QUAN HỆ VUÔNG GÓC ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa: 2. Định lý cơ bản 3. Các định lý khác B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN SBT/ hhcb 11 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC và SD. a. Chứng minh: BC ⊥ (SAB); CD ⊥(SAD) và BD ⊥(SAC) b. Chứng minh: SC ⊥ (AHK) và điểm I thuộc (AHK) c. Chứng minh: HK ⊥(SAC), từ đó suy ra HK ⊥AI Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có SA = SC, SB = SD a. Chứng minh: SO ⊥ (ABCD) b. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. Chứng minh rằng: IK ⊥(SBD) và IK ⊥SD Bài 3: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau từng đôi một. Bài 4: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Kẻ OH vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại H. Chứng minh: a. OA⊥BC; OB⊥CA VÀ OC⊥AB b. H là trực tâm của tam giác ABC c. 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC = + + Bài 5: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD và có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Chứng minh các mặt bên của hình chóp đã cho là những tam giác vuông. Bài 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và biết rằng A’H vuông góc với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: a. AA’⊥BC và AA’⊥B’C’ b. Gọi MM’ là giao tuyến của mặt phẳng (AHA’) với mặt bên BCC’B’, trong đó M ∈ BC và M’∈B’C’. Chứng minh rằng tứ giác BCC’B’ VẤN ĐỀ 1: 1. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Cách 1: Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong α Cách 2: Chứng minh a song song với đường thẳng b vuông góc với α 2. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Cách 1: Chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia. Cách 2: Nếu hai đường thẳng ấy cắt nhau thì có thể áp dụng các phương pháp chứng minh vuông góc đã học trong hình học phẳng. Bài tập: Bài 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O; SA vuông góc với mặt phẳn (ABCD). Gọi H, I, K ần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB; SC; SD. a. Chứng minh rằng: BC vuông góc với mặt phẳng (SAB); CD vuông góc với mặt phẳng (SAD); BD vuông góc với mặt phẳng (SAC). b. Chứng minh rằng: AH; AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra ba đường AH; AI; AK cùng chứa trong một mặt phẳng. c. Chứng minh rằng: HK vuông góc với mặt phẳng (SAC). Từ đó suy ra HK vuông góc với AI Bài 2: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B, ( )SA ABC⊥ a. Chứng minh: ( )BC SAB⊥ b. Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh: AH SC⊥ Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết rằng: SA SC = và SB SD = a. Chứng minh: ( )SO ABCD⊥ b. Gọi ,I J lần lượt là trung điểm của các cạnh ,BA BC . Chứng minh rằng: ( )IJ SBD⊥ Bài 4: Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều; gọi I là trung điểm của cạnh BC a. Chứng minh: ( )BC AID⊥ b. Vẽ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh: ( )AH BCD⊥ Bài 4: Cho tứ diện OABC có OA; OB; OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: a. ( )BC OAH⊥ b. H là trực tâm của tam giác ABC. c. 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC = + + d. Các góc của tam giác ABC đều nhọn. Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh bằng a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD a. Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh rằng ( )SI SCD⊥ và ( )SJ SAB⊥ b. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng: SH AC⊥ c. Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM SA ⊥ . Tính AM theo a. Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên SAB là tam giác đều và 2SC a= . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. a. Chứng minh rằng: ( )SH ABCD⊥ b. Chứng minh rằng: SC SK ⊥ và CK SD ⊥ Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB a = ; 3BC a= , mặt bên SBC vuông tại B, mặt bên SCD vuông tại D có 5SD a= a. Chứng minh: ( )SA ABCD⊥ và tính SA b. Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Hãy xác định các giáo điểm K, L của SB, SD với mặt phẳng (HIJ). Chứng minh rằng: ( )AK SBC⊥ và ( )AL SCD⊥ c. Tính diện tích tứ giác AKHL Bài 8: Gọi I là một điểm bất kỳ ở trong đường tròn (O), tâm O, bán kính bằng R. CD là dây cung của đường tròn (O) qua I. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) tại I, ta lấy điểm S với OS R= . Gọi E là điểm đối tâm của D trên đường tròn (O). Chứng minh rằng: a. Tam giác SDE vuông tại S b. SD CE⊥ c. Tam giác SCD vuông Bài 9: Cho tam giác MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng α . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng α tại A ta lấy hai điểm C, D ở hai bên điểm A. Gọi C’ là hình chiếu vuông góc của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC’. a. Chứng minh: ' ( )CC MBD⊥ b. Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên AB. Chứng minh rằng K là trực tâm của tam giác BCD. Bài 10: Cho đường tròn (O) đường kính 2AB R= ; (O) ở trong mặt phẳng α . Dựng 2AS R= vuông góc với mặt phẳng α . Gọi T là một điểm di động trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A. Đặt · ABT ϕ = ( 0 90 o ϕ < < ). Đường thẳng BT gặp đường tròn (O) tại M. Gọi N là hình chiếu vuông góc của A trên SM. a. Chứng minh rằng khi T di động, đường thẳng TN luôn đi qua một điểm cố định H b. Tính ϕ để tam giác AHN cân. Bài 11: Cho tứ diện ABCD. a. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 AB CD AC AD BC BD⊥ ⇔ − = − b. Từ đó suy ra nếu một tứ diện có hai cặp cạnh đối vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối còn lại cũng vuông góc với nhau. Bài tập SBT (hh nâng cao) 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và SA = SC; SB = SD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. a. Chứng minh rằng SO⊥ mp(ABCD) b. Gọi d là giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD); d 1 là giao tuyến của mp(SBC) và mp(SAD). Chứng minh SO⊥ mp(d; d 1 ) 2. Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau sai cho hai đường chéo AC và BF vuông góc. Gọi CH và FK lần lượt là hai đường cao của hai tam giác BCE và ADF. Chứng minh rằng: a. ACH và BFK là các tam giác vuông b. BF ⊥ AH và AC ⊥ BK 3. a) Cho tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của DH. Chứng minh rằng tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một vuông góc. b) Cho tứ diện IABC có IA = IB =IC và IA, IB, IC đôi một vuông góc; H là hình chiếu của I trên mp(ABC). Gọi D là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh rằng tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau. 4. Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc với mp(ABC), ABC là tam giác vuông tại A. a. Chứng minh rằng ACS là tam giác vuông b. Tính SA, SB, SC biết rằng · · ; ;ACB ACS BC a α β = = = VẤN ĐỀ 2: THIẾT DIỆN QUA MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC VÀ VUÔNG GÓC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC Cho khối đa diện (S), ta tìm thiết diện của (S) với mặt phẳng α , α qua điểm M cho trước và vuông góc với một đường thẳng d cho trước. Cách 1: Nếu có hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau a, b cùng vuông góc với d thì: / / a α (hay chứa a) / / b α (hay chứa b) Phương pháp tìm thiết diện loại này đã được trình bày trong chương trước Cách 2: Dựng mặt phẳng α như sau: Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với d, trong đó có ít nhất một đường thẳng qua M (hình 63a) Mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng trên chính là α - Xác định thiết diện theo phương pháp đã học Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với , 2AB BC a AD a= = = ; SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và 2SA a= . Gọi M là một điểm trên cạnh AB; α là mặt phẳng đi qua M, vuông góc với AB. Đặt (0 )x AM x a= < < a. Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với α . Thiết diện là hình gì? b. Tính diện tích thiết diện theo a và x Ví dụ 2: Cho hình tứ diện S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và 2SA a = . Gọi α là mặt phẳng qua B và vuông góc với SC. Tìm thiết diện của tứ diện SABC với α và tính diện tích của thiết diện này. 1. Cho hình tứ diện S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B. ; ( )AB a SA ABC= ⊥ và 3SA a= . M là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB. Đặt (0 )AM x x a= < < . Gọi α là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB. a. Tìm thiết diện của tứ diện S.ABC với α b. Tính diện tích của thiết diện này theo a và x . Tìm giá trị của x để diện tích có giá trị lớn nhất 2. Cho hình tứ diện S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a, ( )SA ABC⊥ và SA a = . Tìm thiết diện của tứ diện SABC với mặt phẳng α và tính diện tích của thiết diện trong các trường hợp sau: a. α qua S và vuông góc với BC. b. α qua A và vuông góc với trung tuyến SI của tam giác SBC. c. α đi qua trung điểm M của SC và vuông góc với AB 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. ( )SA ABCD⊥ và 2SA a= . Vẽ đường cao AH của tam giác SAB. a. Chứng minh: 2 2 2 3 SH SB = b. Gọi α là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SB, α cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích của thiết diện 4. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a; ( )SA ABCD⊥ và 2SA a= . Gọi α là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC, α cắt SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P. a. Chứng minh rằng: ;AM SB AP SD⊥ ⊥ và 2 . . .SM SB SN SC SP SD SA= = = b. Chứng minh: tứ giác AMNP nội tiếp được và có hai đường chéo vuông góc với nhau. c. Gọi O là giao điểm của AC và BD; K là giao điểm của AN và MP. Chứng minh rằng ba điểm S; K; O thẳng hàng. d. Tính diện tích tứ giác AMNP 5. Cho hình thoi ABCD có tâm O với các đường chéo 4 ; 2AC a BD a= = . Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại O lấy điểm S với 2 3SO a= . Mặt phẳng α qua A và vuông góc với SC cắt SB; SC; SD lần lượt tại B’; C’; D’ a. Chứng minh tứ giác AB’C’D’ có hai đường chéo vuông góc với nhau b. Tính diện tích tứ giác AB’C’D’ c. Chứng minh rằng B’C’D’ là tam giác đều 6. Cho hình tứ diện S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh bằng a; ( )SA ABC⊥ và SA a= . Gọi M là một điểm tuỳ ý trên cạnh AC, α là mặt phẳng qua M và vuông góc với AC. a. Tuỳ theo vị trí của điểm M trên cạnh AC, có nhận xét gì về thiết diện tạo bởi α với tứ diện S.ABC b. Đặt (0 )CM x x a= < < . Tính diện tích S của thiết diện trên theo a và x . Xác định x để diện tích này có giá trị lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó. 7. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a. ' ( )AA ABC⊥ và 'AA a = . Có nhận xét gì về thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng α và tính diện tích trong mỗi trường hợp sau: a. α qua A và vuông góc với B’C b. α qua B’ và vuông góc với A’I (I là trung điểm của cạnh BC) ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN A. TÓM TẮT 1. Phép chiếu vuông góc 2. Đoạn vuông góc, đoạn xiên 3. So sánh độ dài đoạn vuông góc và các đoạn xiên 4. Trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác 5. Định lý ba đường vuông góc 6. Góc giữa đường xiên và mặt phẳng 7. Khoảng cách B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VẤN ĐỀ 1: - DỰNG ĐƯỜNG THẲNG QUA MỘT ĐIỂM A CHO TRƯỚC VÀ VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG α CHO TRƯỚC - TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG Thực hiện theo các bước sau: - Bước 1: Chọn trong α một đường thẳng d, rồi dựng mặt phẳng β qua A và vuông góc vowosi d (nên chọn d sao cho β dễ dựng) - Bước 2: Xác định đường thẳng c α β = ∩ - Bước 3: Dựng AH c⊥ tại H. - Đương thẳng AH là đường thẳng qua A và vuông góc với α - Độ dài của đoạn AH là khoảng cách từ A đến α Chú ý : 1. Trước khi chọn d và dựng β nên xét xem d và β đã có sẳn trên hình vẽ chưa. 2. Phương pháp dựng mặt phẳng β ở bước 1 đã được trình bày ở vấn đề 2 3. Nếu đã có sẳn đường thẳng ∆ vuông góc với α, khi đó chỉ cần dựng Ax// ∆ thì Ax ⊥α 4. Nếu AB//α thì d(A, α) = d(B, α) 5. Nếu AB cắt α tại I thì ( , ) ( , ) d A IA d B IB α α = Bài tập 1. Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và AC=a. Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH vuông VẤN ĐỀ 2: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VẤN ĐỀ 3: VÀI ỨNG DỤNG CỦA TRỤC ĐƯỜNG TRÒN . pháp chứng minh vuông góc đã học trong hình học phẳng. Bài tập: Bài 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O; SA vuông góc với mặt phẳn. hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB; SC; SD. a. Chứng minh rằng: BC vuông góc với mặt phẳng (SAB); CD vuông góc với mặt phẳng (SAD); BD vuông góc với