PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Trong chương trình phổ thơng, học sinh làm quen với bất đẳng thức từ sớm ln song hành với học sinh lớp 12 Ở bậc tiểu học giới thiệu so sánh số tự nhiên đến so sánh phân số Ở bậc THCS tiếp tục học so sánh số nguyên, so sánh lũy thừa biểu thức chứa biến, biến, biến Ở bậc THPT bất đẳng thức mở rộng đa dạng với phương pháp chứng minh Bất đẳng thức khơng xuất chương trình phổ thơng mà cịn thường xun xuất kì thi chuyển cấp, thi học sinh giỏi cấp, thi vào lớp 10 chuyên, chọn Với mong muốn tạo tài liệu thể phương pháp giải toán bất đẳng thức hướng tiếp cận, đưa phương pháp tư phép suy luận để tìm lời giải cách tối ưu, chia sẻ số kinh nghiệm chứng minh bất đẳng thức Vì tơi xin trình bày: “ Một số kỹ giải tốn bất đẳng thức trường THCS Trung chính” II Mục đích nghiên cứu Mở rộng nâng cao phần tri thức Bất Đẳng Thức cho học sinh, phát triển tư thuật toán học sinh, đáp ứng yêu cầu chung ngành giáo dục nâng cao chất lượng học sinh giỏi III Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu, tổng kết phương pháp chứng minh bất đẳng thức áp dụng cho học sinh khá, giỏi lớp 8, lớp trường THCS Trung Chính IV Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu tài liệu Phương pháp thực nghiệm Phương pháp thống kê Phương pháp quan sát, kiểm tra, đối chiếu, so sánh kết học sinh PHẦN NỘI DUNG I Cơ sở lý luận Việc nâng cao chất lượng học sinh giỏi nhiệm vụ trọng tâm nhà trường Chất lượng học sinh phải đạt yêu cầu: Phát triển lực tư Có phẩm chất đạo đức tốt, giàu tính nhân văn, có ý thức vươn lên, ham hiểu biết, tự giác, tích cực học tập Có lực sáng tạo cơng việc Do cần nắm bắt đối tượng học sinh, tìm hiểu nguyên nhân để kịp thời xây dựng kế hoạch bồi dưỡng II Thực trạng Trong q trình khảo sát tơi thấy học sinh thường ngại học toán bất đẳng thức tốn bất đẳng thức thường khó, phương pháp giải hạn chế, khơng có tài liệu để học tập nghiên cứu gặp toán bất đẳng thức em thường bế tắc, khơng có hướng để giải III Các biện pháp tiến hành Phương pháp sử dụng định nghĩa bất đẳng thức 1.1 Nội dung phương pháp: Để chứng minh A B, ta cần xét hiệu A – B Nếu A – B A B, cịn A – B A B 1.2 Các thí dụ minh họa : Thí dụ Chứng minh với số thực x, y, z, t, w ta có x2 + y2 + z2 + t2 + w2 x(y + z + t + w) Bài giải Ta có : (x2 + y2 + z2 + t2 + w2) - x(y + z + t + w) x x x = ( + y2 – xy ) + ( + z2 – xz ) + ( + t2 – xt ) + ( x x x x x 4 + w2 – wx ) = ( y) ( z) ( t) ( w) Vậy với số thực x, y, z, t, w ta ln có x2 + y2 + z2 + t2 + w2 x(y + z + t + w) Thí dụ Cho a, b, c số dương Chứng minh : ab bc ac a b c a b b c c a Bài giải ca Xét hiệu P = a b c ( ab + bc + ) P=( a b a b b c c a ab ) + ( b c - bc ) + ( c a - ca ) a b b c c a 2 = (a b) 4ab + (b c) 4bc + (c a) 4(a b)4(b c)4(c a) 2 4ac = (a b) + (b c) + (c a) P 4(a b) 4(b c) 4(c a) Vậy ab a b bc b c ac c a a bc với a, b, c số dương Thí dụ Cho x 0, y Chứng minh : (x y)(1 xy) 2 -4 (1 x) (1 y) (x y)(1 xy) Bài giải y x Ta có : 2 (1 x) (1 y) (1 x) (x y)(1 xy) 2 (1 x) (1 y) y 4x (1 x) Nên = 4(1 x) (1 y) x (1 x) (x 1) (1 y) 2 y (1 y) (1) 0, từ theo định nghĩa bất đẳng thức (2) Dấu (2) xảy Tương tự y = 0; x = (x y)(1 xy) 2 (1 x) (1 y) x (1 x) = Do x y (1 y)2 4(1 x) Do y nên có VP(1) (x y)(1 xy) suy (1 x) (1 y) 2 x y (1 y) 2 (y 1) (1 x) 4(1 y) (3) 0, từ suy (x y)(1 xy) nên VP(3) (1 x) (1 y) (4) Dấu (4) xảy rax = 0, y = 1 (x y)(1 xy) 2 Vậy 0, y (1 x) (1 y) với x Phương pháp biến đổi tương đương 2.1 Nội dung phương pháp: Để chứng minh A B, ta dùng tính chất bất đẳng thức, biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến bất đẳng thức biết Do A B 2.2 Các thí dụ minh họa : Thí dụ Chứng minh với số thực a, b, c, d ta có a 2 b c 2 d (a c) (b d) Bài giải Ta có a 2 b c 2 d (a c) (b d) (1) a a b c d 2 (a b ) (c 2 d ) 2 2 b d + 2ac 2bd c 2 2 ac bd Có hai khả xảy : Nếu ac bd < bất đẳng thức hiển nhiên Nếu ac bd (2) (a b ) (c (2) d ) a 2c2 a 2d2 b2d2 b2c2 a2c2 b2d2 2abcd ( bất đẳng thức đúng) 2 2 Vậy a2 b2 với số thực a, b, c c d (a c) (b d) Thí dụ Cho a > b > c c ab Chứng minh : c a c b (ad bc) c 2 a c 2 b Bài giải Từ giả thiết a >b >0 c >0 nên ta có (c a) c a (c b) c a 2 2 b b 2 c a c (a b) ab(a b) 0(a b)(c Do a > b c Ta có : a 12 a a 10 b 10 b 2 c a 2 c b c 2 2 b b ) b(c a a10 a 10 a b b b a 12 a ) (2) ab nên (2) đúng, (1) (1) ab) Thí dụ Chứng minh rằng: 10 c b 2bc 2 c a a(c 2 c b 2ac c a 12 b b a b 10 a 28 b a b a b Bài giải a 4 b a b b 12 2 2 2 a b a b a b b a a 2 2 6 b (a b )(a b ) 2 22 2 a b (a b ) (a a b b ) Bất đẳng thức cuối ta có điều phải chứng minh Phương pháp vận dụng toán bất đẳng thức 3.1 Nội dung phương pháp: Khi giải số toán bất đẳng thức ta vận dụng bất đẳng thức sau : n Bất đẳng thức Cô sy: a1 a a3 an Với a a a a n Bất đẳng thức Bunhiacopski 12 n 22 2 2 a1x1 a2x2 anxn a a2 an x1 x2 n Bất đẳng thức Trê- bư-sép: a b c Nếu aA bB cC a b c A BC 3 a b c A B C A B C a b c Nếu aA bB cC C A B 3 a b c Dấu xảy A B C 3.2 Các thí dụ minh họa : Thí dụ Cho a 3,ab 6,abc chứng minh : S = a + b + c Ta có : S = a + b + c = ( a b Theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có : a bc abc ( abc 3 a b ab ( ab 6) a ( a 3) Bài giải c) (a b )a 6) (1) (2) (3) Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh 2 Thí dụ Cho a > b > c > a b c chứng minh : 3 a b c b c a c a b Bài giải 2 a a Do a,b,c đối xứng, giả sử a b c áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có 2 a a b b c b c2 a c b b c c a b 2 a b c a b c c c a c ab b b a c c a b = = Vậy a3 b c b c a c a b Dấu xảy a = b = c = Thí dụ Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a3 a b3 2 b c3 2 c b c 2 a a b c Bài giải Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: a a a ab a 2 b a b Tương tự ta có b 2 c b ab a b 2ab b c ; c3 2 a c a c a Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta a a2 b b b2 c c a b c c2 a a b c 2 a b c Bài toán giải Đẳng thức xảy a = b = c > Phương pháp xuất phát từ bất đẳng thức để đến bất đẳng thức phải chứng minh 4.1 Nội dung phương pháp: Phương pháp xuất phát từ bất đẳng thức đúng, biến đổi thành bất đẳng thức phải chứng minh Như điều cốt yếu sử dụng phương pháp cần lựa chọn bất đẳng thức thích hợp với đầu để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh Việc lựa chọn tiến hành cách dựa vào cấu trúc bất đẳng thức ban đầu giả thiết toán Đây phương pháp để chứng minh bất đẳng thức 4.2 Các thí dụ minh họa : Thí dụ Cho ba số thực a, b, c 1;2 thoả mãn điều kiện a+b+c = Chứng minh a2 + b2 + c2 Bài giải Do -1 a (a + 1)(a - 2) (1) a2 – a – a1 Dấu (1) xảy a Lập luận tương tự, ta có b2 – b – (2) (3) c – c – b1 Dấu (2), (3) tương ứng xảy Cộng vế (1) (2) (3), ta có c1 , b c a2 + b2 + c2 – (a+b+c) – (4) Từ a + b + c = đến a2 + b2 + c2 Ta có điều phải chứng minh Dấu xảy đồng thời có dấu (2) (3) (4) ba số a, b, c có hai số -1 số Nhận xét: Trong thí dụ này, dựa vào giả thiết a 1,2 , ta xuất phát từ bất đẳng thức : a2 – a – Thí dụ Cho số thực x,y,z 0,2 thoã mãn điều kiện x + y + z = Chứng minh: x2 + y2 + z2 Bài giải Từ x 2, y 2, z suy (x-2)(y-2)(z-2) (*) xy 2(x y) (z 2) xyz – (2xy + 2yz + 2zx) + 4(x + y + z) – 2 2) (1) (x y z) (z y x ) +4(x + y + z) – Thay (x + y + z) = vào (1) ta có x2 + y2 + z2 – xyz (2) Do x, y, z không âm nên x2 + y2 + z2 (3) Dấu xảy (3) đồng thời có dấu (*), (2) xyz - x y (x2)(y 2)(z 2) xyz z ba số x,y,z có số 0, số 2, số Nhận xét: Bất đẳng thức xuất phát (*), suy trực tiếp từ giả thiết tốn Thí dụ Cho x2 + y2 + z2 = Chứng minh : xyz + 2(1 + x + y + z + xy + yz + zx) Bài giải 2 Từ giả thiết x + y + z = x 1, y 1, z (1 + x)(1+ y)(1 + z) + x + y + z + xy + yz + zx + xyz Mặt khác hiển nhiên ta có (1 x y z) (1) (2) (3) Cộng vế (2) (3) để ý x2 + y2 + z2 =1, ta có xyz + 2(1 + x + y + z + xy + yz + zx) (4) Dấu (4) xảy đồng thời có dấu (1) (3) (1 x)(1 x y y)(1 z z) 0 số x,y,z có số -1 hai số Nhận xét: Trong thí dụ hai bất đẳng thức xuất phát (1) (3) Phương pháp làm trội 5.1 Nội dung phương pháp: Để chứng minh A B ta chứng minh A C với C B 5.2 Các thí dụ minh họa : Thí dụ Với số tự nhiên n >1 chứng minh : 1 1 n n 2n 1 1Bài giải Ta có với k = 1,2,3,…,n-1 n k n n 2n Do đó: 1 1 n n n 2n 2n 2n n 1 Thí dụ Chứng minh rằng: N Ta có k k Bài giải 2 k n Khi cho k chạy từ đến n k k k Với n n ta có : 1>2 21 2 ……………… n n n Cộng vế bất đẳng thức ta có 1 1 n n Thí dụ Chứng minh rằng: 1 13 2 n (n 1) với k N k ta có 1 k (k 1) Do với n 2k 13 11 2k 2k n Bài giải N n (n 1) k 2k k 1 11 2 2 1 n n 1 1 13 1 13 13 n (n 1) 2 n Vậy n (n 1) (n 1) 21 1 2 n 1 21 n 1 với n 1 n N n Phương pháp đổi biến số 6.1 Nội dung phương pháp: Để chứng minh bất đẳng thức, ta đổi biến từ dẫn đến tốn quen thuộc biết cách giải 6.2 Các thí dụ minh họa : Thí dụ Cho a,b,c > Chứng minh (1) a b c b c c a a b Bài giải y z x z x y Đặt x = b + c ; y = c + a ; z = a + b ta có a = ; b= ; 2 c= x y z ta có (1) y z x 2x z x y 2y x y z 2z y z x z x y y 1 ( x x y y z z x x zx z y y) (x z ) ( y z) Bất đẳng thức cuối y x x 2; y z x2; x z điều phải chứng minh Thí dụ Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c b c a a c b a b c Bài giải Đặt x = b + c – a, y = a + c – b, z = a + b – c Vì a, b, c ba cạnh tam giác nên x, y, z > y z x z x y a ,b ,c Do ta có y z x z x y =2 2x 2y x y x y y z 2z z y x z z x z y y nên ta có z (x y) (y z) xy (z x) yz xz Vậy a b c với a, b, c ba cạnh tam giác b c a a c b a b c Thí dụ Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b c 2a b c a 2b c a b 2c Bài giải Cách 1.Cho a, b, c > 0, ta có: a b c Bất Đẳng Thức1 1 2a b c a 2b a b 2c c a b c a b c a b c 4a b c 2a b c a 2b c a b 2c 1 a 2b c a b 2c 2a b c Đặt x 2a a y b 2b 1 (x y z)( x y c c 0 x y z 4(a b z x z c) z) 9, x, y, z Thật vậy, với x, y, z >0, khai triển biểu thức ta có: x y z x 1 y y x y z y x z Áp dụng bất đẳng thức Cơ-Si ta có: x yx y x x z y z z x 2; z y 2và x z 1 Từ suy (x y z)( x y z) 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Phương pháp chứng minh phản chứng 7.1 Nội dung phương pháp: Để chứng minh A B, ta giả sử A < B, từ lập luận để dẫn đến điều vơ lý Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh 7.2 Các thí dụ minh họa : Thí dụ Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0, ab+bc+ac > 0, abc > Chứng minh rằng: a > 0, b > 0, c > Bài giải Giả sử a + a = abc = ( vơ lý ) + a < 0, từ abc > bc < kết hợp ab + bc + ca > ab + ca > a(b + c) > b + c < ( a < 0) a < 0, b + c < a + b + c < (mâu thuẫn với giả thiết) Do a sai Ta có a > Chứng minh tương tự có b > c > Thí dụ Cho ba số dương a, b, c nhỏ Chứng minh có bất đẳng thức sau sai a(2 – b) > 1; b(2 – c) > 1; c(2 – a) > Bài giải Giả sử bất đẳng thức Ta có: a(2 – b) > 1; b(2 – c) > 1; c(2 – a) > a(2 – b) b(2 – c) c(2 – a) > (1) < a(2 – a) a(2 – b) b(2 – c) c(2 – a) (2) (1) (2) mâu thuẫn Do có bất đẳng thức sai Thí dụ Cho x,y,z > xyz = Chứng minh Nếu x + y + z > x y z có ba số lớn Bài giải Ta có (x-1).(y-1).(z-1) = xyz – xy- xz - yz + x + y+ z –1 = x + y + z – ( 1 ) xyz = 1 1 x y z theo giả thiết x + y + z > x y z nên (x-1).(y-1).(z-1) > Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 có số dương Thật ba số dương x,y,z > xyz > (trái giả thiết) Cịn số dương (x-1).(y-1).(z-1) < (vơ lý) Vậy có ba số x , y, z lớn Bài tập vận dụng Bài tập Cho a,b,c số dương chứng minh rằng: a a b b b c c c a Bài tập Chứng minh với n > 2 312 Bài tập Cho -2 x Chứng minh : 1 1 n -2 x + x 2 Bài tập Cho x, y, z số thoã mãn điều kiện xy + yz + zx = Chứng minh: x4 + y4 + z4 16 Bài tập 1 a) Cho x, y , Chứng minh: x y x y ; b) Cho x 0, y 1, Chứng minh: x y y x xy ; c) Cho x 0, y 1, z , Chứng minh: x y z 2 (x y z) Bài tập Cho a, b, c số không âm thoả mãn: a b c 1.Chứng minh: a) a b c 3,5 ; b) a b b c c a Bài tập Cho a, b,c ,Chứng minh rằng: a 1b 1c 1ab 1bc 1ca Bài tập Cho a, b, c số dương tuỳ ý Chứng ab bc ca a b c a b b c c a Bài tập Cho a, b, c số dương.Chứng minh bất đẳng thức: 2 a b c a) a2 b c b c c a a b 2 b) a2 b c a b b c c a minh a b c Bài tập 10 Cho a, b, c số dương.Chứng minh bất đẳng thức: a b b c a c c a b Bài tập 11 Cho ba số dương x, y, z Chứng minh y x y z 2z z 2x x 2y Bài tập 12 Cho abc = a3 36 2 a Chứng minh : b+c > ab+ bc+ ac Bài tập 13 Cho x > y xy =1 Chứng minh x y x y rằng: 1 Chứng minh rằng: x2 y2 xy Bài tập 14 Cho xy Bài tập 15 Cho a , b, c số thực a + b + c = Chứng minh 2 21 a b c Bài 16 Cho ba số dương a, b, c Chứng minh : a 3b c a ab bc ca b c Bài 17 Cho a, b, c số thực dương thõa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a b c b 21 c 21 a 21 Hướng dẫn đáp số Bài tập Ta ln có: a a ; a b c a b cộng vế với vế ta được; a b c a a b b c c a a b c Ta lại có: a 1a b a b c b Cộng vế với vế ta được: a a b b c b c c a c a b c a a b a b a tương tự ta có: b b a b c a b c a c a b c b ; c b c a b c a b c c c a a b c 1.a a b c c ; b c ; c c b , c a a b c b a a b c c b a b c 2(a b c) a b c 1 1 Bài tập Với n > ta có n2 (n 1).n n n , nên ta có: 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 4 n n = n n n n < Bài tập Bất đẳng thức bên trái điều hiển nhiên (do x Xét bất đẳng thức bên phải Xét hai dãy số sau: x, x 1,1 Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki, ta có 2 x 8 8 (4 x4 x x 2 ) (11 )x 22 4x 2 x 0) Hay x x x+ x 2 2 x Dấu xảy x x 2 4x 2x=2 x0 Kết hợp lại, ta có: -2 x + 2 điều phải chứng minh x Bài tập Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki cho hai dãy số x2, y2, z2 1, 1, Ta có: (x4 + y4 + z4)(12+12+12) (x2+y2+z2) 3(x4 + y4 + z4) (x2 +y2 +z2) (1) Dấu (1) xảy rax2 = y2 = z2 Lại áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki cho hai dãy số x, y, z z, x, y Ta có: (x2 + y2 + z2)(z2+x2+y2) (xy + yz + zx)2 (2) x y z (x2 + y2 + z2) 16 Dấu xảy (2) Từ (1), (2) suy x z x x4 + y4 + z4 yz z y y xy xz 16 (3) Dấu (3) xảy : x y z2 3 x y z2 3 điều phải chứng minh Bài tập a) Với x, y ta có (x y) 2 x 2xy y x y xy (x y) x y 4xy x 2xy x y x xy 4xy y xy y 4xy x y (x x y) y 4xy x y b) Với x 0, y 1ta có: x y y xy x y x xy Áp dụng BĐT Cơ Si ta có: ,nên ta có: x y y y x y 2x 2y y x 22 x 1 2 x 1 xy y 1; y x ;1 y x x 1, y y 2 Vậy x y y x xy c) Với x 0, y 1, z , nên ta có: x y 1 z 2 (x y z) x y z x y z x x y y 1 z 2 z 2 2 x y 1 z x 0, y 1 0, z 2 Bài tập a) Ta viết tổng a + tích 1.( a + ) áp dụng bất đẳng thức Cô-si x y với x > y > xy a c 1.(a 1) 1.(c 1) a a 1, b 1 b b 1, 1.(b 1) 2 2 c c 1, cộng vế ba bất đẳng thức ta được: a b a b c3 c 2 a b 1 a b c3 c a b c a b c b) áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki với hai ba số ta được: a b b c c a (1 1) ( a a b b c c a 3(a b b c c a) 3.2(a b c) a b b c c a Bài tập Với a, b,c a b ( b c) ( c a) , ta có: 1 1 1 a b c ab bc ca b) b c 12 0,1 2 a b c ab bc ca 12 c a 0, 1 a b b c 2ab b c a (a b) Bài tập Ta có (a b) a 2 4ab (a b)(a b) 4ab a b 2ab b c 2bc c a 2ca ,tương tự ta có: a b b c , c a , cộng vế với vế ta được: a b b c c a 2 ab 2ab 2bc 2ca bc a b ca b c 2(a b c) c a c a a b c a b b c ab bc a b b c Bài tập a) áp dụng bất đẳng thức Cơ-si: x thức Cơ-si ta có: a b c b c a c a b b c a b c aa c a b c b c a 2 bb a b c a c a b a b 2 cc Cộng vế với vế ta được: a a2 b c b2 b c a b c c2 a b c c a a b a2 b2 b c c a a b c a b b b c c c a 2 a b 2 b c bb b c a b c c c a c a a b c b c c a a a b 2 b b c a b c c c a a b b c c a a b 4 a b cb c c a a b 4 2 a b aa b c b bất đẳng 2 cc Cộng vế với vế ta được: a2 a a b c a b a c a c a a b c a b a b c b)Tương tự câu a) ta có: a a b a b b c ca a b c c a ;; c c c2 2ca b c; c a b c a 2bc y xy, x, y Theo a a b c b b 2ab a b a b c a a a b b b b c 2 b b c c c a c a b ; b c ; cc a ; c a a b c 2 a b c Bài tập 10 áp dụng bất đẳng thức Cô-si: x b c a b c b c 1 :2 a a 2a y xy, x, y a 2a b c a b c ta có: Tương tự ta có: b a ca b c 2b ; c 2c , cộng vế với vế ta được: a b c a b a b c 2(a b c) 2a 2b 2c a b c a b c a b c a b c b a c c a b a b c Dấu (=) xảy khi: b a c a b c , trái với giả thiết a,b,c c a b ba số dương.Vậy đẳng thức không xảy Vậy b a a c a b c Bài tập 11 c b Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki với hai dãy sau: x y y 2z , x(y 2z) Ta có x y 2z z 2x z z 2x , x 2y , y(z 2x) , z(x 2y) y z , x 2y x(y 2z) y(z 2x) (x 2y (x y y x y 2z z z 2x x 2y Dấu (1) xảy (x y z) z) 2 (1) 3(xy yz zx) x y 2z y z 2x y(z2x) x(y 2z) z x 2y z(x 2y) y + 2z = z + 2x = x + 2y x = y = z > Hiển nhiên ta có x, y, z > (x + y + x) 3(xy + yz + zx) Dấu (2) xảy x = y = z Từ (1), (2) suy y y x (2) y z 2z z 2x x 2y Đó đpcm Bài tập 12 Ta có hiệu: a 2 a2 2 b +c- ab- bc – ac = a2 a2 12 2 b +c a b + c - ab – ac+ 2bc) + 12 3bc =( - b- c) + a – ab - bc – ac = ( a 36abc 12a = ( a -b- c)2 + a >0 (vì abc = a3 > 36 nên 36abc a >0 ) 12a a Vậy : b2 + c2 > ab + bc + ac Bài tập 13 Ta có 22 y x y x y 4 x y x y 2xy x y (vì xy = 1) 2a 24 x Do BĐT cần chứng minh tương đương với x y 4x y 2 x y x y 4x y x y 2 BĐT cuối nên ta có điều phải chứng minh 1 Bài tập 14 Ta có 2 xy x 1 x y 1 xy y xy y xy x y 2 x xy x(y x) xy x y y(x y) 2 x xy y xy y x 2 xy BĐT cuối xy > Vậy ta có y xy điều phải chứng minh Bài tập 15 áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho số 1,1,1 a, b, c Ta có 1.a 1.c 21 1.b a 2 b 2 b 1.a a b c c 2 a (vì a+b+c =1 ) (điều phải chứng minh) c Bài 16 Đưa bất đẳng thứccần chứng minh dạng ( a b a ab) ( bc) ( b c (a b ) b c3 a (b c 2) ac) 2ab 2bc 2ca c (c a 2) 2ab 2bc 2ca b c a Dễ thấy (1) điều phải chứng minh Bài 17 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a b2 a (a 1)b b a a (a 1)b 2b ab b (1) b c Tương tự ta có: b b c bc c ; c c a2 ca a Cộng theo vế bất đẳng thức ta b a b c 1 c a a b c ab bc ca a b c a b c ab bc ca 2 Mà theo đánh giá quen thuộc ta có ab+bc+ca (a b c) a b c 2 3 2 c a Bài toán giải xong Đẳng thức xảy a = b = c = Do ta b IV Hiệu qủa đạt Sau nghiên cứu, áp dụng SKKN trường THCS Trung Chính, tác dụng SKKN khắc phục phần lớn hạn chế em học sinh, phong trào học tập mơn tốn trường ngày phát triển Kết thu đáng khích lệ, tỉ lệ học sinh giỏi tăng lên hàng năm chất lượng số lượng, đặc biệt năm học 2012-2013 Trường THCS Trung Chính có học sinh dự thi đạt giải cao gồm : giải nhất, giải nhì cấp huyện, giải ba giải KK cấp tỉnh; năm học 2015- 2016 đạt giải ba cấp tỉnh, từ năm học 2007- 2008 đến có 10 học sinh thi đậu chuyên toán THPT Lam Sơn PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Trên số phương pháp chứng minh bất đẳng thức mà vận dụng thực tế trường THCS Trung Chính, cố gắng nhiên cách trình bày giới hạn cho phép nên chắn có sai sót, mong nhận ý kiến đóng góp từ bạn đồng nghiệp ý kiến đạo phòng giáo dục để thực ngày tốt nhiệm vụ Tơi xin chân thành cảm ơn! Trung chính, ngày 10 tháng 04 năm 2018 Người viết sáng kiến Nguyễn Bá Hiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Và Ứng Dụng Trong Đại Số Tác Giả : Nguyễn Đức Tấn Bất Đẳng Thức Và Ứng Dụng Tác Giả : Phan Huy Khải – Trần Hữu Nam Những Con Đường Khám Phá Lời Giải Bất Đẳng Thức Tác giả : Trần Phương – Nguyễn Đức Tấn Kĩ Thuật Áp Dụng Bất Đẳng Thức Cô-Si Tá giả : Nguyễn Kim Cường MỤC LỤC NỘI DUNG Phần MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Đối tượng nghiên cứu IV Phương pháp nghiên cứu Phần NỘI DUNG I Cơ sở lý luận II.Thực trạng III Các biện pháp tiến hành Phương pháp sử dụng định nghĩa bất đẳng thức Phương pháp biến đổi tương đương Phương pháp vận dụng toán bất đẳng thức Phương pháp xuất phát từ bất đẳng thức để đến bất đẳng thức phải chứng minh Phương pháp làm trội Phương pháp đổi biến số Phương pháp chứng minh phản chứng Bài tập vận dụng Hướng dẫn đáp số IV Hiệu qủa đạt PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Tài liệu tham khảo Trang ... Khi giải số tốn bất đẳng thức ta vận dụng bất đẳng thức sau : n Bất đẳng thức Cô sy: a1 a a3 an Với a a a a n Bất đẳng thức Bunhiacopski 12 n 22 2 2 a1x1 a2x2 anxn a a2 an x1 x2 n Bất đẳng thức. .. c a Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta a a2 b b b2 c c a b c c2 a a b c 2 a b c Bài toán giải Đẳng thức xảy a = b = c > Phương pháp xuất phát từ bất đẳng thức để đến bất đẳng thức phải chứng minh... Bài toán giải xong Đẳng thức xảy a = b = c = Do ta b IV Hiệu qủa đạt Sau nghiên cứu, áp dụng SKKN trường THCS Trung Chính, tác dụng SKKN khắc phục phần lớn hạn chế em học sinh, phong trào học