SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ CÁCH DỌC CÁC YẾU TỐ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ F’(X) CHO HỌC SINH ÔN THI THPT QUỐC GIA Họ tên : Nguyễn Thị Mai Chức vụ chun mơn: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HỐ, NĂM 2019 PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Từ năm học 2016-2017 Bộ Giáo dục Đào tạo thực đổi kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG) Trong mơn tốn đổi từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm Việc thay đổi tạo nên nhiều bỡ ngỡ khó khăn cho giáo viên học sinh việc ơn luyện Hình thức thi trắc nghiệm mơn tốn địi hỏi số cách tiếp cận vấn đề so với hình thức thi tự luận Nó địi hỏi học sinh khơng phải có vốn kiến thức chắn mà cịn phải có lượng kiến thức rộng đặc biệt phải linh hoạt cách tiếp cận dạng toán Chẳng hạn học hàm số đồ thị hình thức thi tự luận cách đặt câu hỏi cách tiếp cận tốn hồn tồn khác so với cách tiếp cận tốn trắc nghiệm ta cần phải biết phân tích tốn , loại bỏ phương án gây nhiễu để có kết xác Có học sinh dễ dàng đưa đáp án có việc lựa chọn lại vơ khó khăn phức tạp toán sau: Nếu cho đồ thị hàm số y = f '( x) y = f ( x) kết luận tính đơn điệu hàm số Cho hàm số g x 2f A g y f x Đồ thị hàm số y f x x g khơng? Ta xét ví dụ sau: x hình bên Đặt Mệnh đề đúng? g1 B g g3 y g1 C g g g D g g g Khi gặp toán học sinh gặp phải số khó khăn : O x - Hiểu nhầm đồ thị hàm số y f x - Thiếu kỹ đọc đồ thị, mà lại đồ thị hàm số y f ' x Đứng trước vấn đề tơi thấy q trình giảng dạy cần phải tổng quát hóa để phân dạng đưa phương pháp giải cho học sinh dễ dàng nhận biết từ biết cách đọc yếu tố đị thị f’(x) Vì mà tơi chọ đề tài “ Một số dạng toán cách đọc yếu tố đồ thị hàm số f’(x) cho học sinh ôn thi THPTQuốc gia” II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU : Để cho học sinh thấy mối liên hệ đồ thị hàm số y = f '( x) với vấn đề hàm số y = f ( x) Từ làm tốt dạng tốn này, mang lại kết cao kì thi, đặc biệt kì thi TN THPT QG 2018 – 2019 năm III ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU : Đối tượng nghiên cứu đề tài vận dụng số lý thuyết chương trình SGK 12 để giải dạng tốn liên quan đến đồ thị hàm số y = f '( x) IV CÁCH TIẾP CẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU : Sử dụng phương pháp nghiên cứu chuyên ngành lý luận phương pháp giảng dạy môn tốn học tơi tập trung vào phương pháp sau: - Nghiên cứu lý luận - Điều tra quan sát thực tiễn - Thực nghiệm sư phạm PHẦN II NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Sự tương giao đồ thị hàm số y = f ( x) trục hoành Giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x) với trục hoành nghiệm phương y trình hồnh độ giao điểm f ( x) = Ví dụ minh hoạ: a b O c x Hàm số y = f ( x) có đồ thị hình bên Suy phương trình f ( x) = có nghiệm ( x = a; x = b; x = c) Dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu hàm số bảng biến thiên Bảng 1: Hàm số y = f ( x) đạt cực đại điểm x = x0 Bảng 2: Hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu điểm x = x0 Dấu hiệu nhận biết giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số bảng biến thiên Bảng 3: Ta có: y = f x ( 0) [] a ;b Bảng 4: Ta có: max y = f x ( 0) [] a ;b Bảng 5: Bảng 6: Ta có: y = f ( a ; max y = f ( b ) ) [a ; b [a ;b] ] Ta có: y = f ( b ; max y = f ( a ) ) [a ;b] [a ;b] Xét dấu tích phân xác định biết giới hạn miền phẳng giới hạn đồ thị hàm số dấu tích phân, trục hồnh hai đường thẳng x = a; x = b ( a a b ò f ( x ) dx a b ò f ' ( x ) dx = f (b ) - f ( a) a Phép biến đổi đồ thị Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị (C) Khi đó, với số a > ta có: 1) Hàm số y = f ( x ) +a có đồ thị (C’) tịnh tiến (C) theo phương Oy lên a đơn vị 2) Hàm số y = f ( x ) - a có đồ thị (C’) tịnh tiến (C) theo phương Oy xuống a đơn vị 3) Hàm số y = f ( x +a) có đồ thị (C’) tịnh tiến (C) theo phương Ox qua trái a đơn vị 4) Hàm số y = f ( x - a) có đồ thị (C’) tịnh tiến (C) theo phương Ox qua phải a đơn vị 5) Hàm số y = f ( x ì ï f ( x ) x > có đồ thị (C’) cách: ) =í f (- x ) ïï ỵ x £ + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy , bỏ phần (C) nằm bên trái Oy + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua Oy 6) Hàm số y = f ( x) ïì f ( x ) f ( x) > có đồ thị (C’) cách: =í - f ( x ) f ( x) £ ï ỵ ï + Giữ ngun phần đồ thị (C) nằm Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm Ox qua Ox bỏ phần đồ thị (C) nằm trục Ox II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ - Trong chương trình tốn học phổ thơng SGK; SBT chí số sách đọc thêm nói sơ sài phần có vài ví dụ khơng mang tính tổng qt - Nhiều học sinh nắm vững kiến thức toán học mặt lý thuyết gặp dạng toán lúng túng vận dụng - Thực tế cách đổi thi cử việc đưa tốn đồ thị đạo hàm toán vận dụng cao nhiều gặp tốn địi hỏi học sinh ngồi việc thành thạo cơng thức tốn học mà phải hiểu biết làm nhiều để có kinh nghiệm suy luận giải cách đầy đủ xác Trước thực trạng nói tơi băn khoăn tự đặt câu hỏi làm để giúp học sinh đứng trước tốn có đồ thị đạo hàm III GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số y = f ( x ) ; y = f ( x ± a ) ; y = f ( x ±ax) Bài 1: Hàm số y = f ( x) liên tục khoảng K , biết đồ thị hàm số y = f '( x) K hình vẽ bên Tìm số cực trị hàm số y = f ( x) K y A B C D Hướng dẫn: Đối với dạng ta cần tìm xem đồ thị y = f '( x) cắt trục Ox điểm mà thôi, không kể điểm mà đồ thị y = f '( x) tiếp xúc với trục Ox Ta chọn đáp án B Nhận xét: xét thực a dương Ta đổi yêu cầu lại là: Tìm số cực trị hàm số y = f ( x +a) y = f ( x - a) K , đáp án không thay đổi Chú ý số cực trị hàm số y = f ( x) , y = f ( x +a) y = f ( x - a) hàm số đạt cực trị giá trị x0 khác nhau! Giả thiết sau thay đổi theo x hướng sau: Hàm số y = f ( x) liên tục khoảng K có đồ thị hình vẽ Biết y = g ( x) nguyên hàm hàm số y = f ( x) Tìm số cực trị hàm số y = g ( x) K Bài 2: Cho hàm số f x có đồ thị f x khoảng K hình vẽ Khi K , hàm số y f x có điểm cực trị? A B C D Bài 3: Cho hàm số f x xác định R có đồ thị hàm số f x hình vẽ bên Hàm số f x 2018 có điểm cực trị? A B C D Hướng dẫn: f x y O đồ thị hàm số f ' ( x +2018) phép tịnh tiến đồ thị hàm x số f x theo phương trục hoành nên đồ thị hàm số f ' ( x +2018) cắt trục hoành điểm.Ta chọn đáp án C Bài 4: Cho hàm số f x xác định R có đồ thị hàm số f x hình vẽ Hàm số y = g ( x ) = f ( x ) +4x có điểm cực trị? A B.2 C D.4 Hướng dẫn: y ' = g ' ( x ) = f ' ( x) +4 có đồ thị phép tịnh tiến đồ thị hàm số f '( x) theo phương Oy lên đơn vị Khi đồ thị hàm số g ' ( x) cắt trục hoành điểm, ta chọn đáp án A Bài 5: Cho hàm số f x xác định R có đồ thị hàm số f x hình vẽ Hàm số y = g ( x ) = f ( x ) - 3x có điểm cực trị? A B.2 C D.4 Hướng dẫn: y ' = g ' ( x ) = f ' ( x) - có đồ thị phép tịnh tiến đồ thị hàm số f x theo phương Oy xuống đơn vị Khi đồ thị hàm số g ' ( x) cắt trục hoành điểm, ta chọn đáp án C Bài 6: Cho hàm số y = f ( x) liên tục ¡ Hàm số y = f '( x) có đồ thị y 2017 - 2018x hình vẽ Hàm số y = g ( x ) = f ( x) + có 2017 cực trị? A B C D Hướng dẫn: x1 x2 x x y x x2 x x3 Ta có y ' = g ' ( x ) = f '( x) - 2017 2018 Suy đồ thị hàm số g ' ( x) phép tịnh tiến đồ thị hàm số y = f '( x) theo phương Oy xuống 2017 2018 Ta có < 2017 2018 đơn vị < dựa vào đồ thị hàm số y = f '( x) , ta suy đồ thị hàm số g ' ( x) cắt trục hoành điểm Ta chọn phương án D Bài 7: Cho hàm số y = f ( x) xác định liên tục ¡ , có đồ thị hàm số y = f '( x) hình vẽ sau Đặt g ( x ) = f ( x ) + x Tìm số cực trị hàm số g ( x) ? A B C D Hướng dẫn: Ta có g ' ( x ) = f ' ( x) +1 Đồ thị hàm số g ' ( x) phép tịnh tiến đồ thị hàm số y = f '( x) theo phương Oy lên đơn vị, đồ thị hàm số g ' ( x) cắt trục hoành hai điểm phân biệt, ta chọn đáp án B Bài 8: Cho hàm số y = f ( x) Biết f ( x) có đạo hàm f '( x) hàm số y = f '( x) có đồ thị hình vẽ Đặt g ( x ) = f ( x +1) Kết luận sau đúng? A Hàm số g ( x) có hai điểm cực trị B Hàm số g ( x) đồng biến khoảng (1;3) C Hàm số g ( x) nghịch biến khoảng ( 2; 4) D Hàm số g ( x) có hai điểm cực đại điểm cực tiểu Hướng dẫn: éx ( ) ( x=f' Cách : g ' ) x +1 = Û ê ê ê x é = x 1 += +1 = Û ( f 'x )= > ( - ) é1 ê < Ûê y, x ë - =2 x x x +1 > ë x ê ê ê +1= ê =4 ë ë x é0 < x < +< Ûê ê >4 x g' x ê + - + y Ta chọn đáp án C Cách 2: Đồ thị hàm số g 'x ) = f ' x +1 f '(x) g'(x) phép tịnh tiến đồ thị hàm số y = f '( x) theo phương trục hoành sang trái đơn vị ( ( ) 10 g'(x) f '(x) Ta thấy khoảng ( 2; ) đồ thị hàm số g ' ( x ) = f ' ( x +1 hoành nên hàm số g ( x) nghịch biến khoảng ( 2; 4) , ta chọn đáp án C ) nằm bên trục Bài 9: Cho hàm số y f ( x ) Đồ thị hàm số y f , ( x ) hình bên Đặt g ( x ) f ( x ) ( x 1)2 Mệnh đề đúng? A g (1) g (3) g( 3) B g (1) g ( 3) g(3) C g (3) g ( 3) g(1) D g (3) g ( 3) g(1) Hướng dẫn: Ta có: g' x 2f' x x f' x x 1g ' x x f' x Ta vẽ đường thẳng y =- ( x +1) S1 S2 g g ' x dx g x g g f ' x dx g g 1 g' x dx x f ' x dx x 1f' x dx S 2S g g3 Như ta có: g (1) g (3) g( 3) Ta chọn đáp án A 11 Dạng ; Tìm giá trị nhỏ , giá trị lớn so sánh giá trị hàm số y f x y Bài 1: Cho hàm số y f x xác định liên tục y f x 2; , có đồ thị hàm số hình bên Tìm giá trị x0 để hàm số y f x đạt giá trị lớn x 21O1 2; A x0 B x0 C x0 D x0 Hướng dẫn: Từ đồ thị ta có bảng biến thiên: x -1 -2 y, + +0 - f( ) y Ta chọn đáp án D Bài 2: Cho hàm số f x có đạo hàm f x Đồ thị hàm số y f x cho hình vẽ bên Biết f f f f Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn M f x đoạn 0;5 ? A m f , M f B m f , M f C m f , M f D m f , M f Hướng dẫn: x y , f ( 0) y + + f () f( ) f ( 2) f x = f é ù ê 0;5 ë () ( ) f f f f 5f f f f ú û ff(0) < (5) 12 Bài : Cho hàm số f x có đạo hàm f x Đồ thị hàm số y f x cho hình vẽ bên Biết f f1 2f f f Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn M f x đoạn 0; ? A m f , M f B m f , M f C m f , M f D m f , M f Hướng dẫn: x y, + f ( 2) y f ( 0) f ( 4) Dựa vào BBT ta có M = f ( 2) , GTNN f ( 0) f ( 4) Ta lại có: f ; f < f ( )Þ f + f () ( < f (2 ) Û f ( ) - f - f () ( ) 3>0 () ( ) ) f f 2f f f f f 2f f f f f Ta chọn đáp án A Bài 4: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x tục R đồ thị hàm số f x liên đoạn 2; hình vẽ bên Tìm khẳng định khẳng định sau A max f x f x 2;6 C max f x x x 2;6 Hướng dẫn: x y, B max f x f -2 + 2;6 f D max f x x f 2;6 Từ đồ thị hàm số y = f '( x) ta có bảng biến thiên sau: -1 + 13 f( -1 f (6 ) y ) Ta có: f (6 )- f ( - = ) đáp án C ò f ' x dx = ( ) f ' x dx + ò -1 ( ) -1 Bài 5: Cho hàm số y f x ò f ' x )dx >0 Þ f ( ) > f ( - ( ) Ta chọn có đạo hàm f x liên tục R đồ thị hàm số f x hình vẽ Khẳng định sau đúng? A f ( b ) > f ( c) f ( c ) > f ( a) B f ( b ) > f ( c) f ( c ) < f ( a) C f ( b ) < f ( c) f ( c ) > f ( a) D f ( b ) < f ( c) f ( c ) < f ( a) Hướng dẫn: f(b)- f(c) f(c)- f(a) b = ò f ' ( x ) dx > Û f c c (b ) > f ( c) ( c ) > f ( a) = ò f ' ( x ) dx > Û f a Ta chọn đáp án A b d Bài 6: Cho số thực a , , c , thỏa mãn a b c d hàm số y f x y f x Biết hàm số có đồ thị hình vẽ Gọi M m giá trị lớn nhỏ hàm số y f x 0; d Khẳng định sau khẳng định đúng? y a bc d x O 14 A.M m f0 fc B M m f d f c C.M f a D M m fb fa m f0 Hướng dẫn: Ta có bảng biến thiên: x y, y b a f (0 0+ - f (b ) + f (d ) f ( a) * d c ) f ( c) So sánh f ( a ) ; f ( c) f(c)- c b c f ( a ) = ò f ' ( x ) dx = ò f ' ( x ) dx +ò f ' ( x ) dx 0, "x ẻ K ị f ( x) tăng K ; f ' ( x )