MỤC LỤC I.MỞ ĐẦU II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.Cơ sở lý luận 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3.Qúa trình thực 2.3.1 Kiến thức 2.3.2.Dùng bất đẳng thức để giải phương trình 2.3.3.Dùng bất đẳng thức để giải hệ phương trình 10 2.4.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 17 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 19 I.MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài Thực tiễn dạy học nói chung dạy tốn nói riêng, địi hỏi người thầy phải thực người dẫn dắt , định hướng khơi dậy học sinh niềm đam mê, hứng thú học tập khám phá để em tự tìm tòi, tự phát vấn đề tự giải vấn đề Trong việc học tốn học, cần tìm phương pháp, nắm bắt quy luật chất vấn đề, đặc biệt giải tập phương trình hệ phương trình Học sinh chưa có phương pháp tổng quát chưa chọn lựa phương pháp tối ưu để giải tập thể loại khác theo tư hệ thống,khái quát, lôgic khoa học Là giáo viên dạy tốn nhiều năm tơi nhận thấy cần phải tập hợp lại thành chuyên đề , để dạy cho học sinh sử dụng dạng tốn cách có hệ thống nhằm cho học sinh hiểu rõ sử dụng dạng tốn cách xác, linh hoạt khơi dậy tính tích cực, chủ động , tự giác học tập học sinh nhằm giúp học sinh giải số toán nhanh gọn tiết kiệm thời gian Căn vào thực tế trên, yêu cầu việc bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh ôn thi vào trường Đại học, cao đẳng, tốt nghiệp THPT Đặc biệt việc phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh hoạt động học tập Với lý trên, tiến hành khảo sát, triển khai thực đề tài : " Dùng bất đẳng thức để giải phương trình hệ phương trình" 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích để nâng cao trình độ chun mơn phục vụ giảng dạy mơn tốn nói chung bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh ôn thi Đại học, cao đẳng,tốt nghiệp THPT lĩnh vực phương trình hệ phương trình Nghiên cứu để tìm tính chất đặc trưng số phương trình hệ phương trình để giải phương pháp dùng bất đẳng thức, nhằm phát triển tư toán học Từ cụ thể đến tổng quát từ tổng quát đến cụ thể Học sinh nắm cách giải phương trình hệ phương trình phương pháp bất đẳng thức 1.3 Đối tương nghiên cứu Các dạng toán giải phương trình , hệ phương trình bất đẳng thức chương trình trung học phổ thơng 1.4.Phương pháp nghiên cứu Điều tra khảo sát thực tế để nắm bắt chất lượng giảng dạy mơn tốn trường trung học phổ thông lĩnh vực giải phương trình, hệ phương trình bồi dưỡng học sinh giỏi Điều tra phát triển tư tốn học qua q trình học tốn số học sinh khá, giỏi mơn tốn Đọc nghiên cứu kỹ sách giáo khoa, sách tập tài liệu tham khảo mơn tốn Thực hành thử nghiệm qua học sinh khá, giỏi Kết thực nghiệm trường trung tâm GDTX Nông Cống năm học 2015-2016 sau: Học sinh Số học khối sinh khá, giỏi 10 30 11 20 12 25 Tổng 75 Số học sinh làm nhanh dựa vào tính chất đặc trưng phương trình hệ phương trình 22 15 20 57 II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận Một trọng tâm đổi chương trình sách giáo khoa giáo dục phổ thông tập trung vào đổi phương pháp dạy học, thực việc dạy học dựa vào hoạt động tích cực, chủ động học sinh với tổ chức hướng dẫn giáo viên nhằm phát triển tư độc lập, sáng tạo góp phần hình thành phương pháp nhu cầu tự học, bồi dưỡng hứng thú học tập, tạo niềm tin niềm vui học tập cho học sinh Tiếp tục tận dụng ưu điểm phương pháp truyền thống làm quen với phương pháp dạy học Khi giải toán , học sinh thường cố gắng tìm phương pháp tối ưu, ngắn gọn, chặt chẽ, xác nhiều cách giải tốn Với cách học giúp em tích lũy nhiều kinh nghiệm giải toán giải toán sáng tạo Để bổ sung cho học sinh phương pháp giải phương trình hệ phương trình tơi giới thiệu đề tài : " Dùng bất đẳng thức để giải phương trình hệ phương trình" 2.2.Thực trạng vấn đề * Thuận lợi: Đa số học sinh thích học mơn tốn, em học toán để chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông, Đại học, cao đẳng thi học sinh giỏi Ngoài ra, động viên quan tâm giúp đỡ ban giám đốc trung tâm đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi cho tơi thực đề tài * Khó khăn: Học sinh khối giáo dục thường xuyên nói chung học sinh trung tâm GDTX Nơng Cống nói riêng,đa số học sinh có chất lượng đầu vào thấp, tư hệ thống lôgic khái quát em học sinh hạn chế Mặt khác, học sinh chủ yếu em nơng thơn, gia đình xa trường,điều kiện kinh tế khó khăn, ngồi thời gian học trường em cịn phải làm giúp gia đình có phần khó khăn cho việc lĩnh hội kiến thức môn đặc biệt mơn tốn, có phần phương trình hệ phương trình 2.3 Qúa trình thực 2.3.1.Các kiến thức a b a b dấu " " xảy ab a b 2ab dấu " " xảy a b Bất đẳng thức Côsi(AM-GM): Với n số thực dương a1 ; a2 ; an ta có: a a a n n n a a a dấu "="xảy a a n a n Bất đẳng thức Cauchy-Swarchz: Với xi 0; i 1, n, ta có: a2 x1 a2 x2 ( a a a )2 x1 x2 x n a2 xn n n Bất đẳng thức Bunhiakôpxki(BCS): Với số thực : ( a1 ; a2 ; ; an ); (b1 ; b2 ; ; bn ) Ta có: ( a b a b a b ) 1122 ( a a a )(b n n Dấu "=" xảy n1 a1 a2 an b b b n b b2 ) n Bất đẳng thức Minkopsky: Cho hai dãy số thực dương: ( a1 ; a2 ; ; an ); (b1 ; b2 ; ; bn ) ta có: a2 b2 1 a2 b 2 a b ( a a a n a1 Dấu "=" xảy b n n )2 (b b b )2 n an a2 b 12 b n Có nhiều tài liệu chứng minh bất đẳng thức này, tơi xin khơng trình bầy chứng minh 2.3.2.Dùng bất đẳng thức để giải phương trình Kỹ thuật dùng bất đẳng thức để giải phương trình thường phong phú đa dạng Khi giải dạng toán phương pháp này, cần quan sát có kỹ nhận biết cặp số, có kiến thức bất đẳng thức vững vàng, tư sắc bén để từ vận dụng cách linh hoạt giải toán Ta đến với số toán lý thú sau: Bài 1: Giải phương trình: 16 x 4x x Nếu học sinh nhìn tốn góc độ phương trình vơ tỉ f ( x ) g ( x ) giải toán cách nâng lên lũy thừa tốn q phức tạp khó giải.Do đó, tơi dẫn dắt học sinh cách quan sát, sử dụng điều kiện hợp lý bất đẳng thức Cauchy kết hợp với biến đổi tương đương tìm lời giải ngắn gọn xác Lời giải: Điều kiện có nghĩa: Vì 16 x4 nên x x x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương x; x2 1; ta có: 634x3 x 3 x (4 x 1).2 x (4 x 1) 4x2 4x 16 x x x 8x4 2x2 2x (2 x 1) (2 x 2 x 1) thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x (2 x 1) ,vì (2 x 1) nên x Bài 2: Giải phương trình: x x x 12 x 38 Đây tốn học sinh Học sinh giải phương pháp đặt ẩn phụ Nhưng đây, muốn giới thiệu thêm cho học sinh phương pháp bất đẳng thức Bunhiacôpxki bất đẳng thức Côsi để giải dạng toán Cách thiết kế toán kiểm tra nhiều luồng kiến thức học sinh Lời giải TXĐ: D 5;7 Cách 1: Áp dụng đẳng thức Bunhiacơpxki, ta có : x x 1 ( x ) ( x 5) 2 (1) Mặt khác: x 12 x 38 ( x 6) 2 (2) Từ (1) và(2), đẳng thức xảy : x ( x 6) x x (thỏa mãn ) Vậy phương trình có nghiệm x=6 Cách 2: Áp dụng đẳng thức Cơsi cho số khơng âm, ta có : x x x x x x x x 2 (1) Mặt khác ta có: x 12 x 38 ( x 6) 2 (2) Từ (1) và(2) dấu "=" xảy x x x x phương trình có nghiệm x x x x x 16 Bài :Giải phương trình: Nhận xét : Nhận biết hai số x 1; x 1;1 Để dùng bất đẳng thức Bunhiacôpski đánh giá vế trái kỹ thuật hay khó Bài tốn giải theo cách khác phức tạp gặp khó khăn Lời giải TXĐ= 1; ) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpski, ta có: x x x x 12 12 ( x 1) ( x 3)2 x x 16 Đẳng thức xảy x x 1 x x x [ xx 3)2 (x (loại) Vậy phương trình có nghiệm x=5 Bài 4: Giải phương trình: 13 x x x x4 16 Lời giải TXĐ:D= [-1;1] Áp dụng đẳng thức Cauchy , ta có: 4(1 x 2)x 4(1 x ) x 3x2 2 13 52 39x x x (1) 2 Tương tự: x 4(1 x ) 13 x x x4 39 x2 12 (2) Cộng vế theo vế (1) (2) ta có: 13 x x x x4 16 Dấu "=" xảy 4(1 x ) x2 x 4(1 x2 ) x 5 Vậy phương trình có nghiệm là: x 5 Bài 5: Giải phương trình: x 4 x 4 x4 Quan sát phương trình ta thấy bậc phương trình cao, học sinh giải phương pháp nâng lũy thừa đặt ẩn phụ tốn gây khơng khó khăn khó đích cách an tồn, xác.Do tơi hướng dẫn học sinh áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ta lời giải ngắn gọn, xác tiết kiệm thời gian Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: ( a b ) 2( a b2 ) Dấu "="xảy a a b 2( a b b2 ) Lời giải TXĐ:D=( ; 2; ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai số không âm , ta có: x 4 4x2 (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trên, ta có: x4 x4 x4 x4 2 4( x 4 4x2 4) 4( x4 4) (2) Từ (1) (2) dấu "=" xảy x4 4 x4 x4 x Vậy phương trình cho vơ nghiệm Bài 6: Giải phương trình: x2 2x 2x 3x2 Lời giải TXĐ: x x 4x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy -Schwarz ta có x x 2 x x2 ( x 2) (2 x 1)2 ( x 1)( x 2 x 1) 3x2 4x Dấu đẳng thức xay x x 2x2 2x x x x2 x 0x [ x x1 52 ( x Vậy phương trình có nghiệm x ) Bài 7: Giải phương trình: 3x2 x 12 x 10 x x x2 (*) Nhận xét: Nếu học sinh nhìn tốn góc độ phương trình có dạng f ( x ) g ( x ) h ( x ) trình gải tốn gặp phương trình bậc cao, gây khó khăn tốn trở nên phức tạp Do đó, tơi hướng dẫn học sinh cách quan sát biểu thức vế phải, ta thấy tam thức bậc hai, nên áp dụng biểu thức dương để giải dạng toán Lời giải Ta có: x x 12 3( x 1) x 10 x 5( x 1) 9, x x 4, (1) Suy ra: x x 12 x 10 x x (2) Mặt khác, x x 2( x 1) 5, Từ (1) (2) đẳng thức xảy x=-1 (thỏa mãn(*)) Vậy phương trình có nghiệm x Bài 8: Giải phương trình: x 10 x 13 26 x 24 x x Nhận xét: Nhìn góc độ học sinh quan sát thấy có dạng giống Nhưng thực tế có lời giải tinh tế nhiều vế phải nhị thức bậc Lời giải Ta có 2x 10 x 13 26 x 24 x ( x 2) ( x 3) ( x 2) 2 x 10 x 13 26 x x 3 x (5 x 2) x x 24 x x Kết hợp ta có dấu"=" xảy x x x (Thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x Bài tập vận dụng Giải phương trình sau: x 2 x x x x 1 24 27 x 24 x x 3x2 2x4 28 27x x3 3x 7x2 x 11x 21 3 x x2 x2 x3 x 1x x x2 x 2x3 x2 x x x x 40 4 x 9 10 x x x 12 x 14 x2.42 x4 x4 6x x x x3 x x2 2.3.3.Dùng bất đẳng thức để giải hệ phương thình Giải hệ phương trình phương pháp bất đẳng thức đa dạng phong phú Nó giúp giải toán cách ngắn gọn, tinh tế giảm tải kỹ thuật tính tốn Bài 1: Giải hệ phương trình: x2 y y2 x 4 3 Nhận xét: Đứng góc độ đó, hệ phương trình đối xứng loại 2,bài tốn giải theo phương pháp chung Nhưng đây, muốn hướng dẫn cho học sinh sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để lời giải độc đáo sáng tạo Lời giải Cộng vế với vế hai phương trình hệ cho, ta có: 16 x 2 y2 (1) x y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz , ta có: x2 x2 y y 3 x x (2) x4 (3) x4 y y 2 4 y y Kết hợp(1),(2),(3) dấu "=" xảy x2 y2 y4 x x y Vậy tập nghiệm hệ phương trình là: ( x; y) (1;1), (1; 1), ( 1;1), ( 1; 1) Bài 2: Giải hệ phương trình: 10 x y x 9y2 10 Nếu học sinh nhìn tốn góc độ hệ phương trình đối xứng loại giải toán theo phương pháp đó, nhiên lời giải dài khơng tiết kiệm thời gian đây, hướng dẫn cho học sinh giải theo hai cách để học sinh tích lũy thêm phương pháp giải hệ phương trình Qua giúp học sinh thấy tính tối ưu phương pháp bất đẳng thức Lời giải Cách 1: x y x 29 y2 10 x 29 x x 2 y x y y y 18 Đặt x u y v x y x v x x y y y x 2 u y u v Khi ta có hệ phương trình sau: u v 9 u v 18 v u u v x y x uv Vậy hệ phương trình có nghiệm là: y Cách 2: Trước hết ta có bất đẳng thức sau x2 y2 x2 y2 x Dấu '=' xảy x2 (x x)2 (y y y 1 u x1 v 2 ) y2 Chứng minh: Xét véc tơ u ( x1 ; y1 ); v Khi u v ( x1 x2 ; y1 y2 ) Ta có: ( x ; y2 ) u v y1 x22 y22( x1 x2 ) ( y1 y2 )2 11 Dấu"'=" xảy u , v hướng u kv x y x y 1 2 Áp dụng bất đẳng thức ta có: x 32 y 32 ( x y) (3 3) 10 Dấu "=" xảy x y x y Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x4y Bài 3: Giải hệ phương trình: x y ( y 1) ( x 1) xy x y 1 (1) (2) Lời giải Cách1: Điều kiện: x 1; y Từ phương trình (2) hệ ta có y (3 y 1)x x (3 x 1) y Thay vào phương trình (1) ta hệ mới: (3 x 1) xy x y u Đặt x u.v (3 y 1) 1 2 v 3y xy 3( x y ) 3( x y 1) 3( x y) Khi ta có hệ phương trình u2 v2 u v2 uv [ uv u v 4 u v 12 [ [ uv2uv2 x y x y13 Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y) (1;1), ( 3; 3) Cách 2:Ta có đánh giá quen thuộc sau a b 2 ab, a , b Dấu "=" xảy a=b Do từ (1) ta có x2 y2 2 ( y 1) ( x 1) ( x 1)( y 1) 4xy xy x y x2 y2 Dấu "=" xảy khi: 2xy ( x 1)( y 1) ( y 1) ( x 1)2 xy x y x y 3x2 2x x y x y Vậy hệ phương trình có nghiệm : ( x; y) (1;1), ( ; 13) Bài 4: Giải hệ phương trình (Đại học khối A-2014) x x3 12 y y (12 x 8x y 2 ) 12 (1) (2) Nếu học sinh quan sát phương trình (1) nhìn vào đặc điểm biến y nghĩ đến phương pháp đặt ẩn phụ t 12 y , cách giải dài nhiều thời gian.Nếu quan sát phương trình (1) cách tinh tế ta dùng bất đẳng thức Cơsi bất đẳng thức Bunhiacopski để phân tích phương trình (1) Sau tơi xin trình bày lời giải toán cách để học sinh rút phương pháp tối ưu giải toán Lời giải Điều kiện: Cách 1: y 12 x Đặt 12 y t ; t y 12 t 13 Phương trình (1) (12 t )(12 x2 ) 12 xt 12 12 x 12t x t xt 12 12 x 24 xt 12t 12 xt xt 12 ( x t) Ta có ( x t ) x 12 y Thế (*) vào (2) ta : (*) (12 y ) 12 y 12 y (4 y ) 12 y y y (3 y ) 12 y 12 y 2 y (3 y ) 12 y y 2(3 y) 12 y [ y 1 12 y 12 y x y (Vô nghiệm) y Vậy hệ phương trình có nghiệm là: y Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta : x 12 yy (12 x2 ) x (12 y ) y (12 x2 ) 12 22 Dấu "=" xảy khi: x 12 y y 12 x2 x y 12 x2 Thế vào phương trình (2) ta được: x x 10 x2 ( x x 3) 2(1 10 x2 2( x 3) ( x 3) x Vì x nên x x 3x 1 10 x 2( x 3) 0 10 x2 x Vậy hệ phương trình có nghiệm Bài 5: Giải hệ phương trình y 3 y x xy y 2x2 2y2 4( x xy y ) 2( x y) (1) (2) 14 Đối với toán quan sát phương trình (2) hệ ta thấy x y có vai trị hay có tính đối xứng Do ,tơi hướng dẫn học sinh dùng bất đẳng thức để gải dạng toán Lời giải x ĐK: y Ta có 2x 4( x 2 y 2( x y ) xy y2 ) x y x y x y x 2y 4( x xy y2 ) 2( x y) Dấu "=" xảy x y Thay vào phương trình (1) ta được: 3x (x2 x)(3 x x2 x x ĐK: x 5x x 3x x 1 5x 4) [xx 10 Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( x , y) x xy y Bài 6:Giải hệ phương trình: (0; 0), (1;1) (8 x 6) x (2 x xy y 2( x y 2)( y x y) (1) 3) (2) Quan sát phương trình (1) hệ ta thấy biểu thức phương trình đẳng cấp bậc x y Do tơi hướng dẫn học sinh dùng bất đẳng thức phụ sau để giải dạng tốn (Xin khơng trình bầy chứng minh bất đẳng thức phụ này) A2 B2 Dấu "=" xảy C C2 A D B D2 (A C)2 Lời giải ĐK: x Ta có x y xy y 22x y ) ( y ) 2( y (x ( xy y2 3x y)2 2 x ) 2( 2 ( x y ) 4( x y)2 x)2 (B D)2 x y 2( x y) Dấu "=" xảy x y Thay vào (2) ta (8 x 6) x (2 x 2)( x x 3) Đến dùng phương pháp hàm số ta được: x x 2 (vô nghiệm) Vậy hệ cho vơ nghiệm Bài : Giải hệ phương trình: x 2016 2016 x y 2016 y 2016 Lời giải ĐK: x , y 2016 x y x 2016 y y 2016 x Nếu x 2016 y y 2016 x Nếu x y Vậy x y Khi ta có phương trình : x [xx 2016 x vô lý vô lý 2016 2016 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x; y (0; 0); (2016; 2016) Nhận xét:Bài tốn giải phương pháp đặt ẩn phụ hoăc phương pháp hệ đối xứng loại 2.Nhưng đẵ hướng dẫn học sinh đánh giá hai ẩn, ta tìm x y then chốt toán, ý tưởng sử dụng rộng toán chứa ẩn có vai trị Bài 8: Giải hệ phương trình: x y xy 1 Lời giải ĐK: x , y x 1 Và y 1 x y Vậy xy 1 Đẳng thức xảy x=0;y=0 x Vậy hệ phương trình có nghiệm y Nhận xét.Qủa thật tốn có lời giải bất ngờ đơn giản, cần sử dụng điều kiện tốn nhận xét tìm lời giải.Bài tốn khơng khó, giải theo cách khác dài khơng đẹp Vì vậy, trước giải hệ phương trình vơ tỉ nên quan tâm đến điều kiện ẩn số 16 Bài tập vận dụng Giải hệ phương trình sau: x2 y2 xy x xy x x 2x2 x xy y2 ( x y) xy y 2y2 xy x 3( x y) 2( y 4) x y ( x 6) x y 3( y 2) 5x2 xy y 22 x 2 xy y 3( x y) x y 12 x y xy x x 32 x y2 5 x (x 32 x y 24 y ) x ( y x ) y xy ( x y) 2(1 y ) x2 2x y2 2x 2016 2016 x y x 2017 2017 y x x y xy y 2016 x2 y 2016 y x ( xy) 2013 125 y 125 y3 15 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Đã hình thành cho học sinh số kỹ " Dùng bất đẳng thức để giải phương trình hệ phương trình" Giúp học sinh nhìn nhận dạng toán nhiều phương pháp giải khác lựa chọn phương pháp tối ưu trình vận dụng linh hoạt kĩ thuật giải Ôn tập, cố đào sâu kiến thức giúp học sinh hình thành thói quen suy nghĩ, định hướng tìm tịi lời giải trước tốn Từ giúp học sinh có thói quen giải tốn theo trình tự khoa học Giúp học sinh phân loại dạng tập phương pháp, kỹ giải cho loại tập đó, tạo cho em hình thành thói quen khám phá, 17 khai thác tìm tịi lời giải cho tốn Từ phát huy tính tích cực, độc lập suy nghĩ q trình giải tốn cách lơgic hiệu Xây dựng hệ thống phương pháp kỹ giúp cho học sinh đồng nghiệp có tư liệu tham khảo cho hoạt dộng dạy học toán học với việc bồi dưỡng học sinh giỏi học sinh dự kỳ thi Đại học, cao đẳng, tốt nghiệp THPT Quốc Gia Kết cho thấy đa số học sinh biết ứng dụng giải tốn phương trình hệ phương trình III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1.Kết luận Phương trình, hệ phương trình khơng tắc dạng tốn khó, đa dạng, thường dùng kỳ thi học sinh giỏi,Đại học, cao đẳng tốt nghiệp THPT 18 Sáng kiến kinh nghiệm góp phần thiết thực vào việc ôn thi đại học, cao đẳng, tốt nghiệp THPT học sinh Nó giúp học sinh thấy cách giải vấn đề nhanh chóng hiệu nắm phương pháp Sử dụng bất đẳng thức tính chất vào giải phương trình, hệ phương trình ứng dụng lớn Sự phân chia ý tưởng tơi, cịn nhiều phần chưa nêu hết.Tôi mong hội đồng chun mơn nhà trường góp ý, bổ sung để đề tài triển khai áp dụng rộng rải vào việc giảng dạy cho học sinh khối 12 chuẩn bị thi Đại học, cao đẳng, tốt nghiệp THPT Trong q trình biên soạn đề tài tơi có nhiều cố gắng,tuy nhiên tránh khỏi thiếu sót Tơi mong góp ý chân thành đồng nghiệp hội đồng chuyên môn nhà trường để đề tài hoàn thiện 3.2 Kiến nghị * Với nhà trường: Cần khuyến khích động viên giáo viên thực áp dụng sáng kiến kinh nghiệm hay để đẩy mạnh phong trào chuyên môn phương pháp giảng dạy hay nhà trường * Với sở giáo dục đào tạo: Đề nghị quan tâm đầu tư, mở nhiều chuyên đề bồi dưỡng có liên quan đến mơn tốn Đặc biệt bồi dưỡng giáo viên ôn thi học sinh giỏi để nâng cao trình độ, phương pháp, lực sư phạm cho giáo viên Tôi xin chân thành cảm ơn! Xác nhận thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Lê Thị Minh TÀI LIỆU THAM KHẢO Báo toán học tuổi trẻ Bộ GD&ĐT đề thi Đại học, thi tốt nghiệp THPT mơn tốn Bộ sách giáo khoa mơn tốn nhà xuất giáo dục Bộ sách tập môn toán nhà xuất giáo dục 19 www Vn.math.com www.violet.vn, đề thi, kiểm tra thử trường THPT Phan Đức Chính, giảng luyện thi mơn tốn -nhà xuất GD-1999 Phan Huy Khải , giới thiệu dạng toán luyện thi Đại học-nhà xuất HN-2000 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA TRƯỜNG TRUNG TÂM GDTX NƠNG CỐNG 20 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Người thực hiện:Lê Thị Minh Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THA 21 ... kỹ giúp cho học sinh đồng nghiệp có tư liệu tham khảo cho hoạt dộng dạy học toán học với việc bồi dưỡng học sinh giỏi học sinh dự kỳ thi Đại học, cao đẳng, tốt nghiệp THPT Quốc Gia Kết cho thấy... thuật giải Ôn tập, cố đào sâu kiến thức giúp học sinh hình thành thói quen suy nghĩ, định hướng tìm tịi lời giải trước tốn Từ giúp học sinh có thói quen giải tốn theo trình tự khoa học Giúp học sinh. .. cầu tự học, bồi dưỡng hứng thú học tập, tạo niềm tin niềm vui học tập cho học sinh Tiếp tục tận dụng ưu điểm phương pháp truyền thống làm quen với phương pháp dạy học Khi giải tốn , học sinh thường