O , r ) tiếp xúc với Ta có OB r OA = = ⇒ O B ∥ OC OC R O A Nên tiếp tuyến B C song song với chúng vng góc với O B vng góc với OC B A O d O C ! Nhận xét: Cũng với nhận xét ví dụ trước, em học sinh nhớ với giả thuyết ”Hai đường tròn tiếp xúc với nhau” cần xét hai trường hợp, Hai đường trịn tiếp xúc với Hai đường trịn tiếp xúc ngồi với C BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài Cho ba đường trịn tâm O1 , O2 , O3 có bán kính R tiếp xúc ngồi với đơi Tính diện tích tam giác có ba đỉnh ba tiếp điểm ✍ Lời giải Xét O1 O2 O3 , ta có O1 O2 = O2 O3 = O1 O3 = 2R O1 nên O1 O2 O3 có cạnh 2R (2R )2 Vậy S O1 O2 O3 = = R O3 O2 Bài Cho đoạn thẳng AB = 2a gọi M trung điểm AB Vẽ đường tròn ( A ; a) (B; a) Chứng minh hai đường trịn tiếp xúc ngồi với Vẽ đường tròn tâm M cắt hai đường tròn ( A ) (B) C , D , E , F (C F thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Chứng minh tứ giác CDEF hình chữ nhật Xác định bán kính đường tròn ( M ) tứ giác CDEF hình vng Th.s Nguyễn Chín Em 195 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Tài liệu tự học Toán - HKI ✍ Lời giải c) Để CDEF hình vng điều kiện C CE ⊥ DF ⇔ AMC = 45◦ Khi đó, tam giác ACM cân A với F P AMC = 45◦ , ta CM = a M A D B E Bài Cho đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ đường trịn (B; OB) cắt đường tròn (O ) C , D Xác định dạng tứ giác OCDB Xác định dạng tam giác ACD ✍ Lời giải C Ta có OC = OD = OB BC = BD = BO Suy OC = CB = BD = DO ⇔ OCBD hình thoi Trong tam giác ABC vuông C , ta có BC = AB suy BAC = 30◦ ⇒ C AD = 60◦ nên ACD A H O B D Bài Hai đường tròn (O ) (O ) cắt A B, O A tiếp tuyến đường trịn (O ) Tính dây cung AB biết O A = 2cm, O A = 15cm ✍ Lời giải A I O O B Gọi I trung điểm AB, suy AB = AI AI ⊥ OO Trong tam giác vng O AO , ta có S O AO 1 = O A · O A = AI · OO = AI · 2 O A2 + O A2 suy AI = OA ·O A O A2 + O A2 = 20 · 15 202 + 152 = 12 cm Vậy AB = 12 cm Th.s Nguyễn Chín Em 196 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Tài liệu tự học Toán - HKI Bài Cho hai đường tròn (O ; 17cm) (O ; 10cm) cắt A B Biết OO = 21cm Tính AB ✍ Lời giải A I O O B Gọi I trung điểm AB, suy AB = AI AI ⊥ OO Trong tam giác O AO , ta có S AI = O AO = p( p − a)( p − b)( p − c) = p( p − a)( p − b)( p − c) OO = AI · OO Suy 2 24 · · 14 · = cm 21 Vậy ta AB = 16 cm Bài Hai đường tròn (O ) (O ) cắt A B Gọi M trung điểm OO Qua A kẻ đường thẳng vng góc với AM , cắt đường tròn (O ) (O ) C D Chứng minh AC = AD ✍ Lời giải Gọi E , F theo thứ tự trung điểm AC , AD , suy OE ⊥ AC AE = CE ; O F ⊥ AD AF = DF , OE ∥ M A ∥ O F A E F D C Khi đó, tứ giác OO FE có OE ⊥ O F ⇒ OO FE hình thang Từ AM đường trung bình OO FE , suy M O O B E A = F A ⇔ 2E A = 2F A ⇔ AC = AD N Bài Cho đường tròn (O ; O A ), điểm I thuộc bán kính O A cho AI = O A Vẽ đường tròn ( I ; I A ) Xác định vị trí đường tròn (O ) ( I ) Kẻ đường thẳng qua A , cắt đường tròn ( I ) (O ) theo thứ tự B C Tính tỉ số AB AC ✍ Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 197 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Tài liệu tự học Toán - HKI Ta có OI = O A − I A , suy (O ) ( I, I A ) tiếp xúc với Kẻ OH vng góc với C A , ta có ABD = 90◦ nên BD ⊥ AB, suy BD ∥ OH Suy O D I AB AD AB AB = = ⇔ = ⇔ = AH AO AH · AC A B H C Bài Cho đường tròn (O ) điểm A đường trịn Trên bán kính O A lấy điểm B cho OB = O A Vẽ đường trịn đường kính AB Chứng minh đường trịn đường kính AB tiếp xúc với đường tròn (O ) cho trước Vẽ đường tròn đồng tâm O với đường tròn (O ) cho trước, cắt đường trịn đường kính AB C Tia AC cắt hai đường tròn đồng tâm D E (D nằm C E ) Chứng minh AC = CD = DE ✍ Lời giải Gọi I trung điểm AB, ta có OI = O A − I A nên (O ) đường trịn đường kính AB tiếp xúc Kẻ OH ⊥ CD , ta có CH = DH AH = EH , O AC = AH − CH = EH − DH = ED B A Mặt khác, ta có H ◦ C ACB = 90 ⇔ BC ⊥ AC ⇒ BC ∥ OH AC AB = = suy AC = 2CH = CD CH BO Vậy ta chứng minh AC = CD = DE nên E Bài Cho đường tròn (O ) đường thẳng a khơng giao Gọi H hình chiếu O a Tia đối OH cắt đường tròn A Vẽ đường thẳng b ⊥ a điểm B đường thẳng a Đoạn thẳng AB cắt đường tròn C Tia OC cắt b I Chứng minh đường tròn ( I ; IB) tiếp xúc với đường thẳng a đường tròn (O ) ✍ Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 198 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Tài liệu tự học Toán - HKI Nhận xét O A ∥ IB vng góc với a, suy O AC ∼ IBC ⇒ A O A OC = hay IB IC IB O A = = ⇔ IB = IC Khi đó, IB ⊥ a nên ( I, IB) tiếp IC OC xúc với a b O Vì IO = IC + OC = OC + IB nên ( I, IB) tiếp xúc với (O ) C I H B a Bài 10 Cho hình vng ABCD Vẽ đường trịn (D ; DC ) đường trịn đường kính BC Chúng cắt điểm thứ hai E Tia CE cắt AB M , tia BE cắt AD N Chứng minh M trung điểm AB, N trung điểm AD ✍ Lời giải Gọi I trung điểm AB Xét hai tam giác vuông CD I BCM , ta có CD = BC , hai cạnh hình vng, CD I = BCM (góc có cạnh tương ứng vng góc) Do đó, CD I = BCM (cạnh góc vng góc nhọn) 1 ⇒ BM = CI = BC = AB 2 M A nên M trung điểm AB Chứng minh tương tự ta có I B C E N D ABN = BCM (cạnh góc vng góc nhọn) Suy AN = BM = AD ⇔ N trung điểm AD Bài 11 Cho đường tròn (O ) điểm A nằm đường trịn Vẽ đường tròn ( I ) qua O tiếp xúc với đường tròn (O ) A Qua A vẽ tiếp tuyến chung x y với hai đường tròn Dây AC đường tròn (O ) cắt đường tròn ( I ) M Tia CO cắt đường tròn tâm I N Đường thẳng OM cắt x y tia AN B D Chứng minh M A = MC Tứ giác ABCD hình thoi ✍ Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em 199 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Tài liệu tự học Toán - HKI x A Nhận xét OM A = 90◦ ⇒ OM ⊥ AC ⇒ M A = MC N B y I M Nhận xét OM A = 90◦ ⇒ DM ⊥ AC ; O ON A = 90◦ ⇒ CN ⊥ AD Suy O trực tâm C D ACD , CD ⊥ AO ⇒ CD ∥ AB Xét hai tam giác vuông M AB MCD , ta có M A = MC , M AB = MCD (so le trong), CD I = BCM (cạnh huyền, góc nhọn) Suy AB = AD Như tứ giác ABCD có AB = CD AC ⊥ BD nên hình thoi Bài 12 Cho đoạn thẳng AB cố định Vẽ đường tròn (O ) tiếp xúc với AB A , vẽ đường tròn O tiếp xúc với AB B, hai đường trịn ln ln thuộc nửa mặt phẳng bờ AB tiếp xúc ngồi với Tìm quỹ tích điểm M hai đường tròn ✍ Lời giải d M O O A I B Phần thuận: Dựng tiếp tuyến chung d M hai đường tròn, giả sử d cắt AB I Trong tam giác M AB, ta có I A = I M , I A , I M tiếp tuyến (O ) IB = I M , IB, I M tiếp tuyến (O ) Suy I M = AB ⇒ M AB vng M (vì có trung tuyến nửa cạnh huyền) ⇒ M thuộc đường tròn ( AB) Phần đảo: Lấy điểm M đường trịn ( AB) Ta thực dựng Dựng đường thẳng m qua M vng góc với I M Dựng tia phân giác I x góc AI M , tia I x cắt m O Dựng đường tròn (O, OM ), ta thấy OM I = O AI (c.g.c) ⇒ O AI = OM I = 90◦ ⇒ O A ⊥ AB hay (O, OM ) tiếp xúc với AB A Dựng tia phân giác I y góc BI M , tia I y cắt m O Dựng đường tròn (O , O M ) ta thấy O MI = O BI (c.g.c) ⇒ O BI = O M I = 90◦ ⇔ OB ⊥ AB hay (O , O M ) tiếp xúc với AB B Th.s Nguyễn Chín Em 200 https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Tài liệu tự học Toán - HKI Trong cách dựng trên, ta thấy (O ) (O ) tiếp xúc với Kết luận Quỹ tích điểm M đường trịn ( AB) Th.s Nguyễn Chín Em 201 https://emncischool.wixsite.com/geogebra ... − 1) + ( x − 1) x − ( x − 1)( x + 1) x−2 x+1−2 : − x + ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) x−1−2 x+2 x+1−2 x−2 x+1 x−1 : = : ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1). .. Tính 49 · 100 24 · (? ?9) 2 72 · 32 12,1 · 490 ✍ Lời giải 49 · 100 = · 10 = 70 49 · 100 = 24 · (? ?9) 2 = 72 · 32 = 12,1 · 490 = 24 · (? ?9) 2 = 22 · | − 9| = 36 36 · · 32 = 36 · 64 = · = 48 12,1 · 49 ·... x) + | x|( x − 1) x−1 x−1 + x = −2 x − + x = ( x − 1) − x − + = ( x − − 1)2 x−1− x Trước hết, ta đơn giản biểu thức với giá trị x, cách: x= 53 9? ??2 = 53 (9 + 7) (9 − 7) (9 + 7) = 53 (9 + 7) = + 81