Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Bản khóa luận tốt nghiệp bước để em làm quen với việc nghiên cứu khoa học Trước bỡ ngỡ khó khăn làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học em nhận giúp đỡ, động viên thầy cô giáo bạn sinh viên khoa Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy giáo tổ Giải tích, thầy giáo khoa Tốn, thầy giáo trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội Đặc biệt em xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí, giúp đỡ hướng dẫn tận tình để em hồn thành khoa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em hồn thành Khóa luận Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Lành Nguyễn Thị Lành K34D Tốn Khóa luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Kháo luận em hoàn thành hướng dẫn Tiến sĩ Tạ ngọc Trí với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu thực Khóa luận tốt nghiệp em có tham khảo tài liệu số tác giả nêu mục tài liệu tham khảo Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu em, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Lành Nguyễn Thị Lành K34D Tốn Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC Lời cảm ơn……………………………………………………… Lời cam đoan…………………………………………………… Mục lục…………………………………………………………… Mở đầu…………………………………………………………… Chƣơng Những kiến thức sở……………………………… 1.1 Một vài ký hiệu………………………………………… 1.2 Không gian hàm thử………………………………… 1.3 Hàm suy rộng 12 Schwartz………………………………… 1.4 Sự hội tụ hàm suy rộng……………………………… 16 1.5 Đạo hàm hàm suy rộng……………………………… 17 1.6 Nguyên hàm hàm suy rộng………………………… 18 1.7 Giá hàm suy rộng…………………………………… 19 1.8 Tích chập……………………………………………… 21 1.9 Biến đổi Fourier hàm suy rộng…………………… 28 1.10 Tích hàm suy rộng hàm 35 trơn…………… Chƣơng Hàm suy rộng theo dãy…………………………… 38 2.1 Tích hai hàm suy rộng……………………………… 38 2.2 Kết Schwartz………………………… 44 Kết luận………………………………………………………… 46 Tài liệu tham khảo……………………………………………… 47 Nguyễn Thị Lành K34D Tốn Khóa luận tốt nghiệp LỜI NĨI ĐẦU Lý chọn đề tài Hàm suy rộng kể từ đời vào kỷ XX góp phần quan trọng vào việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Do nghiệm phương trính đạo hàm riêng nói chung, phương trình đạo hàm riêng tuyến tính nói riêng, thường khơng tồn tồn cục, nên nhu cầu mở rộng khái niệm nghiệm cho phương trình đạo hàm riêng ngày trở nên xúc Sự đời lý thuyết hàm suy rộng với đóng góp chủ yếu nhà tốn học Pháp L Schwartz, giải vấn đề lý thuyết phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Tuy nhiên, theo định nghĩa hàm suy rộng L Schwartz khơng thể lấy tích hai hàm suy rộng tùy ý Vì mở rộng với định nghĩa nhà tốn học Mikusinski lấy tích số hàm suy rộng Tuy nhiên định nghĩa ông chưa thể giải hoàn toàn vấn đề Hàm suy rộng xa lạ sinh viên, với mong muốn nghên cứu tìm hiểu sâu vấn đề này, bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học em chọn đề tài " Hàm suy rộng định nghĩa theo dãy " Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu số khái niệm hàm suy rộng Schwartz - Tìm hiểu trình bày khái niệm hàm suy rộng định nghĩa theo dãy nhà toán học Mikusinski Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số khái niệm, tính chất hàm suy rộng Schwartz như: Sự hội tụ, đạo hàm, nguyên hàm, giá, tích chập, biến đổi Fourier tích hàm suy rộng hàm trơn Nguyễn Thị Lành K34D Tốn Khóa luận tốt nghiệp Bước đầu làm quen tìm hiểu tích hai hàm suy rộng định nghĩa theo dãy Mikusinski tính chưa triệt để định nghĩa Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận - Phương pháp phân tích đánh giá tổng hợp Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kí hiệu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương: Chương 1: Những kiến thức sở Trình bày sơ lược số khái niệm hàm suy rộng Schwartz Chương 2: Hàm suy rộng định nghĩa theo dãy Tìm hiểu khái niệm hàm suy rộn định nghĩa theo dãy Mikusinski Nguyễn Thị Lành K34D Tốn Khóa luận tốt nghiệp CHƢƠNG I NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Một số ký hiệu khái niệm Trong luận văn này, ta ký hiệu  ={0 , , ,…} tập số tự nhiên ,  * tập số tự nhiên khác 0,  tập số nguyên,  biểu thị cho tập số thực trường thực,  biểu thị cho tập số phức mặt phẳng phức Với số tự nhiên n , tập  n ={  = ( 1 ,  , … ,  n ) /  j   j = 1, 2, … , n }, tập  n = {x = (x1, x2 , … , xn) / xj   , j = , 2, … , n } không gian thực n chiều với chuẩn Euclid n x =( x j 1 j )1/2 Mỗi phần tử  = ( 1 ,  , … ,  n )   n n - số (hay đa số) với bậc  = 1 +  + … +  n Với đa số  , toán tử vi phân ký hiệu  = 1  2  n  j = toán tử D = D1 D2 … Dn , D j = n 2 n  x j  = - i j , j = , ,… , n ix j Nếu đặc biệt ta hiểu  tập mở  n Với  p   thì: Lp    = {f :    /  f  x  dx < +  } p  Lp    không gian định chuẩn với chuẩn f Nguyễn Thị Lành p =(  f  x p ) p  K34D Tốn Khóa luận tốt nghiệp Khi p =  L    = { f :    / esssup f  x  < +  }, đó: x esssup f  x  = inf {M > cho  { x / f  x  > M} = x Chuẩn L    f  = esssup f  x  x Với  = ( 1 ,  , …,  n )   n ,  = ( 1 ,  , …,  n )   n     j   j , j = 1, 2, …, n Nếu    ta viết:    =     …                    n n Trong j !   =    !   !   j  j j j , j = 1, 2, … , n j Ta ký hiệu C k    tập hợp hàm khả vi liên tục tới cấp k Với f, g  C k    đạo hàm tích theo cơng thức Leibniz !   f    g    !   ! (1.1.1) ! D  fD  g    !   ! (1.1.2)   fg  =  D  fg  =  Trong  ! = 1 ! !  n !   k Cho  tập khác rỗng    n Ta ký hiệu C     tập hợp hàm f giá trị phức xác định  cho  f tồn với đa số  Ta nói hàm liên tục f :    , tập hợp ký hiệu supp f xác định supp f = cl { x : f  x   0} Nguyễn Thị Lành K34D Tốn Khóa luận tốt nghiệp Nếu K tập compact  n ta ký hiệu Dk tập hợp { f  C    n  : supp f  K} 1.2 Không gian hàm thử Bổ đề 1.2.1 Cho    n    Khi tồn dãy tập compact { K j }, ( j = 1, 2, 3, …) thỏa mãn K j  int K j 1 U j 1K j   Do ta ký hiệu K tập compact  K j tập compact họ K j nói bổ đề (1.2.1) Mệnh đề 1.2.2 C     không gian Frechet DK khơng gian đóng C     , với K   Chứng minh: Do  mở nên theo bổ đề 1.2.1 có dãy tập compact K j , ( j = 1, 2, … ) cho K j  int  K j 1    j 1 K j Với N = 1, 2, … ta đặt pN  f  = max{  f  x  : x  K N ,  < N } , Thì pN nửa chuẩn Hơn họ nửa chuẩn pN có tính chất tách điểm C     topo sinh chuẩn có sở lân cận đếm Do mêtric bất biến qua phép tịnh tiến tương thích với họ đếm chuẩn pN , N =1, 2, … xác định sau: 2 N pN  f , g  d  f ;g   N 1  p  f , g  N  Metric xác định đầy đủ Từ suy C     khơng gian Freclet Nguyễn Thị Lành K34D Tốn Khóa luận tốt nghiệp Với x , hàm Fx : f  f  x  hàm liên tục topo họ sinh họ đếm chuẩn pN với N = 1, 2, …Ngồi ta có DK   Ker Fx  x K Do DK khơng gian đóng C     với tập compact K  Mệnh đề chứng minh Vậy với tập compact K   DK    khơng gian Frelet Hợp tất khơng gian ta lại có khơng gian quan trọng, không gian hàm thử Định nghĩa 1.2.3 Ta ký hiệu D    tập hợp D    = {  C     : supp  tập compact  } Ta gọi D    không gian hàm thử (test function ) Dễ thấy D    = j 1 DK    nên D    không gian vectơ j Mệnh đề 1.2.4 Không gian hàm thử D    không gian vectơ topo lồi địa phương Chứng minh: Theo mệnh đề (1.2.1) ta có DK    không gian Frelet Ký hiệu  K topo lồi DK    ,  họ tất tập W cân, lồi D    cho DK  W  K với tập compact K   Gọi  họ tất tập hợp có dạng   W với   W với   D    W   a) Ta chứng minh  topo D     sở lân cận  Thật vậy, với V1 , V2  V1  V2 , ta cần chứng minh tồn W   Nguyễn Thị Lành K34D Toán Khóa luận tốt nghiệp cho   W  V1  V2 Ta có,  Vi , ( i = 1, 2, …) nên tồn  j  D    Wi   , cho i  Wi , ( i = ,2) Chọn tập compact K   cho  ,  i  DK ( i = 1, 2) Do DK  Wi mở DK nên tồn  i > 0, ( i = 1, ) cho   i  1   i  Wi Do Wi tập lồi nên   i +  iWi  1   i  Wi +  iWi = Wi Suy    i Wi   i + Wi  Vi ( i = 1, 2) Từ ta chọn W = 1W1    W2    W  V1  V2 Vởy  topo Dễ dàng  sở  Giả sử 1 ,  hai phần tử phân biệt tùy ý D    Với   D   ta đặt  = sup   x  x W ={  D    : 1   } W   1  2 + W Suy tập điểm đóng D    theo topo  b) Tiếp theo ta chứng minh phép toán D liên tục với topo  Với 1 ,   D    1 +  + W   với W  Vì W cân nên W  suy 1  W  ;   W  1 1  W     W   1  2  W 2 Vậy phép cộng hai phần tử D    liên tục theo  Với 0  0  D   ta có: Nguyễn Thị Lành 10 K34D Tốn Khóa luận tốt nghiệp e    e  2   t it     dt  e    e  t  i  dt (1.9.4)  e  e  x2 dz L  Trong L đường Im z  mặt phẳng phức z Sử dụng định lí tích phân Cauchy kiện tích phân dần tới nhanh z   ta có:  x t  e dz   e dt   (1.9.5)  L Từ (1.9.4) (1.9.5) ta có:   2   e 1  it t 1 dt  e  2 (1.9.6)  n  2   e Từ (1.9.3) ta suy ra:   i x  x n dx  2 e  2   e ix  x n Trong   x   e  x (1.9.7) n n Mặt khác ta có:  dx   D        Do nhờ (1.9.3) phần c) mệnh đề (1.8.4) ta có:      2  n e  ix  x dx  e  2 n Đó điều phải chứng minh 1.10 Tích hàm suy rộng hàm trơn Nguyễn Thị Lành 34 K34D Tốn Khóa luận tốt nghiệp Cho    n tập mở; u f hàm liên tục  , fu mặt hình thức: fu,    fudx  u, f  Nhận xét: 1) Để mở rộng hàm suy rộng, ta phải lấy nhân tử f Sau ta có f  Cc    Cc    Khi supp f   supp  f  Cc   f  C    (Định lí Leibniz) 2) Nếu K   tập compact  Cc  K  , tồn số c0 , c1 , phụ thuộc vào f K không phụ thuộc vào  , cho N  0,1, Ta có: sup   f    c  sup   ,   C  K     N N  c N (1.10.1) Chúng ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.10.1 Nếu u  D'   f  Cc   tích hàm f hàm suy rộng u ký hiệu fu xác định sau: fu,   u, f  với   D   (1.10.2) Nhận xét: 1) Do  D    nên f  D    vế phải (1.31) xác định hàm suy rộng 2) Hàm suy rộng fu tích gián đoạn điểm fu u  C0  X  Ví dụ 1.10.2 1) Với   D'    ta có: Nguyễn Thị Lành 35 K34D Tốn Khóa luận tốt nghiệp x ,   x,  x    0,  D    nên x  D'    2) Với u  1 x  D'    x x Thật vậy, ta có: 1 x ,   , x x x  x  x     x  x   lim   dx   dx   0 x x           x dx  1,  ,   D     Tích hàm trơn hàm suy rộng thỏa mãn công thức Leibniz lấy đạo hàm Định lí 1.10.3 Cho u  D'  X  , f  C   X  cho  đa số Ta có:   fu   !   f  u      ! ! (1.10.3)   Chứng minh: +)   đồng thức (1.10.3) +)   Thật vậy: i  fu  ,    fu,  i   u, f  i f , i  1, n,   Cc  X   f i    i  f     i f Vì i  fu  ,    iu, f   u,  i f Nguyễn Thị Lành 36 K34D Tốn Khóa luận tốt nghiệp Từ  i  fu   f  iu    i f  u , i  1, n (1.10.4) Bằng phép quy nạp tốn học ta có:   fu   C     u     (1.10.5)   Với C số nguyên dương Lấy   Ïp  x,  u  exp  x,    n   n Giản ước nhân tử chung exp  x      , ta thu        C    Và đơn thức    độc lập tuyến tính Từ định lí Taylor cho đa thức, ví dụ đơn giản, lấy X   n tích f  f   f   Từ (1.10.4) cho i  f     f   f i , i  1, , n Từ (1.10.5) ta có: f i  f  0 i  i f  0 , i  1, n Nguyễn Thị Lành 37 (1.10.6) K34D Tốn Khóa luận tốt nghiệp CHƢƠNG HÀM SUY RỘNG ĐỊNH NGHĨA THEO DÃY 2.1 Tích hai hàm suy rộng Trong mục (1.10) định nghĩa tích hàm trơn f  C    hàm suy rộng u  D'   Tuy nhiên khơng thể dùng định nghĩa (1.10.1) cho tích hai hàm suy rộng tùy ý f  không hàm thử f  D'   m   D   m  Sau đây, định nghĩa tích hai hàm suy rộng theo dáy Delta   , n n  1,2, tìm hiểu hàm suy rộng theo dãy dựa định nghĩa Mikusinski Tuy nhiên, cịn có cách định nghĩa tích hai hàm suy rộng dựa khai triển Fourier 2.1.1 Định nghĩa tích hai hàm suy rộng Mikusinski Định nghĩa 2.1.1.1 (Định nghĩa dãy Delta) Nguyễn Thị Lành 38 K34D Tốn Khóa luận tốt nghiệp Một dãy  n  , n  1,2, phần tử D   n  gọi dãy Delta thỏa mãn: a) Supp  n  x   m : x   n  với lim  n  n b)    x  dx  n m Trên định nghĩa dãy Delta Dựa vào đó, Mikusinski đưa định nghĩa tích hai hàm suy rộng Định nghĩa 2.1.1.2 (Định nghĩa Mikusinski) Ta nói S T lấy tích ST với dãy Delta  n , n  1,2, giới hạn lim  S  Sn T   n  tồn D'   m  giới hạn khơng phụ n  thuộc vào việc chọn dãy Delta Cơ sở định nghĩa (1.11.1.) lim n   D'   m  n Ví dụ 2.1.1.3 Trong D'    , theo cách định nghĩa có: 1     ' x Chứng minh: Đặt  n  x    n   x  , n  1,2, , ta có: 1  1     n     n  ,      n ,   x  x  1      n  , n x   Nguyễn Thị Lành ,  n   n ,  D    x 39 K34D Tốn Khóa luận tốt nghiệp Khai triển   x     0  x'  0  x 2  x  , ta có:   1  '    n  ,    n  ,      ,  n       ,  n   x n  x x x    ,  n   x 2   n x Ta chứng minh số hạng cuối vế phải dần tới n   Vì  n   n hàm chẵn nên số hạng dần tới n   Ta chứng minh số hạng thứ hai vế trái hội tụ tới '   0 Thật ta có:   0 '   ,  n   x n     n  x  dx x  x Trong dó  n   n   x n  , nên  n      x   n    x  n   n    x n    n Nếu    L1    , x      x      x  Do ta có:  n   n  x  n   n  , 1  1 1 , n  ,  n   n  , n   n  , n   n Vì  n   n lẻ x x x x Chứng tỏ: 1 1   , n  , x  n   n     n   n   x  dx  x x  Do  n  D    , n  1,2,   n  x  dx   Từ ta có: Nguyễn Thị Lành 40 K34D Tốn Khóa luận tốt nghiệp ' ' 1  lim       ,       ,  ,  D          n n n  2 x  ' 1  ' Hay lim         D       n n n  x  Do đó, có: 1     ' D'    x Suy điều phải chứng minh 2.1.2 Tính chƣa triệt để định nghĩa tích hai hàm suy rộng Mikusinski Theo dịnh nghĩa (2.1.1.2) Mikusinski chưa giải triệt để việc lấy tích hai hàm suy rộng, tức theo định nghĩa (2.1.1.2) việc lấy tích hai hàm suy rộng khơng phải lúc ta thực Ta có mệnh đề sau: Mênh đề 2.1.2.1 Trong D'    ta lấy tích   theo định nghĩa (2.1.1.2) Chứng minh: Thật vậy, ngược lại giả sử tồn   D'    Lấy dãy Delta tùy ý  n  , n  1,2, Ta có giới hạn lim  , n tồn tại,   D    Chọn   D    cho   lân cận Thế ta có      n2 ,    2 dx    dx Do lim  S   n T   n  tồn nên ta có dãy  n  , n  1,2, bị chặn n  L2    Nguyễn Thị Lành 41 K34D Tốn Khóa luận tốt nghiệp Mà L2    hình cầu đóng đơn vị compact yếu nên tồn dãy   , k  1,2, dãy   , n  1,2, hội tụ yếu tới g  L    n nk  n , ,   D    nên ta có Bởi vậy,   L2    g ,  lim k  k lim  n ,  g , k  k Điều chứng tỏ không tồn  theo định nghĩa (2.1.1.2) Ta kết luận dãy  n2  , n  1,2, không hội tụ D'    Đó điều phải chứng minh 2.1.3 Định nghĩa tích hai hàm suy rộng dựa khai triển Fourier Do định nghĩa tích hai hàm suy rộng Mikusinski chư giải triệt để việc lấy tích hai hàm suy rộng Vì nói đến cách định nghĩa khác tích hai hàm suy rộng dựa khai triển Fourier Với u  D'   m  có giá compact Ta đặt: u     u  x  , eix , u   x    2  m u   , ei x Gọi M   m  bao gồm tất cặp  u, v   D     D    ' m m cho x  m , tồn lân cận  x x cho: 1) u    v   khả tích  m với ,  D   x  2)  u    v  dx    u   v  dx , ,  D    x m 3)  u    v  m  dx phụ thuộc liên tục vào   D   x  ,   D   x  m Định nghĩa 2.1.3.1 (Định nghĩa tích hai hàm suy rộng khai triển Fourier) Nguyễn Thị Lành 42 K34D Tốn Khóa luận tốt nghiệp Nếu u, v  M   m  , tích u v D'   x  ký hiệu uv xác định  x sau: uv,   u   v    dx m Với   D   x    D  x  chọn cho   x   supp  Chú ý: Định nghĩa hồn tồn xác định khơng phụ thuộc vào việc lựa chọn 1)  Tuy nhiên định nghĩa có hạn chế khơng thể lấy tích, chẳng hạn  hay  x Thật vậy, tồn  , ta lấy x  ,    D  0  cho   0    0    supp  , 0 lân cận điểm Giả sử   M        khả tích  Mặt khác ta lại có           1 Vậy suy khả tích  (điều vơ lý) 2 2 Vậy chứng tỏ  không phụ thuộc M    2) Ta chứng minh  không tồn theo định nghĩa x 2.1.4 Một số nhận xét 1) Giữa định nghĩa (2.1.1.2) Mikusinski định nghĩa (2.1.3.1) khai triển Fourier tích hai hàm suy rộng có tương thích với Thật vậy, u, v  D'   m  tồn tích uv theo định nghĩa (2.1.1.2) tồn theo định nghĩa (2.1.3.1) với dãy Delta cho  n  x   hai tích Nguyễn Thị Lành 43 K34D Tốn Khóa luận tốt nghiệp 2) Cả hai định nghĩa (2.1.1.2) Mikusinski định nghĩa (2.1.3.1) khai triển Fourier tích hai hàm suy rộng có tương thích với Tuy nhiên, chúng chư giải triệt để vấn đề tich hai hàm suy rộng Thật vậy, có nghịch lý việc lấy tích hai hàm suy rộng Chẳng hạn, ta có: Ví dụ 1: x  x  D'    Nếu ta áp dụng D    ta x có: 1     x     x.    ! x x  Ví dụ 2: Xét hàm Heaviside 1 H  x   0 khi x 0 x