QUAN HỆ SONG SONG QUAN HỆ SONG SONG PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP I - HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng chéo a, b Phương pháp: Để chứng minh hai đường thẳng phản chứng chéo nhau, ta thường sử dụng phương pháp chứng minh ( P)  Bước : Giả sử a, b không chéo nhau, tức có mặt phẳng  Bước : Suy kết luận vô lý, trái giả thiết chứa a b a, b  Bước : Kết luận hai đường thẳng Bài 1: Cho tứ diện ABCD M, N Gọi phân biệt thuộc đường thẳng MP, NQ CD chéo AB P, Q hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng hai điểm MQ, NP Xét vị trí tương đối hai đường thẳng hai đường thẳng Lời giải : MQ, NP Giả sử ⇒ MQ không chéo tức đồng phẳng M , N , P, Q điểm ⇒ AB đồng phẳng PQ ⇒ MN và đồng phẳng CD đồng phẳng ( Vô lý ) PQ ⇒ MN chéo MP, NQ Giả sử ⇒ NP không chéo tức MP NQ đồng phẳng M , N , P, Q điểm ⇒ MP đồng phẳng NQ NHÓM đồng phẳng QUAN HỆ SONG SONG ⇒ AB CD đồng phẳng ( Vô lý ) NQ ⇒ MP chéo a, b Bài : Cho hai đường thẳng C , D biệt a Chứng minh b c M O AC BD chéo Trên a A, B lấy hai điểm phân biệt , b lấy hai điểm phân chéo AC N BD MN AB điểm cạnh , điểm cạnh có song song với hay không ? điểm đoạn MN Chứng minh AO cắt CN Lời giải : a Giả sử AC ⇒ điểm ⇒ AC BD đồng phẳng đồng phẳng CD BD MN / / AB ⇒ không chéo tức AC A, C , B, D ⇒ AB b Nếu BD đồng phẳng ( Vơ lý a, b chéo ) chéo MN AB đồng phẳng M , N , A, B điểm ⇒ AM ⇒ AC ⇒ MN và đồng phẳng BN BD đồng phẳng đồng phẳng ( Vô lý ) không song song với AB c Ta có : NHĨM QUAN HỆ SONG SONG O ∈ MN ⇒ O ∈ ( CMN ) A ∈ CM ⇒ A ∈ ( CAN ) ⇒ A ∈ ( CMN ) ⇒ AO AO CN đồng phẳng song song với CN Thật vậy, AO / / CN ⇒ O Giả sử ⇒ AO CN nằm ngồi đoạn MN ( Vơ lý ) cắt Dạng : Chứng minh hai đường thẳng song song Phương pháp: *Để chứng minh hai đường thẳng song song ta sử dụng cách sau:  Chứng minh đường thẳng đồng phẳng, áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, )  Sử dụng tính chất bắc cầu chứng minh đường thằng phân biệt song song với đường thẳng thứ  Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng  Áp dụng định lí giao tuyến mặt phẳng Bài 3: Cho tứ diện ABCD I, J Gọi trọng tâm tam giác ABC ADC Chứng minh IJ / / BD Lời giải : Gọi E trung điểm Xét tam giác Xét tam giác NHĨM ABC ADC AC có có I J ⇒ BI = BE ⇒ DJ = DE trọng tâm trọng tâm QUAN HỆ SONG SONG ⇒ BI DJ = = BE DE Xét tam giác BED có : BI DJ = ⇒ IJ / / BD BE DE S ABCD ABCD SC M Bài 4: Hình chóp , đáy hình bình hành Lấy điểm thuộc cạnh Mặt phẳng ( ABM ) SD N NM / / CD cắt điểm Chứng minh Lời giải : Ta có : ( AMB) ∩ ( SDC ) = M   AB ⊂ ( AMB )  ⇒ AB / / CD  CD ⊂ ( SDC )  ⇒ ( SDC ) ∩ ( SAB ) = Mx / / AB / /CD mà N ∈ SD ⇒ N ∈ ( SDC ) N ∈ ( ABM ) ⇒ N ∈ Mx ⇒ MN / /CD / / AB S ABCD ABCD M , N , P, Q có đáy hình bình hành Lấy Bài 5: Cho hình chóp SD, AD MN / / SB, NP/ / CD, MQ/ / AB cho BC , SC , PQ / / SA a) Chứng minh b) Gọi K giao điểm MN PQ Chứng SK / / AD / / BC Lời giải: a) Ta có : NHÓM QUAN HỆ SONG SONG DQ CM = (1) DA CB CM CN MN / / SB ⇒ = (2) CB CS CN DP NP / / CD ⇒ = (3) CS DS MQ / / AB ⇒ (1), (2), (3) ⇒ Từ DQ DP = ⇒ PQ / / SA DA DS b) ( SAD ) ∩ ( SBC ) = S   K ∈ MN ⇒ K ∈ ( SBC )  ⇒ SK = ( SAD ) ∩ ( SBC )  K ∈ PQ ⇒ K ∈ ( SAD )  Ta có : AD ⊂ ( SAD )   BC ⊂ ( SBC )  ⇒ SK = ( SAD ) ∩ ( SBC ) AD / / BC  ⇒ SK / / AD / / BC Bài 6: Cho hình chóp SA, SB trung điểm a Chứng minh b Tìm giao điểm c Kéo dài AN P S ABCD MN / / CD DP SC có đáy ABCD hình thang với cạnh đáy AB > CD M, N Gọi ( AND ) mặt phẳng cắt I Chứng minh SI / / AB / /CD Tứ giác SABI hình ? Lời giải: ( SAB ) a Trong M xét tam giác trung điểm NHĨM SAB có SA QUAN HỆ SONG SONG N trung điểm ⇒ MN SB đường trung bình tam giác Mặt khác, ABCD hình thang SAB ⇒ MN / / AB ⇒ AB / / CD ⇒ MN / /CD b Gọi E = AD ∩ BC ( SEB), SC ∩ EN = P ⇒ P ∈ ( AEN ) ⇒ P ∈ ( ADN ) ⇒ P = SC ∩ ( ADN ) Trong c AN ⊂ ( SAB )   DP ⊂ ( SDC )  ⇒ ( SAB ) ∩ ( SDC ) = I AN ∩ DP = I  ( SAB ) ∩ ( SDC ) = S Mặt khác ⇒ ( SAB ) ∩ ( SDC ) = SI Ta có :   AB ⊂ ( SAB )   CD ⊂ ( SDC )  ⇒ SI / / AB / /CD ( SAB ) ∩ ( SDC ) = SI   AB / /CD ⇒ MN / / AB, MN = ( SAB ) Trong Mà ,xét tam giác SAB có MN đường trung bình AB (1) AB / / SI ⇒ SI / / MN NHÓM QUAN HỆ SONG SONG Xét tam giác ( 2) (1) Từ SAI MN / / SI ⇒ có ⇒ SI / / AB, SI = AB ⇒ SABI hình bình hành Bài 7: Cho hình chóp Gọi MA MN 1 = = ⇒ MN = SI SA SI 2 I J S ABCD có đáy hình thang trọng tâm tam giác ( BCI ) SA, SD cắt mặt phẳng SAD ABCD với đáy , tam giác SBC AD BC AD =, BC = b có a>b với ( ADJ ) SB, SC cắt mặt phẳng M, N P, Q MN / / PQ a Chứng minh b Giả sử AM cắt BP EF/ / MN / / PQ a DN b E CQ F EF , cắt Chứng minh Tính theo Lời giải : a I ∈ ( IBC ) ∩ ( SAD )   AD / / BC   ⇒ ( SAD ) ∩ ( IBC ) = PQ AD ⊂ ( SAD )   BC ⊂ ( IBC )  I ∈ PQ với PQ / / AD / / BC Tương tự : J ∈ ( JAD ) ∩ ( SBC )   AD / / BC   ⇒ ( JAD ) ∩ ( SBC ) = MN AD ⊂ ( JAD )   BC ⊂ ( SBC )  với J ∈ MN MN / / AD / / BC MN / / PQ Do b Ta có : NHĨM ; QUAN HỆ SONG SONG E ∈ AM ⇒ E ∈ ( AMND )   ⇒ E ∈ ( AMND ) ∩ ( BPCQ ) E ∈ PQ ⇒ E ∈ ( BPCQ )  Ta lại có : F ∈ DN ⇒ F ∈ ( AMND )   ⇒ F ∈ ( AMND ) ∩ ( BPCQ ) F ∈ CQ ⇒ F ∈ ( BPCQ )  EF = ( AMND ) ∩ ( BPCQ ) Vậy Ta có : MN ⊂ ( AMND )   PQ ⊂ ( BPCQ )  ⇒ EF / / PQ / / MN  MN / / PQ  Gọi K = EF ∩ PC EK / / BC ⇒ Ta có Do Do I J Do Mà KE PE = BC PB trọng tâm tam giác trọng tâm tam giác SAD SBC PI / / AD ⇒ SP = AS MJ/ / BC ⇒ SM = AB và SP SM PE PM = = ⇒ PM / / AB ⇒ = SA AB EB AB PM SP = = AB SA Do PE EK PE PE 1 = ⇒ = = = = = EB EB BC PB PE + EB + 1+ PE NHÓM QUAN HỆ SONG SONG 2 BC = b ⇒ KF = a 5 ⇒ EF = EK + KF = (a + b) EK = Dạng 3: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng dựa vào quan hệ song song Thiết diện chứa đường thẳng // với đường thẳng cho trước Phương pháp: Sử dụng hệ định lý đường giao tuyến Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) có điểm chung M chứa hai đường thẳng song song d d ' giao tuyến (P) (Q) đường thẳng qua M song song với d d’ Bài 8: Hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình bình hành Xác định giao tuyến cặp mặt phẳng sau: a (SAB) (SCD) b (SAD) (SBC) Lời giải: a AB ⊂ ( SAB )   CD ⊂ ( SCD )   ⇒ ( SAB) ∩ ( SCD ) = Sx / / AB / / CD ( SAB ) ∩ ( SCD ) = S   AB / / CD  b AD ⊂ ( SAD )   BC ⊂ ( SBC )   ⇒ ( SAD) ∩ ( SBC ) = Sy / / AD / / BC ( SAD ) ∩ ( SBD ) = S   AD / / B C  Bài 9: Cho hình chóp S ABCD ABCD đáy hình thang với cạnh đáy SAB AD BC G trung điểm cạnh , trọng tâm tam giác ( SAB ) a Xác định giao tuyến hai mặt phẳng NHÓM AB CD I, J Gọi ( IJG ) QUAN HỆ SONG SONG b Tìm điều kiện AB CD ( IJG ) để thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng hình bình hành Lời giải : a Ta có ⇒ IJ ABCD I, J hình thang AD, BC trung điểm trung điểm đường trung bình hình thang ABCD ⇒ IJ / / AB Vậy G ∈ ( SAB ) ∩ ( IJG )   AB ⊂ ( SAB )   ⇒ ( SAB ) ∩ ( IJG ) = MN / /IJ / / AB IJ ⊂ ( IJG )   AB / /IJ  M ∈ SA, N ∈ SB với b Thiết diện hình chóp Gọi Do E G trung điểm Lại có Vì cắt mặt phẳng SAB MN / / AB ⇒ nên MNJI MN SG 2 = = ⇒ MN = AB SE 3 hình thang ⇔ MN = IJ ⇔ hình bình hành ABCD AB = ( AB + CD ) ⇔ AB = 3CD Bài 10: Cho tứ diện có cạnh BD KB = KD điểm cạnh cho NHÓM tứ giác MNJI ( AB + CD ) MN / / IJ MNJI ( IJG ) AB trọng tâm tam giác IJ = S ABCD 6a I, J Gọi AC , BC trung điểm Gọi K 10 QUAN HỆ SONG SONG ABCD a Xác định thiết diện tứ diện ( IJK ) với mặt phẳng Chứng minh thiết diện hình thang cân a b Tính diện tích thiết diện theo Lời giải a Ta có : AB ⊂ ( ABD )   IJ ⊂ ( IJK )   ⇒ Kx / / AB/ /IJ AB / /IJ  ( ABD ) ∩ ( IJK ) = Kx  Giả sử Kx ∩ AD = H Thiết diện tứ diện Ta có IJ / / KH ⇒ ABCD tứ giác ( IJK ) với mp IJKH IJKH hình thang ∆ACD = ∆BCD ( c − c − c ) ⇒ HI = JK Mặt khác ⇒ IJKH hình thang cân b Trong tam giác Trong tam giác Trong tam giác ABC ABD BJK IJ = ta có : ta có : AB = 3a HK KD 1 = = ⇒ HK = AB = 2a AB BD 3 , ta có BC = 3a 2 BK = BD = 4a BJ = Áp dụng định lý cosin, ta có : NHÓM 11 QUAN HỆ SONG SONG HK = BJ + BK − 2.BJ BK cosB = ( 3a ) + ( 4a ) − 2.(3a).(4 a) − 2.(3a).(4 a).cos 60 o ⇒ JK = 13a ⇒ JK = a 13 2 KP = JK − PJ = Xét hình thang IJKH, hạ đường cao KP ta có : ⇒ S IJKH = a 51 5a 51 IJ + KH = ( ) II – ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG Dạng 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Phương pháp a ⊄ ( P)  b ⊂ ( P) ⇒ a / / ( P ) a / / b  Phương pháp ( P ) / / ( Q ) ⇒ a / / ( Q)  a ⊂ ( P ) Phương pháp a ⊄ ( P )  b ⊥ ( P ) ⇒ a / / ( P ) b ⊥ a  Bài Cho tứ diện ABCD a) Chứng minh BD I, J Gọi trung điểm // Chứng minh CD trọng tâm tam giác HK ( AIJ ) H, K b) Gọi BC ABC ACD ( ABD ) // Lời giải NHÓM 12 QUAN HỆ SONG SONG ( BCD ) a Xét có IJ đường trung bình ∆BCD ⇒ IJ BD //  BD //IJ   IJ ∈ ( AIJ ) ⇒ BD // ( AIJ ) W  BD ∉ ( AIJ )  Ta có H b Ta có Và K ( trọng tâm trọng tâm ∆ACD AH = AI AK = AJ ⇒ AH AK   =  = ÷⇒ HK //IJ AI AJ   AIJ ) Xét ∆ABC ⇒ có mà IJ //BD ⇒ HK //BD Ta có Bài  HK //BD   BD ∈ ( ABD ) ⇒ HK // ( ABD ) W  HK ∉ ( ABD )  Cho hình chóp trung điểm với AB cắt CI AB N S ABCD có đáy hình bình hành Lấy điểm M đoạn AD ABCD cho Gọi G AD = AM trọng tâm tam giác Đường thẳng qua M SAB Chứng minh Lời giải ( ABCD ) Xét NHĨM có I song song NG // ( SCD ) AM = AD MN //AB 13 QUAN HỆ SONG SONG ⇒ IN = IC ( SAB ) Xét có G ( SIC ) Trong Ta có có ∆SAB trọng tâm ⇒ IG = IS IN IG   =  = ÷⇒ NG //SC IC IS    NG //SC   SC ∈ ( SCD ) ⇒ NG // ( SCD ) W  NG ∉ ( SCD )  Dạng 2: Xác định thiết diện Phương pháp a / / b  a ⊂ ( P ) ⇒ ( P ) ∩ ( Q ) = ∆ / / a / / b  b ⊂ ( Q ) Phương pháp a / / ( P )  ⇒ d / /a a ⊂ ( Q )  ( P ) ∩ ( Q ) = d Phương pháp a / / ( P )  ⇒ d / /a a / / ( Q )  ( P ) ∩ ( Q ) = d Bài Cho hình chóp điểm song với NHĨM SA SC S ABCD có đáy hình bình hành ABCD O AC BD M , giao điểm , trung (α) Tìm thiết diện mặt phẳng AD với hình chóp S ABCD (α) qua M đồng thời song 14 QUAN HỆ SONG SONG Lời giải (α) M qua Ta có song song với AD  AD // ( α )  ⇒ MN //AD  AD ⊂ ( SAD ) ( α ) ∩ ( SAD ) = MN   SC// ( α )  ⇒ NQ //SC  SC ⊂ ( SCD ) ( α ) ∩ ( SCD ) = NQ   AD // ( α )   AD ⊂ ( ABCD ) ⇒ PQ //AD ( α ) ∩ ( ABCD ) = PQ  Q Nối M (α) MNPQ Vậy thiết diện tạo Bài Cho tứ diện AJ = JD Gọi M a Tìm tập hợp điểm ABCD cạnh hình chóp a Gọi I AC J AD trung điểm , điểm cạnh cho điểm di động trọng tam giác M S ABCD BCD ( IMJ ) cho mặt phẳng song song với b Tính diện tích thiết diện tự diện ABCD ( IMJ ) với mặt phẳng Lời giải a Ta có  AB // ( IMJ )  AB ⊂ ( ABC ) ⇒ IH //AB  ( IMJ ) ∩ ( ABC ) = IH  NHÓM 15 AB QUAN HỆ SONG SONG  AB // ( IMJ )  AB ⊂ ( ABD ) ⇒ JK //AB  ( IMJ ) ∩ ( ABD ) = JK  AB // ( JIHK ) AB // ( IMJ ) ⇒ ( IMJ ) ≡ ( JIHK ) Vậy Mà mà   M ∈ ( BCD ) ⇒ M ∈ HK    HK ∈ ( BCD ) Vậy tập hợp điểm M đoạn HK III – HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song Phương pháp: Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta thực theo hướng sau:  Chứng minh mặt phẳng có hai đường thẳng cắt song song với mặt phẳng  Chứng minh hai mặt phẳng song song với mặt phẳng thứ ba ABCD, AC S ABCD Bài 1: Cho hình chóp đáy hình bình hành ( OMN ) / / ( SAD ) SC , CD điểm Chứng minh Lời giải Trong ∆ADC ⇒ ON / / AD Trong ∆SDC ⇒ MN / / SD có cắt BD O M,N Gọi trung ON đường trung bình AD ⊂ ( SAD ) ⇒ ON / / ( SAD ) mà có MN đường trung bình SD ⊂ ( SAD ) ⇒ MN / / ( SAD ) mà Như vậy: OM ⊂ ( OMN ) , ON ⊂ ( OMN )  ON / / ( SAD ) , MN / / ( SAD ) ⇒ ( OMN ) / / ( SAD )  OM ∩ ON = { N } S ABCD ABCD Bài 2: Cho hình chóp có đáy hình bình hành Gọi ( HIK ) / / ( ABCD ) SA, SB, SC Chứng minh rằng: NHÓM H, I, K trung điểm 16 QUAN HỆ SONG SONG a) Gọi M giao điểm AI ( SMN ) / / ( HIK ) CI KD N DH , giao điểm Chứng minh rắng: Lời giải a) Ta có: IH / / AB, AB ⊂ ( ABCD ) ⇒ IH / / ( ABCD ) IK / / BC , BC ⊂ ( ABCD ) ⇒ IK / / ( ABCD ) Khi đó:  IH ⊂ ( IHK ) , IK ⊂ ( IHK )   IH / / ( ABCD ) , IK / / ( ABCD ) ⇒ ( IHK ) / / ( ABCD )   IH ∩ IK = { I } ∆SBC IK / / BC b) Trong có IK SI IK IK MI ⇒ = ⇔ = ⇒ = = IK / / BC / / AD BC SB AD AD MA Mà ⇒I trung điểm ⇒ IH / / SM MA Khi đó, IH đường trung bình IH ⊂ ( IHK ) ⇒ SM / / ( IHK ) ∆SAM ( 1) mà ( 2) SN / / IK IK ⊂ ( IHK ) ⇒ SN / / ( IHK ) *Tương tự: , SM ∩ SN = { S } ( 3) Lại có ( 1) ( ) ( 3) ⇒ ( SMN ) / / ( IHK ) Từ , , (α) (α) (β) Dạng 2: Xác định thiết diện với hình chóp biết với mặt phẳng cho trước Phương pháp: Để xác định thiết diện trường hợp ta sử dụng tính chất sau Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt mặt phẳng thứ ba giao tuyến hai mặt phẳng song ( P ) / / ( Q )  ⇒ ( P ) ∩ ( R ) = d '/ / d , M ∈ d ' ( R ) ∩ ( Q ) = d  M ∈ ( P ) , M ∈ ( R ) song với Cụ thể: NHÓM 17 QUAN HỆ SONG SONG S ABCD Bài Cho hình chóp có đáy ABCD M, N hình bình hành Gọi (α ) CD Xác định thiết diện hình chóp cắt hình gì? qua MN trung điểm AB , ( SAD ) song song với mặt phẳng Thiết diện Lời giải ( α ) / / ( SAD )  ( SAD ) ∩ ( SAB ) = SA   M ∈ ( α ) , M ∈ ( SAB ) Ta có ⇒ ( α ) ∩ ( SAB ) = MK / / SA, K ∈ SB ( α ) / / ( SAD )  ( SAD ) ∩ ( SCD ) = SD   N ∈ ( α ) , N ∈ ( SCD ) Tương tự ⇒ ( α ) ∩ ( SCD ) = HN / / SD, H ∈ SC (α ) Khi thiết diện với hình chóp tứ HKMN giác ( ABCD ) , ( SBC ) ( α ) Ba mặt phẳng đôi MN , HK , BC cắt theo ba giao tuyến mà MN / / BC ⇒ MN / / HK Vậy thiết diện hình thang Bài Cho hình chóp ( P) song song với S ABC chóp ? Lời giải NHĨM S ABC có đáy tam giác ( ABC ) cắt đoạn SA M ABC cho thỏa mãn AB = AC = SM = 2MA , góc · BAC 30o Mặt phẳng ( P) Tính diện tích thiết diện hình 18 QUAN HỆ SONG SONG ( P ) / / ( ABC )  ( ABC ) ∩ ( SAB ) = AB   M ∈ ( P ) , M ∈ ( SAB ) Ta có: ⇒ ( P ) ∩ ( SAB ) = MN / / AB, N ∈ SB ( P ) ∩ ( SBC ) = NK / / BC, K ∈ SC Tương tự ( P) Khi đó, thiết diện với hình chóp SABC tam giác MNK 2 S ∆MNK  MN   SM  = = ÷  ÷ = S ∆ABC  AB   SA  Ta có: 4 16 ⇒ S ∆MNK = S ∆ABC = AB AC.sin 30o = 9 Dạng 3: Một số ứng dụng định lí Thales Phương pháp: Định lí Thales thường ứng dụng nhiều toán tỉ số hay toán chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng cố định AM CN = M , N AB , CD ABCD MB ND Bài Cho tứ diện điểm thay đổi cạnh cho Chứng minh MN song song với mặt phẳng cố định Lời giải Ta có: AM CN = MB ND nên theo định lí Thales MN , AC , BD đường thẳng song song (α) với mặt phẳng (β) Gọi mặt phẳng qua AC song song (β) (α ) / /( β ) với BD cố định ⇒ MN / / ( β ) cố định NHÓM 19 QUAN HỆ SONG SONG Bài Cho hình hộp với đỉnh cho ABCD A ' B ' C ' D ' AB ', DD ', CB ' Trên ba cạnh AM D ' N B ' P = = AB D ' D B ' C ' M , N, P lấy ba điểm không trùng ( MNP ) / / ( AB ' D ') a) Chứng minh ( MNP ) b) Xác định thiết diện cắt mặt phẳng với hình hộp Lời giải AB, B ' C ' a) Do ⇒ AB ', MP, BC ' ( α ) ,( β ) ,( γ ) chéo AM B'P = AB B ' C ' nằm ba mặt phẳng song song ( Theo định lí Thales đào) AB '/ / ( β ) BC '/ / ( β ) BC '/ / AD ' Khi mà nên AD '/ / ( β ) ⇒ ( β ) / / ( AB ' D ' ) MP ⊂ ( β ) ⇒ MP / / ( AB ' D ') mà MN / / ( AB ' D ' ) Tương tự: MN ∩ MP = { M } Lại có ( MNP ) / / ( AB ' D ') Vậy b) Tự làm NHÓM 20 ... phẳng đồng phẳng ( Vô lý ) khơng song song với AB c Ta có : NHĨM QUAN HỆ SONG SONG O ∈ MN ⇒ O ∈ ( CMN ) A ∈ CM ⇒ A ∈ ( CAN ) ⇒ A ∈ ( CMN ) ⇒ AO AO CN đồng phẳng song song với CN Thật vậy, AO / /... EB EB BC PB PE + EB + 1+ PE NHÓM QUAN HỆ SONG SONG 2 BC = b ⇒ KF = a 5 ⇒ EF = EK + KF = (a + b) EK = Dạng 3: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng dựa vào quan hệ song song Thiết diện chứa đường thẳng... PHẲNG SONG SONG Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song Phương pháp: Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta thực theo hướng sau:  Chứng minh mặt phẳng có hai đường thẳng cắt song song với