Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Hàm Số Lượng Giác HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC-PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN §BÀI A LÝ THUYẾT I Ơn Tập Cơng thức lượng giác sin    tan   ,    k cos  cos   cot   ,   k sin   sin   cos   với  k  tan  cot   với    cos  1  cot   sin  với   k 2   tan   với   k Hệ thức cung đặc biệt Hai cung phụ  Hai cung  :       )  sin  tan(   )  tan  cos(   )   cos  sin(   )  cos  cot(   )  cot  tan( )   tan  tan(   )   tan  tan(   )  cot  sin(   )   sin  cot( )   cot  cot(   )   cot  cot(   )  tan  cos(   )   cos  Hai cung đối nhau:   Hai cung bù nhau:     cos( )  cos  sin(   )  sin  sin( )   sin  Các công thức lượng giác Công Thức cộng cos(a  b)  cos a.cos b sin a.sin b  cos(      Công thức nhân đôi, ba sin 2a  2sin a cos a Công Thức Hạ Bậc  cos 2a sin a  cos 2a  cos2 a  sin a  cos 2a sin(a  b)  sin a.cos b  cos a.sin b cos a    2sin a  2cos a  tan a  tan b  cos 2a sin 3a  3sin a  4sin a tan(a  b)  tan a  tan a.tan b  cos 2a cos3a  4cos a  3cos a Cơng thức biến đổi tích thành tổng Cơng thức biến đổi tổng thành tích ab a b cos a.cos b  [cos(a  b)  cos(a  b)] cos a  cos b  2cos cos 2 ab a b sin a.sin b  [cos(a  b)  cos(a  b)] cos a  cos b  2sin sin 2 ab a b sin a.cos b  [sin(a  b)  sin(a  b)] sin a  sin b  2sin cos 2 ab a b sin a - sin b  2cos sin 2 sin(a  b) sin(a  b) tan a  tan b  tan a  tan b  cos a cos b cos a cos b Đổi đơn vị Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Ví dụ Đổi   32o sang radian 8 7 A B 45 45 Chương I-Bài Hàm Số Lượng Giác C 10 45 D 11 45 Lời giải Ví dụ Đổi   A 3345' 3 sang độ, phút, giây 16 B 3045'30'' C 3044'30'' D 3040' Lời giải II Tính tuần hồn hàm số Định nghĩa: Hàm số y  f ( x) xác định tập D gọi hàm số tuần hồn có số T  cho với x  D ta có x  T  D f ( x  T )  f ( x) Nếu có số T dương nhỏ thỏa mãn điều kiện hàm số gọi hàm số tuần hồn với chu kì T Ví dụ Xét tính tuần hồn tìm chu kỳ hàm số sau a) y   sin 2 x b) y  sin x Lời giải Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Hàm Số Lượng Giác Nhận xét: Trong trình làm trắc nghiệm ta sử dụng tính chất sau Tính chất Ví dụ minh họa 2  2  y  sin  ax  b  có chu kỳ T0  Hàm số y  sin  x   có chu kỳ T  4 a  y  cos  ax  b  có chu kỳ T0  2 a y  tan  ax  b  có chu kỳ T0   a x  Hàm số y  cos   2016  có chu kỳ T  4 2  Hàm số y  tan 3 x có chu kỳ T  y  cot  ax  b  có chu kỳ T0   a x Hàm số y  cot có chu kỳ T  3 y  f1  x  có chu kỳ T1 y  f  x  có chu kỳ T2 hàm số y  f1  x   f  x  có chu kỳ T0 bội chung nhỏ T1 T2 x Hàm số y  cos x  sin có chu kỳ T  4 2 Vì Hàm số y  cos x có chu kì T1    2 x Hàm số y  sin có chu kì T2   4 2  x   Ví dụ Tìm chu kì T hàm số y  sin   2017   tan  x   4 2   A T  4 B T   C T  3 D T  2 Lời giải Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Hàm Số Lượng Giác   Ví dụ Tìm chu kì T hàm số y  2sin  x    sin x.cos x 6  2 A T  4 B T  3 C T  D T  2 Lời giải III Tính chẵn lẻ hàm số Định nghĩa: Hàm số y  f  x  goi hàm số chẵn thỏa mãn hai điều kiện;  Tập xác định hàm số có tính đối xứng, nghĩa x  D suy  x  D  f   x   f  x  , x  D Hàm số y  f  x  goi hàm số lẻ  Tập xác định hàm số có tính đối xứng, nghĩa x  D suy  x  D  f   x    f  x  , x  D Chú ý: Nếu hàm số f  x  vi phạm hai điều kiện ta kết luận hàm số f  x  không chẵn, không lẻ Để chứng minh hàm số không chẵn không lẽ ta chọn hai giá trị x1  D   x1  D cho  f   x1   f  x1    f   x1    f  x1  Ví dụ Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau a) y  3x  cos x b) y  x sin x  tan x Lời giải Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Hàm Số Lượng Giác Ví dụ Hàm số sau hàm số chẵn? A y  2cos x B y  2sin x C y  2sin   x  D y  sin x  cos x Lời giải sin x y  f  x  cos x  A Hàm số chẵn B Hàm số lẻ C Không chẵn không lẻ D Vừa chẵn vừa lẻ Lời giải Ví dụ Xét tính chẵn lẻ hàm số y      Ví dụ Xét tính chẵn lẻ hàm số y  f  x   cos  x    sin  x   , ta y  f  x  là: 4 4   A Hàm số chẵn B Hàm số lẻ C Không chẵn không lẻ D Vừa chẵn vừa lẻ Lời giải Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Hàm Số Lượng Giác Ví dụ 10 Cho hai hàm số f  x    3sin x g  x   sin  x Kết luận sau x 3 tính chẵn lẻ hai hàm số này? A Hai hàm số f  x  ; g  x  hai hàm số lẻ B Hàm số f  x  hàm số chẵn; hàm số f  x  hàm số lẻ C Hàm số f  x  hàm số lẻ; hàm số g  x  hàm số không chẵn không lẻ D Cả hai hàm số f  x  ; g  x  hàm số không chẵn không lẻ Lời giải Ví dụ 11 Xét tính chẵn lẻ hàm số f  x   sin 2007 x  cos nx , với n  Hàm số y  f  x  là: A Hàm số chẵn C Không chẵn không lẻ B Hàm số lẻ D Vừa chẵn vừa lẻ Lời giải sin 2004 n x  2004 , với n  Xét biểu thức sau: cos x 1, Hàm số cho xác định D  2, Đồ thị hàm số cho có trục đối xứng 3, Hàm số cho hàm số chẵn 4, Đồ thị hàm số cho có tâm đối xứng 5, Hàm số cho hàm số lẻ 6, Hàm số cho hàm số không chẵn không lẻ Số phát biểu sáu phát biểu A B C D Lời giải Ví dụ 12 Cho hàm số f  x   Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Hàm Số Lượng Giác Ví dụ 13 Xác định tất giá trị tham số m để hàm số y  f  x   3m sin x  cos x hàm chẵn A m  B m  1 C m  D m  Lời giải II Các hàm số lượng giác Hàm số y  sin x Tập xác định: D  R Tập giác trị: [1;1] , tức 1  sin x  x  R Hàm số đồng biến khoảng (   k 2 ;   k 2 ) , nghịch biến khoảng  3 (  k 2 ;  k 2 ) 2 Hàm số y  sin x hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Hàm số y  sin x hàm số tuần hồn với chu kì T  2 Đồ thị hàm số y  sin x y - -5 -3 - -2 -3 3 O  2  3 2 5 x 2 Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Hàm Số Lượng Giác Hàm số y  cos x Tập xác định: D  R Tập giác trị: [  1;1] , tức 1  cos x  x  R Hàm số y  cos x nghịch biến khoảng (k 2 ;   k 2 ) , đồng biến khoảng (  k 2 ; k 2 ) Hàm số y  cos x hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng Hàm số y  cos x hàm số tuần hồn với chu kì T  2 Đồ thị hàm số y  cos x  Đồ thị hàm số y  cos x cách tịnh tiến đồ thị hàm số y  sin x theo véc tơ v  ( ;0) y - -5 - -2 -3 -3 3  O  3 2 5 2 x Hàm số y  tan x Tập xác định : D    \   k , k   2  Tập giá trị: Là hàm số lẻ Là hàm số tuần hoàn với chu kì T       Hàm đồng biến khoảng    k ;  k    Đồ thị nhận đường thẳng x    k , k  làm đường tiệm cận Đồ thị y  - - -2 -5 -3 2 2 5 3  x 2 O Hàm số y  cot x Tập xác định : D  \ k , k   Tập giá trị: Là hàm số lẻ Là hàm số tuần hoàn với chu kì T   Hàm nghịch biến khoảng  k ;   k  Đồ thị nhận đường thẳng x  k , k  Đồ thị làm đường tiệm cận y  - - -2 -5 -3 2 Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân 2 5 3  2 x O Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Hàm Số Lượng Giác B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng Tập xác định tập giá trị hàm số Phương pháp Để tìm tập xác định hàm số ta dựa vào khái niệm sau: Tập xác định hàm số y  f  x  D   x  f  x    Tập xác định hàm số bản: Hàm số y  f ( x) có nghĩa  f ( x)  f ( x) tồn có nghĩa  f ( x)  f ( x) tồn f ( x) sin u ( x)   u ( x)  k , k  Hàm số y  cos u ( x)   u ( x)    k , k   y  tan  f  x   xác định  f  x  xác định f  x    k ,  k  y  cot  f  x   xác định  f  x  xác định f  x   k ,  k    1  sin x, cos x  Bài tập minh họa Bài tập Tập xác định hàm số y  A D  C D     \   k 2 , k        \   k 2 , k     sin x  cos x  cos x   2cos x  1 B D  D D     \    k , k        \    k , k     Lời giải Bài tập Tập xác định hàm số y  A D  \   k 2 , k  C D     \ k , k      1    sin x cos x  tan  x      2    B D  \ k , k   D D  \ k , k      Lời giải Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương I-Bài Hàm Số Lượng Giác Bài tập Tìm tập xác định hàm số sau:  1) y  tan( x  ) 2) y  cot ( 2  x) Lời giải Bài tập Tìm tập xác định hàm số sau: tan x  1) y   cot(3x  ) sin x  2) y  tan x sin x  cos 3x Lời giải 10 Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Amsterdam Chương I-Bài Một Số Phương Trình Lượng Giác Thi Đại Học Bài tập 11 Giải phương trình lượng giác sau: 2sin 2 x  sin x   sin x (ĐH khối B năm 2007) Lời giải x x  Bài tập 12 Giải phương trình lượng giác sau:  sin  cos   cos x  2 2  (ĐH khối D năm 2007) Lời giải Bài tập 13 Giải phương trình lượng giác sau: 1  7    4sin   x  a) 3  sin x    sin  x     b) sin x  cos3 x  sin x cos x  sin x cos x c) 2sin x 1  cos x   sin x   2cos x (ĐH khối A năm 2008) (ĐH khối B năm 2008) (ĐH khối D năm 2008) Lời giải 202 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Amsterdam Chương I-Bài Một Số Phương Trình Lượng Giác Thi Đại Học 203 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Amsterdam Chương I-Bài Một Số Phương Trình Lượng Giác Thi Đại Học Bài tập 14 Giải phương trình lượng giác sau (1  2sin x) cos x a)  (1  2sin x)(1  sin x) b) sin x  cos x sin x  cos3x  2(cos x  sin x) c) cos x  2sin x cos x  sin x  (ĐH khối A năm 2009) (ĐH khối B năm 2009) (ĐH khối D năm 2009) Lời giải 204 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Amsterdam Chương I-Bài Một Số Phương Trình Lượng Giác Thi Đại Học Bài tập 15 Giải phương trình lượng giác sau :   (1  sin x  cos x) sin  x   4   cos x a) (ĐH khối A năm 2010)  tan x b) (sin x  cos x) cos x  2cos x  sin x  (ĐH khối B năm 2010) c) sin x  cos x  3sin x  cos x 1  (ĐH khối D năm 2010) Lời giải 205 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Amsterdam Chương I-Bài Một Số Phương Trình Lượng Giác Thi Đại Học Bài tập 16 Giải phương trình lượng giác sau:  sin x  cos x  sin x sin x a) (ĐH khối A năm 2011)  cot x b) sin x cos x  sin x cos x  cos x  sin x  cos x (ĐH khối B năm 2011) sin x  cos x  sin x  c) (ĐH khối D năm 2011)  tan x  Lời giải 206 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Amsterdam Chương I-Bài Một Số Phương Trình Lượng Giác Thi Đại Học Bài tập 17 Giải phương trình lượng giác sau: a) sin x  cos x  cos x  b) 2(cos x  sin x) cos x  cos x  sin x  (ĐH khối A năm 2012) (ĐH khối B năm 2012) c) sin 3x  cos 3x  sin x  cos x  cos x (ĐH khối D năm 2012) Lời giải Bài tập 18 Giải phương trình lượng giác sau:   a)  tan x  2 sin  x    4  b) sin x  2cos x  c) sin 3x  cos x  sin x  Lời giải 207 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân (ĐH khối A năm 2013) (ĐH khối B năm 2013) (ĐH khối D năm 2013) Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Amsterdam Chương I-Bài Một Số Phương Trình Lượng Giác Thi Đại Học Bài tập 19 Giải phương trình lượng giác sau sin x  4cos x   sin x (ĐH khối A năm 2014) Lời giải 2(sin x  2cos x)   sin x (ĐH khối B năm 2014) Lời giải Bài tập 20 Giải phương trình lượng giác sau 208 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Amsterdam Chương I-Bài Một Số Phương Trình Lượng Giác Thi Đại Học Bài tập 21 Giải phương trình: 2sin x  7sin x   (TN THPT QG năm 2016) Lời giải Bài tập 22 Giải phương trình lượng giác sau: cos x cos3x  sin x sin x  sin x sin x  Lời giải Bài tập 23 Giải phương trình lượng giác sau: cos x cos x cos 3x  sin x sin x sin 3x   209 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Amsterdam Chương I-Bài Một Số Phương Trình Lượng Giác Thi Đại Học Lời giải Bài tập 24 Giải phương trình lượng giác sau: cot x  cos x  sin x  sin x cot x  cos x cot x Lời giải Bài tập 25 Giải phương trình lượng giác sau sin x cos x  sin x cos x  cos x  sin x  cos x Lời giải 210 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Amsterdam Chương I-Bài Một Số Phương Trình Lượng Giác Thi Đại Học Bài tập 26 Giải phương trình lượng giác sau  3sin x  sin x  3cos x  cos x Lời giải Bài tập 27 Giải phương trình lượng giác sau 2sin x  cos x  cos x  Lời giải 211 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Amsterdam Chương I-Bài Một Số Phương Trình Lượng Giác Thi Đại Học Bài tập 28 Giải phương trình lượng giác sau 2cos x cos x cos3x   7cos x Lời giải Bài tập 29 Giải phương trình lượng giác sau sin x(4 cos x  1)  cos x(sin x  cos x  sin x) Lời giải Bài tập 30 Giải phương trình lượng giác sau cos x  3(sin x  sin x)  4cos x cos x  2cos x   Lời giải 212 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Amsterdam Chương I-Bài Một Số Phương Trình Lượng Giác Thi Đại Học Bài tập 31 Giải phương trình lượng giác sau (sin x  cos x)  2sin x       sin   x   sin   3x      cot x  4  4  Lời giải 213 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Amsterdam Chương I-Bài Một Số Phương Trình Lượng Giác Thi Đại Học 1 15cos x    2 2cot x  tan x   sin 2 x Lời giải Bài tập 32 Giải phương trình lượng giác sau   sin  x    4    cos x  sin  x    Bài tập 33 Giải phương trình lượng giác sau tan x  4  Lời giải 214 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Amsterdam Chương I-Bài Một Số Phương Trình Lượng Giác Thi Đại Học Bài tập 34 Giải phương trình lượng giác sau  3    3sin x cos   x   sin   x  cos x  sin x cos x  3sin x cos x   2  Lời giải Bài tập 35 Giải phương trình lượng giác sau (2sin x  1)(cos x  sin x)  2sin x  6sin x   cos x   cos x  215 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Amsterdam Chương I-Bài Một Số Phương Trình Lượng Giác Thi Đại Học Lời giải 216 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880