MỤC LỤC Mục lục Trang I.Lí chọn đề tài Trang II Nội dung Trang 1.Cơ sở lí luận Trang 2.Thực trạng Trang 3.Các biện pháp thực Trang 3.1 Giải hệ phương trình phương pháp đưa phương trình đồng bậc Trang 3.2 Giải hệ phương trình phương pháp phương pháp đặt ẩn phụ Trang 3.3 Giải hệ phương trình phương pháp cộng phương pháp đặt ẩn phụ Trang 3.4 Giải hệ hai phương trinh có ba ẩn Trang 11 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Trang 16 III Kết luận Trang 17 I MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Hệ phương trình nói chung hệ phương trình phi tuyến tính nói riêng nội dung kiến thức quan trọng chương trình toán cấp THCS Trong đề thi học sinh giỏi, thi vào THPT chun có tốn giải hệ phương trình phi tuyến tính Khi tiếp xúc với dạng tốn học sinh thường thấy khó khăn lúng túng vừa lại đa dạng phong phú lại đòi hỏi nhiều kĩ người học Hơn tài liệu cấp THCS trình bày phương pháp giải loại hệ phương trình theo hệ thống Với mong muốn giúp em học sinh làm quen, có thêm phương pháp biết cách xem xét, khai thác toán theo nhiều hướng khác từ hình thành kĩ thêm hứng thú, tự tin giải dạng tốn Chính lí nên tơi chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh giải hệ phương trình phi tuyến thơng qua khai thác số tốn thi học sinh giỏi” Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu nhằ nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ sư phạm thân, để trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp tham gia nghiên cứu khoa học Giúp học sinh hiểu sâu có hệ thống chuyên đề hệ phương trình phi tuyến, đồng thời tập cho học sinh thói quen khai thác nghiên cứu lời giải sau giải xong tập Đối tượng nghiên cứu Hệ phương trình phi tuyến tính học sinh giỏi lớp huyện Cẩm Thủy Phương pháp nghiên cứu Phương pháp thực nghiệm khoa học Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm Phương pháp phân loại hệ thống hóa lí thuyết Những điểm SKKN Trong sáng kiến kinh nghiệm có điểm là: Một số tập xem xét nhiều góc cạnh, liên hệ vận dụng lời giải để giải số toán tương tự, phân loại hệ thống theo trật tự lô gic số dạng hệ phương trình để học sinh dễ nhớ, đẽ hiểu Việc hướng dẫn học sinh biết thêm phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến thơng qua tốn thi học sinh giỏi mà em có nhu cầu muốn tìm hiểu giúp học sinh hứng thú học tập II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận 1.1 Về phương pháp chung Trong phương pháp dạy học tốn, việc khai thác tổng qt hóa tốn bước thư tư q trình giải tốn việc cần thiết mà giáo viên cần phải thực để giúp học sinh hiểu sâu có nhìn đa chiều vấn đề học Việc hướng dẫn học sinh áp dụng khai thác toán nhằm vận dụng cách linh hoạt em học công việc người dạy toán cần thực 1.2 Về kiến thức: Các phương pháp trương trình THCS dùng để giải hệ phương trình phi tuyến là: Phương pháp Phương pháp đặt ẩn số phụ, Phương pháp cộng, Phương pháp dùng bất đẳng thức, Phương pháp đánh giá, Phương pháp đưa hệ phương trình bậc (đẳng cấp) Thực trạng Qua thực tế giảng dạy theo dõi, thấy tốn giải hệ phương trình phi tuyến tính xuất đề thi vào lớp 10 THPT đề thi học sinh giỏi toán lớp tỉnh thành Để giải toán yêu cầu học sinh phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử, kiến thức phương trình hệ phương trình đồng thời phải trang bị kiến thức phương pháp cần hệ thống hóa Trong SGK tốn trình bày phương pháp thơng thương để giải hệ phương trình đơn giản, tài liệu hướng dẫn phần thường chưa có chuyên đề hệ thống đầy đủ nên học sinh khó khăn việc giải toán dạng Mặt khác, việc khai thác toán dạng theo nhiều hướng khác khơng trình bày tài liệu cụ thể nào, đòi hỏi người dạy phải định hướng để em biết cách khai thác vận dụng linh hoạt phương pháp học Hơn nưa thói quen khai thác, phân tích xem xét lời giải toán sau giải xong tập đa số học sinh thường em trọng Chính giáo viên giảng dạy cần khơi dậy long say mê dần hình thành thói quen nghiên cứu khả ứng dụng kết lời giải, nghiên cứu giải toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề sau giải xong toán Các biện pháp thực 3.1 Bài toán giải phương pháp phương pháp đặt ẩn phụ 3.1.1 Bài tốn 1: 2 Giải hệ phương trình sau: x y (x 2x2 y2 y)(1 xy) 4x2 y2 ( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm học 2014-2015) Cách giải 1: Dùng phương pháp số biểu thức Với x = y = nghiệm hệ phương trình Nhận thấy x y ngược lại Xét x ; y hệ phương trình cho tương đương với: 12 x y ( x x )(1 y ) xy (1 12 ( x y ) )(2 y (2 ) xy ) ( Thay (1) vào (2) ta 1 ) x 12 y x y x y 1 xy Vậy hệ có nghiệm (x ; y) (0 ; 0) ; (1 ; 1) Cách giải 2: Dùng phương pháp đặt ẩn số phụ: Với x = y = nghiệm hệ phương trình Nhận thấy x y Xét x ; y hệ phương trình tương đương với: (1 2 x ( ngược lại y 1 x ) )(1 y (2 ) xy ) ) 2(1 ) y xy 1 )(1 ) ( x y xy ( Phân tích phương trình (1) ta có hệ sau: Đặt: a ( 1); b (1 x y x 1) xy Ta có hệ: a2 ab b (3 (4 ) ) Hệ trở thành: a3 a3 23 a ab ab b 12 y x x y 1 xy Vậy hệ có nghiệm (x ; y) (0 ; 0) ; (1 ; 1) 3.1.1 Bài tập áp dụng toán 1: Với cách giải ta thay số biểu thức, học sinh vận dụng giải tập sau: Bài tập 1: Giải hệ phương trình sau: x2 y2 12 x3 xy2 12 y Hướng dẫn: Thay 12 = x2 + 8y2 vào phương trình thứ hai ta có: x3 xy2 ( x2 y2 ) y x x x3 xy2 x2 y y3 x ( y) ( y) 2( y) Đặt t x t3 y t2 2 4y 12 t ( t t 2t 0(t 2)( t2 2 y 12 y t 4) 0t2 15 x 2y 0) thay vào phương trình thứ ta có: y y Khi y =1 x=-2 Ki y =-1 x= Hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) = ( 2:-1); (-2;1) Để học sinh năm vững phương pháp giáo viên hướng dẫn học sinh thêm dạng ẩn biểu thức Sau vài ví dụ: Bài tập 2: x2 Giải hệ phương trình sau: ( x2 xy y2 1)(x y 2) y ( Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Tỉnh Thái Bình năm học 2013-2014) Từ phương trình đầu suy ra: x2+1= y(x-y) thay vào phương trình thứ hai ta ( x y) y( x y 2) y 0 có: y ( x y)( x y 2) y ( x y 1) Trường hợp 1: y = phương trình đầu trở thành x2 +1 = phương trình vơ nghiệm nên hệ vô nghiệm Trường hợp 2: x+y-1 = suy y = 1-x thay vào phương trình đầu ta tìm x = x = -1 Nếu x = y = 1; x= -1 y = Vậy hệ có hai nghiệm (x;y) ( 0;1), (-1;2) x xy y Bài tập 3: Giải hệ phương trình: (1 2 ) (2 xy x ) ( Đề thi học sinh giỏi Thành phố Hà Nội năm học 2010-2011) Hướng dẫn: Từ (2) suy x Từ y 3x2 thay vào (1) ta có: x 2 x2 3x x 3x x x x4 23 x2 16 Giải phương trình x2 = x2 = 16 Từ x x y 1; x2 = 16 x 7y 7 7 Vậy hệ có nghiệm (x;y) là: 1;1, 1; 1, ; 7 ; ; 7 Với cách giải biến đổi để xuất tích tổng hai biểu thức dặt ẩn phụ học sinh vận dụng giải tập sau: Bài tập 4: Giải hệ phương trình sau: ( xy y2 )( x 2) x(y 1) (2 (1 ) ) ( Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn, năm học 2014-2015) Nhận xét: Ở phương trình (1) xuất tích hai biểu thức, học sinh phân tích phương trình (2) dạng tổng hai biểu thức Hướng dẫn: Hệ phương trình cho tương đương với: (x y )( xy y) Đặt a = x-2y; b = xy+2y Ta có hệ: ab a a b Từ giải hệ phương trình tìm nghiệm (x;y) là: a b b 17 ; 17 ; 17 17 ; 3.2 Bài toán giải phương pháp phương pháp đưa phương trình đồng bậc 3.2.1 Bài tốn 2: x (1 y 4(4 x y) Giải hệ phương trình y2 x2 (2 ) ) ( Đề thi học sinh sinh giỏi Tỉnh Thanh Hóa năm học 2015-2016) Giải: Cách 1: Dùng phương pháp 3 Giải hệ phương trình x y 4(4 x y) y2 x ) Thay (2) vào (1) ta có: x3 y3 ( y2 x )(4 x y) x(7 x y)(3 x y) (2 (1 ) 21x x2 y xy2 *Với x = thay vào (2) ta được: y * Với 7x-4y = thay vào (2) ta 31 49 y Phương trình vô nghiệm nên hệ cho vô nghiệm y *Với 3x+y =0 thay vào (2) y2 =9 y= x= -1; y= -3 x=1 Vậy nghiệm hệ phương trình (x;y): ( 0;2); (0;-2); (-1;3); (1;3) Cách 2: Đưa phương trình đồng bậc Hệ phương trình cho viết lại thành: 4(4 x y) x y y2 x (4 (3 ) ) Nhân với vế phương trình (3) (4) ta phương trình đồng bậc : x3 y3 ( y2 x )(4 x y) x(7 x y)(3 x y) 21x x2 y xy2 Nhận xét: Đến cách giải cách với cách tiếp cận học sinh nắm phương pháp đưa phương trình đồng bậc từ giải tốn sau: 3.2.2 Bài tập áp dụng toán 2: Bài tập 5: Gải hệ phương trình sau: x3 y3 x y 52 x2 82 xy 21y2 ( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hưng Yên năm học 2013-2014) Hướng dẫn: Hệ phương trình cho viết lại là: y 4x3 y3 x 52 x2 82 xy 21y2 Nhân vế với vế hai phương trình ta có: 9(4 x3 y3 ) ( x y)(52 x2 82 xy 21y2 ) x3 x2 y 13 xy2 y3 ( x y)(8 x2 10 xy y2 ) ( x y) (4 x y)(2 x y) 1;1 , 1; Từ tìm nghiệm (x;y ) hệ là: 3.3 Phương pháp cộng phương pháp đặt ẩn phụ 3.3.1 Bài tốn 3: Gải hệ phương trình sau: x2 y2 xy 26 x (2 x y)(x y) 11 Cách 1: Dùng phương pháp cộng Hệ cho tương đương với: x2 3x y2 xy 26 x2 xy y2 11 Nhân hai vế phương trình (2) với cộng theo vế hai phương trình ta : x x 48 x x Với x = y 8y Với x y y y = -3 y 43 , phương trình vơ nghiệm nên hệ vơ nghiệm Vậy nghiệm (x;y) hệ phương trình (2;1) (2;-3) Cách 2: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ Ta có : (2 x y ) ( x y ) x 2 y 2 xy; x x xy y (2 x y ) ( x y ) (2 x y )( x y) (2 x y) (x y) 26 Hệ phương trình tương đương với: (2 x y) ( x y) (2 x y)( x y) 11 Đặt u=2x+y; v= x-y ta có hệ: u2 v2 26 ( u v) 2uv 26 u v uv 11 2( u v) uv 22 Cộng vế hai phương trình ta thu được: (u v)2 2(u v) 48 u v u+v = -8 u v u 5, v Giải Giải uv u v uv 19 x 2, y u 1, v x 2, y v u hệ vô nghiệm 8u 19 u 3.3.2 Bài tập áp dụng tốn 3: Bài tập 6: Gải hệ phương trình sau: x2 x2 y2 12 xy 23 y2 ( Đề thi vào lớp 10 chuyên, ĐH khoa học tự nhiên Hà Nội 2010-2011) Cách 1: Dùng phương pháp cộng Cộng vế với vế hai phươngg trình ta có: (2x 3y) 25 2x 3y (1 ) Với 2x+3y =5 ta hệ x y x Từ (1) suy x (2 y 3y thay vào (2) ta được: ) y x 3y 2 2 y (5 y) 4y 13 y 30 y 17 17 y 13 y x Tương tự với trường hợp 2x+3y = -5 ta được: x 17 x y Vậy nghiệm hệ là: (1;1); ( ; 17);( 1; 1);( 13 17 ) 7; 13 13 Cách 2: Đưa phương trình đồng bậc: Hệ phương trình viết lại là: 3x y 12 xy 23 x2 y2 Nhân vế hai phương trình ta được: 2(3 x y2 12 xy) Vơi 23(x y2 ) x y x y y2 Ví i :17 x y x 17 x y2 24 xy y x 1 7y 17 y2 ( x y)(7 y x) 17 132 y x 17 y x 13 13 17 y 13 x 13 Cách 3: Đưa phương trình đồng bậc giải để tìm x theo y - Dễ thấy y 2 3k y 12 ky y ky y đặt x = ky ta thu được: 23 2(3k 12 k 8) k 23( k 1) k 17 Với k y Với k - y 17 y x 1 y x 17 y x 17 13 13 13 17 y 13 x 13 3.4 Hệ hai phương trình có ba ẩn: 10 3.4.1 Bài tốn 4: Giải hệ phương trình sau: 1 x y (1 12 z xy z2 ) (2 ) ( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm học 2009-2010) Hướng dẫn: Cách 1: Đưa dạng toàn phương: Từ (1) suy ra: 1 1 1 ( x y z) ( x y z) xy z x 1 2 2 y z xy yz zx xy z (x 2 1 xz z ) ( y yz z ) 1 x z ( ) ( 1 y z ) x y z x y z z Thế vào hệ có nghiệm ( x; y; z) 1 ( 2; 2;2 ) Cách 2: Sử dụng điều kiên có nghiệm phương trình bậc hai x 12 y z 14 xy z Điều kiện x 0; y 0; z Đặt Hệ viết lại dạng: a b c a b c ab c2 ab c2 a 1;b 1;c x y z 11 Suy a, b hai nghiệm phương trình ẩn t: t2 (2 c) t c2 02 Phương trình có nghiệm : (2 c) 2(4 c2 ) (c 2) c Tính a = b= Suy hệ có nghiệm ( x; y; z) 1 ( 2; 2;2 ) 3.4.2 Bài tập áp dụng toán Với hệ hai phương trình ba ẩn giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp đưa dạng toàn phương, sử dụng bất đẳng thức, sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai sử dụng phương pháp đánh giá để giải Sau số tập áp dụng x y z Bài tập 7: Giải hệ phương trình 4 x y z xyz ( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm học 2013-2014) Hướng dẫn: Ta có: x4 y4 = x2y2 z4 x y y z z x4 x y y z z x2 = 2 2 2 2 2 y z y z z x z x x y2 xyyz yzzx zxxy = 2 = xyz (x + y + z) = xyz ( x + y + z = 1) x y z Dấu xảy x y z x y z 1 Vậy nghiệm hệ phương trình là: x 1;y ;z1 3 x y2 (1) Bài tập 8: Giải hệ phương trình sau: 2 x y 3 0(2) x x 2 y ( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Kon Tum năm học 2011-2012) Hướng dẫn: Từ (2) suy ra: y 2( x 1) 1y (3) Từ (1) suy ra: 2x 1 y (4) y x2 Từ (3) (4) suy ra: y Thay vào (1) ta có: x 2 x x Thử lại thấy hệ cho có nghiệm x = 1; y = -1 Bài tập 9: Giải hệ phương trình sau: x2 x4 y z 2xy y z z 2x y2 Hướng dẫn: 12 Ta biến đổi hệ cho dạng : x y 2 xy z x y x y z 4z2 4z ( x y ) z 4z2 (x y) 2 Hệ có nghiệm suy ra: z4 4z 9z 4z z Thay z z 4 vào hệ ta tìm x = y = Thử lại thấy Vậy hệ có nghiệm (x;y;z) ( 0;0; ) Bài tập 10: Giải hệ phương trình sau: ( x 1) y x y y ( y 1) x x xy 2xy (1) (2) ( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Kiên Giang năm học 2011-2012) Hướng dẫn: Điều kiện x 1, y Xét phương trình (2), áp dụng bất đảng thức Cauchy, ta có: x y x ( y 1).1 x ( y 1) x y xy (3) y(x 1) (4) 2 y y x xy Từ (3) (4) suy ra: x y 1 x y Dấu = xảy x y x y ( x 1).1 Ta thấy x= , y = thỏa mãn phương trình (1) Vậy hệ phương trình có nghiệ (2;2) x 11 x Bài tập 11: Giải hệ phương trình sau: y 11 z 11 12 (1) y z (2) Hướng dẫn: ĐKXĐ: 11 x 9; 11 y 9; 11 z Áp dụng bất đảng thức Bunhiacopxki ta có: 12 (1 x 11 y 11 z 11) 2 2 ( x 11) ( y 11) ( z 11) = 3( 33+x+y+z) x y z 15 y z x y z Dấu = xảy x Vậy hệ có nghiệm (x ;y ;z) (5 ;5 ;5) Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 13 Sáng kiến kinh nghiệm chủ yếu áp dụng cho học sinh giỏi việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp thi vào lớp 10 THPT chuyên Sau áp dụng đề tài nhận thấy học sinh tự tin hứng thú làm tập giải hệ phương trình phi tuyến Trong năm học 2013-2014 2014- 2015, giáo nhiệm vụ tham gia bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi toán huyện Cẩm Thủy, kết quả: Các em hồn thành tốt hình học có đề thi Trong năm học 20132014, 2014-2015 , 2015-2016 tơi có 08 em đạt giải học sinh giỏi mơn tốn cấp tỉnh Kết kiểm tra hai đội tuyển hai năm học 2014-2015 20152016 Điểm giỏi Điểm Điểm TB Điểm yếu Nhóm khơng áp dụng đề tài Nhóm áp dụng đề tài 3 III KẾT LUẬN Việc áp dụng đề tài giúp cho học sinh khá, giỏi nắm vững cách giải hệ phương trình phi tuyến tính, giúp em học sinh hồn thành tốt tập có tính chất nâng cao sách tập số sách tham khảo, chuẩn bị tốt cho kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh thi vào trường THPT chun, góp phần nhỏ bé vào cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi nhà trường Mặt khác qua đề tài cịn góp phần cho học sinh rèn luyện thói quen phát triển khai thác toán, thấy mối quan hệ toán, từ giúp em học tốt mơn tốn, đồng thời giúp cho học sinh làm quen với phương pháp học theo hướng nghiên cứu học Trong khuôn khổ đề tài sáng kiến kinh nghiệm nên thân đưa số kết mở rộng theo logic định để học sinh dễ nhớ nên số kết khác chưa đưa vào đề tài Do trình độ thân cịn hạn chế nên đề tài không tránh sai sót, mong đóng góp ý kiến hội đồng khoa học đồng nghiệp để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Cẩm Sơn, ngày 30 tháng 03 năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết 14 Phạm Đức Chiến Lê Trọng San DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa toán - Nhà xuất giáo dục; 23 chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp – Nhà xuất giáo dục; Tốn nâng cao chun đề hình học - Nhà xuất giáo dục; Tạp chí tốn học tuổi trẻ; Tạp chí tốn tuổi thơ 2; 45 đề thi toán chọn lọc cấp THCS – Nhà xuất giáo dục Tuyển chọn giới thiệu đè thi học sinh giỏi – Nhà xuất Đại học quốc gia Tuyển chọn đề thi vào lớp 10 chuyên – Nhà xuất Đại học sư phạm 15 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Phạm Đức Chiến Chức vụ đơn vị cơng tác: Phó Hiệu trưởng - Trường THCS Cẩm Sơn – Cẩm Thủy TT Tên đề tài SKKN Hướng dẫn học sinh lớp giải toán quỹ tích Hướng dẫn học sinh khác thác đẳng thức bình phương tổng Giúp học sinh lớp học tốt phát triển định lý tứ giác nội tiếp thành số tốn có nhiều ứng dụng Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) C A Sờ GD&ĐT Tỉnh C Thanh Hóa Năm học đánh giá xếp loại 20052006 20102011 Phịng GD& ĐT phần tỉ số lượng giác góc Huyện Cẩm nhọn qua khai thác Thủy tập Hướng dẫn học sinh lớp Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Phòng GD& ĐT Huyện Cẩm Thủy Phòng GD& ĐT Huyện Cẩm Thủy C 20122013 Phòng GD& ĐT Huyện Cẩm A Thủy Sờ GD&ĐT Tỉnh C Thanh Hóa 20142015 16 Phịng GD& ĐT Hướng dẫn học sinh giải hệ phương trình phi tuyến thơng qua khai thác số Huyện Cẩm tốn thi học sinh giỏi Thủy 2016A 2017 ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GD&ĐT 17 ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GDĐT 18 ... nhân tử, kiến thức phương trình hệ phương trình đồng thời phải trang bị kiến thức phương pháp cần hệ thống hóa Trong SGK tốn trình bày phương pháp thơng thương để giải hệ phương trình đơn giản,... phương trình phi tuyến là: Phương pháp Phương pháp đặt ẩn số phụ, Phương pháp cộng, Phương pháp dùng bất đẳng thức, Phương pháp đánh giá, Phương pháp đưa hệ phương trình bậc (đẳng cấp) Thực trạng Qua. .. tài Hệ phương trình nói chung hệ phương trình phi tuyến tính nói riêng nội dung kiến thức quan trọng chương trình tốn cấp THCS Trong đề thi học sinh giỏi, thi vào THPT chuyên có tốn giải hệ phương