1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Mỗi nội dung chương trình tốn phổ thơng có vai trị quan trọng việc hình thành phát triển tư học sinh Trong trình giảng dạy, giáo viên phải đặt đích giúp học sinh nắm kiến thức bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo, từ tạo thái độ động học tập đắn Thực tế dạy học cho thấy cịn có nhiều vấn đề cần phải giải học sinh học hình cịn yếu, đặc biệt phải vẽ thêm đường phụ, chưa hình thành kỹ năng, kỹ xảo, q trình giải tốn hình học khơng gian Đặc biệt từ năm học 2016 – 2017, kỳ thi THPT Quốc gia thi hình thức trắc nghiệm, học sinh sử dụng kết mơn Tốn để xét Đại học – Cao đẳng cần phải làm câu hỏi mức độ vận dụng, đặc biệt câu hỏi vận dụng tỉ số thể tích khối đa diện hình học khơng gian Để làm câu hỏi dạng địi hỏi học sinh ngồi việc học tốt kiến thức hình học khơng gian cịn phải biết vận dụng linh hoạt phương pháp, kỹ thuật để từ quy tốn khó dễ phù hợp với kiến thức có, đặc biệt kỹ phân tích, xác định phương pháp tính tốn nhanh để đạt u cầu kiến thức lẫn thời gian câu hỏi trắc nghiệm Từ thực tiễn giảng dạy bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học nhiều năm, với kinh nghiệm trình giảng dạy, tác giả trăn trở vấn đề nên chọn đề tài “Kinh nghiệm giúp học sinh lớp 12 giải toán tỉ số thể tích khối đa diện” để giúp em có hướng làm hiệu mà rút ngắn thời gian 1.2 Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh hình thành tư sáng tạo giải tốn tỉ số thể tích khối chóp, tỉ số khối lăng trụ tỉ số khối hộp Qua kích thích học sinh tìm tịi, phát tạo hứng thú q trình học mơn Tốn Học sinh biết cách áp dụng vào để giải toán tỉ số thể tích khối đa diện đề thi THPT Quốc gia đề thi học sinh giỏi Hưởng ứng phong trào tự học, tự sáng tạo, nâng cao chuyên môn, học hỏi đồng nghiệp qua đợt viết sáng kiến kinh nghiệm nghiên cứu khoa học mà nhà trường sở phát động 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu số vấn đề sau: Nêu hướng giải tốn tìm tỉ số thể tích khối đa diện khơng gian 1.3.1 Tỉ số thể tích khối chóp 1.3.2 Tỉ số thể tích khối lăng trụ 1.3.3 Tỉ số thể tích khối hộp Ngồi đối tượng khảo sát em học sinh lớp 12A1; 12A2 Trường THPT Sầm Sơn 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Phương pháp phân tích Nghiên cứu thực trạng vận dụng kiến thức vào giải tốn tỉ số thể tích khối chóp, tỉ số thể tích khối lăng trụ tỉ số thể tích khối hộp Đặc biệt khó khăn học sinh thường gặp với toán khó 1.4.2 Phương pháp tổng hợp Sử dụng tài liệu tham khảo với thực tế diễn lớp học, đồng thời với đóng góp ý kiến thầy cô giáo trường THPT Sầm Sơn 1.4.3 Phương pháp thực nghiệm Tổ chức dạy học cho em học sinh lớp 12 sau khảo sát lớp dạy Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Vấn đề nghiên cứu dựa sở nội dung thể tích khối đa diện hình học khơng gian chương trình hình học 12 Ngồi phải bổ trợ thêm kiến thức hình học không gian lớp 11 kiến thức tỉ số đoạn thẳng Toán lớp Khi giải tập toán, người học phải trang bị kỹ suy luận, liên hệ cũ mới, toán làm toán Các tập đề tài thiết kế theo hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đến khó nhằm phát triển tư cho học sinh q trình giảng dạy, phát huy tính tích cực học sinh Hệ thống tập giúp em học sinh tiếp cận nắm bắt kiến thức nhất, phát triển khả tư duy, khả vận dụng kiến thức học cách linh hoạt vào giải toán trình bày lời giải Từ học sinh có hứng thú động học tập tốt Trong trình giảng dạy nội dung tỉ số thể tích khối đa diện chương trình hình học 12 ơn thi THPT Quốc gia, thấy kỹ giải tốn tỉ số thể tích khối đa diện học sinh cịn yếu, đặc biệt tốn trắc nghiệm đòi hỏi thời gian ngắn, đa số học sinh bỏ qua Do cần phải giúp học sinh tiếp cận toán cách dễ dàng, thiết kế trình tự giảng hợp lí giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm kiến thức bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo lĩnh hội kiến thức mới, xây dựng kỹ làm tốn trắc nghiệm khách quan, từ đạt kết cao kỳ thi 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Bài tốn tỉ số thể tích khối đa diện khơng phải toán thiếu hụt kiến thức hình học khơng gian lớp 11 nên nhiều học sinh gặp khó khăn việc xác định thiết diện mặt cắt Qua thực tế giảng dạy, nhận thấy đa số em lúng túng phân chia khối đa diện, chưa hiểu cách vận dụng, phân tích, sâu chuỗi vấn đề đưa dạng tốn liên quan, chưa khai thác triệt để tính chất, giả thiết toán để đưa hướng giải Để giải nhanh chóng ngắn gọn dạng toán em cần tổng hợp nắm vững kiến thức sở vấn đề 2.3 Giải pháp để giải vấn đề 2.3.1 Cơ sở lý thuyết Để tính tỉ số thể tích khối đa diện bất kỳ, thường nghĩ đến việc chia khối đa diện thành khối đa diện đơn giản biết công thức V = B.h V = B.h V = a.b.c tính như: Khối chóp , khối lăng trụ , khối hộp chữ nhật , …[1] cộng kết lại, sau lập tỉ số Tuy nhiên, nhiều trường hợp việc tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ gặp khó khăn khơng xác định đường cao hay diện tích đáy, sử dụng cơng thức tỉ số thể tích để giải tốn Trước hết ta có số định lý tỉ lệ kỹ thuật sau Định lý Ta-let (Tốn 8) Có đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ AB ' AC ' B ' C ' = = AB AC BC Định lý Menelaus Cho tam giác BC , CA, AB Khi ABC , điểm D, E , F D, E , F nằm đường thẳng thẳng hang FA DB EC =1 FB DC EA Kỹ thuật chuyển đỉnh (đáy không đổi) Trường hợp song song đáy V1 = V2 Trường hợp cắt đáy V1 IA = V2 IB Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi) V1 S1 = V2 S2 Để kỹ thuật chuyển đáy thuận lợi ta nên chọn hai đáy có cơng thức tính diện tích, ta dễ dàng so sánh tỉ số Tỉ số diện tích hai tam giác S∆OA ' B ' OA ' OB ' = S∆OAB OA OB Chứng minh H,H ' Gọi A, A ' hình chiếu vng góc Theo định lý Ta-let ta có OA ' A ' H ' = OA AH lên OB OB ' A ' H ' S ∆OA ' B ' OA ' OB ' = = S ∆OAB OA OB OB AH Khi Sau ta xét số toán Bài toán [1] (Bài tập trang 25 sách giáo khoa hình học 12 bản) Cho khối chóp A ', B ', C ' khác với Lời giải [2] S S ABC SA, SB, SC Trên đoạn thẳng Chứng minh h, h ' Gọi Gọi VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' = VS ABC SA SB SC A, A ' chiều cao hạ từ phẳng lấy ba điểm ( SBC ) S1 , S2 đến mặt theo thứ tự diện tích tam giác SBC , SB ' C ' Khi ta có Mặt khác Suy SH ' SA ' = SH SA (định lý Ta-let) · ' SC ' SB '.SC '.sin B S2 SB ' SC ' = = S1 SB SC · SB.SC.sin BSC SH '.S SB ' C ' VS A ' B ' C ' VA ' SB ' C ' SA ' SB ' SC ' = = = VS ABC VA.SBC SA SB SC SH S SBC VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' = VS ABC SA SB SC Vậy Trường hợp đặc biệt ( ABC ) P( A ' B ' C ') (1) SA ' SB ' SC ' = = =k SA SB SC Nếu Từ (1) dễ dàng suy điều phải chứng minh Bài toán Cho khối chóp phẳng ( P) S ABCD có đáy VS A ' B ' C ' = k3 VS ABC ABCD SA, SB, SC , SD cắt cạnh a Chứng minh SA SC SB SD + = + SA ' SC ' SB ' SD ' (2) hình bình hành, mặt A ', B ', C ', D ' khác với S SA SB SC SD = a; = b; = c; =d SA ' SB ' SC ' SD ' b Đặt Lời giải Chứng minh VS A ' B ' C ' D ' a + b + c + d = VS ABCD 4abcd ( SAC ) ( SBD ) a Xét ba mặt phẳng phân biệt , ( P) A ' C ', B ' D ', SO có ba giao tuyến Theo định lý ba đường giao tuyến A ' C ', B ' D ', SO đồng quy S, I , O Do ba điểm Xét mặt phẳng Ta có mà ( SAC ) S SA ' I SA ' SI = S SAO SA SO S SAO = S SOC Do Suy thẳng hàng S SIC ' SI SC ' = S SOC SO SC S SA ' I S SIC ' S SA ' C ' 2S SA ' C ' SA ' SC ' + = = = S SAO S SOC S SAO S SAC SA SC SI  SA ' SC '  SA ' SC ' SA SC SO  + ⇒ + = ÷ = SO  SA SC  SA SC SA ' SC ' SI ( SBD ) Tương tự xét mặt phẳng Từ suy SA SC SB SD + = + SA ' SC ' SB ' SD ' b Từ cơng thức (1) ta có Mà VS ABC = VS ABCD Tương tự Do ta có SB SD SO + = SB ' SD ' SI nên (3) VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' = VS ABC SA SB SC SA ' SB ' SC ' VS A ' B ' C ' = VS ABCD SA SB SC SA ' SC ' SD ' VS A ' C ' D ' = VS ABCD SA SC SD SA ' SC '  SB ' SD '  VS A ' B ' C ' D ' = VS A ' B ' C ' + VS A ' C ' D ' =  + ÷.VS ABCD SA SC  SB SD  Vậy VS A ' B ' C ' D ' SA ' SC '  SB ' SD '  1 1 b+d a +b+c+d =  +  + ÷ = = ÷= VS ABCD SA SC  SB SD  2ac  b d  2abcd 4abcd (4) Trong trường hợp đáy tứ giác ta làm theo bước sau: Bước 1: Phân chia khối chóp tứ giác cho thành nhiều khối chóp tam giác Bước 2: Sử dụng cơng thức tỉ số thể tích khối chóp tam giác kỹ thuật chuyển đỉnh, kỹ thuật chuyển đáy để tính thể tích khối chóp tam giác Bước 3: Kết luận tính chất thể tích khối chóp tứ giác ban đầu Trường hợp đặc biệt Nếu ( ABCD ) P( A ' B ' C ' D ') SA ' SB ' SC ' SD ' = = = =k SA SB SC SD VS A ' B ' C ' D ' = k3 VS ABCD (5) n Kết (5) trường hợp đáy - giác Chứng minh tương tự cách phân chia khối chóp thành khối chóp tam giác áp dụng cơng thức (1) Bài tốn Cho khối lăng trụ AA ', BB ', CC ' ABC A ' B ' C ' , mặt phẳng M , N, P Chứng minh ( P) cắt cạnh VABC MNP  AM BN CP  =  + + ÷ VABC A ' B ' C '  AA ' BB ' CC '  Lời giải VABC MNP = VA.MNP + VA BCPN Ta có Sử dụng kỹ thuật chuyển đáy ta có VA.BCPN S = BCPN VA BCC ' B ' S BCC ' B ' Mà ( BN + CP ) d ( BN ; CP )  BN CP  = =  + ÷ BB '.d ( BB '; CC ' )  BB ' CC '  VA.BCC ' B ' = VABC A ' B ' C ' nên VA.BCPN  BN CP  =  + ÷ VABC A ' B ' C '  BB ' CC '  AM d ( N ; AM ) VA.MNP VP AMN S AMN AM = = = = VC ABB ' A ' VC ABB ' A ' S ABB ' A ' AA '.d ( B '; AA ' ) AA ' Tương tự VC ABB ' A ' = VABC A ' B ' C ' Mà Vậy VA.MNP nên AM = AA ' VABC A ' B ' C ' VABC MNP  AM BN CP  =  + + ÷ VABC A ' B ' C '  AA ' BB ' CC '  Bài toán Cho khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' AA ', BB ', CC ', DD ' AM CP BM DQ + = + AA ' CC ' BB ' DD ' VABCD.MNPQ VABCD A ' B ' C ' D ' b Lời giải = , mặt phẳng ( P) cắt cạnh M , N , P, Q a (6) Chứng minh  AM CP  +  ÷  AA ' CC '  ( ACC ' A ') a Xét ba mặt phẳng phân biệt , ( P) ( BDD ' B ') MP, NQ, OO ' có ba giao tuyến Theo định lý ba đường giao tuyến MP, NQ, OO ' O, I , O ' đồng quy Do MNPQ Vì hình bình hành nên thẳng hàng I trung điểm MP, NQ Do OI đường trung bình hình thang AMPC Suy OI  AM CP  OI = ( AM + CP ) ⇒ =  + ÷ AA '  AA ' CC '  Tương tự Suy OI BNQD đường trung bình hình thang OI  BN DQ  OI = ( BN + DQ ) ⇒ =  + ÷ AA '  BB ' DD '  AM CP BM DQ + = + AA ' CC ' BB ' DD ' Từ suy b Từ cơng thức (3) ta có VABC MNP  AM BN CP  =  + + ÷ VABC A ' B ' C '  AA ' BB ' CC '  VABC MNP VABCD A ' B ' C ' D ' nên VACD.MPQ Tương tự VACD A ' C ' D ' VABCD A ' B ' C ' D ' VABCD.MNPQ VABCD A ' B ' C ' D ' = mà VABC A ' B ' C ' = VABCD A ' B ' C ' D '  AM BN CP  =  + + ÷  AA ' BB ' CC '   AM CP DQ  =  + + ÷  AA ' CC ' DD '  VACD.MPQ nên (7) mà VACD A ' C ' D ' = VABCD A ' B ' C ' D '  AM CP DQ  =  + + ÷  AA ' CC ' DD '  VABC MNP + VACD.MPQ VABCD A ' B ' C ' D '  AM CP  =  + ÷  AA ' CC '  Suy (8) Từ toán có hệ thống cơng thức tỉ số thể tích khối đa diện, từ giải lớp tốn từ dễ đến khó liên quan đến vấn đề Sau đây, ta giải hệ thống tốn từ dễ đến khó thường hay gặp kỳ thi THPT Quốc gia đề thi học sinh giỏi năm gần Các tốn thường gặp khó khăn việc xác định chiều cao diện tích đáy khối chóp khối lăng trụ, cần phải dùng cơng thức tỉ số thể tích đề cập để giải vấn đề 2.3.2 Phân dạng tập theo mức độ hướng dẫn giải Mức độ nhận biết Ví dụ [4] (THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An năm 2018 - 2019) Cho khối chóp Tỉ số thể tích 12 VS ABC VS MNP A Hướng dẫn giải S ABC M , N, P Gọi SA, SB, SC trung điểm B C D M , N, P Vì SA, SB, SC theo thứ tự trung điểm SM SN SP = = = SA SB SC nên Sử dụng cơng thức (2) ta có VS MNP   = ÷ = VS ABC   VS ABC =8 VS MNP Vậy Chọn C Ví dụ [4] (THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Quảng Nam năm 2019-2020) SA, SB Trên cạnh SA ' = cho khối chóp 1 SA, SB ' = SB 24 A Hướng dẫn giải S ABC A ', B ' lấy hai điểm Tỉ số thể tích hai khối chóp B 12 C S A ' B ' C ' D S ABC Đây khối chóp tam giác nên sử dụng cơng thức (1) ta có VS A ' B ' C SA ' SB ' SC 1 = = = VS ABC SA SB SC 12 Chọn B Ví dụ [4] (THPT Lê Văn Thịnh – Bắc Ninh năm 2018 - 2019) Cho hình chóp S ABCD A ', B ', C ', D ' Gọi theo thứ tự trung điểm SA, SB, SC , SD Tính tỉ số thể tích hai khối chóp 16 A Hướng dẫn giải B C S.A ' B ' C ' D ' S ABCD D 10 A ', B ', C ', D ' Vì theo thứ tự trung điểm SA, SB, SC , SD nên SA ' SB ' SC ' SD ' = = = = SA SB SC SD Sử dụng công thức (5) ta có VS A ' B ' C ' D ' = VS ABCD Chọn C Ví dụ [4] (Đề thi khảo sát lực ĐHQG TPHCM năm 2018 - 2019) E, F ABC A ' B ' C ' Cho khối lăng trụ Gọi trung điểm ( BEF ) AA ', CC ' Mặt phẳng chia khối lăng trụ thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần A B C Hướng dẫn giải Đây khối lăng trụ tam giác nên sử dụng công thức (6) ta có D VA ' B ' C '.EBF  A ' E B ' B C ' F  =  + + ÷= VA ' B ' C ' ABC  A ' A B ' B C ' C  Suy Nên VA ' B ' C ' EBF = VA ' B ' C ' ABC VB EFCA = VA ' B ' C ' ABC VB.EFCA Vậy ; VA ' B ' C '.EBF = Chọn C Mức độ thông hiểu Ví dụ [1] (Bài tập 11 – trang 27, sách giáo khoa hình học 12 bản) Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' E, F Gọi theo thứ tự trung điểm ( CEF ) BB ' DD ' cạnh Mặt phẳng chia khối hộp làm hai khối đa diện Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện 11 Phân tích Đây tốn chưa thể sử dụng cơng thức tỉ số thể tích khối ( CEF ) hộp ngay, mà cần phải xác định thiết diện cắt mặt phẳng với hình hộp Sau sử dụng cơng thức (8) để suy kết toán Cụ thể sau: Hướng dẫn giải Đây hình hộp nên sử dụng cơng thức (7) ta có BE DF CC AA1 + = + BB ' DD ' CC ' AA ' Suy AA AA 1 + = 0+ ⇒ =1 2 AA ' AA ' A1 ≡ A ' Do Sử dụng cơng thức (8) ta có VABCD A ' EF VABCD A ' B ' C ' D ' Suy =  BE DF  +  ÷=  BB ' DD '  VABCD A ' EF = VA ' ECF B ' C ' D ' = VABCD A ' B ' C ' D ' VABCD A ' EF VA ' ECF B ' C ' D ' =1 Vậy Ví dụ [4] (Đề thi thử THPT Quốc gia lần Sở Ninh Bình năm 2019-2020 ) Cho hình hộp thể tích khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Tỉ số thể tích khối tứ diện ABCD A ' B ' C ' D ' ACB ' D ' A B C D Phân tích Đây tốn khơng phải xác định thiết diện mặt cắt, mà cần phải phân chia khối hộp thành tổng khối chóp cho thiết lập mối liên hệ tỉ số thể tích với khối hộp Cụ thể sau: Hướng dẫn giải 12 VABCD A ' B ' C ' D ' = VACB ' D ' + VBAB ' C + VAA ' B ' D ' + VDACD ' + VCB ' C ' D ' VABCD A ' B ' C ' D ' = V Đặt Sử dụng kỹ thuật chuyển đáy ta có VBAB ' C V S = B ' ABC = ABC = VB ' ABCD VB ' ABCD S ABCD Mà ; 1 VB ' ABCD = V ⇒ VBAB ' C = V Tương tự VA A ' B ' D ' = VDACD ' = VCB ' C ' D ' = V VACB ' D ' 1 VACB ' D ' = V ⇒ = VABCD A ' B ' C ' D ' Suy Chọn D Ví dụ [5] (Đề thi HSG Bắc Ninh năm 2018 - 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy AD, SC lượt trung điểm của hai khối chóp 16 ANIB I ABCD M,N hình bình hành Gọi lần BM , AC giao điểm Tính tỉ số thể tích S ABCD 12 24 A B C D Phân tích Bài tốn xác định rõ hai khối chóp cần lập tỉ số, với trường hợp ta không sử dụng công thức tỉ số mà sử dụng kỹ thuật chuyển đỉnh kết hợp với kỹ thuật chuyển đáy để giải Cụ thể sau: Hướng dẫn giải Sử dụng kỹ thuật chuyển đỉnh ta có VANIB VN AIB = = VS AIB VS AIB Sử dụng kỹ thuật chuyển đáy ta có VS AIB S S VS ABC = AIB = = ABC = VS ABC S ABC VS ABCD S ABCD ; 13 VANIB = VS ABCD 12 Suy Chọn C Ví dụ [4] (Đề thi thử THPT Quốc gia Sở Đà Nẵng năm 2017 - 2018) Cho khối chóp tứ giác ( P) phẳng diện, đặt V1 chứa AM S ABCD song song với Gọi BD ABCD trung điểm SC , mặt chia khối chóp thành hai khối đa thể tích khối đa diện có chứa đỉnh có chứa đáy M S V2 thể tích khối đa diện V1 V2 Tính V1 =1 V2 V1 = V2 V1 = V2 V1 = V2 A B C D Phân tích Bài tốn chưa xác định rõ khối đa diện cần lập tỉ số, trước hết phải ( P) xác định thiết diện cắt , từ sử dụng cơng thức tỉ số thể tích (1) để suy kết tốn Cụ thể sau: Hướng dẫn giải O Gọi giao điểm SO, AC Qua G G N, K trọng tâm Khi trọng tâm SG SN SK = = = SO SB SD Ta có , G ∆SAC giao điểm ∆SAC kẻ đường thẳng song song Vì Khi G BD, AC BD ( P ) ≡ ( AKMN ) cắt SB, SD nên VS AKMN = VS AMK + VS ANM Sử dụng cơng thức (1) ta có VS AMK SA SM SK = = VS ACD SA SC SD VS ANM SA SN SM = = VS ABC SA SB SC ; Sử dụng kỹ thuật chuyển đáy ta có 14 VS ACD S S V = ACD = ; S ABC = ABC = VS ABCD S ABCD VS ABCD S ABCD 1 VS AMK = VS ANM = VS ABCD ⇒ V1 = VS ABCD ;V2 = VS ABCD 3 Suy Vậy V1 = V2 Chọn B Mức độ vận dụng thấp Ví dụ [4] (Đề thi KSCL lớp 12 THPT Chun Đại học Vinh năm 2020) Cho hình chóp V P Gọi trung điểm tỉ số S ABCD M,N Gọi V' có đáy SC ABCD Mặt phẳng hình bình hành tích (α ) chứa thể tích khối chóp AP cắt hai cạnh S AMPN SD, SB Tìm giá trị nhỏ V' V A Phân tích B C D ( AMPN ) Trước hết, cần xác định thiết diện mặt cắt Sau đó, sử dụng cơng thức tỉ số thể tích (4) để suy tỉ số, sử dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá Cụ thể sau: Hướng dẫn giải Gọi O SO, AI giao điểm Khi I trọng tâm AC , BD ∆SBD , I giao điểm MN I qua SD = x ( x ∈ [ 1; 2] ) SM Đặt Sử dụng cơng thức (3) ta có SB SD SA SC SB + = + =3⇒ =3− x SN SM SA SP SN 15 Sử dụng công thức (4) ta có V' = V 4x ( − x) Theo bất đẳng thức Cauchy:  x + (3 − x )  x ( − x) ≤  ÷ =   V '  ÷ = ⇔x=  V min V' ≥ V Suy Vậy Chọn B Ví dụ 10 [4] (Đề thi thử TN THPT Sở Hưng Yên năm 2020) Cho tứ diện BC ABMN BD ABCD cho ABCD Hai điểm BC BD + =6 BM BN M,N Gọi Giá trị nhỏ di động hai đoạn thẳng V1 , V2 V1 V2 thể tích khối tứ diện A B C D Phân tích Bài tốn xác định rõ hai khối tứ diện cần lập tỉ số, nên dễ dàng sử dụng kỹ thuật chuyển đáy để thiết lập tỉ số Mặt khác, với tổng không đổi để tích nhỏ nghĩ đến bất đẳng thức quen thuộc Cauchy để giải Cụ thể sau: Hướng dẫn giải Sử dụng kỹ thuật chuyển đáy ta có V1 VA BMN S BMN BM BN = = = V2 VA.BCD S BCD BC BD Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 6= BC BD BC BD + ≥2 BM BN BM BN Suy Vậy BC BD BM BN ≤9⇒ ≥ BM BN BC BD  V1  BC BD = =3  ÷ = ⇔ BM BN  V2  max Chọn C 16 Mức độ vận dụng cao Ví dụ 11 [4] (Đề thi thử TN THPT Sở Thái Nguyên năm 2020) Cho khối hộp cạnh AD ABCD A ' B ' C ' D ' cho DN = AN phần tích V1 ;V2 , M trung điểm Mặt phẳng ( B ' MN ) V1 < V2 thỏa mãn Tỉ số , N điểm chia khối hộp thành hai V1 V2 47 88 47 135 C 'D' 88 135 A B C D Phân tích Trước hết ta cần xác định thiết diện mặt cắt để thấy rõ hai phần đa diện cần lập tỉ số Sau đó, phân chia khối đa diện thành tổng khối đa diện mà thiết lập tỉ số thể tích với khối hộp ban đầu Cụ thể sau: Hướng dẫn giải Gọi I BM , A ' D ' giao điểm giao điểm IN P, K gọi DD ', AA ' với Q giao KB ', AB điểm Khi thiết diện hình B ' MPNQ ABCD A ' B ' C ' D ' hộp ngũ giác Theo định lý Ta-let ta có ID ' D ' M = = ⇒ IA ' = ID ' IA ' A ' B ' KA AQ AN = = = ⇒ KA ' = AA ' KA ' KB ' IA ' D ' P DN 3 = = ⇒ D'P = D'D DP D'I VA '.IKB ' = VI D ' MP + VK ANQ + V1 Đặt Sử dụng cơng thức (1) ta có VA ' IKB ' A ' I A ' K A ' B ' 12 = = VA '.DAB ' A ' D A ' A A ' B ' Vì mặt phẳng V = VABCD A ' B ' C ' D ' Mà ( A ' B ' K ) P( D ' MP ) VA '.DAB ' = V ⇒ VA ' IKB ' = V ID ' IM IP = = = IA ' IB ' IK nên theo cơng thức (2) 17 Ta có VI D ' MP   = ÷ = VI A ' B ' K   Tương tự ( ANQ ) P( A ' IB ') VK ANQ VK A ' IB ' Suy KA KN KQ = = = KA ' KI KB ' nên theo công thức (2) 1 = ÷ = 216 6 2 47 88 V1 = V − V − V = V ⇒ V2 = V 216 135 135 V1 47 = V2 88 Vậy Chọn C Nhận xét Vì toán trắc nghiệm nên để đạt đến thời gian nhanh ta xét cho trường hợp đặc biệt hình hộp hình lập phương có cạnh Khi cơng thức đơn giản nhiều Cụ thể là: VA ' IKB ' = A ' I A ' K A ' B ' = 1 VI D ' MP = D ' I D ' M D ' P = 20 1 VK ANQ = AK AN AQ = 540 Suy V1 = V 47 1 47 88 − − = ⇒ V2 = ⇒ = 20 540 135 135 V2 88 Ví dụ 12 [4] (THPT Hàm Rồng Thanh Hóa lần năm 2018 - 2019) Cho tứ diện BC , BD, AC , cạnh BC = 3BM , BD = M , N, P cho diện ABCD ABCD lấy điểm BN , AC = AP thành hai phần tích V1 ,V2 Mặt phẳng Tính tỉ số ( MNP ) chia khối tứ V1 V2 18 V1 26 = V2 19 V1 = V2 19 V1 15 = V2 19 V1 26 = V2 13 A B C D Phân tích Đây tốn chưa xác định rõ hai khối đa diện cần lập tỉ số, ta ( MNP ) cần xác định thiết diện cắt mặt phẳng với tứ diện Mặt khác, với tỉ số M , N, P xác định điểm ta thấy không tỉ lệ, nên sử dụng định lý Talet, cần sử dụng định lý Menelaus để rút tỉ số đoạn thẳng Sau đó, phân chia khối đa diện thành tổng khối chóp để thiết lập mối liên hệ với tứ diện ban đầu Cụ thể sau: Hướng dẫn giải Gọi I MN , CD giao điểm Q giao AD, IP điểm Khi thiết diện tứ ABCD MNQP diện tứ giác Theo định lý Menelaus NB ID MC ID =1⇒ = ND IC MB IC ID PC QA QA =1⇒ =4 IC PA QD QD Sử dụng cơng thức (1) ta có VA NPQ VA NCD = AN AP AQ = AN AC AD Sử dụng kỹ thuật chuyển đáy ta có VA NCD S NCD = = ⇒ VA NPQ = VA.BCD VA.BCD S BCD 15 Và VC AND S AND 1 = = ⇒ VC AND = VABCD VC ABD S ABD 3 VC AND = VA NPQ + VN PQCD Mặt khác Tương tự VC BNA S BNA 2 = = ⇒ VC MNP = VABCD VC BDA S BDA V1 = VABCD − V2 = Suy 26 VABCD 45 VC MNP CM CN CP = = VC BNA CB CN CA V2 = VC MNP + VN PQCD = Do ⇒ VN PQCD = VABCD − VABCD = VABCD 15 19 VABCD 45 19 V1 26 = V2 19 Vậy Chọn A Nhận xét Ngoài việc phân chia khối tứ diện cách vừa trình bày, ta cịn phân chia theo cách khác sau: Theo định lý Ta-let ta có MK MN 1 IN = = ⇒ ID = CD; = ID IN IM PJ 3PJ PQ IQ = = ⇒ = ⇒ = ID CD IQ IP Sử dụng cơng thức (1) ta có VI QND VI PMC = IQ IN ID 1 19 = = ⇒ VQND.PMC = VI PMC IP IM IC 20 20 Sử dụng kỹ thuật chuyển đỉnh kỹ thuật chuyển đáy ta có VI PMC = VP.CMI = VA.CMI Mà VA.CMI S = CMI = ⇒ VI PMC = VABCD VA.CBD SCBD 9 V2 = VQND PMC = Suy Vậy 19 26 VABCD ⇒ V1 = VABCD 45 45 V1 26 = V2 19 Chọn A Như vậy, tốn có nhiều cách phân chia khối đa diện thành tổng khối đa diện nhỏ Với cách phân chia đó, ta cần thiết lập mối liên hệ tỉ số thể tích với khối đa diện ban đầu để từ rút kết tốn 2.3.3 Bài tập tự luyện Bài tập [4] (THPT Vĩnh Lộc lần 2– Thanh Hóa năm 2017 -2018) 20 Cho khối chóp phẳng (α ) qua khối tứ diện SADE AD S ABC có SA = 3a BC song song với thể tích khối chóp D , cắt thuộc cạnh SC E SB DB = a Tính tỉ số thể tích S ABC A B C Bài tập [4] (Đề thi thử TN THPT Sở Hà Tĩnh năm 2020) ABCD Cho khối tứ diện N điểm thuộc cạnh ABD Mặt phẳng CD ( MNG ) tích chia khối tứ diện thể tích khối đa diện chứa đỉnh 41 60 V Gọi CN = ND G thỏa mãn A Mặt M D trung điểm BC , , trọng tâm tam giác ABCD V1 Tính thành hai khối đa diện Gọi V1 V 51 60 31 60 43 60 A B C D Bài tập [4] (Đề thi thử THPT Quốc gia Sở GD&ĐT Đà nẵng năm 2017) Cho khối lập phương AB diện, đặt V1 AD , mặt phẳng ABCD A ' B ' C ' D ' ( C ' MN ) Gọi M,N chia khối lập phương thành hai khối đa thể tích khối đa diện tích nhỏ tích lớn Tính trung điểm V2 thể tích khối đa diện V1 V2 V1 = V2 V1 13 = V2 23 V1 = V2 A B C D Bài tập [4] (Đề minh họa Bộ GD&ĐT năm 2018 - 2019) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' trung điểm đoạn thẳng AA ' tích Gọi BB ' Đường thẳng CM V1 25 = V2 47 M,N cắt đường thẳng 21 C ' A' P , đường thẳng A ' MPB ' NQ diện lồi CN cắt đường thẳng C 'B' Q Thể tích khối đa A B C D Bài tập [4] (THPT Chuyên Trần Phú – Hải Phòng năm 2018 - 2019) Cho khối chóp mặt phẳng A ( SAB ) vng góc SC S ABCD ( SAD ) có đáy , cắt cạnh SB, SC , SD S AB ' C ' D ' ABCD khối đa diện Gọi Hai ( P) Một mặt phẳng B ', C ', D ' V1 ABCD.D ' C ' B ' qua V2 Tỉ số 15 A B C Bài tập [3] (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho tứ diện điểm cạnh ( MNE ) V = ABCD AB, BC chia khối tứ diện chứa đỉnh A a, SA = 2a hình vng cạnh vng góc với thể tích khối chóp V1 V2 ABCD A 2a 216 tích V có cạnh ABCD Tính V = E B a 32 13 Gọi điểm đối xứng với D M,N B trung qua D Mặt phẳng thành hai khối đa diện, khối đa diện V 11 2a 216 V = C 13 2a 216 V = D 2a 18 2.4 Hiệu nghiên cứu Tác giả thực việc áp dụng cách làm nhiều năm với mức độ khác lớp khóa học lớp khóa học khác Đề tài thực giảng dạy lớp 12A2 năm học 2019-2020 Trường THPT Sầm Sơn Trong trình học đề tài này, học sinh thực thấy tự tin, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích mơn tốn, mở cho học sinh cách 22 nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Kết quả, học sinh tích cực tham gia giải tập, nhiều em tiến bộ, nắm vững kiến thức bản, nhiều em vận dụng tốt toán cụ thể Qua kiểm tra nội dung này, thi học kỳ, thi thử THPT Quốc gia, tơi nhận thấy nhiều em có tiến rõ rệt đạt kết tốt 2.4.1 Về mặt định lượng Đối với lớp 12A1 cho em sử dụng phương pháp sách giáo khoa để giải, cịn lớp 12A2 tơi hướng dẫn em thực theo đề tài nên làm em sử dụng phương pháp để giải Kết khảo sát: Lớp 12A1 (45 học sinh) - học sinh đạt 10 điểm - học sinh đạt từ điểm đến 9,5 điểm - 12 học sinh đạt từ 6,5 điểm đến 7,5 điểm - 22 học sinh đạt từ điểm đến điểm - học sinh điểm Lớp 12A2 (45 học sinh) - học sinh đạt 10 điểm - học sinh đạt từ điểm đến 9,5 điểm - 20 học sinh đạt từ 6,5 điểm đến 7,5 điểm - 12 học sinh đạt từ điểm đến điểm - học sinh điểm 2.4.2 Về mặt định tính Tác giả thăm dị ý kiến học sinh giáo viên dự sau tiết giảng thực nghiệm sau: - Các em học sinh hỏi ý kiến cho biết giảng vừa dễ hiểu vừa dễ nhớ tỏ hứng thú học tập Ngồi ra, cịn rèn luyện cho em kỹ tự lập suy nghĩ giải vấn đề học tập - Các giáo viên đánh giá cao hiệu giảng, có ứng dụng việc ôn thi THPT Quốc gia cho em học sinh lớp 12 Đặc biệt, chuyên đề quan trọng để dạy học cho em học sinh đạt điểm trở lên Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Đề tài “Kinh nghiệm giúp học sinh lớp 12 giải tốn tỉ số thể tích khối đa diện” nhằm mục đích xây dựng dạng tập tính tỉ số thể tích khối đa diện đưa hệ thống tập tương ứng với mức độ giúp 23 em học sinh có phương pháp làm tập hình học khơng gian hiệu thời gian ngắn Đề tài tác giả áp dụng dạy lớp 12A2 thấy kết khả quan, học sinh hứng thú, tiếp thu nhanh vận dụng có hiệu Đồng thời với cách định hướng phương pháp giúp cho thân dễ dàng tiếp xúc định hướng cho học sinh giải toán tỉ số thể tích Bài viết đồng tình ủng hộ cao giáo viên tổ chun mơn triển khai trình bày tổ Trong tương lai, tác giả tiếp tục nghiên cứu phương pháp phát triển theo hướng ứng dụng tỉ số thể tích khối đa diện để tìm thể tích trường hợp khơng tính đường cao, diện tích đáy hình chóp, hình lăng trụ Nếu làm tốt cơng việc này, giúp cơng việc học tốn học sinh trở nên nhẹ nhàng giúp em có kết tốt kỳ thi: thi học kỳ, thi THPT Quốc gia hay kỳ thi học sinh giỏi 3.2 Kiến nghị Qua trình nghiên cứu áp dụng đề tài vào giảng dạy nhận thấy “Kinh nghiệm giúp học sinh lớp 12 giải tốn tỉ số thể tích khối đa diện” áp dụng hiệu cho tất đối tượng học sinh Đề tài phù hợp với đối tượng học sinh lớp 12 học sinh ôn thi THPT Quốc gia Đồng thời dựa định hướng phương pháp mà giáo viên sáng tạo tốn từ dễ đến khó Mặc dù cố gắng, chắn đề tài không tránh khỏi thiếu xót định Tác giả mong nhận quan tâm, góp ý, bổ sung từ thầy cô bạn bè đồng nghiệp, để đề tài hồn thiện hơn, nhằm nâng cao lực dạy tốn cho học sinh Tôi xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 10 tháng năm 2020 Tôi xin cam đoan SKKN mình, khơng chép nội dung người khác Trần Thị Hường 24 ... ? ?Kinh nghiệm giúp học sinh lớp 12 giải toán tỉ số thể tích khối đa diện? ?? nhằm mục đích xây dựng dạng tập tính tỉ số thể tích khối đa diện đưa hệ thống tập tương ứng với mức độ giúp 23 em học sinh. .. Quốc gia, tơi thấy kỹ giải tốn tỉ số thể tích khối đa diện học sinh cịn yếu, đặc biệt tốn trắc nghiệm đòi hỏi thời gian ngắn, đa số học sinh bỏ qua Do cần phải giúp học sinh tiếp cận tốn cách... Phân tích Trước hết ta cần xác định thiết diện mặt cắt để thấy rõ hai phần đa diện cần lập tỉ số Sau đó, phân chia khối đa diện thành tổng khối đa diện mà thiết lập tỉ số thể tích với khối hộp