Đang tải... (xem toàn văn)
(NB) Bài giảng Toán cao cấp - Chương 1: Hàm số giới hạn và liên tục cung cấp cho người học các kiến thức: Hàm số một biến số, giới hạn của hàm số, hàm số liên tục, phép tính vi phân hàm một biến, hàm nhiều biến,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Company LOGO TRƯỜNG ĐẠI HỌC UEF BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP Phần (lưu hành nội bộ) Tp.HCM Năm 2017 Company LOGO TRƯỜNG ĐẠI HỌC UEF CHƯƠNG HÀM SỐ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC §1 – HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 1.1 – HÀM SỐ – Định nghĩa Cho X, Y Ì R, quy tắc cho tương ứng số thực x Ỵ X với số thực y Ỵ Yđược gọi hàm số với môt biến số thực x ký hiệu là: f:X Y x y= f(x) hay y= f(x) Tập X gọi miền xác định hàm số f Tập f(X) = { f(x)/xỴX)} gọi miền giá trị f – Đồ thị hàm số Cho hàm số y = f(x) có miền xác định X Ta gọi tập hợp: G = {M(x; f(x))/xỴX} đồ thị hàm số f Biểu diễn tất điểm M(x; f(x))/xỴX lên mặt phẳng xOy ta nhận đường cong Ta gọi đường cong đồ thị hàm số f – Cách cho hàm số x … f(x) … -3 -2 -1 0 1 … … – Cách cho hàm số Cách 3: Cho hàm số theo kiểu phân đoạn Chú ý: Cho hàm số y = f(x) ta thấy MXĐ hàm số D = {x Ỵ R/ f(x) có nghĩa} Bài Tập: Bài tập Bài tập 1.2 – CÁC LOẠI HÀM SỐ – Hàm đơn điệu Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a,b).Ta nói hàm số y = f(x) hàm tăng (giảm) khoảng (a, b) ta coù: x1 , x2 a, b / x1 x2 : f x1 f x2 f x1 f x2 Hàm số tăng hay giảm miền gọi hàm đơn điệu miền – Hàm chẵn lẻ Cho hàm số y = f(x) xác định miền D nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng Ta nói hàm số y = f(x) hàm chẵn (lẻ) D x Ỵ D ta có f(-x) = f(x) (f(-x) = -f(x)) Ghi chú: Đồ thị hàm chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Đồ thị hàm lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng Giải hệ: 3 x y z x x 0; y z y 3 y x x 1; y Hàm số có2 điểm dừng M1 0;0 M 1;1 Taïi M1 0;0 : A 0; B 3; C B AC Suy hàm số cực trị M1 0;0 Tại M 1;1 : A 6; B 3; C B AC 27 Do A = > nên hàm số đạt cực tiểu M 1;1 zCT z (1;1) Tìm cực trị hàm số z x y xy 3 z x x y xy 1 x y x z y x y xy 1 y x y z xx 3x y x x z xy 3x y y z yy y x y x Giải hệ: x y 1 3 x y z x z y 3 y x y x x2 1 y 2 x x4 2 x x x4 8x 2 x x x 8 3 x x 8 2 x y 2 x 2 y 2 Hàm số có2 điểm dừng M1 0;0 vaø M 2; 2 Taïi M1 0;0 : A zxx 0,0 0; B zxy 0,0 6; C zyy 0,0 B2 AC 36 Suy hàm số không cócực trị M1 0;0 Tại M2 2; 2 : A zxx 2; 2 12; B zxy 2; 2 6; C zyy 2; 2 12 B2 AC 36 144 108 Do A = -12 < nên hàm số đạt cực đại taïi M2 2; 2 zCD z(2; 2) Bài tập Bài tập 4.3 – Cực trị có điều kiện – Định nghóa Cực trị hàm số z = f(x, y) tính điều kiện j (x,y) = gọi cực trị có điều kiện viết sau : z = f(x, y) với điều kiện j (x,y) = – Phương pháp nhân tử Lagrange Để tìm cực trị có điều kiện z = f(x, y) với j (x,y) = ta thực theo bước sau: Bước 1: Lập hàm Lagrange L(x,y) = f(x,y) + lj(x,y) (l Ỵ R) 2 Tính Lx , Ly , Lxx , Lxy , Lyy d L Lxx dx Lxy dxdy Lyy dy Bước : z x Giải hệ phương trình : z y ; Nghiệm hệ x, y phương trình điểm dừng hàm số cho Bước : Tại điểm dừng M x , y0 ta tính A = d L(x ,y ) Bước Căn cứvào dấu A ta đưa kết luận sau : (1) Nếu A < hàm số đạt cực đại M (x ,y ) (2) Neáu A > hàm số đạt cực tiểu M (x ,y ) (3) Nếu dấu A không xác định hàm số không đạt cực trị M (x ,y ) Ví dụ Tìm cực trị có điều kiện z xy x y 1 Giaûi (1) Lập hàm Lagrange L x, y xy x y 1 (2) Tính Lx y , Ly x ; Lxx 0, Lxy 1, Lyy d L Lxx dx Lxy dxdy Lyy dy 2dxdy (3) Giải hệ phương trình : z x y x x y x zy x y x y 1 y x, y 1 1 Như hàm số có điểm dừng M , 2 2 Suy 1 1 A d L , 2dxdy 2 2 Xeùt dấu A : x y y x dy dx A 2dx 1 1 Vậy hàm số đạt cự c đại M , vaø 2 2 1 1 1 zCD z , 2 2 2 - Phương pháp a) Nội dung phương pháp Nếu từ điều kiện j(x,y) = ta rút x theo y hay y theo x thay vào biểu thức hàm số ta nhận hàm số z theo biến x z theo biến y Khảo sát hàm biến tìm ta nhận cực trị hàm số cho Phương pháp gọi phương pháp để tìm cực trị có điều kiện b) Ví dụ Tìm cực trị có điều kieän: z xy x y 1 Giải : Từ phương trình : x y y x z x x 1 x x Ta tìm cực trị hàm số z - x x : 1 z 2 x 1; z 2 x x ; y 2 Suy hàm số z = xy có điểm dừng M(1/2;1/2) 1 Ta có: z 2 z 2 2 Vậy hàm biến z x x đạt cực đại x = 2 1 1 Suy hàm hai biến z = xy đạt cực đại M ; 2 2 Bài tập ... (2)L lim x? ?1 x x x x2 x2 x lim lim 3 x? ?1 x 1? ?? x 1? ?? x ( x 2) ( x ? ?1) ( x 2) lim ? ?1 =lim x? ?1 (1 x)( x x 1) x? ?1 x x Ví dụ Tìm... 3.3 – Các giới hạn sin x tan x (1) lim 1; lim ? ?1 x 0 x 0 x x x 1 (2) lim e; lim ? ?1 x x e x x 0 x ln ? ?1? ?? x e ? ?1 (3)lim 1; lim ? ?1 x0 x0 x x x (4) lim e ; lim... … f(x) … -3 -2 -1 0 1 … … – Cách cho hàm số Cách 3: Cho hàm số theo kiểu phân đoạn Chú ý: Cho hàm số y = f(x) ta thấy MXĐ hàm số D = {x Ỵ R/ f(x) có nghĩa} ? ?Bài Tập: Bài tập Bài tập 1. 2 – CÁC