Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: TS Tạ Ngọc Trí TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN _ _ _ _***_ _ _ _ PHẠM THỊ GẤM ĐỊNH LÝ AHARONOV - CASHER KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Hà Nội - 2012 Phạm Thị Gấm K34C - Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: TS Tạ Ngọc Trí LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu nhà trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy khoa Tốn, thầy tổ Giải tích giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt trình học tập hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy Tạ Ngọc Trí, người Thầy ln quan tâm, tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hồn thành khố luận Trong khn khổ có hạn khố luận, điều kiện thời gian trình độ có hạn; lần nghiên cứu khoa học nên khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, em kính mong nhận góp ý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Phạm Thị Gấm Phạm Thị Gấm K34C - Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: TS Tạ Ngọc Trí LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết thân em trình học tập nghiên cứu, bên cạnh em quan tâm thầy giáo khoa Tốn, đặc biệt hướng dẫn tận tình TS.Tạ Ngọc Trí Trong nghiên cứu hồn thành khố luận này, em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin cam đoan kết đề tài “ Định lý Aharonov - Casher” cơng trình nghiên cứu riêng em hướng dẫn TS Tạ Ngọc Trí Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Phạm Thị Gấm Phạm Thị Gấm K34C - Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: TS Tạ Ngọc Trí Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN BẢNG KÍ HIỆU MỞ ĐẦU CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Không gian Banach 1.2 Không gian Hilbert 1.3 Tốn tử tuyến tính 11 1.3.1 Tốn tử tuyến tính bị chặn 11 1.3.2 Tốn tử tuyến tính không bị chặn 20 CHƢƠNG ĐỊNH LÝ AHARONOV - CASHER TRONG  23 2.1 Zero mode toán tử Weyl - Dirac 23 2.2 Bài toán zero mode 26 2.3 Zero mode không gian hai chiều 28 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 Phạm Thị Gấm K34C - Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: TS Tạ Ngọc Trí BẢNG KÍ HIỆU n Không gian thực n chiều  Tập số phức, đơn vị ảo kí hiệu i  0 Tập hàm trơn có giá compact L2 (R3 ) Khơng gian hàm bình phương khả tích R3 S2 x Hình cầu đơn vị R3 Chuẩn vectơ x I Toán tử đồng I2 Ma trận   0 1 KerA Hạt nhân toán tử A dim X Số chiều không gian vectơ X x  x0 x  x0 , x  x0  Kết thúc chứng minh Phạm Thị Gấm K34C - Toán 1 0 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: TS Tạ Ngọc Trí MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài: Khi vấn đề đời thuật ngữ xung quanh nhanh chóng biết đến định nghĩa cách cụ thể Vấn đề zero mode khơng nằm ngồi quy luật Vấn đề zero mode xuất lần vật lý Việc nghiên cứu đề tài khía cạnh khác theo quan điểm toán học nhiều nhà toán học quan tâm J M Loss, H T Yau, D M Elton,C Adam, B Muratori, C Nash … Thực tế năm 1979, Aharonov - Casher xây dựng chứng minh cơng thức tính số zero mode toán tử Weyl – Dirac  (i  A) R Dưới gợi ý thầy Tạ Ngọc Trí thân em có hứng thú tìm hiểu đề tài Em mạnh dạn định vào tìm hiểu nghiên cứu đề tài “ Định lý Aharonov - Casher ” Với mong muốn hiểu biết sâu định lý Aharonov - Casher kết liên quan với hướng dẫn tận tình TS Tạ Ngọc Trí, em lựa chọn đề tài “ Định lý Aharonov - Casher ” Mục đích nghiên cứu: Tìm hiểu định lý Aharonov - Casher R chứng minh định lý Phạm Thị Gấm K34C - Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: TS Tạ Ngọc Trí Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu định lý Aharonov - Casher R - Nghiên cứu phát triển toán năm gần Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: Định lý Aharonov – Casher R chứng minh định lý - Phạm vi nghiên cứu: Định lý Aharonov – Casher kết có liên quan Phƣơng pháp nghiên cứu: - Sử dụng kiến thức, phương pháp giải tích hàm - Sưu tầm, nghiên cứu tài liệu có liên quan Cấu trúc khóa luận: Ngồi phần mục lục, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo,bài khóa luận em gồm có chương là: Chương 1: Một số kiến thức Chương 2: Định lý Aharonov - Casher R Phạm Thị Gấm K34C - Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: TS Tạ Ngọc Trí CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương đưa số khái niệm tính chất tốn tử tuyến tính bị chặn tốn tử tuyến tính không bị chặn 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 ( Không gian định chuẩn ) Một không gian định chuẩn ( hay khơng gian tuyến tính định chuẩn ) khơng gian tuyến tính X trường K ( K trường số thực R trường số phức  ) với ánh xạ từ X vào tập số thực  , kí hiệu đọc chuẩn, thoả mãn tiên đề sau: 1 ( x  X ) x  0, x   x  0; 2) x  X    K   x   x ; 3) x, y  X  x  y  x  y Số x gọi chuẩn vectơ x Ta kí hiệu khơng gian định chuẩn X Định nghĩa 1.1.2 ( Sự hội tụ không gian định chuẩn ) Dãy điểm  xn  không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x X lim xn  x  Kí hiệu lim xn  x hay xn  x n   n Phạm Thị Gấm K34C - Tốn n  Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: TS Tạ Ngọc Trí Định nghĩa 1.1.3 ( Dãy ) Dãy điểm  xn  không gian định chuẩn X gọi dãy ( hay dãy Cauchy) lim xm  xn  m , n  Định nghĩa 1.1.4 (Không gian Banach ) Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach, dãy X hội tụ Định lý 1.1.1 (Một số tính chất) Giả sử  xn  ,  yn  dãy không gian định chuẩn X  n  dãy số K Khi : 1) Nếu xn  a xn  a 2) Nếu xn  a, yn  b xn  yn  a  b Nếu n   n xn  .a 3) Nếu  xn  ,  yn  dãy X;  n  dãy K  xn  yn  ,  n xn  dãy X 1.2 Khơng gian Hilbert Định nghĩa 1.2.1 (Tích vơ hướng ) Cho khơng gian tuyến tính X trường K7( K trường số thực  trường số phức  ) Ta gọi tích vơ hướng khơng gian X ánh xạ từ tích Descartes X  X vào trường K , kí hiệu , , thoả mãn tiên đề sau: Phạm Thị Gấm K34C - Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học 1)  x, y  X  GVHD: TS Tạ Ngọc Trí y , x  x, y ; 2)  x, y, z  X  x  y, z  x, z  y, z ; 3)  x, y  X  (  K )  x, y   x, y ; 4)  x  X  x, x  x  0, x, x  x  Các phần tử x,y,z… gọi nhân tử tích vơ hướng, số x, y gọi tích vơ hướng hai nhân tử x,y ; tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi hệ tiên đề tích vơ hướng Định lí 1.2.1 (Bất đẳng thức Schwarz) Đối với x  X ta đặt x  (1.1) x, x Khi x, y  X ta có bất đẳng thức Schwarz x, y  x y (1.2) Chứng minh: Nếu x, y  bất đẳng thức (1.2) hiển nhiên Nếu x, y  , với   ta có  x   x, y y, x   x, y y  x   x, y y, x   x, y y, x   x, y x, y y, y  x  2 x, y 2   x, y 2 y Ta nhận tam thức bậc hai  không âm với giá trị   Do Phạm Thị Gấm K34C - Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học Az  GVHD: TS Tạ Ngọc Trí 1 A( pz  u ), pz  u  A( pz  u ), pz  u 4   K pz  u  pz  u   12 K  pz  u   2  K  p z  Az   K Az z  p   Az  K z Hiển nhiên, bất đẳng thức với z  H mà Az  Suy ra: Az  K z , z  H  A  K Vì A  K Định lý chứng minh  Nhờ định lý vừa chứng minh, toán tử tự liên hợp A thoả mãn hệ thức Ax, x  0, x  H A tốn tử khơng Định nghĩa 1.3.7 (Tốn tử dương) Tốn tử tuyến tính A gọi tốn tử dương khơng gian Hilbert H tốn tử tự liên hợp Ax, x  0,(x  H ) Định nghĩa 1.3.8 (Tốn tử xác định dương) Tốn tử tuyến tính A gọi tốn tử xác định dương khơng gian Hilbert H tồn số   cho Ax, x   x , x  H Định nghĩa 1.3.9 ( Toán tử compact) Tốn tử tuyến tính A khơng gian Hilbert H gọi tốn tử compact ( hay tốn tử hồn toàn bị chặn) nếu, với dãy bị chặn  xn  H, dãy  Axn  chứa dãy hội tụ Phạm Thị Gấm K34C - Toán 19 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: TS Tạ Ngọc Trí Định lý 1.3.6 ( Các tính chất tốn tử compact) Tốn tử compact hồn tồn bị chặn Cho A toán tử compact khơng gian Hilbert H B tốn tử bị chặn H A  B B  A toán tử compact Toán tử A tốn tử compact khơng gian Hilbert H A biến dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ mạnh Nghĩa : yêú A compact  xn  x  Axn  Ax, xn , x  H Toán tử compact biến dãy trực chuẩn thành dãy hội tụ mạnh Định nghĩa 1.3.10 ( Tốn tử unita ) Tốn tử tuyến tính bị chặn A không gian Hilbert H gọi toán tử unita A* A  AA*  I H 1.3.2 Tốn tử tuyến tính khơng bị chặn Cho H không gian Hilbert, DA miền xác định toán tử A, DA  H Định nghĩa 1.3.11 ( Tốn tử tuyến tính khơng bị chặn) Tốn tử tuyến tính A: DA  H gọi tốn tử khơng bị chặn tồn dãy số xn  , xn  DA, xn  1,  n  1, 2,  Axn   n   Thông thường ta xét trường hợp DA khơng gian tuyến tính trù mật khơng gian Hilbert H Ví dụ 1.3.2 Cho A tốn tử compact khơng gian Hilbert vơ hạn chiều H Nếu A khả nghịch A Thật vậy, giả sử 1 không bị chặn vn   H ,  n  1,2,  dãy trực chuẩn Phạm Thị Gấm K34C - Toán 20 zn  Avn Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: TS Tạ Ngọc Trí 1 ú Khi zn  (khi n   ) A zn   (khi n   ) Ví dụ 1.3.3 Cho T tốn tử xác định khơng gian S không gian '' L2 ( ) cho Tf  x    f  x   x f  x  , f  S Nếu f j  (2 j !) j   1  j  1 x e d j  x2 (e ) dx j Thì f j  S , f j  1và Tf j  j  1,( j  1,2 ) Do Tf j  j    j   (  f j  sở trực chuẩn không gian L2 ( ) ) Vậy T toán tử khơng bị chặn Cho tốn tử khơng bị chặn A : DA  H Định nghĩa 1.3.12 Toán tử A gọi tốn tử đóng với dãy x j   DA , x j  x Ax j  y x  DA Ax  y ' Toán tử A gọi toán tử mở rộng toán tử A DA  DA' Ax  A' x, x  DA Toán tử A gọi đóng tốn tử đóng Định nghĩa 1.3.13 A mở rộng đóng.Mở rộng đóng nhỏ A gọi bao đóng Ký hiệu ( Toán tử liên hợp) Phạm Thị Gấm K34C - Tốn 21 A Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: TS Tạ Ngọc Trí Cho tốn tử khơng bị chặn A : DA  H ký hiệu D A* tập hợp phần tử y  H , với z  H Ta có Ax, y  x, z , x  DA Với y  DA* ta đặt A* y  z gọi Định nghĩa 1.3.14 A* toán tử liên hợp A Cho tốn tử khơng bị chặn A : DA  H Toán tử A gọi toán tử đối xứng toán tử liên hợp A* mở rộng toán tử A Toán tử A gọi toán tử tự liên hợp A đối xứng DA*  DA Nếu bao đóng A tự liên hợp tốn tử đối xứng A gọi toán tử tự liên hợp cốt yếu Chú ý 1: Có thể khơng tồn tốn tử liên hợp tốn tử khơng bị chặn Nếu tốn tử A đóng ln tồn tốn tử liên hợp Tốn tử A đóng D A tập trù mật H Trong trường hợp ta có A*  A * Để chứng minh tốn tử đối xứng A tự liên hợp ta cần A đóng hạt nhân A  i tầm thường miền giá trị A  i H trùng với H Để chứng minh toán tử đối xứng A tự liên hợp cốt yếu ta cần A đóng hạt nhân A  i tầm thường miền giá trị A  i trù mật H Phạm Thị Gấm K34C - Tốn 22 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: TS Tạ Ngọc Trí CHƢƠNG ĐỊNH LÝ AHARONOV - CASHER TRONG 2 Trong chương nghiên cứu khái niệm zero mode tốn tử Weyl-Dirac, Sau nội dung kết chứng minh định lý Aharonov Casher Các kiến thức chương trích dẫn từ  4,8,10,12 2.1 Zero mode toán tử Weyl - Dirac Định nghĩa 2.1.1 ( Ma trận Pauli) Các ma trận 0 1  i  1  ,   ,      1 0 i   1 1   (2.1) i đơn vị ảo, i  1 , gọi ma trận Pauli Định nghĩa 2.1.2 ( Curl vector) Trong giải tích vector, curl ( rotor) vector mô tả quay cực trường vector 3-chiều Tại điểm trường này, curl biểu thị vector Các thuộc tính vector ( chiều dài chiều) đặc trưng cho vòng quay điểm Cụ thể A  ( A1, A2 , A3 ) CurlA  ( A3  3 A2 , 3 A1  1 A3 , 1 A2   A1 ) Định nghĩa 2.1.3 ( Thế vector) Phạm Thị Gấm K34C - Tốn 23 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: TS Tạ Ngọc Trí Cho trường vector A   A1, A2 , A3  với Aj   j  1, 2,3 hàm nhận giá trị thực x   Ta gọi A vectơ ( vector potential) hay vị từ (magnetic potential) từ trường B, B:  curlA  ( B1, B2 , B3 ) Với B1   A3  3 A2 , B2  3 A1  1 A3 , B3  1 A2   A1 (2.2) Định nghĩa 2.1.4 Trong L2    , toán tử p  i gọi toán tử động lượng (momentum); toán tử p  A  i1  A1, i  A2 , i3  A3  gọi toán tử động lượng từ (magnetic momentum) Định nghĩa 2.1.5 ( Toán tử Weyl – Dirac) Trong L2 ( ) cho vectơ A  ( A1, A2 , A3 ) Toán tử DA :   p  A (2.3) gọi toán tử Weyl – Dirac Trong L2 ( ) toán tử D A toán tử tự liên hợp Định nghĩa 2.1.6 ( Tốn tử Pauli) Bình phương D A gọi toán tử Pauli ký hiệu PA , tức là: PA    p  A   (2.4) Nếu A A' hai vectơ  ta có  A. A'   A.A'  i  A  A'  Do PA    p  A     p  A    B Phạm Thị Gấm K34C - Toán 24 (2.5) Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: TS Tạ Ngọc Trí Định nghĩa 2.1.7 ( Zero mode toán tử Weyl – Dirac)        2 D    L  Nếu hàm khơng tầm thường       thoả mãn A  gọi zero mode toán tử Weyl – Dirac Ta hiểu zero mode toán tử Weyl – Dirac hàm riêng ứng với giá trị riêng Nhận xét 2.1: + Các vectơ riêng toán tử Weyl – Dirac trường hợp giá trị riêng zero mode tốn tử xác định từ trường B  curlA Nên ta viết DB , thay cho D A + Nếu  zero mode ta có   p  A   x   , nên  trạng thái lượng toán tử Pauli + Thế vectơ A Thật : ' Giả sử B trường vectơ trơn R thoả mãn divB  Nếu A A hai vectơ thoả mãn curlA  B  curlA' A  A'   với  :    hàm trơn Giả sử ei ánh xạ unita L2   ,   , ei gọi phép biến đổi độ đo ( gauge transformation) Ta có  P  A   e  P  A e ' i  i (2.6) Do DA'  ei DAei Phạm Thị Gấm K34C - Tốn (2.7) 25 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: TS Tạ Ngọc Trí Vì tốn tử Weyl - Dirac DA DA' unita tương đương Do phổ toán tử Weyl - Dirac đặc biệt số zero mode tương ứng hoàn toàn xác định từ trường B 2.2 Bài tốn zero mode Năm 1986, nhóm nhà vật lý lý thuyết đứng đầu Frohlich xét ổn định nguyên tử hydro môi trường từ tính Cịn theo quan điểm tốn học vấn đề trở thành: trạng thái lượng hữu hạn nghĩa có hữu hạn giá trị riêng cho tốn tử tương ứng Cụ thể là: Các nhà nghiên cứu xét toán tử Hamiltonnian: H   p  A    B  z x (2.8) Trong đó: +   1, ,  , j  j  1,2,3 ma trận Pauli i đơn vị ảo, i  1 + p  i toán tử động lượng + p  ,  toán tử Laplace + z điện tích hạt nhân + A vector + B  curlA H tác động lên hai thành phần spinor  Trạng thái ban đầu (2.8) ký hiệu E0  B, z  Trạng thái lượng ban đầu E0  B, z  H ln hữu hạn phụ thuộc vào tương tác spinor electron với từ trường B, E0  B, z    B   Phạm Thị Gấm K34C - Toán 26 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: TS Tạ Ngọc Trí Nhìn chung, nhà nghiên cứu có số tới hạn zc  cho E( z)  inf (E0(B,z)   B ) (2.9) B hữu hạn z  zc E  z    z  zc với    8  c số 1 cấu trúc  137.04  Khi bắt đầu cơng việc, nhóm nghiên cứu Frohlich 1 khơng biết zc có hữu hạn hay không Tuy nhiên họ chứng tỏ điều kiện cần đủ để có hữu hạn zc phương trình    p  A  (2.10) Có nghiệm với A, A  L6    , divA  0, B  curlA  L2     a  ; thoả mãn:  ,   L2     b  Ta có (2.10) phương trình đo bất biến, (a),(b) áp đặt hai bất biến đo lường đánh giá hạn chế phụ thuộc Các điều kiện đánh giá bất biến bao gồm   L2 , B  L2 , điều kiện đánh giá ràng buộc   L2 , A  L6 , divA  (không bất biến đo lường ) Giả sử (2.10) có nghiệm ( chi tiết xem 8 ), B biểu diễn hoàn toàn điều kiện trường vectơ U   , (2.11) Và đạo hàm ( U hai lần mật độ spinor .,. tích vơ hướng  ) Vấn đề đặt là: Nếu trường vector U thoả mãn U  L1 ,U trơn divU  tacó thể tìm  A thoả mãn (2.10),(2.11),(a),(b)? Phạm Thị Gấm K34C - Tốn 27 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: TS Tạ Ngọc Trí Việc tìm câu trả lời cho vấn đề trở thành nghiên cứu tồn zero mode toán tử Weyl – Dirac DA     p  A 2.3 Zero mode không gian hai chiều Trong không gian hai chiều cho vectơ A   A1 , A2  với A1 , A2 hàm nhận giá trị thực phụ thuộc vào  x1 , x2    Khi từ trường B tương ứng hàm vơ hướng đơn xác định B  1 A2   A1 Trong không gian hai chiều, cho từ trường với giá compact ta tính xác số zero mode tốn tử Weyl - Dirac   p  A :  1. p1  A1     p2  A2  (2.12) định lý Aharonov- Casher Định lý 2.3.1 (Định lý Aharonov - Casher) Trong không gian hai chiều, giả sử từ trường B bị chặn có giá compact, A vectơ liên kết với B Kí hiệu F tổng thơng lượng B; tức F : 2  B  x dx 2  x  số nguyên lớn nhỏ x với x  0, 0  Khi tốn tử Dirac   p  A có số zero mode  F  Chứng minh: Phạm Thị Gấm K34C - Tốn 28 Khóa luận tốt nghiệp đại học Xét hàm   x   2 GVHD: TS Tạ Ngọc Trí  ln x  y B  y  dy Green toán tử Laplac R = = 2 2  ln x  y B( y)dy  F ln x R2  (ln x  ln  R2 y B( y)dy  F ln x x 1 ln x  B( y )dy  2 2 R2  = ln x   2 2 2  ln  R2 y  ln  x B( y)dy  F ln x R2  B ( y ) dy   2 R  2 = F ln x  = ln x  y 2  ( x)  F ln x Ta có = với  ( x) B(x) có từ hàm 2  ln  R2 y  ln  x B( y)dy  F ln x R2 y B( y )dy  F ln x x y B( y )dy x 1 Do  ( x)  F ln x     x    x Giả sử hai vectơ A  ( A1 , A2 ) A  ( A1, A2 ) có từ trường B, nghĩa 1 A2   A1  1 A2   A1 Khi tồn hàm giá trị vô hướng trơn  cho A  A   ei ( p  A)ei  p  A nên i ei ( ( p  A))ei   ( p  A) Vì e ánh xạ unita nên hai toán tử  ( p  A)  ( p  A) có phổ Do hai tốn tử có số zero mode Phạm Thị Gấm K34C - Tốn 29 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: TS Tạ Ngọc Trí Vì ta chọn vectơ A  ( 2 , 1 ) ta cần tìm số   nghiệm bình phương khả tích độc lập     cho phương trình    ( p  A)  Phương trình tương đương với phương trình : [1.( p1  A1 )   ( p2  A2 )]  0 ( p1  A1 )  i( p2  A2 )       0  ( p1  A1 )  i( p2  A2 )    [( p  A1 )  i ( p2  A2 )]   [( p1  A1 )  i( p2  A2 )]   (1  i )(e )  Hoặc   (1  i )(e  )  Theo phương trình Cauchy – Riemann ta có hàm f  e hàm giải tích nguyên theo biến z  x1  ix f1  e hàm giải tích nguyên theo biến z  x1  ix Nói chung với z  x1  ix ta có e  x  e   x F F 1 Trường hợp 1: F  0, hàm giải tích ngun f1 bình phương khả tích (do  bình phương khả tích) Do đó, f1    Vì hàm   f 2e cần phải bình phương khả tích Hàm giải tích nguyên f phải tăng lên không nhanh đa thức z có bậc bé F  Vì có  F  đa thức độc lập tuyến tính có dạng (1, z , z , , z  Phạm Thị Gấm K34C - Tốn 30 F  1 ) nên ta có Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: TS Tạ Ngọc Trí thể thu xác  F  số zero mode toán tử Dirac  ( p  A) theo yêu cầu toán  Trường hợp 2: F  Chứng minh tương tự  2.4 Một số ý Với lớp từ trường rộng hơn, nghĩa từ trường B bị chặn cho  R B( x) ln x dx  ∞ Ơng rằng, thơng lượng F  ngun có  F   F   zero mode ( B có giá compact có  F   zero mode) Erdos Vougalter nhận xét điều kiện bị chặn từ trường B thay điều kiện yếu từ trường B  K (R2 ) - lớp Kato, nghĩa B thoả mãn điều kiện sau: limsup r 0 x  ln x  y 1 B( y) dy  x  y r Hơn nữa, họ đưa ví dụ rõ ràng định lý Aharonov - Casher không chứa từ trường liên tục bị chặn thoả mãn điều kiện  R B dx   Tuy nhiên kết định lý Aharonov -Casher chứa lớp quan trọng từ trường có độ đo với biến hồn toàn bị chặn Gần trường hợp từ trường với thông lượng vô hạn nghiên cứu Phạm Thị Gấm K34C - Tốn 31 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: TS Tạ Ngọc Trí KẾT LUẬN Trong trình tìm hiểu nghiên cứu khố luận, em bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua đó, em có nét hình dung toán học đại, đồng thời thấy phong phú, lý thú toán học Trong khố luận trình bày cách có hệ thống khái niệm tính chất liên quan đến tốn tử tuyến tính bị chặn, tốn tử tuyến tính khơng bị chặn Bài khố luận nghiên cứu trình bày lại định lý Aharonov - Casher không gian hai chiều R , phát triển kết năm gần Để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp em xin trân trọng cảm ơn thầy tổ Giải tích, thầy khoa Tốn, đặc biệt em xin chân thành cảm ơn bảo nhiệt tình thầy giáo TS.Tạ Ngọc Trí Mặc dù em có nhiều cố gắng, đề tài có nhiều hạn chế thời gian kiến thức nên khố luận khơng tránh khỏi thiếu sót; mong góp ý, giúp đỡ thầy bạn để khố luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn ! Phạm Thị Gấm K34C - Tốn 32 Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD: TS Tạ Ngọc Trí TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tài liệu tiếng Việt 1 Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm NXB khoa học kỹ thuật  2 Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội   Tài liệu tiếng Anh [3] C Adam, B Muratori and C Nash (1999), "Zero modes of the Dirac operator in three dimensions", Phys Rev D, (60), 125001 1-8 [4] Lokenath Debnath and Piotr Mikusinski (2005), Hilbert Spaces with Applications, Elsevier Academic Press [5] Ta Ngoc Tri (2009), Results on the number of zero modes of the Weyl-Dirac operator, PhD Thesis, Lancaster University Phạm Thị Gấm K34C - Toán 33 ... nghiên cứu: - Nghiên cứu định lý Aharonov - Casher R - Nghiên cứu phát triển toán năm gần Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: Định lý Aharonov – Casher R chứng minh định lý - Phạm... Ngọc Trí, em lựa chọn đề tài “ Định lý Aharonov - Casher ” Mục đích nghiên cứu: Tìm hiểu định lý Aharonov - Casher R chứng minh định lý Phạm Thị Gấm K34C - Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:... có hứng thú tìm hiểu đề tài Em mạnh dạn định vào tìm hiểu nghiên cứu đề tài “ Định lý Aharonov - Casher ” Với mong muốn hiểu biết sâu định lý Aharonov - Casher kết liên quan với hướng dẫn tận