SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NGA SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN NGUN HÀM, TÍCH PHÂN CHỨA HÀM ẨN MỨC ĐỘ VẬN DỤNG -VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA Người thực hiện: Lê Diễm Hương Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn học THANH HĨA NĂM 2020 MỤC LỤC STT 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.3.1 2.3.1.1 2.3.1.2 2.3.1.3 2.3.2 2.3.2.1 2.3.2.2 2.3.2.3 2.3.2.4 2.3.4 2.4 Tên đề mục Trang Mở đầu Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng đề tài Giải pháp thực Hệ thống kiến thức liên quan Định nghĩa nguyên hàm, tích phân Tính chất nguyên hàm, tích phân Phương pháp đổi biến số phương pháp nguyên hàm, tích phân phần Các phương pháp Phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất nguyên hàm Phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất tích phân, giải hệ tích phân 10 Phương pháp đổi biến số 12 Phương pháp nguyên hàm, tích phân phần 18 Bài tập tương tự 21 Kết nghiên cứu 22 Kết luận kiến nghị 23 Tài liệu tham khảo 24 MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đất nước ta đường đổi cần có người phát triển tồn diện, động sáng tạo Muốn phải nghiệp giáo dục đào tạo, đòi hỏi nghiệp giáo dục đào tạo phải đổi để đáp ứng nhu cầu xã hội Đổi nghiệp giáo dục đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, có yếu tố quan trọng đổi phương pháp dạy học, bao gồm phương pháp dạy học mơn Tốn Mục tiêu Giáo dục phổ thơng chỉ: “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực,tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Trong năm trước tốn tìm ngun hàm tích phân chứa hàm ẩn nằm phần lớn chương trình đại học Từ năm 2017 GD & ĐT định áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho môn Tốn tốn tìm ngun hàm tích phân chứa hàm ẩn coi tốn khơng thể thiếu đề thi THPT Quốc gia, minh chứng điều thấy rõ đề thi thức thử nghiệm Bộ GD & ĐT Sự đổi đốn làm thay đổi tồn cấu trúc đề thi mơn Tốn, với thời lượng 90 phút cho 50 câu trắc nghiệm yêu cầu đặt với học sinh khơng cịn đơn tư chặt chẽ, lô gic, cẩn thận mà quan trọng linh hoạt, nhanh nhẹn, kỹ thao tác tốc độ Để thành công việc giải tốt đề thi trắc nghiệm Tốn ngồi việc học sâu cần phải học rộng, nhớ nhiều dạng tốn Trong cá đề thi thức thử nghiệm Bộ GD & ĐT toán nguyên hàm tích phân chứa hàm ẩn thường nằm mức độ kiến thức vận dụng vận dụng cao, tốn dành cho học sinh giỏi Cái khó toán đa phần thầy cố giáo giảng dạy nhận xét nằm yếu tố: Thứ đề thông thường đưa hàm ẩn phương trình chứa hàm ẩn; thứ hai sử dụng tư hàm số chứa ẩn dẫn đến tư nguyên hàm tích phân tư khó học sinh; thứ ba tốn cịn địi hỏi biến đổi phức tạp kết hợp nhiều phương pháp tính ngun hàm tích phân dễ gây sai sót nhầm lẫn cho học sinh Đây toán mới, áp dụng vào thi cử chưa nhiều, thị trường sách tài liệu tham khảo cịn ít, hạn chế chưa đầu tư kỹ lưỡng nội dung hình thức Việc có tài liệu hoàn chỉnh, đầy đủ, phân chia dạng tốn khoa học ln nhu cầu cấp thiết cho thầy học sinh Vì lí q trình giảng dạy học sinh nhiều năm lớp 12 q trình ơn tập tiến tới kỳ thi THPTQG tới mạnh dạn đưa cách giải khó khăn học sinh đề tài “ Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải tốn ngun hàm, tích phân chứa hàm ẩn mực độ vận dụng - vận dụng cao đề thi THPT Quốc gia” 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đứng trước vấn đề trình giảng dạy bồi dưỡng kiến thức cho học sinh , trăn trở tìm thuật giải, hướng cụ thể để giải vấn đề từ dễ đến khó Nhưng biết khơng có chìa khố vạn “mở khố” tốn Trong việc giảng dạy tốn học nói chung q trình ơn thi THPTQG nói riêng, việc làm cho học sinh giải vấn đề đặt tốn cách sáng tạo, hồn chỉnh cần thiết Trong viết này, dựa kinh nghiệm số năm giảng dạy lớp 12, luyện thi THPTQG bồi dưỡng kiến thức cho em giành số điểm cao , xin nêu lên hướng giải toán nguyên hàm, tích phân chứa hàm ẩn với đề tài “ Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải toán nguyên hàm, tích phân chứa hàm ẩn mực độ vận dụng - vận dụng cao đề thi THPT Quốc gia”, nhằm làm cho học sinh nâng cao khả tư duy, phát triển trí tuệ đồng thời bồi dưỡng niềm đam mê toán học cho em học sinh,giúp em tự tin để bước vào kì thi tốt nghiệpTHPT tới 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Nội dung tốn ngun hàm, tích phân chứa hàm ẩn chương trình mơn Tốn cấp THPT - Một số tập vận dụng vận dụng cao nằm đề thi khảo sát chất lượng THPTQG trường THPT đề thi THPTQG năm gần Bộ GD & ĐT 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đề tài sử dụng chủ yếu phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết - Phương pháp thu thập thơng tin xử lí số liệu (từ nguồn tài liệu ôn thi, đề thi thử nghiệm, đề thi thử trường THPT, đề thi HSG tỉnh, báo cáo, luận văn sinh viên, thạc sĩ, giảng số giảng viên toán,…) - Phương pháp thử nghiệm thực tiễn NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN - Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thơng đặc biệt mơn tốn học cần thiết thiếu đời sống người Tốn học mơn học quan trọng khó, kiến thức rộng, khơng học sinh ngại học mơn - Muốn học tốt mơn Tốn em phải nắm vững tri thức khoa học môn Tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu mơn Tốn học cách có hệ thống chương trình học phổ thơng, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải - Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải gặp tốn ngun hàm tích phân chứa hàm ẩn Khi gặp tốn ngun hàm tích phân có chứa hàm ẩn có nhiều hướng tiếp cận để tư lời giải Tuy nhiên với tốn hay khó, lối tư theo hướng bó hẹp khn khổ kiến thức SGK khiến học sinh khó khăn tìm hướng giải Vì tính chất phân loại đề thi nay, tốn tìm ngun hàm tích phân nói chung tốn tìm ngun hamg tích phân có chứa hàm ẩn nói riêng đặt yêu cầu cao học sinh Để giải tốn, học sinh khơng nắm lý thuyết mà phải biết kết hợp thành thạo cách giải tổng quát mà em học Tạo nên liên kết chặt chẽ mặt kiến thức kiến thức cấp học giúp học sinh thấy chất vấn đề học, gây nên hứng thú tích cực học tập, làm cho em chủ động việc tiếp thu lĩnh hội tri thức, giúp em khơng ngừng tìm tịi thêm nhiều cách giải mới, khắc phục tâm lý lo sợ gặp tốn khó mục tiêu quan trọng hoạt động dạy học giáo viên Trong giới hạn SKKN hướng dẫn học sinh giải thành thạo số tốn ngun hàm tích phân chứa hàm ẩn “ Bốn phương pháp bản” 2.2 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Qua việc khảo sát khảo sát nhiều nhóm học sinh trường THPT Nga Sơn trường THPT địa bàn huyện Nga Sơn trình kiểm tra khảo sát định kỳ học tập, luyện đề ôn thi THPTQG hai năm gần nhận thấy học sinh gặp câu tìm ngun hàm, tích phân có chứa hàm ẩn thường không định hướng cách giải chí bỏ qua câu Điều phần thấy khó yếu tố tâm lí học sinh nghĩ toán dành cho học sinh giỏi lấy điểm cao nên chủ quan làm Điều dẫn đến thật đáng buồn, phần lớn học sinh dự thi THPTQG bỏ qua hoàn toàn câu làm vài dạng câu với mức độ nhận biết học chí khoanh bừa Một điều đáng ngạc nhiên năm gần đề thi khảo sát chất lượng môn thi THPTQG trường THPT nước, đề thi đề minh họa Bộ GD &ĐT từ năm 2017 đến thường xuất dạng câu hỏi Lúc vai trò người giáo viên quan trọng, phải hướng dẫn rõ cho học sinh phương pháp giải toán, nên giải cho hợp lý loại toán để toán biến đổi suy luận có logic giúp em học sinh có thêm tự tin để giải tốn khó Đó mục đích đề tài “ Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải tốn ngun hàm, tích phân chứa hàm ẩn mực độ vận dụng - vận dụng cao đề thi THPT Quốc gia” mà hướng đến 2.3 GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Qua nghiên cứu trao đổi đúc rút kinh nghiệm từ thực tế ý kiến đồng nghiệp mạnh dạn đưa bốn hướng giải vấn đề tốn ngun hàm, tích phân chứa hàm ẩn để giúp học sinh có kỹ cần thiết q trình ơn tập thi THPTQG là: “phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất nguyên hàm; phương pháp sử dụng định nghĩa tính chất tích phân, giải hệ tích phân; phương pháp đổi biến số, phương pháp nguyên hàm tích phân phần” Đối với phương pháp, tơi phân tích định hướng cho học sinh cho em làm cụ thể, đồng thời lấy ví dụ có tính đặc trưng để học sinh nắm vững cách giải Những dạng tập có nhiều cách giải tơi so sánh phân tích để em thấy ưu nhược cách giải để từ em chủ động việc định hướng,lựa chọn cách giải cho tập tương tự Để minh họa cho phương pháp, đưa toán nằm Đề thi khảo sát THPT QG trường THPT Bộ GD & ĐT Với tốn tơi dẫn cách giải phù hợp với nội dung chương trình học từ học sinh có định hướng phân loại, kỹ giải thành thạo toán gặp 2.3.1.Hệ thống kiến thức liên quan 2.3.1.1 Định nghĩa nguyên hàm, tích phân * Định nghĩa 1: Cho hàm số f ( x) xác định K Hàm số F ( x) gọi nguyên hàm f ( x) K F ( x)� f ( x), x �K Họ tất nguyên hàm f ( x) f ( x)dx � f ( x) dx  F ( x)  C , C �R K kí hiệu � f� ( x)dx  f ( x)  C ( C số) hay Từ đó: �  �f ( x)dx  � f ( x) * Định nghĩa 2: Cho hàm số f ( x) liên tục K a, b hai số thuộc K Nếu F ( x) nguyên hàm f ( x) K hiệu số F (b)  F ( a ) gọi tích phân f ( x) từ a đến b kí hiệu là: b b a a f ( x)dx hay � f� ( x)dx  f (b)  f (a ) � 2.3.1.2 Tính chất nguyên hàm, tích phân * Giả sử hàm số f ( x), g ( x) liên tục K thì: f ( x )dx  � g ( x )dx ; � kf ( x) dx  k � f ( x), k �0  f ( x)  g ( x) dx  � � * Giả sử hàm số f ( x), g ( x) liên tục K ba số a, b, c thuộc K Khi : + a b a a a b c c f ( x)dx  ; � f ( x)dx   � f ( x)dx ; � f ( x) dx  � f ( x) dx  � f ( x) dx � b a b a b b b b a a a a a b f ( x )dx  � g ( x)dx ; � kf ( x )dx  k � f ( x )dx, k �R  f ( x)  g ( x) dx  � +� b � �f ( x) �0, x � a; b  f ( x)dx  * Nếu hàm số f ( x) liên tục  a; b thỏa mãn � thì: � a �f ( x0 )  0, x0 � a; b  �f ( x) �0, x � a; b  � * Nếu hàm số f ( x) liên tục  a; b �b thì: f ( x)  0, x � a; b  f ( x)dx  �� �a b �b � b f ( x ), g ( x ) a ; b f ( x).g ( x)dx ��� f ( x)dx.� g ( x)dx * Nếu Nếu hàm số liên tục   thì: �� a �a � a Dấu xảy f ( x), g ( x) tỉ lệ  a; b 2.3.1.3 Phương pháp đổi biến số phương pháp nguyên hàm, tích phân phần * Phương pháp đổi biến số : + Cho hàm số u ( x) có đạo hàm liên tục K hàm số y  f (u ) liên tục cho f  u ( x)  xác định K Khi F nguyên hàm f , tức f (u ) du  F (u )  C � f  u ( x)  u � ( x )dx  F  u ( x)   C � + Cho hàm số u ( x) có đạo hàm liên tục K hàm số y  f (u ) liên tục cho f  u ( x)  xác định K ; a, b hai số thuộc K Khi đó: b u (b ) a u (a) f  u ( x)  u� ( x )dx  �f (u )du � * Phương pháp nguyên hàm phần: Nếu u  x  , v( x) hai hàm số có đạo hàm liên u ( x).v� ( x) dx  u ( x).v( x)  � v( x).u� ( x) dx tục K � * Phương pháp tích phân phần: Nếu u  x  , v( x) hai hàm số có đạo hàm liên b tục a, b hai số thuộc K u ( x).v� ( x )dx   u ( x).v ( x )  � a b b  v ( x ).u� ( x)dx a � a 2.3.1.4 Quy tắc tính đạo hàm nguyên hàm số hàm số * Giả sử u  u ( x), v  v( x) hàm số có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định � v� u � u� v  uv��1 � ; � �  v2 �v � �v � v u yu� * Nếu hàm số u  g  x  có đạo hàm x u� x hàm số y  f  u  có đạo hàm �� hàm hợp y  f ( g ( x)) có đạo hàm x y� x  yu u x �� Ta có:  u �v  � u � �v� ;  u.v  � u � v  u.v� ; � � ( x) xác định liên * Nguyên hàm số hàm số thường gặp:Với u  u  x  ; u � u � tục K Ta có: u u � dx  � u 1 u� u� u � 1  C; � dx  ln u ( x)  C ; � dx  u  C ; � e u u � dx  e u  C ; �2  C  1 u u dx u u 2.3.2 Các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân 2.3.2.1 Phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất nguyên hàm ( x)  Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x) xác định tập R \  1 thỏa mãn : f � f (2)  2018 Tính giá trị biểu thức: S  f (3)  f (1) A S  B S  ln C S  ln 4035 ; f (0)  2017; x 1 D S  Hướng dẫn: Đáp án A Phân tích: Khi gặp tốn em học sinh lúng túng việc sử dụng giá trị hàm số điểm cho trước để tìm hàm ẩn f ( x) Thậm chí có em thấy đề cho“ thừa” kiện có hai giá trị f ( x) dẫn đến sai lầm tìm số C f ( x) Với dạng toán giả thiết cho từ hai giá trị hàm điểm trở lên hướng dẫn em giải theo hai cách sau: * Cách 1: x 1 f ( x)dx  � dx  ln  x    C + Ta có � � �f ( x)  ln( x  1)  2017, x  + Theo giả thiết: f (0)  2017, f (2)  2018 nên � * Cách 2: �f ( x)  ln( x  1)  2018, x  Do đó: S  f (3)  f (1)  ln  2018  ln  2017  0 � dx � f (0)  f (  1)  f ( x ) dx   ln (1) � � � x  � 1 1 + Ta có: � 3 dx �f (3)  f (2)  f � ( x)dx  �  ln (2) � � x 1 � 2 Từ (1) (2) suy ra: S = *Nhận xét: Trong hai cách giải cách thứ học sinh sử dụngtrực tiếp định nghĩa nguyên xét khoảng Còn cách thứ hai sử dụng định nghĩa tích phân sử dụng máy tính hỗ trợ rút ngắn thời gian làm �2 �� ( x)  Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x) xác định tập R \ � �thỏa mãn : f � ; f (0)  Tính 2x 1 giá trị biểu thức: S  f (3)  f (1) A S   ln15 B S   ln15 C S   ln15 D S  ln15 Hướng dẫn: Đáp án A Phân tích: Với dạng tốn mà biết giá trị hàm số f ( x) điểm hướng dẫn học sinh sử dụng trực tiếp định nghĩa nguyên hàm để tìm hàm ẩn f ( x) dx  ln  x    C 2x 1 f� ( x )dx  � + Ta có f ( x)  � �f (1)  ln  �f (3)  ln  + Theo giả thiết: f (0)  � C  � f ( x)  ln  x    nên � � f (1)  f (3)   ln15 �1 � ( x)  ; f (0)  1; Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x) xác định tập R \ � �thỏa mãn : f � �2 f (1)  Tính giá trị biểu thức: S  f (3)  f (1) A S   ln B S   ln15 C S   ln15 2x 1 D S  ln15 Hướng dẫn: Đáp án B Phân tích: Với tốn tơi hướng dẫn học sinh tìm hàm ẩn f ( x) theo hai cách �1 � � � � 1� + Trên khoảng ��; �: f ( x)  � dx  ln   x   C2 ; f (0)  � C2  2x 1 � 2� � f ( x)  ln(2 x  1)  2, x  � � � f (1)  f (3)   ln15 Vậy : � �f ( x)  ln(1  x)  1, x  � 0 � 2dx f� ( x)dx  �  ln (1) �f (0)  f (1)  � x  � 1 1 * Cách 2: � Từ (1) (2) suy ra: S =  ln15 3 dx �f (3)  f (1)  f � ( x)dx  �  ln (2) � � 2x 1 � 1 ( x )  x  1; f (1)  Phương trình Ví dụ 4: Cho hàm số xác định tập R thỏa mãn : f � f ( x )  có nghiệm x1 , x2 Tính giá trị biểu thức: S  log x1  log x2 * Cách 1: + Trên khoảng � ; ��: f ( x)  � dx  ln  x  1  C1 ; f (1)  � C1  2 2x 1 A S  B S  C S  D S  Hướng dẫn: Đáp án A Áp dụng định nghĩa nguyên hàm f� ( x) dx  � (2 x  1) dx x  x  C Mặt khác: f (1)  � C  � f ( x )  x  x  + Ta có f ( x)  � x 1 � Suy ra: S  log x1  log x2  x  2 � Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương có đạo hàm khoảng (0; �) thỏa ( x)  (2 x  4) f ( x)  Tính giá trị biểu thức: S  f (1)  f (2)  f (3) mãn f (2)  f � 15 + Xét phương trình: f ( x)  � x  x   � � A S  30 B S  11 15 C S  11 30 D S  15 Hướng dẫn: Đáp án A Phân tích: Khi gặp dạng tốn tơi hướng dẫn học sinh kết hợp quy tắc đạo hàm với định nghĩa nguyên hàm để tìm hàm ẩn f ( x) f� ( x) ( x)  (2 x  4) f ( x)  0, f ( x )  �  2x  �  x2  4x  C + Ta có: f � f ( x) f ( x) 1 1 nên C  � f ( x)  Suy f (1)  f (2)  f (3)     15 x  4x  15 24 30 f ( x ) Ví dụ 6: Cho hàm số xác định liên tục R Biết : f ( x) f ( x)  12 x  13; f (0)  Khi phương trình f ( x)  có nghiệm? A S  B S  C S  D S  + Mà f (2)  Hướng dẫn: Đáp án A Phân tích: Với tốn xuất lũy thừa tơi định hướng cho học sinh áp dụng u  1  C Từ giải phương trình tìm hàm ẩn f ( x)  1 f ( x) f � ( x).dx  � f ( x)d  f ( x)   x  13x  C  12 x  13 dx � � + Ta có: f ( x) f ( x)  12 x  13 � � u u � dx  nguyên hàm � f (x) 27  x  13 x  C; f (0)  � C  � f ( x)  42 x  91x  7 Từ phương trình: f ( x)  � f ( x)  2187 � 42 x  91x  2185   1 � Phương trình (1) có nghiệm phân biệt Ví dụ 7: Cho hàm số f ( x) xác định liên tục R thỏa mãn: f� ( x )  e x  e  x  2; f (0)  5; f (ln )  Tính giá trị biểu thức: S  f ( ln16)  f (ln 4) 31 A S  B S  C S  D S  2 15 Hướng dẫn: Đáp án C Phân tích: Với tốn đề cho hàm số mũ định hướng cho học sinh sử eu u � dx  eu  C để tìm hàm ẩn dụng theo nguyên hàm � ( x)  e x  e x   + Ta có: f � ex 1 ex x x   � 2x �2x 2 2e  2e  C1 , x �0 e  e , x �0 � � � x Do đó: f ( x)  � x x x   � � 2 2  e  e  C2 , x  e  e , x  � � ln ln + Theo ta có: f (0)  � C1  � f (ln 4)  2e  2e    + Tương tự: f (ln )  � 2e  Suy ra: f ( ln16)  2e    ln16  ln ln  2e  2e   ln16   C  � C2  5    Vậy : S  f ( ln16)  f (ln 4)  2 Ví dụ 8: Cho hàm số f ( x) liên tục nhận giá trị dương R, thỏa mãn f (0)  f� ( x) x  Khi giá trị biểu thức: S  f (2 2)  f (1) thuộc khoảng f ( x) x  A  9;12  B  2;3 C  7;9  D  0;1 Hướng dẫn: Đáp án D Phân tích: Với tốn đề cho tỉ số đạo hàm hàm số định hướng u� dx  ln u ( x)  C để tìm hàm ẩn � u f� ( x) x d ( f ( x)) d  x  1 dx � �  � � ln  f ( x )   ln( x  1)  C �f ( x) dx  � x 1 f ( x) x 1 cho học sinh sử dụng theo nguyên hàm + Ta có: 2 + Do: f (0)  � C  � f ( x)  x  ; f (2 2)  3; f (1)  2 � f (2 2)  f (1)   2 �(0;1) ( x )  (2 x  3) f ( x); f (0)   Biết tổng Ví dụ 9: Cho hàm số f ( x) �0 thỏa mãn điều kiện f � a a f (1)  f (2)   f (2017)  f (2018)  ;( a �Z , b �N  ) phân số tối giản Mệnh đề b b đúng? A b  a  3029 B a 1 b C a  b  1010 D a  1 b Hướng dẫn: Đáp án A Áp dụng quy tắc đạo hàm thương định nghĩa nguyên hàm f� ( x) 1 f� ( x) ( x)  (2 x  3) f ( x) �  x  � �2 dx  �  x  3x  C  x  3 dx � + Ta có: f � f ( x) f ( x) f ( x) 1 1 � �1 ; f (0)   � C  � f ( x)   �  x  3x  C x  3x  �x  x  � � a 1 �1 �  f (1)  f (2)   f (2017)  f (2018)   �     + Khi đó: � b 2018.2019 2019.2020 � �2.3 3.4 1 1 � �1 � 1009 �1 1   �         �  �  �  2018 2019 2019 2020 � �2 2020 � 2020 �2 3 � f ( x)   a  1009 � �� � b  a  3029 b  2020 � � � ( x) f ( x)   f � ( x )  xf ( x)  �f � y  f ( x ),  x � Ví dụ10: Cho , thỏa mãn: � Tính f (1) ? (0)  0; f (0)  �f � A S  B S  C S  D S  Hướng dẫn: Đáp án A Phân tích: Khi gặp tốn với giả thiết cho hệ thức chứa tổng(hiệu) có chứa f � tơi định hướng cho học sinh biến đổi theo quy tắc đạo hàm áp dụng định nghĩa nguyên hàm tìm hàm ẩn f ( x) � ( x) f ( x)   f � ( x )   xf ( x )  � + Ta có: f � � f� ( x) f ( x)   f � ( x) f ( x)  x � �f � ( x) � f� ( x)  x f� (0) 0 f� ( x)  x � � �  x �  C �  C �C  0�  f ( x) f (0) f ( x) �f ( x) � 1 f� ( x) x2 1 � x �1 1 1 � �2 dx  � dx �  � � �   � f (1)  f ( x) f ( x) � �0 f (1) f (0) 0 ( x ) f ( x)  x  x Biết Ví dụ 10: Cho hàm số y  f ( x) thỏa mãn f � A f (2)  332 15 B f (2)  313 15 C f (2)  324 15 f (0)  Tính f (2) 323 D f (2)  15 Hướng dẫn: Đáp án A Sử dụng định nghĩa tích phân kết hợp máy tính casio ( x) f ( x )  x  x + Ta có: f � 2 0 f� ( x) f ( x)dx  � f ( x) df ( x)   x  x  dx � � Suy : � � f (2)  136 f ( x) 136 �  15 15 332 15 Ví dụ 11: Cho hàm số f ( x) liên tục  0;1 , thỏa mãn điều kiện 1 1 0 f ( x)dx  � xf ( x)dx  �  f ( x) dx  , Giá trị tích phân �  f ( x) dx � A B C 10 D 80 Hướng dẫn: Đáp án C *Phân tích: Đây tốn tính tích phân hàm ẩn chứa lũy thừa đặc biệt mũ 2, định hướng học sinh phân tích theo đẳng thức sử dụng thêm tính chất: �f ( x) �0, x � a; b  �b � f ( x)dx  �� �a thì: f ( x)  0, x � a; b từ tìm hàm ẩn f ( x) + Xét: 1 1 0 � �  ax  b  dx  f ( x) dx  2� �f ( x)   ax  b  � �dx  � �f ( x)  ax  b  � �dx  � � 0 1 0   2a � xf ( x )dx  2b � f ( x) dx  2 a2  ax  b    2(a  b)   ab  b 3a a + Ta cần xác định số a, b để  2(a  b)   ab  b    b  2 2 + Ta có:   b  4b   (b  4b  4)  �0 � b  � a  6 3 1 �  f ( x)  dx  �  (6 x  2)  dx  10 + Khi đó: � �f ( x)   -6x   � �dx  � f ( x)  x  � � 3 Ví dụ 12: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm cấp hai liên tục R , thỏa mãn điều kiện �f ( x)  0, x �R � (0)  �f (0)  f � Mệnh đề sau đúng? �xy  y� �  yy� , x �R � 1 3 A  ln f (1)  B  ln f (1)  C  ln f (1)  D.1  ln f  1  2 2 Hướng dẫn: Đáp án D.Sử dụng quy tắc đạo hàm thương định nghĩa tích phân 12 � � �y � � yy �  y� y� x 2 + Ta có: xy  y� �  yy� �  x �  x �  C � � y �y � y f� ( x) x f� ( x) x   C ; f (0)  f � (0)  � C  �  1 f ( x) f ( x) 2 � 1 �x � f� ( x) � � dx  � dx � ln  f ( x )   � ln  f (1)   �  ln f  1  �  1� f ( x) � 0� 2.3.2.3 Phương pháp đổi biến số A Phương pháp đổi biến số loại f ( x)dx  12 Tính: � Ví dụ 1: Cho I � f (3 x)dx A I  B I  36 Hướng dẫn: Đáp án A C I  2 f (3 x)dx Đặt : x  t � dx  + Xét tích phân I  � f (3 x)dx  + Do đó: I  � Ví dụ 2: Cho f (x � D I  dt Khi x  � t  0; x  � t  6 1 f (t )dt  � f ( x )dx  12  � 30 30  1)dx  Tính: I  � f ( x)dx A I  B I  C I  D I  1 Hướng dẫn: Đáp án A + Xét tích phân f (x �  1)dx  Đặt : x   t � dt  xdx Khi x  � t  2; x  � t  5 f ( x  1)dx  � f (t ) dt � � f (t )dt  � f ( x  1)dx  + Do đó: � 22 2 Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x) liên tục R thỏa mãn: �f ( x)dx  Tính: 5 I �  f (1  3x)  9 dx A I  21 Hướng dẫn: Đáp án A B I  15 C I  27 D I  75  f (1  3x)  9 dx Đặt :1  3x  t � dt  3dx Khi x  � t  1; x  � t  5 + Xét tích phân I  � Do đó: 2 5 0 I � f (1  x) dx  � 9dx   f (1  3x)  9 dx  �  f (t )  � 11 dt  9x  � f ( x) dx  18   18  21 5 3 B Phương pháp đổi biến số loại f (u)  C f ( a  b  x)  g ( x) Bằng phương pháp đổi Cho hàm số f ( x) thỏa mãn: A f ( x)  B.u� biến ta chứng minh được: u (a)  a � + Với � u (b)  b � b b f ( x)dx  g ( x )dx (I) � A BC � a a 13 b b u (a )  b � f ( x)dx  g ( x )dx (II) + Với � � A B C � u (b)  a � a a * Nếu y  f ( x) liên tục  a; b b b a a f (a  b  x)dx  � f ( x)dx � Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x) liên tục  0;1 thỏa mãn: f ( x)  f (1  x)   x Tính: I � f ( x)dx A f ( x) B I  C I  D I  Hướng dẫn: Đáp án A 1 f (1  x) dx   � f (t ) dt  � f ( x) dx + Đặt : t   x � dx  dt � � 1 0 f ( x )  f (1  x )   x � 5� f ( x )dx  �1  xdx  2 �I  15 Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x) liên tục  1; 2 thỏa mãn: f ( x)  xf ( x  2)  f (1  x)  x Tính: I  �f ( x)dx 1 B I  A I  C I  15 D I  Hướng dẫn: Đáp án A * Phân tích: Với ví dụ hướng dẫn học sinh thực theo hai cách đổi biến số vận dụng công thức nêu để từ thấy hiệu cách làm + Cách 1: Đổi biến số 2 2 1 1 1 1 f ( x)  xf ( x  2)  f (1  x)  x3 � � f ( x)dx  � xf ( x  2) dx  � f (1  x) dx  � x 3dx Đặt :  t  x  � dt  xdx � x  1 � t  1; x  � t  2 2 1 1 1 �� xf ( x  2)dx  � f (t ) dt  � f ( x) dx  1  u   x � du  dx � x  1 � u  2; x  � t  1 2 �� f  x )dx  � f (u )du  � f ( x )dx 1 1  2 1 2 1 1 f ( x) dx  15 � � f ( x) dx  Vậy : � + Cách 2: Áp dụng công thức (I) ta có: u (1)  1 � f ( x)  xf ( x  2)  f (1  x)  x � A  1; B  1; C  3; � u (2)  � Nên I  �f ( x)dx  1 x3dx  �   1 14 * Bình luận: Cách giải thứ hai học sinh sử dụng linh hoạt, kết hợp bấm máy tính cho kết nhanh, xác Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x) liên tục  1; 2 thỏa mãn: f ( x)  x   xf (3  x ) f ( x)dx Tính: I  � 1 A I  28 B I  D I  C I  14 Hướng dẫn: Đáp án A + Áp dụng cơng thức (II) ta có: f ( x)  u (1)  � 1  2 x  f (3  x )  x  � A  1; B  ; C  0; u   x , � u (2)  1 2 � + Nên I �f ( x)dx  1 28 x  2dx  �   1 x3 Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x) liên tục  0;1 thỏa mãn: f ( x)  x f ( x )  f ( x) dx  Tích phân: I  � x3 x2   ab a b ; a, b, c �Z ; ; tối giản Tính a  b  c c c c A I  B I  4 Hướng dẫn: Đáp án A + Biến đổi f ( x)  x f ( x )  x2  D I  10 C I   � f ( x)  2.4 x3 f ( x )   x3 x2  ; A  1; B  2; C  + Áp dụng công thức (I) ta có: � x3 � 2 dx  � � �  (2)  0 � x  � Suy ra: a  2; b  1; c  � a  b  c  I � f ( x)dx  Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x) liên tục R thỏa mãn: f (1  x)  f (1  x)  x2 , x �R x2  f ( x)dx Tính tích phân: I  � 1 A I    B I     C I   D I   Hướng dẫn: Đáp án A t 1 Khi điều kiện trở thành: t  2t  x2  2x  f (t )  f (2  t )  � f ( x)  f (2  x)  ; A  1; B  0; C  t  2t  x  2x  3 x2  x   �� f ( x )dx  dx    �0, 429  �  x  x  1 1 Ví dụ 6: Cho hàm số f ( x) liên tục R thỏa mãn: + Đặt: t   x �  x   t; x  15 xf ( x )  f (1  x )   x  x  x, x �R Khi I  10 �f ( x)dx 1 A I  17 20 B I   13 C I  17 D I  1 Hướng dẫn: Đáp án B Cách 1: Tự luận 10 11 + Ta có: xf ( x )  f (1  x )   x  x  x  1 , x �R � x f ( x )  xf (1  x )   x  x  x 0 1 1 �� x f ( x )dx  � xf (1  x )  � (  x11  x  x )dx  1 x f ( x )dx; đặt: u  x3 � I1  + Xét: I1  � 1 17 24 0 1 f (u )du  � f ( x )dx � 1 1 xf (1  x )dx; đặt: u   x � I  + Xét: I  � 1 1 f (u )du   � f ( x)dx � 20 20 1 17 f ( x)dx  � f ( x)dx   2 + Từ suy ra: � 20 24 1 + Trong (1) thay x – x ta được:  xf ( x )  f (1  x )   x  x  x  3 , x �R + Lấy (1) trừ (3) ta được: xf ( x3 )  xf ( x3 )  4 x � x f ( x3 )  x f ( x3 )  4 x 0 1 1 �� x f ( x )dx  � x f (  x3 )dx  � 4 x dx  1 f ( x)dx  + Từ (2) (4) suy ra: � 1 10 4 1 4 � � f ( x )dx  � f ( x )dx   4 3 1 30 13 Cách 2: Trắc nghiệm , ta chọn hàm f ( x)   x3  3x  C Phương pháp đổi biến số loại Phương pháp: Lần lượt đặt t  u ( x); t  v( x) đưa hệ phương trình hai ẩn (ẩn f(x)) để từ tìm hàm số f(x) * Một số kết chứng minh được: �x  b � �x  c � A.g �  B.g � � � Cho biểu thức: A f (ax  b)  B f (ax  c)  g ( x) A2 �B � f ( x)  �a � �a � *     A2  B A.g  x   B.g   x  + Hệ 1: A f ( x)  B f ( x)  g ( x) � f ( x)  A2  B g  x + Hệ 2: A f ( x)  B f ( x)  g ( x) � f ( x)  , g(x) hàm số chẵn A B f ( x) �1 � dx Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x) liên tục R f ( x)  f � � x Tính I  � x �x � A I  B I  C I  D I  1 Hướng dẫn: Đáp án A 3 1 �� �� + Đặt : t  � x  Khi điều kiện trở thành : f �� f (t )  � f � � f ( x)  t t x x t �� �x � 16 �x � x �x � �� �� + Hay f � � f ( x)  Kết hợp với điều kiện f ( x)  f � � x Suy ra: 2 f ( x) f ( x) �2 � �2 � 3 f ( x)   3x �   � I  � dx  � dx  �  x �1  �  1� x x x x x � �x � 1� 2 x Ví dụ 2: Cho hàm số y  f ( x) liên tục R f ( x)  2018 f  x   e Tính I  �f ( x)dx 1 A I  e2  2019e B I  e2  2018e C I  D I  e2  e Hướng dẫn: Đáp án A * Phân tích: Đối với dạng tốn tơi hướng dẫn học sinh giải theo hai cách sau để qua em thấy ưu nhược phương pháp để có định hướng lựa chọ cách giải phù hợp cho trình làm thi trắc nghiệm + Cách 1: (Áp dụng PP đổi biến số loại 2) 1 e2  x f (  x )  2018 f  x   e � A  1; B  2018 � I  � f ( x)dx  e dx   2018 � 2019e 1 x + Cách 2: (Áp dụng PP đổi biến số loại 3) 2018e x  e x e2  x x f ( x)  2018 f  x   e � f ( x)  �� f ( x)dx   2018e  e  dx  2019e 20182  2019.2017 � 1 1 x Ví dụ 3: Cho hàm số y  f ( x) liên tục R f ( x)  f   x   2sin x Tính I  A I  B I  Hướng dẫn: Đáp án A C I    + Đặt t   x � dt  dx; x   � t  ; x  �f ( x)dx  D I    �t   2              f (t )dt  � f (t )dt  � f ( x) dx � I  �  f ( x)  f (  x)  dx  + Khi đó: I   �  2sin xdx  � I  �   D Phương pháp đổi biến số loại * Tính chất: + Nếu hàm số y  f ( x) hàm số chẵn liên tục đoạn  a; a  , a  a a a f ( x) dx �f ( x)dx  2� + Nếu + Nếu hàm số y  f ( x) hàm số lẻ liên tục đoạn  a; a  , a  a �f ( x)dx  a Chứng minh: Đổi biến đặt x  t Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x) hàm lẻ liên tục  4; 4 thỏa mãn : 2 f ( x)dx f (2 x)dx  Tính I  � �f ( x)dx  2; � 17 A I  6 B I  10 C I  10 D I  Hướng dẫn: Đáp án A * Phân tích: Đây tốn đặc trưng tính tích phân hàm ẩn hàm số lẻ Tôi hướng dẫn em sử dụng tính chất nêu 4 2 2 1 f (2 x)dx   � f ( x)dx  � f ( x )dx � � f ( x )dx  +Ta có:  � 2 4 4 0 2 f ( x) dx   � f ( x)dx  � f ( x)dx � � f ( x)dx  Suy : + 2 � 2 0 �f ( x)dx  4 2 �2 � f ( x ) dx  f ( x ) dx  f ( x ) dx �   f ( x ) dx  f ( x ) dx � � I   (0  2)  I � � � � � 4 2 2 � � � I  6 Ví dụ 2: Cho hàm số y  f ( x) hàm chẵn, liên tục  1;1 thỏa mãn : �f ( x)dx  1 f ( x) dx  ex 1 Tính I  � A I  B I  Hướng dẫn: Đáp án A C I  D I  f ( x) f ( x) f ( x) dx  � x dx  � x dx  I1  I + Ta có: I  � x 1 e 1 e 1 e 1 1 0 f ( x) dx; x  t � dx   dt ; x  � t  0; x  1 � t  1  ex 1 +Xét : � 1 f (t ) et f (t )dt e x f ( x )dx � I1  �  t   dt   � t  � 1 e 1 e  ex 0 1 1  e x  f ( x)  f ( x) dx  � f ( x)dx  � f ( x )dx  Vậy : I  � x dx  � 1 e 1 ex 1 1 0 E Phương pháp đội biến số loại Bài toán: Cho hàm số y  f ( x) thỏa mãn g  f ( x)   x g (t ) hàm đơn điệu R b f ( x)dx Tính tích phân: I  � a ( y )dy Cách giải: Đặt y  f ( x) � g ( y ) � dx  g �  b �x  a � g ( y )  a � y   �I � f ( x )dx  � y.g ( y )dy Đổi cận: � �x  b � g ( y )  b � y   a  Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x) liên tục R thỏa mãn f  x   f ( x)  x, x �R Tính I � f ( x)dx A I  B I  C I  D I  Hướng dẫn: Đáp án C 18 * Phân tích: Đây tốn đặc trưng tìm tích phân hàm ẩn Để giải tốn tơi định hướng cho học sinh sử dụng phép đổi biến sau có lời giải ngắn gọn phù hợp với tư họcsinh � �x  � y  y  � y  y  f ( x ) � x  y  y � dx  y  dy ;   �x  � y3  y  � y  + Đặt � f ( x)dx  � y (3 y  1)dy  + Khi đó: I  � 0 Ví dụ 2: Cho hàm số liên tục R thỏa mãn f  x   f ( x)  f ( x)  x, x �R Tính I � f ( x)dx A I  B I  12 C I  D I  Hướng dẫn: Đáp án D � �x  � y  y  y  � y  + Đặt y  f ( x) � x  y  y  y � dx   y  y  1 dy; � �x  � y  y  y  � y  1 I  f ( x ) dx  y.6( y  y  1)dy  + Khi đó: � � 0 2 2.3.2.4 Phương pháp nguyên hàm, tích phân phần f ( x)dx   x  liên tục  0; 2 f    3; � Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm f � x f � ( x) dx Tính � A 3 B C D Hướng dẫn: Đáp án A * Phân tích: Với tốn dấu tích phân xuất tích hàm ẩn hàm số tơi định hướng cho học sinh sử dụng phương pháp tích phân phần với phép đặt u là số biết 2 2 � x f ( x ) dx  xd ( f ( x ))  x f ( x )  f ( x )dx  f (2)   + Ta có: � � � 0 ( x  1) f � ( x)dx  10 f  1  f (0)  2; Ví dụ 2: Cho hàm số y  f ( x ) thỏa mãn � Tính f ( x)dx � B A 8 C D 4 Hướng dẫn: Đáp án A 2 � x f ( x ) dx  xd ( f ( x ))  x f ( x )  f ( x )dx  f (2)   + Ta có: � � � 0 19 Ví dụ 3: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn:   f ( x )  f (  x )  s inx.cos x , với x thuộc R f (0)  Tính I  x f � � ( x)dx B I  A I   4 C I   D I    Hướng dẫn: Đáp án A Phân tích: Với tốn tơi hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp tích phân phần đổi biến số loại để tìm đáp số    + Theo giả thiết : f (0)  0; f ( x)  f (  x)  s inx.cos x � f (0)  f ( )  � f ( )       2 x f � ( x )dx  � xd ( f ( x))   x f ( x)   � f ( x)dx � I   � f ( x )dx + Ta có: I  � 0 0   0   + Mặt khác ta có: f ( x )  f (   x )  s inx.cos x � � f ( x)dx  � f (  x)dx  � s inx.cos xdx    2  2  1 � � �� f ( x) dx  � f (  x)d �  x � � � f ( x)dx  � I   � f ( x)dx   4 �2 �  0 0 Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục  1; 2 , thỏa mãn: 2 2 ( x )  dx  Tính: I  � f ( x)dx  x  1 f ( x)dx   ; f (2)  0; �  f� � 1 7 A I   B I  C I  5 20 D I  7 20 Hướng dẫn: Đáp án A * Phân tích:Đây câu hỏi có mức độ vận dụng cao ngồi việc định hướng cho học sinh sử dụng phương pháp phần tơi hướng dẫn em có kỹ phân tích tìm �f ( x) �0, x � a; b  � hàm ẩn f ( x) nhờ tính chất �b f ( x)dx  �� �a thì: f ( x)  0, x � a; b Từ em giải thành thạo ví dụ tập tương tự sau + Đặt: � du  f �  x  dx u  f ( x) � � � � �  x  1 � dv   x  1 dx � � v �  x  1 f ( x)   x  1 f � � � x  f ( x ) dx  ( x)dx   � 3 3 2 1 3 �  � ( x)dx � � ( x)dx  �  � 2.7  x  1 f � ( x) dx  14  x  1 f �  x  1 f � 31 1 + Tính được: 20 2 2 49  x  1 dx  � � � 2.7  x  1 f � ( x )dx  � 49  x  1 dx   x � �f � �dx  � � 1  x  1 C 4 � �� 7( x  1)3  f � ( x) � ( x)  7( x  1)3 � f ( x)  � �dx  � f � 2 � 7( x  1)4 7( x  1) �  �I � f ( x) dx  �  � dx   � 4 4� 1 � Ví dụ 5: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục  0;1 , thỏa mãn: Do f (2)  � f ( x)   f ( x)dx  ; f (0)  f (1)  0; � f� ( x).cos( x) dx  Tính: I  � f ( x)dx � 2 0 3 A I  B I  C I    1 D I   Hướng dẫn: Đáp án A u  cos( x) du   sin( x)dx � � �� dv  f � ( x) dx � v  f ( x) � 1 �� f� ( x)cos( x)dx  cos   x  f ( x )   � f ( x ).sin   x  dx 0 + Đặt: � 1 0    f (1)  f (0)    � f ( x).sin   x  dx   � f ( x).sin   x  dx � � f ( x).sin   x  dx  1 � + Ta tìm số thực k cho: � �f ( x )  k sin   x  � �dx  1 1 0 f ( x).sin( x) dx  k � sin ( x)dx �  f ( x)  dx  2k � Ta có: � �f ( x)  k sin   x  � �dx � 0 � k k   � k 1� �  f ( x)  sin( x) dx  � f ( x)  sin( x) 2 1 0 �I � f ( x)dx  � sin( x)dx   Ví dụ 6: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục  0;1 , thỏa mãn: 1 1 ( x) dx  7; f (1)  0; � x f ( x )dx  Tính: I  � f ( x)dx  f� � 0 7 A I  B I  C I  2 D I  Hướng dẫn: Đáp án A du  f � ( x)dx � 1 u  f ( x) � x f ( x) 1 � �� x �� x f ( x)dx   � x f� ( x )dx  � � x3 f � ( x) dx  1 + Đặt: � 30 3 dv  x dx � v � 0 � � ( x)  kx � + Ta tìm số thực k cho: � �f � �dx  Ta có: 1 1 0 0 2 � ( x)  kx3 � ( x)  dx  2k � f� ( x).x 3dx  k � x dx  �  2k  k  � k   f� +� �f � �dx  � 21 � f� ( x)  7 x3 � f ( x)  1 �7 x � 7 7 x  C; f (1)  � C  � I  � f ( x)dx  �  � dx  � 4 4� 0� * Bình luận: Qua ví dụ tơi nhận thấy học sinh dễ dàng tư hình thành nên kỹ giải toán tương tự gặp đề thi THPT QG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Bài 1: Cho hàm số y  f ( x) liên tục R thỏa mãn x  f  x   f ( x)  1, x �R Tính I �f ( x)dx 2 A I  B I  12 C I  D I  Bài (Đề thi KS THPT QG lần năm học 2018 - 2019– THPT Ba Đình ) Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm cấp R thỏa mãn f (1  x)  ( x  3) f ( x  1) Biết � ( x)dx f ( x) �0x �R Tính I  �  x  1 f � A I  B I  C I  4 D I  Bài : Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 , thỏa mãn đẳng thức 1 e2  � f ( x ) dx  x  e f ( x ) dx  f ( x)dx     Biết f (1)  , tính I  � � � 0 A I  e  x B I  e C I  e2 D I  e 1 Bài 4: (Đề thi KS THPT QG lần năm học 2018 - 2019– THPT chuyên Lam Sơn ) Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm cấp liên tục đoạn  0;   thỏa mãn  f ( x )dx (làm tròn đến phần trăm) f� ( x)  sin f ( x)  cos x.e cos x , x � 0;   Tính I  � A I �6, 55 B I �17,30 C I �10,31 D I �16,91 Bài 5: (Đề thi THPTQG năm 2019 Bộ GD&ĐT) Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm cấp liên tục đoạn R thỏa mãn 0 x2 f � ( x)dx bằng: f (4)  1; � xf (4 x )dx  Khi đó: I  � A I  31 B I  16 C I  D I  14 Bài 6: (Đề thi THPTQG năm 2019 Bộ GD&ĐT) Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm cấp liên tục đoạn R thỏa mãn 0 f (6)  1; � xf (6 x)dx  Khi đó: I  � x2 f � ( x)dx bằng: A I  107 B I  34 D I  36 C I  24 Bài 7: (Đề thi tham khảo Kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2020 Bộ GD&ĐT)  f ( x )dx bằng: ( x)  cos x.cos x, x �R Khi đó: I  � Cho hàm số y  f ( x) có f (0)  0; f � 22 A I  1042 225 B I  208 225 C I  242 225 D I  149 225 Bài 8: (Đề thi thử lần năm học 2019 - 2020 trường THPT Hậu Lộc – Thanh Hóa) Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương có đạo hàm liên tục đoạn [0; 3], biết f ( x )dx bằng: f (0)  2;  x  1 �  x   2� �f ( x) f � � f ( x), x � 0;3 Khi đó: I  � 14 A I  28 B I  C I  D I  Bài 9: (Đề thi thử lần năm học 2019 - 2020 trường THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An) Cho hàm số y  f ( x) xác định liên tục R Gọi g(x) nguyên hàm hàm 4 x x2 y  g (4)  3g (3)  4; � g ( x)dx  Khi đó: I  � dx bằng: số x  f  x  Biết , x  f ( x) 3 A I  B I  C I  D I  Bài 10: (Đề thi thử lần năm học 2019 - 2020 trường THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm đồng biến đoạn [1; 4], biết f ( x)dx bằng: f (1)  ; x  xf ( x)  � f� , x � 1;  Khi đó: I  �  x � � � 1187 1188 A I  B I  C I  45 45 D I  1186 45 Bài 11: (Đề KSCL THPT Quốc gia lần Sở GD & ĐT tỉnh Vĩnh Phúc) Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn [-1; 2], biết x  xf ( x  2)  f (1  x)  x Khi đó: I �f ( x )dx bằng: 1 A I  B I  C I  15 D I  2.4 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thực tế cho thấy, với cách đưa giải pháp tạo cho học sinh nhanh nhẹn, linh hoạt, vững vàng, tiết kiệm thời gian q trình giải tốn Học sinh biết vận dụng có sáng tạo học tập, biết liên kết nhiều mảng kiến thức, nhiều phương pháp giải cho phần toán Cách làm đáp ứng nhu cầu học tập tích cực học sinh Sau ôn tập kiến 23 thức lý thuyết, học sinh tự giải tập tương tự, tập nằm đề thi đại học năm gần Hiệu học tập học sinh nâng lên rõ rệt Để có viết trên, tơi phải nghiên cứu nhiều tài liệu kiểm chứng qua số nhóm học sinh có học lực giỏi, trung bình lớp mà tơi giảng dạy lớp 12E,12C Với toán 1,2,3,4 hệ thống tập tự luyện trên, lớp chọn hai nhóm học sinh với số lượng nhau, có học lực ngang nhau, nhóm I: tơi cho làm sau triển khai viết, nhóm II: tơi cho làm trước triển khai viết; thấy kết sau: nhóm I nhóm II khơng có học sinh để trống, số lượng học sinh làm câu có nhóm I, nhóm II học sinh làm nhiều câu lại làm 1-2 câu Kết thu cụ thể thể bảng sau: Số học sinh có lời Số học sinh có lời Nhóm Số học giải 1-2 câu giải 3-4 câu sinh câu câu câu câu Nhóm I Lớp 12C Lớp 12E 15 20 6 10 Nhóm II Lớp 12C 15 Lớp 12E 20 Qua bảng thống kê ta thấy cách làm thể hiệu vượt trội KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trong trình dạy học, thể loại kiến thức, giáo viên nắm sở lý thuyết, chủ động việc tìm tịi cách giải mới, kế thừa phát huy kiến thức có sẵn cách sáng tạo, xây dựng phương pháp giải đưa hệ thống tập phù hợp với đối tượng học sinh, hướng dẫn học sinh vận dụng hợp lý vào việc giải tập tương ứng cách có hệ thống tạo điều kiện để học sinh củng cố hiểu sâu lý thuyết với việc thực hành giải toán hiệu hơn, tạo hứng thú, phát huy tính chủ động sáng tạo việc học học sinh Mặc dù có đầu tư kĩ lưỡng viết không tránh khỏi thiếu sót, tơi mong bạn đồng nghiệp bổ sung góp ý để viết hồn thiện hơn, ứng dụng vào việc dạy học cho học sinh lớp giảng dạy, đem lại cho học sinh giảng hay hơn, hút XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 29/ 06/ 2020 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép nội dung người khác 24 Người viết Lê Diễm Hương TÀI LIỆU THAM KHẢO Các đề thi thức thử nghiệm THPT Quốc gia năm 2017,2018,2019 Bộ GD & ĐT Tuyển tập tạp chí tốn học tuổi trẻ năm 2017,2018,2019 Tích phân xác định ứng dụng 12 – Nhà xuất đại học sư phạm Chuyên đề luyện thi trắc nghiệm Toán 2017,2018,2019 thầy Nguyễn Tiến Minh, thầy Đặng Việt Hùng, thầy Đặng Thành Nam,… Tuyển tập đề thi trắc nghiệm mơn Tốn năm 2017, 2018, 2019,2020 trường ĐH Vinh, chuyên KHTN, ĐH Quốc gia Hà Nội, THPT Chuyên Lam Sơn, THPT Nga Sơn, THPT Mai Anh Tuấn, THPT Ba Đình, THPT Hậu Lộc 1,… Khóa học luyện thi trắc nghiệm mơn Tốn năm 2018 - 2019 ,thầy Mẫn Ngọc Quang Đề thi tham khảo kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2020 Bộ GD & ĐT Mẫu (2) DANH MỤCSÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả:Lê Diễm Hương 25 Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên , Trường THPT Nga Sơn TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp Kết loại đánh giá Năm học đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp xếp loại huyện/tỉnh; Tỉnh ) Rèn luyện cho học sinh kỹ giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình vơ tỉ phương pháp nhân lượng liên hợp Cấp ngành (A, B, C) C 2015 - 2016 26 ... lên hướng giải tốn nguyên hàm, tích phân chứa hàm ẩn với đề tài “ Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải tốn ngun hàm, tích phân chứa hàm ẩn mực độ vận dụng - vận dụng cao đề thi THPT Quốc gia? ??,... khăn học sinh đề tài “ Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải toán nguyên hàm, tích phân chứa hàm ẩn mực độ vận dụng - vận dụng cao đề thi THPT Quốc gia? ?? 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đứng trước vấn đề. .. nghĩa nguyên hàm, tích phân Tính chất nguyên hàm, tích phân Phương pháp đổi biến số phương pháp nguyên hàm, tích phân phần Các phương pháp Phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất nguyên hàm Phương