TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA:TOÁN ********** NGUYỄN THỊ THẢO XẤP XỈ HÀM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN HÙNG HÀ NỘI – 2012 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo khoa Tốn tạo điều kiện, giúp đỡ, bảo tận tình cho chúng em suốt bốn năm qua Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy Nguyễn Văn Hùng - người trực tiếp hướng dẫn, bảo góp ý cho em q trình thực khóa luận Em xin bày tỏ lịng biết ơn tới gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ em suốt bốn năm học qua Kính mong nhận góp ý chân thành từ phía thầy bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên Nguyễn Thị Thảo LỜI CAM ĐOAN Khóa luận em hồn thành hướng dẫn thầy Nguyễn Văn Hùng với cố gắng thân em trình nghiên cứu thực khóa luận Ngồi ra, em có tham khảo thêm số tài liệu khác số tác giả (đã nêu mục Tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Nếu sai, em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Sinh viên Nguyễn Thị Thảo MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Không gian tuyến tính 1.2 Không gian định chuẩn 1.3 Không gian Hilbert Chương 2: PHÉP NỘI SUY 2.1 Đa thức nội suy Lagrange 10 2.3 Sai phân 26 2.4 Tỷ sai phân 34 Chương 3: XẤP XỈ ĐỀU 3.1 Xấp xỉ tốt khơng gian tuyến tính định chuẩn 49 3.2 Xấp xỉ tốt khơng gian tuyến tính định chuẩn Ca ;b 49 3.3 Một số trường hợp đặc biệt 51 3.4 Ví dụ 53 Chương 4: XẤP XỈ TRUNG BÌNH PHƯƠNG 4.1 Bất đẳng thức Bessel bất đẳng thức Parseval 57 4.2 Xấp xỉ tốt không gian Hilbert 58 4.3 Xấp xỉ tốt L2  a, b  60 4.4 Ví dụ 67 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải tốn có nguồn gốc từ thực tiễn Cùng với thời gian, toán học ngày phát triển chia thành hai lĩnh vực: Tốn học lý thuyết Tốn ứng dụng Nói đến tốn ứng dụng, ta khơng thể khơng nói đến Giải tích số Giải tích số mơn khoa học nghiên cứu cách giải gần phương trình, toán xấp xỉ hàm số, toán tối ưu Sự đời phát triển Giải tích số góp phần quan trọng tạo thuật giải toán thực tế như: toán ngược lĩnh vực thăm dị, chuẩn đốn, nhận dạng… Ngày nay, với phát triển tin học kiến thức Giải tích số trở nên cần thiết Chúng ta chứng kiến xu song song hóa diễn tất lĩnh vực Giải tích số Để tiết kiệm nhớ máy tính, người ta đề xuất phương pháp hữu hiệu xử lý hệ lớn, thưa kỹ thuật nén ma trận, kỹ thuật tiền xử lý ma trận… Vì ứng dụng rộng rãi Giải tích số với niềm u thích mơn Giải tích số, em chọn đề tài cho khóa luận tốt nghiệp em là: “Xấp xỉ hàm” Khóa luận gồm bốn chương: Chương 1: Một số khái niệm Chương 2: Phép nội suy Chương 3: Xấp xỉ Chương 4: Xấp xỉ trung bình phương GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Xấp xỉ hàm Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Khơng gian tuyến tính Định nghĩa 1.1 Trên tập X   , xác định cấu trúc tuyến tính  với x, y  X với t  R (hoặc t  C ) xác định phép cộng x  y  X phép nhân tx  X thỏa mãn tính chất sau: a) x  y  y  x b) ( x  y)  z  x  ( y  z) s(tx)  ( st ) x c) ( s  t ) x  sx  tx t ( x  y )  tx  ty d)    X : x    x, x  X e)  ( x)  X : x  ( x)  0, x  X f) 1x  x Trong x, y, z  X ; s, t  R (hoặc s, t  C ) Khi ( X ,  ) khơng gian tuyến tính Định nghĩa 1.2 Cho hệ n véctơ x1 , x2 , , xn khơng gian tuyến tính X Xét đẳng thức véctơ: 1 x1   x2    n xn  Đẳng thức xảy 1      n  hệ n véctơ độc lập tuyến tính tồn n 1 , , , n với  i 1  để đẳng thức xảy hệ n véctơ phụ i 1 thuộc tuyến tính Tập hợp K X gọi lồi x, y  K đoạn thẳng nối x, y nằm K Nguyễn Thị Thảo -5- K34A SP Toán GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Xấp xỉ hàm 1.2 Không gian định chuẩn 1.2.1 Một vài định nghĩa Định nghĩa 1.3 Giả sử X khơng gian tuyến tính R Ánh xạ : X  R xác định X lấy giá trị tập số thực: x  R, x  X thỏa mãn điều kiện: a) x  0, x  X x 0 x0 b) x  y  x  y , x, y  X c)  x   x ,   R, x  X gọi chuẩn X Khơng gian tuyến tính X với gọi khơng gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.4 Hai chuẩn , xác định khơng gian tuyến tính X gọi tương đương tồn hai số c1 , c2  cho: c1 x  x  c2 x , x  X Định nghĩa 1.5 Cho X , Y hai khơng gian tuyến tính định chuẩn Ánh xạ A : X  Y gọi bị chặn tồn số M  cho: Ax Y M x X , x  X 1.2.2 Một vài định lý ví dụ Định lý 1.1 Nếu X khơng gian tuyến tính hữu hạn chiều chuẩn X tương đương Nguyễn Thị Thảo -6- K34A SP Toán GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Xấp xỉ hàm Chứng minh Thật vậy, giả sử X có hai chuẩn cho trước Gọi S   x  X : x  1 Vì S đóng X có số chiều hữu hạn nên đạt max S , kí hiệu M m tương ứng Xét x  phần tử X , đó: x  x Vì rằng: x x  nên m  x1 x1 x x1  x x x1  M , m x  x  M x Vậy hai chuẩn tương đương Định lý 1.2 Tốn tử tuyến tính A : X  Y bị chặn A tốn tử liên tục Ví dụ 1.1 Xét C0,1 hàm số liên tục  0,1 Với x  x(t )  C0,1 , y  y (t )  C0,1 , k  R ta định nghĩa: ( x  y )(t )  x(t )  y (t ), t   0,1 ( kx)(t )  kx(t ), t   0,1 Khơng gian C0,1 với hai phép tốn khơng gian tuyến tính Với x  C0,1 , đặt: x  max x(t ) thấy chuẩn C0,1 t 0,1 Ví dụ 1.2 Với p  , xét L p  0,1 với x  x (t )  Lp  0,1 , y  y (t )  Lp  0,1 , k  R ta định nghĩa: ( x  y )(t )  x (t )  y (t ), t   0,1 ( kx)(t )  kx(t ), t   0,1 Nguyễn Thị Thảo -7- K34A SP Toán GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Xấp xỉ hàm Không gian L p  0,1 với hai phép tốn khơng gian tuyến tính p   p Với x  L p  0,1 , xét x    x(t ) dt  Khi chuẩn L p  0,1 0  1.3 Không gian Hilbert 1.3.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.6 Hàm số , đưa cặp x, y không gian tuyến tính H vào R gọi tích vơ hướng x, y , kí hiệu x, y thỏa mãn tính chất sau: a) x, x  0, x  H x, x   x   b) x, y  y, x c)  x   y, z   x, z   y, z ; x, y, z  H ;  ,   R Cặp  H , ,  gọi khơng gian có tích vơ hướng hay không gian tiền Hilbert Không gian Hilbert khơng gian tiền Hilbert đủ Mọi khơng gian có tích vô hướng không gian định chuẩn với chuẩn: x  x, x Định nghĩa 1.7 Cho H không gian Hilbert Hệ phần tử ei iI H gọi là: Trực giao nếu: en , em  0, ( n  m) Trực chuẩn nếu: en , em   n,m với n, m  N     Hệ en n 1 đầy đủ Span en n1  H , nghĩa là: n   0, x  H , Sn   ci ei  ci  R; n  n     : Sn  x   i 1 Nguyễn Thị Thảo -8- K34A SP Toán GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Xấp xỉ hàm  Giả sử en n 1 hệ trực chuẩn không gian Hilbert Với x  H n ta lập tổng Fourier Sn   ci ei với ci  x, ei Ta nói chuỗi Fourier hội tụ đến i 1 x nếu: Sn  x  0,(n  ) 1.3.2 Một số ví dụ Ví dụ 1.3 Xét X  R n , với x   x1 , x2 , , xn   R n , y   y1 , y2 , , yn   R n n Đặt x, y   xi yi i 1 Ta thấy R n với tích vơ hướng xác định khơng gian Hilbert Ví dụ 1.4 Xét X  L2  a, b khơng gian hàm bình phương khả tích đoạn  a, b bao gồm hàm thực x(t ) xác định, bình phương khả tích  a, b  cho: b  p(t ) x (t )dt   a Trong p(t ) hàm trọng ( p(t ) thường chọn thỏa mãn điều kiện xác định khả tích  a, b , p(t )   a, b  p(t )  tập có độ đo 0) Ta trang bị L2  a, b  tích vơ hướng: b x, y   p(t ) x(t ) y (t )dt , với x (t ), y (t )  L2  a, b  a Không gian L2  a, b  với tích vơ hướng xác định không gian Hilbert Nguyễn Thị Thảo -9- K34A SP Toán GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Xấp xỉ hàm 4.3.2 Xấp xỉ đa thức trực giao Trong không gian L2p  a; b  hàm bình phương khả tích với trọng p  x  ta có khẳng định sau: Hai hệ đa thức trực giao khác thừa số số Số nghiệm thực đa thức trực giao Qn  x   a; b  n Nghiệm Qn1  x  Qn  x  xen kẽ lẫn Mỗi đa thức trực giao Qn  x  thỏa mãn công thức truy hồi sau: an ,n 1Qn 1  x    an ,n  x  Qn  x   an1,nQn 1  x   Sau đây, để đơn giản ta xét không gian L2  1;1 , với trường hợp L2  a; b  tổng quát ta dùng phép biến đổi để đưa đoạn  a; b  đoạn  1;1 4.3.2.1.Đa thức Legendre p  x   1; a  1; b  Công thức Rodrigue: n dn  , Ln  x   n x     n! dx n   n  0 Công thức truy hồi:  n  1 Ln1  x    2n  1 xLn  x   nLn1  x   Phương trình vi phân: d  dL   x  n   n  n  1 Ln    dx  dx  1 2 Chuẩn Ln    L2n  x  dx   2n   1  L0  x   1; L1  x   x; L2  x   x3  x x  ; L x  ;   3  2 35 x  30 x  63x  70 x  15 x L4  x   ; L5  x   ; 8 Nguyễn Thị Thảo -62- K34A SP Toán GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Xấp xỉ hàm Các đa thức Legendre thu trình trực giao hóa Schmidt đoạn  1;1 , hệ sở đại số 1, x, x , , x n , Để giải tốn  4.1 ta tìm đa thức xấp xỉ tốt nhất: n 2k  Pn  x    ck Lk  x  với ck  f  x  Lk  x dx, k  0, n 1 k 0   n Phương sai:     f  x   Pn  x   dx   f  x  dx   ck2 2k  2 n 1 1 k 0 4.3.2.2 Đa thức Chebysev p x  1  x2 ; a  1; b  Tn  x   cos  n arccos x  , x   1;1 Công thức truy hồi: Tn1  x   xTn  x   Tn 1  x  Phương trình vi phân: 1  x  Tn x   xTn  x   n 2Tn  x     ,n   Tn  x  2  Chuẩn Tn   dx       x ,n   1    n Đa thức xấp xỉ tốt pn  x    ciTi  x  i 0 Trong đó: c0  ck    n   1   f  cos  d   f  cos  cos k. d  k  1 f  x 1 x Nguyễn Thị Thảo dx    2c 2  c12   cn2  -63- K34A SP Toán GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Xấp xỉ hàm 4.3.2.3 Đa thức Hermitte p  x   e x ; a  ; b   n H n  x    1 e x d n  x2 e dx n   Công thức truy hồi H n1  x   xH n  x   2nH n 1  x    n  1 Phương trình vi phân H n  xH n  2nH n     x2 2 Chuẩn H n    e H n  x  dx   2n n!       n Đa thức xấp xỉ tốt có dạng pn  x    ci H i  x  i 0 Trong ci   1 i  x  e f  x  H i  x  dx 2i i !   4.3.2.4 Đa thức lượng giác p  x   1; a   ; b   Hệ hàm lượng giác 1,cos x,sin x, ,cos nx,sin nx,  trực giao đầy đủ H  L2   ;     1dx  2 Chuẩn:   cos kx   cos kxdx    k  1   sin kx   sin kxdx    n Đa thức xấp xỉ tốt có dạng pn  x   a0    ak cos kx  bk sin kx  k 1 đó: Nguyễn Thị Thảo -64- K34A SP Toán GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng a0  ak  bk   2   f  x  dx    Xấp xỉ hàm  f  x  cos kxdx    f  x  sin kxdx  (Đây khai triển Fourier theo nghĩa hẹp)  n Ngoài ra,   f  pn    n   f  x  dx    2a02    ak2  bk2   k 1   Như ta biết, chuỗi Fourier hội tụ L2p  a; b  Nếu f  C1a ;b  , ta chứng minh chuỗi Fourier hội tụ đoạn hữu hạn thuộc  a; b  (ở a  ; b   ) 4.3.3 Xấp xỉ trung bình phương hàm cho bảng Giả sử hàm số y  f  x  xác định đoạn  a; b ta biết yi  f  xi  với xi   a; b , i  0, n đồng thời xi  x j , i  j Ký hiệu: X   x0 , x1 , , xn  Khi ta gọi L  X    f : X  R tập tất ánh xạ từ X vào R Như hai hàm f , g  L  X  gọi đồng f  xi   g  xi  , i  0, n Trong L  X  , gọi  phần tử thỏa mãn   xi   i  0, n Ta đưa vào L  X  hai phép toán sau: f  g   xi  : f  xi   g  xi  , i  0, n f , g  L  X    f   xi  :  f  xi  , i  0, n , f  L  X  ,   R Khi L  X  khơng gian tuyến tính Nguyễn Thị Thảo -65- K34A SP Toán GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Xấp xỉ hàm Bây ta đưa tích vơ hướng vào L  X  cách đặt n f , g :  f  xi  g  xi  i 0 Khi L  X  không gian Hilbert f : f,f Với hàm số y    x  xác định đoạn  a; b  hạn chế X   x0 , x1 , , xn   X  L  X  Tuy nhiên, để đơn giản ta ký hiệu  m Xét hệ hàm Chebysev i  x i 0 với m  n Khi đa thức suy rộng   nhận giá trị cho trước xi i  0, n m Xét hệ hàm i  x i 0 với m  n gồm  m  1 hàm số cho đoạn  a; b cho hệ hệ Chebysev, đồng thời hạn chế chúng X ta có  m  1 phần tử 0 ,1 , ,m Xét L1 không gian L  X  sinh  ,1 , , m Với f  L  X  bất kỳ, toán đặt tìm Pm  L1 cho: f  Pm  inf f  Q QL1 Từ lý luận trình bày ta rút m Pm  x     ii  x  i 0 với  i nghiệm hệ m    i ,  j  j  f , i  j 0 i  0, m   4.7  bình phương sai số cho công thức: Nguyễn Thị Thảo -66- K34A SP Toán GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Xấp xỉ hàm m   f  Pm  f , f   i f ,i i 0  Chú ý:   1) Có nhiều cách chọn hệ i  x  , chẳng hạn i  x   xi i  0, m tốt chọn i  x   Li  x  với  Li  x  hệ đa thức trực giao 2) Nếu m  n đa thức nội suy đa thức xấp xỉ Pm  x  hàm số y  f  x  trùng 3) Phương pháp xây dựng đa thức Pm  x  nói gọi phương pháp bình phương tối thiểu hay phương pháp xấp xỉ trung bình phương 4) Nếu m  n đa thức Pm  x  gọi đa thức xấp xỉ có phương sai nhỏ hàm số y  f  x  xây dựng theo phương pháp bình phương tối thiểu 4.4 Ví dụ Ví dụ 4.1 Hãy xấp xỉ trung bình phương hàm số f  x   3x  1;1 đa thức bậc Giải Cách 1: Tìm đa thức xấp xỉ tốt dạng Q3  x    i x i i 0 1   1 Trước hết ta tính: sk   x dx  k 1 1 k 1 k mi   x i 3x dx  k  0,6  i  0,3 1 Thay vào hệ  4.6  ta Nguyễn Thị Thảo -67- K34A SP Toán GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng  2     2 3     2 1 Xấp xỉ hàm  m0  2  3m0  7,2819 6  21  1,2  3m1  2,4739  hay   1,2  3m2  2,7779 2  m2  2,81  2  3m3  3,5366    m1  2 1    m3 Từ phương trình đầu phương trình thứ ba ta được:   0,9944;  0,6576 Từ phương trình thứ hai phương trình cuối ta được: 1  1,1000;  0,2335 Như Q3  x   0,9944  1,1000 x  0,6576 x  0, 2335 x3 Cách 2: Tìm đa thức xấp xỉ tốt dạng Q3  x    ci Li  x  i 0 3x  x3  x ; L3  x    2 c0  1,2137; c1  1,2371; c2  0,4284; c3  0,09345 L0  x   1; L1  x   x; L2  x   Q3  x   0,9945  1,0968 x  0,6576 x  0, 2336 x3 Nhận xét Sử dụng đa thức đại số thường dẫn đến hệ đại số tuyến tính với điều kiện xấu, nghiệm không ổn định với sai số làm trịn Tính tốn với đa thức trực giao ổn định Đặc biệt thêm số hạng dùng đa thức trực giao khơng phải tính lại từ đầu Ví dụ 4.2 Xấp xỉ trung bình phương hàm số f  x   x đoạn  1;1 đa thức bậc Giải Vì f  x  hàm chẵn nên f  x  Li  x  hàm chẵn (lẻ) i chẵn (lẻ), đó: Nguyễn Thị Thảo -68- K34A SP Toán GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Xấp xỉ hàm c2 k  4k  f  x  L2 k  x  dx   4k  1  xL2 k  x  dx 1 1 4k  c2 k 1  f  x  L2 k 1  x  dx  1 1 1 3x  35 x  30 x  3 Ta có c0   xdx  ; c2  5 x dx  ; c4  9 x dx   2 8 16 0 x  35 x  30 x  15   x  14 x  1 Vậy Q5  x     16 128 Ví dụ 4.3  17 x  Tìm đa thức xấp xỉ f  x   ln    với độ xác   0,0005  16  đoạn  1;1 Giải Do f  C11;1 nên chuỗi Fourier hàm f theo đa thức Chebysev hội tụ Để có khai triển Fourier theo đa thức Chebysev hàm f  x  , trước hết ta chứng minh công thức: an ln 1  2a cos  a   2 cos n , a  n 1 n   z : cos  i sin  ; f  z  :  n 1  az  n  4.9  n  a an n 1 cos n Mặt khác f   z   a   az    az n 1 n 1 n  Dễ thấy Re f   f  z    ln 1  az   c Vì f     c nên f  z    ln 1  az  Nếu  az  rei r   az  1  2a cos  a  ; f  z    ln  rei    ln r  i  an Như Re f   ln r   ln 1  2a cos  a    cos n , từ suy n 1 n công thức  4.9  Nguyễn Thị Thảo -69- K34A SP Toán GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Đặt x  cos  ; a  Xấp xỉ hàm Từ  4.9  suy   1  17 x  f  x   ln     2 n cos  narccos   2 n Tn  x   S n  Rn  16  n 1 n n 1 n n  1 Trong Sn  2 k Tk  x  ; Rn  2  k Tk  x  k 1 k k  n 1 k Ta có:  Rn   k  n 1 Tk  x          0,0005 ; n    k k n 4k k k n  n    k  n 1 k  n 1 1 1 Như f  S5   T1  T2  T3  T4  T5 16 96 512 2560  31 241 13  x  x2  x  x  x 512 512 64 384 64 160 Ví dụ 4.4 Tìm đa thức xấp xỉ hàm f  x   10  x đoạn  1;1 với độ 101  20 x xác   105 Giải  Đặt z  cos  i sin  ; f  z    a n z n  n 0  az   a cos Ta có  Re f  Re  a n z n  2a cos  a n 0 n  10  x  1 Cho a   ; x  cos ta   n 1 Tn  x   S N  RN 101  20 x n0 10 10  RN   10 k 1  k  N 1   9.10 N 1 Với N  ta lấy f  S   k 0  1 k 10k 1 Tk  x  Ví dụ 4.5 Cho a   x0  x1   x2   x3   b Xét hàm y  f  x  cho bởi: Nguyễn Thị Thảo -70- K34A SP Toán GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng x y Xấp xỉ hàm Hãy tìm đa thức xấp xỉ Pm  x  hàm số y  f  x  theo phương pháp bình phương tối thiểu ứng với trường hợp sau: a) m  , hệ hàm gồm 0  1, 1  x b) m  , hệ hàm gồm 0  1, 1  x, 2  x c) m  , hệ hàm gồm 0  1, 1  x,   x , 3  x3 Giải Ta có bảng giá trị i  i  0,3 L  X  : x 0  1  x 2  x 3  x 0 1 1 2 3 27 Vậy 0 ,0  4, 0 ,1  6, 0 ,2  14, 0 ,3  36 1 ,1  14, 1 ,2  36, 1 ,3  98 2 ,  98,  ,3  276, 3 ,3  794 a) Nếu m  , hệ hàm gồm 0  1, 1  x L1 khơng gian sinh 0 ,1 Xấp xỉ P1  x    00  11  ,1 nghiệm hệ:  0 ,0   0 ,1 1  f ,0   1 ,0   1 ,1 1  f ,1 Thay số ta Nguyễn Thị Thảo -71- K34A SP Toán GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Xấp xỉ hàm  0   4  61     6  141      Vậy P1  x    x   5 b) Đa thức có phương sai nhỏ bậc hàm số y  f  x  có dạng: P2  x    00  11   22  ,1 , nghiệm hệ: 11 11  4  61  14    ; 1     10 10 6  141  36    14  36  98     2   11 11 Vậy P2  x    x  x  10 10 c) Nếu m  3: Cách 1: Làm tương tự ta tìm   ,1  2,  ,  3 Suy P3  x   x3  x  x  3 Cách 2: Nhận xét thấy m   n nên đa thức nội suy đa thức xấp xỉ trùng Khi tốn quy tìm đa thức nội suy bậc hàm y  f  x  Ví dụ 4.6 Hãy tìm đa thức có phương sai nhỏ bậc 1, bậc 2, bậc hàm số y  f  x  cho bảng sau: x y 1,5 2,7 1,8 Giải Ta có bảng giá trị i Nguyễn Thị Thảo i  0,3 L  X  : -72- K34A SP Toán GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Xấp xỉ hàm x 0  1  x 2  x 3  x 0 1 1 3 27 5 25 125 6 36 216 Ta có: 0 ,0  5, 0 ,1  15, 0 ,  71, 0 ,3  369 1 ,1  71, 1 ,2  369, 1 ,3  2003 2 ,  2003, 2 ,3  11145, 3 ,3  63011 a) Đa thức có phương sai nhỏ bậc hàm số y  f  x  có dạng: P1  x    00  11 với  ,1 nghiệm hệ: 161  0     15   10   130   15  711  36,6   33  130 Vậy P1  x   33 161 x  130 130 b) Đa thức có phương sai nhỏ bậc hàm số y  f  x  có dạng: P2  x    00  11   22  ,1 , nghiệm hệ: 2887 491   5  151  71  10 0  ; 1     2730 910 15  711  369  36,6   71  369  2003  178,8    1   21 Vậy P2  x    491 2887 x  x 21 910 2730 Nguyễn Thị Thảo -73- K34A SP Toán GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Xấp xỉ hàm c) Đa thức có phương sai nhỏ bậc hàm số y  f  x  có dạng: P3  x    00  11   2   33  ,1 , , nghiệm hệ: 71  369  10  5  151   15  71  369  2003  36,6    71  3691  2003  11145  178,8 369  20031  11145  63011  947,4 86 3253    105 ; 1  2100     2153 ;   31  4200 600 Vậy P3  x   31 2153 3253 86 x  x  x 600 4200 2100 105 Nguyễn Thị Thảo -74- K34A SP Toán GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Xấp xỉ hàm KẾT LUẬN Thế giới bước sang kỷ 21, kỷ mà khoa học công nghệ phát triển vũ bão Các ngành khoa học, đặc biệt Toán học phát triển vô mạnh mẽ, bước đáp ứng nhu cầu thực tiễn việc xấp xỉ hàm số ngày khẳng định vai trò, vị Tốn học sống Khóa luận trình bày số vấn đề xung quanh tốn xấp xỉ hàm số, phương pháp: nội suy, xấp xỉ xấp xỉ trung bình phương Ở phương pháp tác giả nêu được: sở lý luận phương pháp, đánh giá sai số, ưu điểm hạn chế chúng có ví dụ minh họa cụ thể Vấn đề nghiên cứu cịn nhiều điều lý thú bổ ích Tuy nhiên thời gian kiến thức thân cịn hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh khỏi nhiều thiếu sót Em mong nhận lời góp ý chân thành từ thầy bạn đọc để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Thảo Nguyễn Thị Thảo K34A SP Toán GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Xấp xỉ hàm TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kỳ Anh (1995), Giải tích số, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Trần Anh Bảo - Nguyễn Văn Khải - Phạm Văn Kiều (2003), Giải tích số, NXB Đại Học Sư Phạm [3] Nguyễn Minh Chương - Nguyễn Văn Khải - Khuất Văn Ninh - Nguyễn Văn Tuấn - Nguyễn Tường (2000), Giải tích số, NXB Giáo Dục [4] GS Tạ Văn Đĩnh (1991), Phương pháp tính, NXB Giáo Dục Nguyễn Thị Thảo K34A SP Toán ... luận tốt nghiệp em là: ? ?Xấp xỉ hàm? ?? Khóa luận gồm bốn chương: Chương 1: Một số khái niệm Chương 2: Phép nội suy Chương 3: Xấp xỉ Chương 4: Xấp xỉ trung bình phương GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Xấp. .. 1,69107368 1,943355583 Chương Nguyễn Thị Thảo -48- K34A SP Toán GVHD: TS Nguyễn Văn Hùng Xấp xỉ hàm XẤP XỈ ĐỀU 3.1 Xấp xỉ tốt khơng gian tuyến tính định chuẩn 3.1.1 Bài tốn Cho X khơng gian tuyến... 4: XẤP XỈ TRUNG BÌNH PHƯƠNG 4.1 Bất đẳng thức Bessel bất đẳng thức Parseval 57 4.2 Xấp xỉ tốt không gian Hilbert 58 4.3 Xấp xỉ tốt L2  a, b  60 4.4 Ví dụ 67 KẾT LUẬN