NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng Chun đề: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Nội dung dạng tốn xoay quanh tốn ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng với giả thiết tốn cho đồ thị hàm liên quan Dạng Sử dụng định nghĩa xác định cơng thức diện tích Dạng Dựa vào điểm đồ thị qua xác định hàm số đến cơng thức tính NHĨM TỐN VD – VDC I MỘT SỐ DẠNG TOÁN Dạng Dựa vào tâm đối xứng, trục đối xứng đồ thị xác định hàm số đến cơng thức tính Dạng Dựa vào tiếp tuyến đồ thị xác định hàm số đến cơng thức tính Dạng Biến đổi đồ thị đưa tính tốn đơn giản Dạng Tính diện tích dựa vào việc chia nhỏ hình Dạng Tốn thực tế với giả thiết có đồ thị hàm liên quan NHĨM TỐNVD – VDC https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng II BÀI TẬP MINH HỌA 1) Dạng Sử dụng định nghĩa xác định cơng thức diện tích Câu 1: (Đề THPT QG 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục  Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn NHĨM TỐN VD – VDC đường y  f x , y  0, x  1 x  (như hình vẽ bên) y y=f(x) -1 O x Mệnh đề sau đúng? 1 A S   f (x )dx  f (x )dx C S  1 B S   f (x )dx  f (x )dx  f (x )dx  f (x )dx 1 1 1 D S   f (x )dx  f (x )dx Lời giải Chọn C Ta có S  1 f (x ) dx   f x  dx  1 1  f x  dx   f x  dx Câu 2: Cho đồ thị hàm số y  f (x ) 0;  hình vẽ   NHĨM TỐNVD – VDC  y (S1) O (S3) (S2) x Biểu thức có giá trị lớn nhất? A  f (x )dx B  f (x )dx C  f (x )dx D  f (x )dx Lời giải Chọn D https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng Dễ thấy S  S Mà S1   f (x ), S   f (x ), S  8  f (x ) , nên  f (x )dx  S  S2  S lớn  f 2 dx 13 hình vẽ Biết S1  S  ; S  S  , tích phân I  384 x x 1 y y=f(x) S1 -1 A I   ln B I  O 47 64 S2 S3 C I  S4 x D I   81 128 ln Đổi cận: x  1  t  dt t ln ; x 1t 2 2 1  1  81  I   f dx  f t dt  S3  S4       f t dt   f t dt    ln 1/2 ln 1/2 128 ln  ln 1 1 x   x Câu 4: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức sau đây? https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐNVD – VDC Lời giải Chọn D Đặt t  2x  dt  2x ln 2dx  dx  NHĨM TỐN VD – VDC Câu 3: Cho hàm số y  f x  liên tục  có đồ thị tạo với trục hồnh miền có diện tích S1, S , S 3, S NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng y     x  x  x  4 dx 1 B 1    x  x  x  1 dx 1 D A     x 1 C x O   x 1 NHĨM TỐN VD – VDC -1   x  x  1 dx    x  x  4 dx  Lời giải Chọn B Từ hình vẽ ta thấy phần diện tích hình phẳng cần tính hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm 3 x  ; y  g x   x  x  hai đường thẳng x  1; x  2 2 Ngoài ta thấy đường y  f x  nằm đường y  g x  đoạn 1;2 nên ta có diện tích   phần gạch chéo hình vẽ là: S  3      x    2 x  x  dx  1      x 1   x  x  1 dx  NHĨM TỐNVD – VDC số: y  f x   Câu 5: Cho hình phẳng H  giới hạn đồ thị hai hàm số y  f1 x  y  f2 x  liên tục đoạn a; b  hai đường thẳng x  a , x  b (tham khảo hình vẽ dưới) Cơng thức tính diện tích hình H    y y=f1(x) y=f2(x) O https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc a c1 c2 b x Trang NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng A S   f x   f x  dx a B S  b  f x   f x  dx a D S  b   f x   f x  dx a b b  f x  dx   f x  dx a a Lời giải Chọn A Theo định nghĩa ứng dụng tích phân tích diện tích hình phẳng Câu 6: Cho hàm số y  f x  xác định liên tục đoạn 3; 3 có đồ thị hình vẽ Biết diện   tích hình phẳng S1; S giới hạn đồ thị hàm số y  f x  đường thẳng d a;b Tính tích phân NHĨM TỐN VD – VDC C S  b  f 3x dx 1 y y=f(x) -3 O S1 -2 S2 -4 a b A    3 B a b   3 x a b C    3 Lời giải d D a b   3 Chọn A Đặt t  3x  dt  3dx  dx  dt 3 1  f 3x dx   f t dt   f x dx 1 3 3 Gọi phương trình đường thẳng d y  g x  Ta có https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐNVD – VDC -1 NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng 1 3 3  1 2.2  2.2   f x dx  a  2 3 3   g x dx   f x dx  a  f x   g x dx  b     1  f x dx  a NHĨM TỐN VD – VDC  g x   f x dx  a    3 1  f x dx   4.4  2.2  b   2  f x dx  b  Do  1 f 3x dx  3  1    a  b  6   a  b  f x dx  f x dx  f x dx            3  3 3   Câu 7: Cho hàm số y  f (x ) liên tục  có đồ thị C  đường cong hình bên Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị C  , trục hoành hai đường thẳng x  0, x  (phần tô màu) y A S   f (x )dx   f (x )dx C S  B S   f (x )dx D S   NHĨM TỐNVD – VDC O x f (x )dx   f (x )dx  f (x )dx Lời giải Chọn B Diện tích S hình phẳng cần tìm là: S   f x dx Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f x   0, x   0;2 có nghiệm x    https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng Do S   f x  dx   f x  dx Vậy S  NHĨM TỐN VD – VDC Dựa vào đồ thị ta thấy f x   0, x  0;1 f x   0, x  1;2      f x  dx   f x dx Câu 8: Cho hàm số y  f x  liên tục a;b  , có đồ thị hình vẽ sau:   y O B A P M b N a x Mệnh đề đúng? b A  a b C  a f  x  dx diện tích hình thang ABMN f  x  dx dộ dài đoạn MN b B  f  x  dx dộ dài đoạn BP a b D  f  x  dx dộ dài đoạn cong AB a NHĨM TỐNVD – VDC Lời giải Chọn B b  f  x  dx  f x  a b a  f b   f a   BM  PM  BP   Câu 9: Cho hàm số y  f x  liên tục  hàm số y  g x   x f x có đồ thị đoạn 0;2 hình vẽ bên Biết diện tích miền tơ màu   S  Tính tích phân I  C I  10 A I  y  f x  dx y=g(x) D I  B I  S Lời giải Chọn D Quan sát đồ thị ta thấy g x   0, x  1;2   https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc O x Trang NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng y NHĨM TỐN VD – VDC y=g(x) S O Từ giả thiết ta có S  I   g x  dx   2  x g x  dx   x f x  dx  2 Đặt x  t  2x dx  dt Khi x   t  , x   t      x f x dx  f t  dt    2  f t  dt    f x  dx   I Câu 10: Cho hàm số y  f x  xác định liên tục tập số thực Miền hình phẳng hình vẽ giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  trục hồnh đồng thời có diện tích S  a Biết b f 3  c Tính  f x dx NHĨM TỐNVD – VDC  2x  1f  2x dx  y y=f'(x) O A a  b  c B a  b  c C a  b  c Lời giải x D a  b  c Chọn A Đặt t  2x  dt  2dx https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng  b 2x  1f ' 2x dx    t  1f  t dt  1 0  t  1f  t dt  b   x  1f  x dx  b  x  1f  x dx  b  x  1 f x  Ta lại có a   1   f x dx  NHĨM TỐN VD – VDC u  x  du  dx Đặt    dv  f  x dx v  f x     f x dx  2f 1  f 0  b f  x dx   f  x dx  a  f 1  f 0  f 1  f 3  f 1  f 0  a  c 1  f x dx  2f 1  f 0  b  a  b  c Do Câu 11: Cho hàm số y  f x  có đạo hàm liên tục  Đồ thị hàm số y  f ' x  hình bên Biết diện tích hình phẳng H  A I  24 19 f 1  ; f 2   Tính I  12 B I  13 C I   f ' 2x dx  13 y D I  26 NHĨM TỐNVD – VDC y=f'(x) (K) -1 O x (H) Lời giải Chọn A I    2 Ta có 0 1 f ' 2x dx    I   f ' t dt   f ' x dx 1 1 t 2 x dt 2dx  1 f ' x dx   1 f ' x dx   f ' x dx  f 2  f 1  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc  f ' x dx  1 Trang NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng 19    12  f ' x dx  1  f ' x dx  12 1 Do I  f ' x dx   1 24 Câu 12: Cho hàm số y  f x  xác định liên tục  có đồ thị hình vẽ bên Biết diện tích hình phẳng A, B , C  giới hạn đồ thị hàm số f x  trục hoành  15 f 2x  4  3x 124 37 53 ; ; Tích phân 15 60 60   dx NHĨM TỐN VD – VDC  0 y y=f(x) (B) -2 O (C) x (A) B 437 C 293 D Lời giải NHĨM TỐNVD – VDC A 28 158 15 Chọn A   Tính  15 f 2x  4  3x  dx  3 15 f (2x  4)d (2x  4)   (3x  5)dx  1 15  f x dx  36  2 2  15  124 37 53  15 15      Mà f x dx  f ( x ) dx  f ( x ) dx  f ( x ) dx        15  60  60   64  2 2  2  Vậy  15f 2x  4  3x   dx  64  36  28 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10 NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng   3x  14 ,    2 Ta tính được: f  x     x  ,  3   x  2x  3,     f 1  f 4  1  4 4  5 f  x dx  f  x dx  f  f 1   f  x dx  f 2  f 0  f  x dx  1  1  3x  14dx   f 4  f 5  (1) 5 (3)  x  x  5  f 0  f 1  (4) 3  22 22 (5)  f 2  f 0  3  2x  dx   2x  dx  1 4    x  dx   f 1  f 4  (2)    3  4 x  1 1 Từ (1) (2)  f 1  f 5    x  1 NHÓM TỐN VD – VDC Ta có f 4  f 5    x  4 Mà f 0  (6) Do đó: f 5  f 2  NHĨM TỐNVD – VDC 22 31 Từ (3),(4),(5),(6)  f 1   , f 2  , f 5   3 35 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 44 NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng 7) Dạng Tốn thực tế với giả thiết có đồ thị hàm liên quan Câu 1: (Đề tham khảo THPT QG 2019) Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A1, A2 , B1, B2 hình vẽ bên Biết chi phí để sơn phần tô đậm 200.000 vnđ / m2 phần lại 100.000 vnđ / m2 MNPQ hình chữ nhật có MQ  3m ? B2 M N A2 A1 NHĨM TỐN VD – VDC Hỏi số tiền để sơn theo cách gần với số tiền đây, biết A1A2  8m , B1B2  6m tứ giác P Q B1 A 5.526.000 đồng B 5.782.000 đồng C 7.322.000 đồng Lời giải D 7.213.000 đồng Chọn C y B2 M O A2 NHĨM TỐNVD – VDC A1 N x P Q B1 Gọi phương trình tắc elip E  có dạng: x y2  1 a b2 A A   2a a  x y2 Với     E  :  1y  16  x B1B2   2b b  16     Suy diện tích hình elip SE   a.b  12 m2  3 Vì MNPQ hình chữ nhật MQ   M x ;   E      x2 3  3    x  12  M 2 3;  ; N 2 3;   16    https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 45 NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng Gọi S1; S diện tích phần bị tơ màu khơng bị tơ màu Ta có S  4 4 16  x dx      Đặt x  sin t ta tính S  4  m Suy S1  SE   S  8  Gọi T tổng chi phí Khi ta có     T  4  100  8  200  7.322.000 (đồng) Câu 2: Sàn viện bảo tàng mỹ thuật lát viên gạch hình vng cạnh 40 (cm)   hình bên Biết người thiết kế sử dụng đường cong có phương trình y  2x x   y để tạo hoa văn cho viên gạch Diện tích tơ đậm gần với giá trị đây? B 747(cm2) A 506 (cm2) C 507(cm2) D 746(cm2) NHĨM TỐN VD – VDC 16  x dx Lời giải Chọn B NHĨM TỐNVD – VDC y O x Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ Diện tích phần tô đậm 1  S    2x  dx          2x  x  13 dx   112 dm  747 cm  15    https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc     Trang 46 NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng Câu 3: (Đề thi thử THPT QG Bắc Ninh lần năm 2017) Một xưởng sản xuất gỗ muốn thiết kế có hình dạng phần hình elip có kích thước giống hình bên Biết miếng gỗ dày 2cm Thể tích miếng gỗ cho tính theo cm nằm khoảng nào? B 1170;1180 C 2240;2250 NHĨM TỐN VD – VDC A 2340;2350 D 1200;1210 Lời giải Chọn A B y M O A 10 12,5 x 25 NHÓM TỐNVD – VDC Chọn hệ tọa độ hình vẽ, Elip qua điểm B 0;12, 5, M 25;10 ta có 252 100 253    a  a2 12, 52 Ta phương trình Elip: x2 y2 x2    y  12,  253 12, 52 253 9 25 x2 dx  23, 406  V  2340, 253 Câu 4: Một mặt bàn hình elip có chiều dài 120cm , chiều rộng là 60cm Anh Phượng muốn gắn đá hoa cương dán gạch tranh mặt bàn theo hình (phần đá hoa cương bên ngồi điểm nhấn bên tranh gồm miếng gạch với kích thước miếng 25cm  40cm ) Biết đá hoa cương có giá tranh gạch có giá 300.000 vnđ/bộ Hỏi số tiền để gắn đá hoa cương dán gạch tranh theo cách gần với số tiền đây? Diện tích bề mặt miếng S   12,  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 47 NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng B 610.000 đồng C 639.000 đồng Lời giải NHÓM TOÁN VD – VDC A 519.000 đồng D 279.000 đồng Chọn A Gọi phương trình tắc elip E  có dạng: x y2  1 a b2 0,6 SE    0,6 0, 36  x dx  2   0, 36  x dx  0,18 m Gọi S ; S diện tích phần đá hoa cương tranh   Ta có S  2x0,25x0,  0,2 m   Suy S1  SE   S  0,18  0,2 m Gọi T tổng chi phí Khi ta có T  0,18  0,2.600000  300000  519.000 (đồng) NHĨM TỐNVD – VDC A A  1,  2a a  0, x2 y2 Với     E  :  1y  0, 36  x B1B2  0,  2b b  0, 0, 36 0, 09   Suy diên tích hình elip là: Câu 5: Một mặt bàn hình elip có chiều dài 120cm , chiều rộng 60cm Anh Hải muốn gắn đá hoa cương cho mặt bàn theo hình (phần đá hoa cương trắng phần đá hoa cương màu vàng), biết phần màu vàng elip có chiều dài 100cm chiều rộng 40cm Biết đá hoa cương màu trắng có giá 600.000 vnđ / m đá hoa cương màu trắng có giá 650.000 vnđ / m Hỏi số tiền để gắn đá hoa cương theo cách gần với số tiền đây? https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 48 NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng B 339.000 đồng C 368.000 đồng Lời giải NHÓM TOÁN VD – VDC A 355.000 đồng D 353.000 đồng Chọn A y B2 B'2 A1 A'1 O A'2 A2 x B'1 B1 x y2  1 a b2 A A  1,  2a a  0, x2 y2 Với  0, 36  x    EL  :  1y  B1B2  0,  2b b  0, 0, 36 0, 09   Suy diện tích hình elip lớn là: 0,6 SE    L 0,6 0, 36  x dx     0, 36  x dx  0,18 m A ' A '   2a a  0, x2 y2 Với     EN  :  1y  0,25  x B1 ' B2 '  0,  2b b  0,2 0,25 0, 04   Suy diện tích hình elip nhỏ là: 0,5 0,5 SE    0,25  x dx   N 5 0 NHĨM TỐNVD – VDC Gọi phương trình tắc elip E  có dạng:   0, 25  x dx  0,1 m Gọi S 1; S diện tích phần gắn đá hoa cương màu trắng phần gắn đá hoa cương màu   vàng Ta có S  SE   0,1 m N Suy S1  SE   SE   0,18  0,1  0, 08 Gọi T tổng chi phí Khi ta có L N T  0, 08.600000  0,1.650000  355.000 (đồng) Câu 6: Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A1, A2 , B1, B2 hình vẽ bên https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 49 NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng B2 M N B1 Người ta chia elip Parabol có đỉnh B1 , trục đối xứng B1B2 qua điểm M , N Sau sơn phần tơ đậm với giá 200.000 đồng/ m2 trang trí đèn led phần cịn lại với giá 500.000 đồng/ m Hỏi kinh phí sử dụng gần với giá trị đây? Biết A1A2  m , B1B2  m , MN  m A 2.431.000 đồng C 2.760.000 đồng B 2.057.000 đồng NHĨM TỐN VD – VDC A2 A1 D 1.664.000 đồng Lời giải Chọn A y M B2 O A1 -2 N x A2 -1 B1 A2 2; 0, B1 0; 1 , B2 0;1 + Phương trình đường Elip E  : x y2 x2    y   1 4      + Ta có M 1; , N 1;   E      + Parabol P  có đỉnh B1 0; 1 trục đối xứng Ox nên P  có phương trình y  ax  1, a  0  P  qua M , N  a      1 x   P  có phương trình y     + Diện tích phần tô đậm    x  S1  2.     1 x  1 dx      https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc  1 2    x dx    1    Trang 50 NHĨM TỐNVD – VDC + Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho O trung điểm A1A2 Tọa độ đỉnh A1 2; 0, NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng     Đặt x  sin t, t   ;   dx  cos t dt Đổi cận: x   t  0; x   t   2       3 4  sin2 t cos t dt    1   4. cos2 t dt    3   NHĨM TỐN VD – VDC  S1     4      2. 1  cos 2t  dt     2t  sin 2t   3 3 + Diện tích hình Elip S  ab  2 5   + Kinh phí sử dụng là: 200000S1  500000S2  2431000 (đồng)  Diện tích phần cịn lại S  S  S1  Câu 7: Một người định xây non cách vẽ đường trịn bán kính 2m mặt đất sau lấy tâm đường trịn làm tâm hình vng cạnh 2m hình vẽ Phần S1 (tất phần màu trắng) xây thành bể để xếp non thả cá, phần S , S để trồng hoa Tính diện tích trồng hoa S1 S3 S2 NHĨM TỐNVD – VDC A 3, 65m B 3, 56m C 4, 65m D 4, 56m Lời giải Chọn A https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 51 NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng y S2 S1 -1 NHĨM TỐN VD – VDC S3 O x -1 Chọn gốc tọa độ trùng với tâm đường trịn, phương trình đường trịn tâm O bán kính x  y2   y    x   Diện tích hình vng m  Diện tích hình trịn 4 m 2 Các cạnh hình vng nằm đường thẳng y  1, x  1 Phương trình hồnh độ giao điểm đường tròn đường thẳng y  x2   x    S1           x  dx NHĨM TỐNVD – VDC Diện tích phần bể ngồi hình vng 2  x  dx   Diện tích phần trồng hoa S  S  4  S1  3, 65 m Câu 8: Nhà ông An có khn viên dạng nửa hình trịn có đường kính 5(m ) Ơng An muốn thiết kế khuôn viên phần để lát gạch Ý (phần tơ đậm) hai phần cịn lại để trồng hoa Nhật Bản ( phần không tô màu) Phần tô đậm có dạng cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình trịn hai đầu mút cánh hoa nằm nửa đường tròn, cách khoảng (m) Biết kích thước cho hình vẽ, kinh phí để trồng hoa Nhật Bản 150.000 đồng / m2 kinh phí để lát gạch Ý 250.000 đồng/ m2 Hỏi kinh phíơng An để làm cơng trình gần với kết sau đây? 4m 4m A 5.916.400 đồng B 5.906.400 đồng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc 4m C 5.609.400 đồng Lời giải D 5.906.500 đồng Trang 52 NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng Chọn B y (P) NHĨM TỐN VD – VDC M O x Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ Khi phương trình nửa đường trịn là: y  R2  x    2  x  20  x Phương trình Parabol (P ) có đỉnh gốc O có dạng y  ax Mặt khác (P ) qua điểm M (2; 4) nên  a.(2)2  a  Gọi S1 phần diện tích hình phẳng hạn (P ) nửa đường trịn ( phần tơ màu) Diện tích phần lát gạch Ý khuôn viên là: S1  ( 2 20  x  x ).dx  11, 940 Phần diện tích trồng cỏ Nhật Bản khn viên là: NHĨM TỐNVD – VDC 1 S  Shinh tron  S  (2 5)2   ( 20  x  x )dx  19, 476 2 2 Vậy số tiền cần có là: T  250.000.S1  150.000.S2  5.906.400 (đồng) Câu 9: Một cổng hình parabol hình vẽ Chiều cao GH  4m , chiều rộng AB  4m , AC  BD  0, 9m Chủ nhà làm hai cánh cổng đóng lại hình chữ nhật CDEF tơ đậm giá 1200000 đồng/m2, phần để trắng làm xiên hoa có giá 900000 đồng/m2 G E F A C H D B Hỏi tổng chi phí để hai phần nói gần với số tiền đây? A 11445000 (đồng) B 7368000 (đồng) C 4077000 (đồng) Lời giải https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc D 11370000 (đồng) Trang 53 NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng Chọn A Gắn hệ trục tọa độ Oxy cho AB trùng Ox , A trùng O parabol có đỉnh G 2; 4 y NHĨM TỐN VD – VDC qua gốc tọa độ G E F 0,9 O A C H 3,1 D B x y=-x2+4x Gọi phương trình parabol y  ax  bx  c   c0 a  1       b  Do ta có  2  b    2a     22 a  2b  c   c     NHÓM TỐNVD – VDC Nên phương trình parabol y  f (x )  x  4x Diện tích cổng S    x3  (x  4x)dx    2x     32  10, 67(m ) Do chiều cao CF  DE  f 0, 9  2, 79(m ) CD   2.0,  2,2 m    Diện tích hai cánh cổng SCDEF  CD.CF  6,138  6,14 m Diện tích phần xiên hoa S xh  S  SCDEF  10, 67  6,14  4, 53(m ) Nên tiền hai cánh cổng 6,14.1200000  7368000 đ  tiền làm phần xiên hoa 4, 53.900000  4077000 đ  Vậy tổng chi phí 11445000 đồng https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 54 NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng A 13.265.000 đồng B 12.218.000 đồng C 14.465.000 đồng Lời giải NHĨM TỐN VD – VDC Câu 10: Bồn hoa trường X có dạng hình trịn bán kính 8m Người ta chia bồn hoa thành phần hình vẽ có ý định trồng hoa sau: Phần bên hình vuông ABCD để trồng hoa Phần phần gạch xọc dùng để trồng cỏ Ở góc cịn lại góc trồng cọ Biết AB  4m , giá trồng hoa 200.000 đ/m2, giá trồng cỏ 100.000 đ/m2, cọ giá 150.000 đ Hỏi cần tiền để thực việc trang trí bồn hoa (làm trịn đến hàng nghìn) D 14.865.000 đồng Chọn A y NHĨM TỐNVD – VDC O x Chọn hệ trục tọa độ cho gốc tọa độ trùng với tâm hình trịn, suy phương trình đường tròn là: x  y  64   + Diện tích hình vng ABCD là: S ABCD    16 m https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 55 NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng  Số tiền để trồng hoa là: T1  16  200.000  3.200.000 (đồng) 2     64  x  dx  94, 654 m  Số tiền trồng cỏ là: T2  94, 654  100.000  9.465.000 (đồng) + Số tiền trồng cọ là: T3  150.000   600.000 (đồng) Vậy tổng số tiền để thực việc trang trí bồn hoa là: T  T1  T2  T3  13.265.000 (đồng) Câu 11: Người ta lát gạch trang trí mảnh sân hình chữ nhật hình đây, P1 , P2  NHĨM TỐN VD – VDC + Diện tích trồng cỏ là: S   parabol giống nhau, C  đường trịn có tâm trùng với tâm mảnh sân có điểm chung với parabol đỉnh parabol Tính làm trịn đến hai chữ số thập phân diện tích phần lát gạch mảnh sân trường hợp diện tích hình trịn bao C  lớn B 10,12 C 9,18 D 11, 45 Lời giải Chọn A Đặt C  P1  vào mặt phẳng Oxy cho C  có tâm O bán kính r r  0 hình đây: https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 56 NHĨM TỐNVD – VDC A 8, 39 NHĨM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng y 4a-r O -r NHĨM TỐN VD – VDC r M S x Lúc ta có C  : x  y  r , P  : y  ax  r (a  0) x  y  r  Do C  P1  có điểm chung đỉnh P1  nên hệ phương trình  y  ax  r    có nghiệm 0;  r (*)  x      2 2    x  y  r x  a x  2arx  r  r  2ar  Do     x  nên (*)  r  2 y  ax  r   2a y  ax  r a         y  ax  r      r  r    2r    2a Do M 2;   P1  nên a  Tức  Từ tìm      r  r  a  a    8    r  Do hình trịn có diện tích lớn nên  Lúc P1  cắt tia Ox điểm có hồnh độ   a        1 Diện tích cần tính     4S    x  dx  8, 39     2 2   NHĨM TỐNVD – VDC Câu 12: Cho mơ hình  D mơ đường hầm Biết đường hầm mơ hình có chiều dài cm ; cắt hình mặt phẳng vng góc với đáy nó, ta thiết diện hình parabol có độ dài đáy gấp đơi chiều cao parabol hình vẽ Chiều cao thiết diện parobol cho công thức y   x cm , với x cm khoảng cách tính từ lối vào lớn đường hầm mơ hình Tính thể tích (theo đơn vị cm ) khơng gian bên đường hầm mơ hình (làm trịn kết đến hàng đơn vị) https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 57 NHÓM TỐN VD–VDC Sử dụng tính chất đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng h NHĨM TỐN VD – VDC h h 5m A 29 C 31 Lời giải B 27 D 33 Chọn A y h h O x Xét thiết diện parabol có chiều cao h độ dài đáy 2h chọn hệ trục Oxy hình vẽ Parabol P  có phương trình y  ax  h, a  0  h  h    4  4h Diện tích S thiết diện: S    x  h  dx  , h   x  S x   3  x   h    h h Suy thể tích khơng gian bên đường hầm mơ hình: V  5 0  S x  dx     3  x  dx  28, 888  V  29 cm 3  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc   Trang 58 NHÓM TỐNVD – VDC   Ta có B h;  P    ah  h  a  