SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG TRƯỜNG THPT VĨNH TRẠCH BÁO CÁO KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN CẢI TIẾN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Người viết: Lê Hồ Ngọc Toản Tổ: Tốn Lĩnh vực: Chun mơn Tốn Đơn vị công tác: Trường THPT Vĩnh Trạch An Giang – 2/2019 Sáng kiến cải tiến SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG TRƯỜNG:THPT VĨNH TRẠCH Trường THPT Vĩnh Trạch CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc An Giang, ngày 11 tháng năm 2019 BÁO CÁO Kết thực sáng kiến, cải tiến, giải pháp kỹ thuật, quản lý, tác nghiệp, ứng dụng tiến kỹ thuật nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng I- Sơ lược lý lịch tác giả: - Họ tên: LÊ HỒ NGỌC TOẢN Nam, nữ: Nam - Ngày tháng năm sinh: 10/02/1981 - Nơi thường trú: Vĩnh Thành, Châu Thành, An Giang - Đơn vị công tác: THPT Vĩnh Trạch - Chức vụ nay: - Lĩnh vực công tác: giáo viên giảng dạy mơn tốn II.- Sơ lược đặc điểm tình hình đơn vị: Nêu tóm tắt tình hình đơn vị, thuận lợi, khó khăn đơn vị việc thực nhiệm vụ Thuận lợi: - Được quan tâm đạo sâu sát Ban Giám Hiệu nhà trường công tác ôn tập học sinh giỏi Đặc biệt giai đoạn nay, việc tự nghiên cứu, tìm tịi học hỏi giáo viên ngày dễ dàng nhờ vào internet, sách báo, tư liệu - Đa số học sinh có ý thức tự học cao, tự nghiên cứu tìm tịi tài liệu - Nội dung “Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số đề thi học sinh giỏi” quen thuộc, thú vị, đa dạng, khơi gợi hứng thú học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia Khó khăn: Đối với giáo viên: Đây lĩnh vực tương đối khó, địi hỏi giáo viện phải nghiên cứu kĩ, chuyên sâu GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch Đối với học sinh: Đây chun đề khó học sinh, địi hỏi phải hiểu kĩ nắm vững kiến thức; phải tự học nghiên cứu nhiều - Tên sáng kiến/đề tài giải pháp: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ” - Lĩnh vực: môn toán Sáng kiến kinh nghiệm “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ ” quen thuộc, thú vị, gợi hứng thú học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia III- Mục đích yêu cầu đề tài, sáng kiến Thực trạng ban đầu trước áp dụng sáng kiến Các vấn đề liên quan tới dãy số phần quan trọng Đại số Giải tích tốn học Song khái niệm dãy số học sinh làm quen chương trình tốn lớp 11 phần mở đầu Giải tích tốn học Các dạng tốn liên quan tới nội dung sách giáo khoa mức độ mở đầu, Trong câu hỏi đề thi học sinh giỏi thường khó với em Qua thực tế giảng dạy chương trình toán lớp 11 năm qua, việc nghiên cứu nội dung thi học sinh giỏi cấp, nhận thấy dạng toán dãy số tốn tìm số hạng tổng qt Lý thuyết đại số toán dãy số đề cập hầu hết giáo trình giải tích tốn học.Các phương pháp tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi gần toán đề cập tới Tuy nhiên với nhiều phương pháp khác tốn thực khơng phải dễ với học sinh Sự cần thiết phải áp dụng sáng kiến Dãy số lĩnh vực khó rộng, đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia thường xuất toán dãy số Để giải toán dãy số địi hỏi người làm tốn phải có kiến thức tổng hợp số học, đại số, giải tích Các vấn đề liên quan đến dãy số đa dạng có nhiều tài liệu viết vấn đề này, tài liệu thường viết rộng vấn đề dãy số, vấn đề quan tâm nhiều tính chất số học tính chất giải tích dãy số Tính chất số học dãy số thể tính chia hết, tính nguyên, tính phương… , tính chất giải tích có nhiều dạng quan trọng biết cách xác định công thức dãy số Các toán dãy số thường tốn hay khó, thân sưu tầm, chọn lọc phân loại theo chủ đề GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch Nội dung sáng kiến 3.1 Tiến trình thực Đối với giáo viên: Bước 1: Nghiên cứu tài liệu, chọn lọc tài liệu Bước 2: Hệ thống dạng Bước 3: Hướng dẫn học sinh học dạng Bước 4: Hướng dẫn học sinh phân tích, mở rộng nhiều tốn khác từ dạng Đối với học sinh: Bước 1: Nghiên cứu tài liệu, nghe giáo viên hướng dẫn dạng Bước 2: Giải thành thạo dạng Bước 3: Phân tích, mở rộng sang tốn khác Bước 4: Tự rèn luyện qua đề thi 3.2 Thời gian thực Sáng kiến thực từ 8/2018 – 3/2019 3.3 Biện pháp tổ chức 3.3.1 Kiến thức 3.3.1.1 Phương pháp quy nạp toán học 3.3.1.2 Dãy số tăng, dãy số giảm dãy số bị chặn * Dãy số ( un ) gọi dãy số tăng un  un+1 , n  * * Dãy số ( un ) gọi dãy số giảm un  un+1 , n  Vậy: Nếu un+1 − un  0, n  Nếu un+1 − un  0, n  * * * suy ( un ) dãy số tăng suy ( un ) dãy số giảm * Nếu tồn số M cho un  M , n  * Nếu tồn số m cho un  m , n  * * ( un ) bị chặn ( un ) bị chặn * Nếu dãy số ( un ) bị chặn bị chặn gọi dãy số bị chặn 3) Cấp số cộng * Dãy số ( un ) cấp số cộng  un+1 = un + d với n  * , d số không đổi gọi công sai cấp số cộng * Nếu dãy số ( un ) cấp số cộng un = u1 + ( n − 1) d (1) * Nếu dãy số ( un ) cấp số cộng tổng Sn = u1 + u2 + + un = n n ( u1 + un ) =  2u1 + (n − 1)d  2 4) Cấp số nhân * Dãy số ( un ) cấp số nhân  un+1 = un q với n  công bội cấp số nhân * Nếu dãy số ( un ) cấp số nhân un = u1.q n−1 (3) * (2) , q số khơng đổi gọi * Nếu dãy số ( un ) cấp số nhân với q  1, q  tổng GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch − qn Sn = u1 + u2 + + un = u1 1− q 5) Một số đinh lí giới hạn - Nếu q  lim q n = - Nếu q  lim q n = + - Nếu dãy số an  bn  cn , n  * (4) lim an = lim cn = L lim bn = L - Nếu dãy số ( un ) tăng bị chặn ( un ) có giới hạn Nếu dãy số ( un ) giảm bị chặn ( un ) có giới hạn 3.3.2 Phương pháp xác định công thức số hạng tổng quát dãy số 3.3.2.1 Áp dụng cấp số cộng – cấp số nhân để xác định công thức tổng quát (CTTQ) số dãy đặc biệt Ví dụ 1.1 Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) xác định bởi: u1 = 1, un = un−1 −2 n  Giải Ta thấy dãy số (un ) cấp số cộng (CSC) có công sai d = −2 Áp dụng công thức (1) Ta có: un = − 2(n − 1) = −2n + Ví dụ 1.2 Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) xác định bởi: u1 = 3, un = 2un −1 n  Giải Ta thấy dãy (un ) cấp số nhân (CSN) có cơng bội q = Ta có: un = 3.2n−1 Ví dụ 1.3 Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) xác định bởi: u1 = −2, un = 3un−1 − n  Giải Trong toán gặp khó khăn dãy (un ) CSC hay CSN! Ta thấy dãy (un ) khơng phải CSN xuất số −1 vế trái Ta tìm cách làm −1 chuyển dãy số CSN Ta có −1 = − + nên ta viết cơng thức truy hồi dãy sau: 2 1  un − = 3un−1 − =  un −1 −  (1) 2 2   v1 = − = 3vn−1 n  Dãy (vn ) dãy CSN công bội q = 2 5  = v1.q n −1 = − 3n −1 Vậy un = + = − 3n + n = 1, 2, 2 2 Đặt = un −1 − GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch Nhận xét: Mấu chốt cách làm ta phân tích −1 = − + để chuyển công thức truy 2 hồi dãy (1), từ ta đặt dãy phụ để chuyển dãy (vn ) CSN Tuy nhiên khơng tự nhiên Làm để phân tích −1 = − + ? Ta làm sau: 2 Ta phân tích −1 = k − 3k  k = u1 = x0 Với cách làm ta xác định CTTQ dãy (un ) :  n  un = aun−1 + b Thật vậy: * Nếu a = dãy (un ) CSC có cơng sai d = b nên un = u1 + (n − 1)b ab b − Khi cơng thức truy hồi dãy viết sau: a −1 a −1 b b b  b    un + = a n−1  u1 + = a  un−1 +  , suy ra: un +  a −1 a −1 a −1  a −1    * Nếu a  viết b = Hay un = u1a n −1 + b ( a n−1 − 1) a −1 Từ ta suy dạng sau Dạng 1: Dãy số (un ) : u1 = x0 , un = aun−1 + b n  (a, b  * ) có CTTQ a = u1 + (n − 1)b  un =  b ( a n −1 − 1) n −1 a  un = u1a + a −1  Ví dụ 1.4 Xác định CTTQ dãy (un ) xác định: u1 = 2; un = 2un−1 + 3n − Giải Để tìm CTTQ dãy số ta tìm cách làm 3n − để chuyển dãy số CSN Ta có 3n − = −3n − + 3(n − 1) + 5 (2) Khi cơng thức truy hồi dãy: un + 3n + = un + 3(n − 1) + 5 Đặt = un + 3n + , ta có: v1 = 10 = 2vn−1 n   = v1.2n−1 = 10.2n−1 Vậy CTTQ dãy (un ) : un = − 3n − = 5.2n − 3n − n = 1,2, Chú ý: 1/ Để phân tích đẳng thức (2) ta sau: a − b = a = −3  3n − = an + b −  a(n − 1) + b Cho n = 1; n = ta có  −b = b = −5 u1 2/ Trong trường hợp tổng quát dãy (un ) :  f (n) u = au + f ( n )  n  n −1  n đa thức bậc k theo n , ta xác định CTTQ sau GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch Phân tích f (n) = g (n) − ag (n −1) (3) với g (n) đa thức theo n Khi ta có un − g (n) = a un−1 − g (n − 1) = = a n−1 u1 − g (1) Vây ta có un = u1 − g (1) a n−1 + g (n) Vấn đề lại ta xác định g (n) nào? Ta thấy: * Nếu a = g (n) − ag (n −1) đa thức có bậc nhỏ bậc g (n) bậc không phụ thuộc vào hệ số tự g (n) , mà f (n) đa thức bậc k nên để có (3) ta chọn g (n) đa thức bậc k + , có hệ số tự khơng để xác định g (n) đẳng thức (3) ta cho k + giá trị n ta hệ k + phương trình, giải hệ ta tìm hệ số g (n) * Nếu a  g (n) − ag (n −1) đa thức bậc với g (n) nên ta chọn g (n) đa thức bậc k đẳng thức (3) ta cho k + giá trị n ta xác định g (n) Vậy ta có kết sau u1 = x0 Dạng 2: Để xác định CTTQ sãy (un ) xác định  , un = a.un−1 + f (n) đó f (n) đa thức bậc k theo n ; a số Ta làm sau: Phân tích: f (n) = g (n) − a.g (n −1) với g (n) đa thức theo n Khi đó, ta đặt = un − g (n) ta có: un = u1 − g (1) a n−1 + g (n) Lưu ý: a = , ta chọn g (n) đa thức bậc k + có hệ số tự , a  ta chọn g (n) đa thức bậc k u1 = Ví dụ 1.5 Cho dãy số (un ) :  Tìm CTTQ dãy (un ) un = un −1 + 2n + Giải Ta có 2n + = g (n) − g (n − 1) = a n − (n − 1)  + b  n − (n − 1) (trong g (n) = an + bn ) −a + b = a =   g ( n) = n + 2n Cho n = 0, n = ta có hệ:  a + b = b =  un = n2 + 2n − u1 = Ví dụ 1.6 Cho dãy số (un ) :  Tìm CTTQ dãy (un ) n un = 3un−1 + ; n = 2,3, Giải n n Tương tự ví dụ trên, ta có: = a.2 − 3a.2n−1 Cho n = , ta có: a = −2  2n = −2.2n + 3.2.2n−1 Nên ta có un + 2.2n = ( un−1 + 2.2n−1 ) = = 3n−1 ( u1 + ) Vậy un = 5.3n−1 − 2n+1 Chú ý: Trong trường hợp tổng quát dãy (un ) : un = a.un−1 + b. n , GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch Ta phân tích  n = k. n − a.k. n−1 với a   Chú ý: Trong trường hợp tổng quát dãy (un ) : un = a.un−1 + b. n−1 Ta phân tích  n = k. n − a.k. n−1 với (a   ) Khi un − k b. n = a ( un−1 − kb n−1 ) = =  n−1 ( u1 − bk ) Suy un = a n−1 ( u1 − bk ) + bk n Trường hợp  = a , phân tích  n = n. n −  ( n − 1)  n−1  un − bn. n =  ( un−1 − b ( n − 1)  n−1 ) = =  n−1 ( u1 − b )  un = b ( n − 1) n + u1 n−1 Vậy ta có kết sau  u1 Dạng Để xác định CTTQ dãy ( un ) :  , ta làm sau n  un = a.un−1 + b. n  * Nếu a =   un = b ( n − 1) n + u1 n−1 * Nếu a     n = k. n − ak. n−1 Khi un = a n−1 ( u1 − bk ) + bk  n Suy k =   −a  u1 = Ví dụ 1.7 Tìm CTTQ dãy ( un ) :  n n  un = 5un−1 + 2.3 − 6.7 + 12; n = 2,3, Giải  k = − n n n −1  3 = k − 5k  n =  Ta có  n cho  n n −1 7 = l.7 − 5l.7 l =  Mặt khác, ta có 12 = −3 + 5.3 nên cơng thức truy hồi sau un + 3.3n + 21.7n + = ( un−1 + 3.3n−1 + 21.7n−1 + 3) = = 5n−1 ( u1 + + 147 + 3) Vậy un = 157.5n−1 − 3n+1 − 3.7n+1 − u1 = Ví dụ 1.8 Tìm CTTQ dãy ( un ) :  n un = 2un−1 + − n; n  Giải n n n −1 3 = 3.3 − 2.3.3 Ta có  n = −n − + ( n − 1) +  Suy công thức truy hồi dãy un = −3.3n − n − = un−1 − 3.3n−1 − ( n − 1) − 2 = = 2n−1 ( u1 − 12 ) Vậy un = −11.2n−1 + 3n+1 + n + GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch u1 = p Dạng Để xác định CTTQ dãy ( un ) :  , đó n un = a.un−1 + b. + f ( n ) ; n  f ( n ) đa thức theo n bậc k , ta phân tích  n f ( n ) cách phân tích dạng Ví dụ 1.9 Xác định CTTQ dãy ( un ) : u0 = −1; u1 = 3; un = 5un−1 − 6un−2 ; n  Giải Để xác định CTTQ dãy số trên, ta thay dãy ( un ) dãy số khác CSN Công thức truy hồi viết lại sau: x + x = un − x1.un−1 = x2 ( un−1 − x1.un−2 ) , ta chọn x1 , x2 :  hay x1 , x2 nghiệm  x1.x2 = phương trình: x − x + =  x = 2; x = Ta chọn x1 = 2; x2 = Khi đó: un − 2.un−1 = ( un−1 − 2.un−2 ) = = 3n−1 ( u1 − 2u0 ) = 5.3n−1 Chú ý: Tương tự cách làm ta xác định CTTQ dãy ( un ) xác định u0 ; u1 , a, b số thực cho trước a2 − 4b   un − a.un −1 + b.un −2 = n  sau Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x2 − a.x + b = (4) (phương trình gọi phương trình đặc trưng dãy) Khi Sử dụng kết dạng 3, ta có trường họp sau: x u − u u − x.u0 * Nếu x1  x2 un = + x2 − x1 y−x  k + l = u0 Hay un = k.x1n + l.x2n , k , l nghiệm hệ   x1.k + x2 l = u1 u a  au   * Nếu x1 = x2 =  un =  n−1  +  u1 −  n      l =  u0 hay un = ( kn + l ) n−1 , k , l nghiệm hệ   k + l = u1 u0 ; u1 Dạng Để xác định CTTQ dãy ( un ) :  , đó a, b un − a.un −1 + b.un −2 = n  số thực khác ; a2 − 4b  , ta làm sau: Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình đặc trưng: x2 − a.x + b =  k + l = u0 * Nếu x1  x2 , k , l nghiệm hệ  x k + x l = u  l =  u0 * Nếu x1 = x2 =  un = ( kn + l ) n−1 , k , l nghiệm hệ   k + l = u1 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch u0 = 1; u1 = Ví dụ 1.10 Cho dãy số ( un ) xác định  Hãy xác định un+1 = 4un + un +1 , n  CTTQ dãy ( un ) Giải Phương trình x2 − 4x − = có hai nghiệm x1 = + 5; x2 = − k + l =  un = k.x + l.x Vì u0 = 1; u1 = nên ta có hệ   + k + − l = n k =l = Vậy un = ( n ) ( ) ( 1 2+  ) + ( − )  n n u0 = 1; u1 = Ví dụ 1.11 Xác định CTTQ dãy ( un )  un − 4un−1 + 4un − = 0; n = 2,3, Giải Phương trình đặc trưng x2 − 4x + = có nghiệm kép x = nên un = ( kn + l ) 2n−1 l =  k = 1; l = Vì u0 = 1; u1 = nên ta có hệ  k + l = Vậy un = ( n + ) 2n−1 u0 = −1; u1 = Ví dụ 1.12 Cho dãy ( un ) :  un − 5un−1 + 6un−2 = 2n + 2n + 1; n  Xác định CTTQ dãy ( un ) Giải Với cách làm tương tự ví dụ 1.4, ta phân tích 2n2 + 2n + = 2 = ( kn + l.n + t ) −  k ( n − 1) + l ( n − 1) + t  +  k ( n − ) + l ( n − ) + t  (5)     19k − 7l + 2t = k =   Cho n = 0; n = 1; n = ta có hệ 7k − 5l + 2t =  l = −k − 3l + 2t = 13 t = 19   Đặt = un − n2 − 8n − 19  v0 = 20; v1 = −25 − 5vn−1 + 6vn−2 =  +  = −20  = 15   =  3n +  2n Ta có hệ  3 +  = −25   = −35  = 15.3n − 35.2n  un = 15.3n − 35.2n + n2 + 8n + 19 10 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch u0 ; u1 Chú ý Để xác định CTTQ dãy ( un ) :  un+1 + a.un + b.un−1 = f ( n ) n  (trong f ( n ) đa thức bậc k theo n a2 − 4b  ) ta làm sau: * Ta phân tích f ( n ) = g ( n ) + ag ( n − 1) + bg ( n − 2) (6) ta đặt = un − g ( n ) v0 = u0 − g ( ) ; v1 = u1 − g (1) Ta có dãy số ( ) :  Đây dãy số ta xét dạng vn + avn−1 + bvn−2 = n  Do ta xác định CTTQ  un * Ta xác định g ( n ) để có (6) Vì f ( n ) đa thức bậc k nên ta phải chọn g ( n ) cho g ( n ) + ag ( n − 1) + bg ( n − 2) đa thức bậc k theo n Khi ta cần thay k + giá trị n vào (6) ta xác định g ( n ) Giả sử g ( n ) = am nm + am−1.nm−1 + + a1n + a0 ( am  ) đa thức bậc m Khi hệ số xm xm−1 vế phải am (1 + a + b ) −  ( a + 2b ) m.am + (1 + a + b ) am−1  Do i) Nếu phương trình x2 + a.x + b = (1) có hai nghiệm phân biệt khác + a + b  nên vế phải (6) đa thức bậc m ii) Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm x =  + a + b = − ( a + 2b ) m.am + (1 + a + b ) am−1 = − ( a + 2b ).m.am  nên vế phải (6) đa thức bậc m − iii) Nếu phương trình (1) có nghiệm kép x =  a = −2; b = nên vế phải (6) đa thức bậc m − Vậy chọn g ( n ) ta cần ý sau: * Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, g ( n ) đa thức bậc với f ( n ) * Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm ta chọn g ( n ) = n.h ( n ) h ( n ) đa thức bậc f ( n ) * Nếu (1) có nghiệm kép x = ta chọn g ( n ) = n2 h ( n ) h ( n ) đa thức bậc với f ( n )  u0 ; u1 Dạng Để tìm CTTQ dãy ( un ) :   un + a.un−1 + b.un−2 = f ( n ) n  (trong đó f ( n ) đa thức theo n bậc k b2 − 4ac  ) ta làm sau: Xét g ( n ) đa thức bậc k : g ( n ) = ak n k + + a1k + a0 * Nếu phương trình x2 + a.x + b = (1) có hai nghiệm phân biệt, ta phân tích 11 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch f ( n ) = g ( n ) + a.g ( n − 1) + bg ( n − 2) đặt = un − g ( n ) * Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm x = , ta phân tích f ( n ) = n.g ( n ) + a ( n − 1) g ( n − 1) + b ( n − 2) g ( n − 2) đặt = un − n.g ( n ) * Nếu (1) có nghiệm kép x = , ta phân tích f ( n ) = n2 g ( n ) + a ( n − 1) g ( n − 1) + b ( n − 2) g ( n − 2) đặt = un − n g ( n ) 2 u0 = 1; u1 = Ví dụ 1.13 Xác định CTTQ dãy ( un )  un − 3un−1 + 2un − = 2n + n  Giải Vì phương trình x2 − 3x + = có hai nghiệm x = 1; x = nên ta phân tích 2n + = n ( kn + 1) − ( n − 1)  k ( n − 1) + l  + ( n − )  k ( n − ) + l  , cho n = 0, n = 5k − l =  k = −1; l = −6 Ta có hệ  3k − l = Đặt = un + n ( n + 6)  v0 = 1; v1 = 11 − 3vn−1 + 2vn−2 =  +  =   = 10;  = −9  =  2n +  1n với  ,   2 +  = 11  = 10.2n −  un = 5.2n+1 − n2 − 6n − n = 0,1,2,3, u0 = −1; u1 = Ví dụ 1.14 Tìm CTTQ dãy ( un ) :  n un − 4un−1 + 3un−2 = 5.2 n  Giải Ta phân tích 2n = a.2n − 4a.2n−1 + 3a.2n−2 Cho n = ta có : = 4a − 8a + 3a  a = −4 Đặt = un + 5.4.2n  v0 = 19; v1 = 43 − 4vn−1 + 3vn−2 = Vì phương trình x2 − x + = có hai nghiệm x = 1; x = nên =  3n +  1n  +  = 19   = 12;  =  = 12.3n + Với  ,  :  3 +  = 43 Vậy un = 4.3n+1 − 5.2n+2 + n = 1,2, Chú ý: Với cách giải trên, ta tìm CTTQ dãy số ( un ) xác định  u0 ; u1 (với a2 − 4b  ) sau:  n  un + a.un−1 + b.un−2 = c. n  Ta phân tích  n = k n + a.k. n−1 + b.k. n−2 (7) 12 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch Cho n = (7) trở thành k ( + a. + b ) =  Ta tìm k = 2  không nghiệm phương trình  + a. + b x2 + a.x + b = (8) v0 = u0 − k c; v1 = u1 − k c. Khi đó, ta đặt = un − k.c. n , ta có dãy ( ) :  vn + a.vn−1 + b.vn − = n   = p.x1n + q.x2n ( x1 , x2 hài nghiệm (8))  un = p.x1n + q.x2n + k.c. n Vậy x =  nghiệm (8),tức  + a. + b = ta xử lý nào? Nhìn lại cách giải dạng (3), ta phân tích  n = k.n. n + a.k ( n − 1)  n−1 + bk ( n − ) n−2 (9) Cho n = ta có:  k ( 2 + a ) =   k ( 2 + a ) =   k =  a    −  2 + a  2  (2) có nghiệm k   nghiệm đơn phương trình (8) Khi un = p.x1n + q.x2n + kcn. n a nghiệm kép (8) Với ý tưởng trên, ta 2 phân tích:  n = kn2  n + a.k ( n − 1)  n−1 + bk ( n − 2)  n−2 (10) Cuối ta xét trường hợp x =  = − Cho n = ta có: (10 )   = 4k  + a.k   k =  = 4 + a Khi un = p.x1n + q.x2n + cn  n u0 ; u1 Dạng Cho dãy số ( un ) xác định  n un + aun−1 + bun−2 = c. n  Để xác định CTTQ dãy ( un ) ta làm sau Xét phương trình x2 + a.x + b = (11) * Nếu phương trình (11) có hai nghiệm phân biệt khác  2 un = p.x + q.x + kc. với k =  + a. + b n n n * Nếu phương trình (11) có nghiệm đơn x =  un = p.x1n + q.x2n + kcn. n với k =  4. + a 13 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch   * Nếu x =  nghiệm kép (11) un =  p + qn + cn   n    u0 = −1; u1 = Ví dụ 1.15 Xác định CTTQ dãy ( un ) :  n  un − 5un−1 + 6un−2 = 5.2 n  Giải Phương trình x2 − 5x + = có hai nghiệm x1 = 2; x2 = , un = p.2n + q.3n + 5kn.2n   k = 2 + a = − = −2   k = −2; p = −26; q = 25 Với  p + q = −1 2 p + 3q + 10k =   Vậy un = −26.2n + 25.3n − 10n.2n = 25.3n − 2n+1 ( 5n + 13) n = 1, 2,  u0 = 1; u1 = Ví dụ 1.16 Tìm CTTQ dãy ( un ) :  n  un − 4un−1 + 4un−2 = 3.2 Giải   Phương trình x2 − 4x + = có nghiệm kép x = nên un =  p + qn + n  2n   p =1  p = 1; q = −1 Thế u0 = 1; u1 = ta có hệ  q + p = Vậy un = ( 3n2 − 2n + ) 2n−1 n = 1, 2, u0 ; u1 ; u2 Dang Cho dãy ( un ) :  un + aun−1 + bun−2 + cun−3 = n  Để xác định CTTQ dãy ta xét phương trình: x3 + a.x2 + bx + c = (12) * Nếu (12) có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3  un =  x1n +  x2n +  x3n Dựa vào u0 , u1 , u2 ta tìm  ,  ,  * Nếu (12) có nghiệm đơn nghiệm kép x1 = x2  x3  un = ( +  n ) x1n +  x3n Dựa vào u0 , u1 , u2 ta tìm  ,  ,  * Nếu (12) có nghiệm bội x1 = x2 = x3  un = ( +  n +  n ) x1n Dựa vào u0 , u1 , u2 ta tìm  ,  ,  14 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch u1 = 0; u2 = 1; u3 = Ví dụ 1.17 Tìm CTTQ dãy ( un ) :  un = 7un−1 − 11un− + 5un−3 = n  Giải Xét phương trình đặc trưng: x3 − 7.x2 + 11x − = Phương trình có nghiệm x1 = x2 = 1; x3 = Vậy un =  +  n +  5n Cho n = 1, n = 2, n = giải hệ phương trình, ta  =− Vậy un = − ,  = , = 16 16 + ( n − 1) + 5n−1 16 16 u0 = 2; un = 2un −1 + −1 Ví dụ 1.18 Tìm CTTQ dãy ( un ) , ( ) :  v0 = 1; = un −1 + 2vn −1 n  Giải Ta có : un = 2un−1 + un−2 + 2vn−2 = 2un−1 + un−2 + ( un−1 − 2un−2 )  un = 4un−1 − 3un−2 u1 = Từ đây, ta có: un = Dạng Cho dãy + 3n+1 −1 + 3n+1  = un+1 − 2un = 2 ( xn ) , ( yn ) : ( xn ) , ( yn ) ta làm sau  xn = pun −1 + qyn −1 ; x1 Để xác định CTTQ hai dãy   yn = ryn −1 + sxn −1 ; y1 Ta biến đổi xn − ( p + s ) xn−1 + ( ps − qr ) xn−2 = từ ta xác định xn , thay vào hệ cho ta có yn Chú ý: Ta tìm CTTQ dãy số theo cách sau    q − r yn−1   xn −  yn = ( p −  s )  xn−1 − s − p    Ta đưa vào tham số phụ  ,  '   x +  ' y = p +  ' s  x + q +  'r y  ( )  n−1 n  n  ' s + p n−1    q − r   =   xn −  yn = ( p −  s ) ( xn−1 −  yn−1 ) s − p   Ta chọn  ,  ' cho   xn +  ' yn = ( p +  ' s ) ( xn−1 +  ' yn−1 )  ' = q +  ' r   's + p 15 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch  xn −  yn = ( p −  s )n −1 ( x1 −  y1 )  giải hệ ta tìm ( xn ) , ( yn ) n −1  xn +  ' yn = ( p +  ' s ) ( x1 +  ' y1 ) u1 =  Ví dụ 1.19 Tìm CTTQ dãy ( un ) :  2un−1 un = 3u + n  n −1  Giải 3un −1 + 1 = = +2 Ta có Đặt xn = , ta có: un 2un−1 un−1 un  xn =  x1 =    xn = xn −1 + 5.2n−1 −  un = n −1 5.2 − u1 =  Ví dụ 1.20 Tìm CTTQ dãy ( un ) :  −9un−1 − 24 un = 5u + 13 n  n −1  Giải Bài tốn khơng cịn đơn giản tốn tử số cịn hệ số tự do, ta tìm cách làm hệ số tự tử số Muốn ta đưa vào dãy phụ cách đặt un = xn + t Thay vào công thức truy hồi ta có −9 − 5t ) xn−1 − 5t − 22t − 24 −9 xn−1 − 9t − 24 ( xn + t =  xn = xn−1 + 5t + 13 xn−1 + 5t + 13 Ta chọn t : 5t + 22t + 24 =  t = −2  x1 =  xn = xn−1 11.3n−1 − 10  = 5+  =  xn = n −1 xn−1 + xn xn−1 xn 11.3 − 10  un = xn − = −22.3n−1 + 24 11.3n−1 − 10 3.3.2.2 Ứng dụng tốn tìm CTTQ dãy số vào giải số toán dãy số u1 = 11 Bài Cho dãy số ( un ) xác định :  Xác định số hạng un +1 = 10un + − 9n, n  N tổng quát dãy cho Giải Ta có: 16 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch u1 = 11 = 10 + u2 = 10.11 + − = 102 = 100 + u3 = 10.102 + − 9.2 = 1003 = 1000 + Dự đoán: un = 10n + n (1) Chứng minh theo quy nạp ta có u1 = 11 = 101 + , công thức (1) với n = Giả sử công thức (1) với n = k ta có uk = 10k + k Ta có: uk + = 10 (10k + k ) + − 9k = 10k +1 + ( k + 1) Công thức (1) với n = k + Vậy un = 10n + n , n  N u1 = −2 Bài Cho dãy số (un ) biết  Xác định số hạng tổng quát dãy un = 3un−1 − 1, n  Giải 1 = 3un −1 −  un − = 3(un −1 − )(1) 2 2 1 −5 Đặt = un −  v1 = u1 − = 2 (1)  = 3vn−1 , n  Dãy (vn ) cấp số nhân với công bội q = −5 Nên = v1.q n −1 = 3n −1 −5 n −1 + , n = 1, 2, Do un = + = 2 u1 = −2 Bài Cho dãy số (un ) biết  Xác định số hạng tổng quát dãy un = 3un −1 − 1, n  Giải 1 un = 3un−1 −  un − = 3un −1 −  un − = 3(un −1 − )(1) 2 2 1 −5 Ñaë t v n = un −  v1 = u1 − = 2 (1)  = 3vn−1 , n  Dãy (vn ) cấp số nhân với công bội q = −5 Nên = v1.q n −1 = 3n −1 −5 n −1 + , n = 1, 2, Do un = + = 2 Bài Cho dãy số (un ) xác định bởi: un = 3un−1 −  un − 17 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch u1 =   un+1 = (un + + + 2un ), n  Tìm cơng thức số hạng tởng qt (un ) ? Giải * xn2 − Đặt xn = + 2un  x = + 2un , xn   un = Thay vào giả thiết: xn2+1 − 1 xn2 − = ( + + xn )  (3xn+1 )2 = ( xn + 4)2  3xn+1 = xn + 4, n  N * , xn  2 n Ta có 3xn+1 − xn =  3n+1 xn+1 − 3n xn = 4.3n Đặt yn = 3n.xn  yn+1 = yn + 4.3n , n  N *  yn+1 = y1 + 4(3n + 3n−1 + + 3)  yn+1 = y1 − + 2.3n+1 Ta có x1 =  y1 =  yn = + 2.3n 1 , n  N *  un = (3 + n −1 + n −2 ), n  N * n −1 3 un , n  Bài Cho dãy số ( un ) xác định bởi: u1 = 1; un +1 = 2un + Suy xn = + * Tìm cơng thức số hạng tởng quát u n theo n Giải Ta có un  0, n  Với n  * * Khi un +1 = , đặt = un 1  = 2+ 2un + un +1 un  v1 = 1; vn+1 = + 2, n  un * Suy ra, dãy số ( ) cấp số cộng có v1 = cơng sai d = Do đó, = v1 + ( n − 1) d = 2n − 1, n  Vậy un = * 1 = 2n − Bài Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = 1; un+1 = 2un + 3n , n  * Tìm cơng thức số hạng tởng qt u n theo n Giải Với n  * , ta có un+1 = 2un + 3n  un+1 − 3n+1 = 2(un − 3n ) 18 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch Xét dãy số (vn ), với = un − 3n , n  * Ta có: vn+1 = 2vn Do đó, dãy số (vn ) cấp số nhân có cơng bội q = số hạng đầu −2 Suy = v1.q n−1 = −2n Vậy un = + 3n = 3n − 2n 3 n+4  Bài Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = 1; un +1 =  un −  , n  2 n + 3n +  * Tìm cơng thức số hạng tởng qt u n theo n Giải Với n  * , ta có n+4 2un+1 = 3(un − )  2un+1 = 3(un + − ) (n + 1)(n + 2) n + n +1 3 3  2(un+1 − ) = 3(un − )  un +1 − = (un − ) n+2 n +1 n+2 n +1 3 dãy số (vn ), = un − cấp số nhân có cơng bội q = v1 = − n +1 n −1 n −1 13 3  1 =    −  , n  *  un = −   , n  * n +1   2  2 u1 =  Bài Cho dãy số (un) xác định bởi:  5un − u = , n n +  u − n  Xét dãy số ( ) với = un + , n  un − * * Chứng minh dãy số ( ) cấp số cộng Tìm số hạng tởng qt dãy số ( un ) Giải un + v +1  un = n thay vào hệ thức truy hồi ta có un − − v +1 n −3 v + 2vn + v + 2vn + vn+1 + −  n +1 =  n +1 = = vn+1 − 2vn + vn+1 − + − − Ta có = hay vn+1 = + v1 = Suy dãy số ( ) cấp số cộng có v1 = cơng sai d = Ta có = v1 + ( n − 1) d = + 3( n − 1) = 3n − 3n − + 3n = Thử lại thấy dãy số thỏa mãn 3n − − 3n − 3n Vậy số hạng tổng quát dãy số ( un ) un = n  * 3n − Do un = 19 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch 3 n+4  * Bài Cho dãy số ( un ) xác định u1 = 1; u n+1 =  un −  , n  N 2 n + 3n +  Tìm cơng thức số hạng tổng quát u n dãy số theo n Giải 3 n+4  Vì u n +1 =  un −  nên 2 n + 3n +  n+4 −1,5n − 2u n+1 − 3un = − = n + 3n + ( n + 1)( n + ) 1,5 1,5  u n +1 − 3un = − n+2 n +1 1,5 1,5  u n +1 − = 3un − n+2 n +1 1,5   1,5     u n+1 −  =  un −  n+2 2 n +1  1,5 Đặt = un − , ta có: +1 = n +1 1,5 = Lại có: v1 = u1 + n −1 3 Từ đẳng thức ta có cơng thức tổng quát dãy ( ) là: =   2 Từ ta có cơng thức tổng quát dãy ( un ) 1,5   un = + =  n +1   n −1 + ( n + 1) Qua toán trên, thấy công cụ để xác định công thức tổng quát dãy số cho dãy phương trình định lý giải tích mối liên hệ mang tính truy hồi phương trình 20 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch IV HIỆU QUẢ, KẾT LUẬN 1- Hiệu đạt được: Dãy số lĩnh vực rộng khó, tốn dãy số đa dạng Trong đề tài đề cập CTTQ dãy số Đề tài trình bày số dạng toán xác định CTTQ dãy Các tốn dạng có phương pháp giải cụ thể vận dụng kiến thức dãy số Đề tài chọn lọc tốn điển hình cho dạng tốn, đặc biệt có nhiều tốn đề thi học sinh giỏi năm gần qua thấy vai trị quan trọng tốn dãy số đề thi Qua trình áp dụng đề tài vào thực tế giảng dạy, đặc biệt trình tham gia dạy đội tuyển học sinh giỏi trường nhận thấy học sinh hiểu rõ chất nhiều tốn khó dãy số, học sinh có hứng thú chủ động học tập Kết đạt rõ ràng tham gia dạy đội tuyển học sinh giỏi có học sinh đạt giải cấp tỉnh (năm học 2017 -2018: học sinh đạt giải C), đặc biệt em thường giải tốt toán dãy số đề thi năm trước học sinh thường khơng giải tốn Mức độ ảnh hưởng: Khả áp dụng giải pháp Đối với giáo viên: sử dụng sáng kiến làm tài liệu nghiên cứu, giảng dạy lớp ôn tập học sinh giỏi trường Đối với học sinh: Trong đa số đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm gần đây, nội dung dãy số chiếm 20% đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Với việc áp dụng sáng kiến vào năm 2017-2018, 2018-2019 thấy em học sinh tự tin đứng trước toán dãy số, hứng thú phân tích tìm lời giải bước đầu có kết khả quan định Đa số em tìm lời giải tốn tìm số hạng tổng qt mức độ mở rộng đơn giản Năm 2017-2018 có học sinh đạt giải C cấp tỉnh Ngoài ra, phép biến đổi dãy số góp phần đáng kể việc nâng cao khả tư học sinh, yêu cầu cần thiết người học Tốn nói riêng sống nói chung 3- Kết luận 3.1 Qua trình trình thực đề tài nhận thấy để nâng cao chất lượng dạy học, đặc biệt việc bồi dưỡng học sinh giỏi cần phát huy tính tích cực chủ động cho học sinh, học sinh phải có hứng thú học tập phải có lực tự học Chính lẽ mà giáo viên cần có say mê chun mơn, ln có hướng dẫn học sinh không kiến thức mà kĩ tư duy, hướng dẫn học sinh cách tự học, biết tổng hợp kiến thức 21 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 Sáng kiến cải tiến Trường THPT Vĩnh Trạch 3.2 Hướng tiếp tục nghiên cứu mở rộng đề tài Các tốn dãy số thường khó nhiều dạng khác nhau, đề tài đề cập đến số tốn tìm CTTQ dãy số Để nâng cao chất lượng học tập cho học sinh để dạng tốn đầy đủ tơi nghiên cứu tiếp toán dãy số thường gặp đề thi học sinh giỏi tìm giới hạn dãy số, nghiên cứu tính chất số học dãy số Tôi cam đoan nội dung báo cáo thật Xác nhận đơn vị áp dụng sáng kiến Người viết sáng kiến Lê Hồ Ngọc Toản 22 GV: Lê Hồ Ngọc Toản Năm học: 2018 - 2019 ... tài giải pháp: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ” - Lĩnh vực: môn toán Sáng kiến kinh nghiệm “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ ” quen thuộc,... định công thức số hạng tổng quát dãy số 3.3.2.1 Áp dụng cấp số cộng – cấp số nhân để xác định công thức tổng quát (CTTQ) số dãy đặc biệt Ví dụ 1.1 Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) xác định. .. thực Sáng kiến thực từ 8/2018 – 3/2019 3.3 Biện pháp tổ chức 3.3.1 Kiến thức 3.3.1.1 Phương pháp quy nạp toán học 3.3.1.2 Dãy số tăng, dãy số giảm dãy số bị chặn * Dãy số ( un ) gọi dãy số tăng