SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ, NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TỐN TẠI TRƯỜNG THPT NƠNG CỐNG Người thực hiện: Mai Giáp Tý Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Tốn THANH HỐ NĂM 2020 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm SKKN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu 2.3 Giải pháp cụ thể 2.3.1 Tìm số hạng tổng quát số dạng dãy số 2.3.2 Bài tập tương tự ( có mở rộng số vấn đề) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Tài liệu tham khảo Danh mục SKKN xếp loại Trang 1 2 2 2 4 17 21 21 21 22 22 23 HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ, NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN TẠI TRƯỜNG THPT NƠNG CỐNG MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Đối với giáo viên việc bồi dưỡng học sinh giỏi nhiệm vụ quan trọng, để có kết cao cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi ngồi việc lựa chọn học sinh có lực, đam mê mơn học, người thầy cịn phải có kiến thức tốt, kinh nghiệm bồi dưỡng đặc biệt có giải pháp hiệu nhằm khắc phục khó khăn vướng mắc học sinh q trình ơn luyện giúp học sinh giải vấn đề khó phương pháp đơn giản hiệu Trong năm vừa qua tối nhà trường tin tưởng, giao phụ trách ôn luyên học sinh giỏi, thân cảm thấy tự hào coi động lực để cố gắng phấn đấu tìm tịi phương pháp hay để giải tập khó nhằm nâng cao chất lượng dạy học kết bồi dường học sinh giỏi Năm học 2017-2018 đánh dấu mốc quan trọng đời dạy học của tơi Đây năm tơi có học sinh đạt giải kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh Củng năm Tỉnh Thanh Hóa tổ chức thi học sinh giỏi khối 11 Phần “ Dãy số ” phần đề thi, nguồn tài liệu phần SGK tương đối Để ôn tập cho học sinh phần này, lần ôn tập năm học 2017-2018 năm 2019-2020, tìm tịi biên soạn lại, từ nhiều nguồn khác nhau, để ơn tập cho đội tuyển thu nhiều kết tốt đẹp Để có thành q trình nghiên cứu, tìm tòi, đổi phương pháp giảng dạy, hướng dẫn học sinh giải tốn khó cách làm đơn giản, nhanh gọn hiệu Với thành ý muốn chia sẻ với đồng nghiệp tỉnh kinh nghiệm thân, xin mạnh dạn chia sẻ kinh nghiệm viết sáng kiến kinh nghiệm: "Hướng dẫn học sinh tìm số hạng tổng quát dãy số, nhằm nâng cao hiệu bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn trường THPT Nơng Cống 3" với hi vọng giúp ích cho đồng nghiệp có tâm huyết, có đam mê với công tác bồi dưỡng học sinh giỏi 1.2 Mục đích nghiên cứu - Đề tài đưa số phương pháp giải tập phần dãy số nhằm giải nhanh gọn số toán dãy số đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh - Đề tài tính hiệu phương pháp tìm số hạng tổng quát dãy số - Đề tài cung cấp cho đồng nghiệp nguồn tư liệu bổ ích cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi phần dãy số - Đề tài giúp học sinh phát huy tối đa lực, tạo điều kiện để học sinh có lực đạt kết cao kì thi học sinh giỏi 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Tìm số hạng tổng quát dãy số - Một số dạng toán dãy số vấn đề liên quan 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp tự nghiên cứu ứng dụng thực tiễn - Phương pháp thực nghiệm đối chứng - Phương pháp thống kê tổng hợp - Phương pháp thực nghiệm sư phạm 1.5 Những điểm SKKN - Đưa cách giải tìm số hạng tổng quát dãy số mà sách giáo khoa Toán 11 khơng có - Đề tài gắn liền với thực tế đề thi HSG Tốn 11 Tỉnh Thanh Hóa đề chọn đội tuyển trường địa bàn Thanh Hóa - Đề tài trình bày giải vấn đề thơng qua việc giải tốn cụ thể chia thành dạng khác NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Định nghĩa dãy số: Mỗi hàm số un xác định tập số nguyên dương N* gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu: N* → R un : n a u ( n) Dãy số thường viết dạng khai triển u1 , u2 , u3 , …., un ,…., un  = u ( n ) số hạng thứ n gọi số hạng tổng quát, u1 số hạng đầu dãy số (un ) 2.1.2 Số hạng tổng quát cấp số cộng Định nghĩa: Dãy số (un ) gọi cấp số cộng có số thực d cho với số nguyên n ≥ ta có: un = un−1 + d d : gọi công sai CSC; u1 : gọi số hạng đầu, un gọi số hạng tổng quát cấp số Định lí 1: Cho CSC (un ) Ta có : un = u1 + (n − 1)d Định lí 2: Gọi Sn tổng n số hạng đầu CSC (un ) có cơng sai d Ta có: n(n − 1) Sn = nu1 + d 2.1.3 Số hạng tổng quát cấp số nhân Định nghĩa: Dãy số (un ) có tính chất un+1 = q.un ∀n ∈ ¥ * gọi cấp số nhân cơng bội q Định lí 3: Cho CSN (un ) có cơng bội q Ta có: un = u1q n−1 (3) Định lí 4: Gọi Sn tổng n số hạng đầu CSN (un ) có cơng bội q Ta có: 1- q n Sn = u1 (4) 1- q 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu Trong năm vừa qua kết thi học sinh giỏi mơn Tốn trường THPT Nơng Cống trì tốp đầu toàn huyện đồng nghiệp đánh giá cao Tuy nhiên số học sinh đạt giải cao kì thi sinh gỏi cấp tỉnh cịn Từ thực tế với vai trò người phụ trách công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nhà trường, thiết nghĩ mĩnh phải chịu trách nhiệm hạn chế công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nhà trường Vì năm vừa qua tơi đồng nghiệp có trao đổi phương pháp giảng dạy có việc giải vấn đề toán Dãy số, vấn đề đưa vào đề thi HSG tinh Thanh Hóa Xuất phát từ sở thực trạng trên, hi vọng sáng kiến kinh nghiệm đóng góp thiết thực cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn trường trung học phổ thông nên tối định lựa chọn đề tài với thành ý muốn chia sẻ kinh nghiệm tới đồng nghiệp ngồi nhà trường với mong muốn giúp đồng nghiệp có thêm tư liệu giải pháp nhằm nâng cao hiệu công tác bồi dưỡng học sinh giỏi năm tới 2.3 Giải pháp cụ thể: 2.3.1 Tìm số hạng tổng quát số dạng dãy số Dạng 1: Dãy số (un ) : u1 = x0 , un = aun −1 + b ∀n ≥ ( a, b ≠ số) có CTTQ là: u1 + (n − 1)b a =  un =  a n−1 − n −1 a ≠ u1.a + b a −1  Ví dụ 1.1: Xác định số hạng tổng quát dãy (un ) xác định bởi: u1 = −2, un = 3un −1 − ∀n ≥ Lời giải Ta có: −1 = − + nên ta viết công thức truy hồi dãy sau: = 3un−1 − = 3(un−1 − ) (*) 2 Đặt = un − ⇒ v1 = − = 3vn−1 ∀n ≥ Dãy (vn ) CSN công bội 2 q=3 5 ∀n = 1,2, , ⇒ = v1.q n−1 = − 3n−1 Vậy un = + = − 3n + 2 2 un − Nhận xét: Mẫu chốt cách làm ta phân tích −1 = − + để chuyển công thức truy hồi dãy (*), từ ta đặt dãy phụ để chuyển dãy (vn ) CSN Tuy nhiên việc làm có vè khơng tự nhiên lắm! Làm ta biết phân tích −1 = − + ? Ta làm sau: 2 u = k v + l Đặt n ; k , l số k ≠ ( ta chọn k , l sau) n 2l − Khi đó, ta có: k + l = 3k vn−1 + 3l − ⇔ = 3vn + k k = 2l − 1  = ⇔ l = k ≠ nên ta chọn:  Ta chọn k , l : k l = vn = 3vn−1  ⇒ (vn ) :  Dễ thấy dãy (vn ) CSN với công bội q = v = −  5.3n −1 ⇒ = v1.q n−1 = − 3n−1 Suy ra: un = + = − + 2 2 Ta thấy k bất kì, đặt ta chọn k = u1 = x0 Dạng 2: CTTQ dãy (un ) xác định bởi:  , un = a.un−1 + f (n) f ( n) đa thức bậc k theo n ; a số Ta làm sau: * Nếu a = , ta đặt un = + n.g (n) với g ( n) đa thức theo n bậc k , thay vào công thức truy hồi dãy ta chọn g ( n) : ng (n) − (n − 1) g (n − 1) = f (n) ta có dãy ( ) CSN với công bội q = từ ta tìm CTTQ dãy ( ) suy ta có CTTQ dãy (un ) * Nếu a ≠ , ta đặt un = + h(n) với h(n) đa thức theo n bậc k Thay vào công thức truy hồi dãy ta chọn h(n) : h(n) − ah(n − 1) = f ( n) ta có dãy ( ) CSN với cơng bội q = a từ ta tìm CTTQ dãy ( ) Suy ta có CTTQ dãy (un ) Ví dụ 2.1: Xác định CTTQ dãy (un ) xác định : u1 = 2; un+1 = 2un + 3n + Lời giải Đặt : un = k + t.n + l ; k , t , l số k ≠ Khi ta có: t +3 l −t + kvn+1 + t (n + 1) + l = 2kvn + 2tn + 2l + 3n + ⇔ +1 = 2vn + n + k k t + t = −3  k =  ⇔ l = −5 , ta chọn k = Ta chọn k , t , l cho:  l − t +  = k ≠  k v = 10 ⇒ (vn ) :  ⇒ = 10.2n−1 = 5.2n Vậy un = − 3n − = 5.2n − 3n − vn = 2vn−1 Ta thấy cách giải không phụ thuộc vào k , nên đặt ta chọn k = u1 = Ví dụ 2.2 : Cho dãy số (un ) :  Tìm CTTQ dãy (un ) un = un−1 + 2n + Lời giải Đặt un = + an + bn + c Khi đó, ta có: + an + bn + c = vn−1 + a (n − 1) + b(n − 1) + c + 2n + ⇔ = vn−1 + 2(1 − a)n + a − b + 1 − a = a = ⇔ Ta chọn  , c nên ta chọn c = a − b + = b =   v1 = −1 ⇒ = vn−1 = vn−2 = = v1 = −1 Khi đó: (vn ) :  v = v n −1  n Vậy un = + n + 2n = n + 2n − Vì c nên ta cần đặt un = + an + bn = + n(an + b) u1 = p Dạng 3: Cho dãy (un ) :  Khi ta có: n u = a u + b α ∀ n ≥ n −1  n • Nếu a = α ⇒ un = [ ab(n − 1) + u1 ] a n−1 bα n−1 bα )a + α n α −a α −a Chú ý : Trong trường hợp a = α ta tìm CTTQ dãy (un ) sau: Đặt un = xn + y.n.a n Khi ta có: xn + y.n.α n = a.xn−1 + ay (n − 1).a n−1 + b.a n ⇒ xn = a.xn−1 + (− y + b).a n nên ta chọn y = b ⇒ xn = x1.a n−1 ⇒ un = (u1 − ab)a n −1 + bn.a n = [ ab(n − 1) + u1 ] a n−1 • Nếu a ≠ α ⇒ un = (u1 − u1 = Ví dụ 3: Cho dãy số (un ) :  Tìm CTTQ dãy (un ) n u = u + ; n = 2,3, n −1  n Lời giải Với cách giải tương tự ví dụ ta đặt: un = + a.2n Ta có: + a.2n = 3(vn−1 + a.2n−1 ) + 2n ⇔ = 3vn −1 + 2n −1 ( a + 2) Ta chọn a = −2 ⇒ = 3vn−1 = v1.3n−1 = 5.3n−1 Vậy un = 5.3n−1 − 2n +1 Lưu ý : Trong trường hợp tổng quát dãy (un ) : un = a.un−1 + b.α n , ta đặt un = xn + y.α n Khi , ta có: xn + y.α n = a.xn−1 + ay.α n −1 + b.α n bα ⇒ xn = a.xn−1 + [ y (a − α ) + bα ] α n−1 Do đó, a ≠ α , ta chọn y = α −a bα bα ⇒ xn = a.xn−1 ⇒ xn = x1.a n−1 ⇒ un = (u1 − ) a n−1 + α n α −a α −a n Trường hợp α = a ⇒ un − a.un−1 = b.a ⇒ un = (un − a.un −1 ) + a(un−1 − un −2 ) + + a n−2 (u2 − au1 ) + u1.a n−1 ⇒ un = b(n − 1)a n + u1a n−1 u1 = p Dạng 4: Để tìm CTTQ dãy số (un ) :  , n n u = a u + b α + c β + d ; ∀ n ≥ n −1  n ( a, b, c ≠ 0;α , β ≠ 1;α , β ≠ a ) ta làm sau: • Nếu a = ⇒ un − un−1 = b.α n + c.β n + d n −2 ⇒ un = u1 + ∑ (un−i − un−i −1 ) i =0 n−2 = u1 + ∑ (b.α i =0 n −i + c.β n −i n −2 + d ) = u1 + b∑α i =0 n −i n −2 + c ∑ β n −i + d (n − 1) i =0 1−α  1− β  ⇒ un = u1 + b.α  − 1÷+ c.β  − 1÷+ d (n − 1)  1−α   1− β  n n • Nếu a ≠ , ta đặt un = + x.α + y.β + z Ta có: = a.vn−1 + (ax − xα + α b)α n−1 + (by − y β + β c ) β n−1 + z (a − 1) + d αb βc d ;y = ;z = Ta chọn : x = α −a β −b 1− a  α 2b β 2c d  n−1 n −1 − − Khi đó: = a.vn−1 ⇒ = v1.a =  u1 − ÷a α − a β − b 1− a   n n  α 2b β 2c d  n−1 b c d un =  u1 − − − αn + βn + ÷a + α − a β − b 1− a  α −a β −b 1− a  Chú ý : Nếu α = a β = a đặt un theo ta nhân thêm n vào trước α n β n u1 = −2 ( u ) : Ví dụ 4: Tìm CTTQ dãy n  n n un = 5un−1 + 2.3 − 6.7 + 12 ; n = 2,3, Lời giải n n Đặt un = + a.3 + b.7 + c Khi , ta có: + a.3n + b.7 n + c = 5(vn−1 + a.3n−1 + b.7 n −1 + c ) + 2.3n − 6.7 n + 12 ⇔ = 5vn−1 + 3n−1 (2a + 6) − n−1 (2b + 42) + 4c + 12  2a + =  a = −3   Ta chọn a, b, c : 2b + 42 = ⇔ b = −21 4c + 12 = c = −3   Khi đó: = 5vn−1 ⇒ = v1.5n−1 = 157.5n−1 Vậy un = − 3n+1 − 3.7 n+1 − = 157.5n −1 − 3n+1 − 3.7 n+1 − u1 = p Dạng 5: Nếu dãy số (un ) :  , n un = a.un−1 + b.α + f (n); ∀n ≥ f ( n) đa thức theo n bậc k ta tìm CTTQ dãy sau: * Nếu a ≠ ta đặt un = + x.α n + g (n) , với g ( n) đa thức theo n bậc k Ta chọn x g ( n) cho dãy (vn ) CSN, ta tìm CTTQ dãy (vn ) từ ta có CTTQ dãy (un ) * Nếu a = ta tìm un theo cách làm kết u1 = Ví dụ 5: Tìm CTTQ dãy (un ) :  n u = u + − n ; ∀ n ≥ n −1  n Lời giải Để tìm CTTQ dãy ( un ) ta sử dụng hai kết dạng kết dạng Đặt un = + a.3n + bn + c n n −1 n Ta có: + a.3 + bn + c = ( vn−1 + a.3 + b(n − 1) + c ) + − n ⇔ = 2vn−1 + (− a + 3)3n−1 + (b − 1)n − 2b + c Ta chọn a = 3; b = 1; c = Khi đó: = 2vn−1 ⇒ = v1.2n−1 = −11.2n −1 Vậy un = −11.2n−1 + 3n + n + Dạng 6: Cho a, b, c số thực khác không; a − 4b ≥ dãy (un ) u0 = p; u1 = q xác định bởi:  Khi đó: u = a u + b u n n −1  n+1 y.u0 − u1 n u1 − x.u0 n x + y , x, y nghiệm • Nếu a − 4b > un = y−x y−x phương trình : X − aX − b = (1) n −1 a pa ap  • Nếu a − 4b = un =  ÷  + (q − )n    2  Phương trình (1) gọi phương trình đặc trưng dãy Chú ý : Để xác định CTTQ dãy (un ) nói ta trình bày sau Xét phương trình đặc trưng (1) • Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt X , X un = x X 1n + y X 2n , dựa vào u0 , u1 ta tìm x, y • Nếu (1) có nghiệm kép X = X = α un = (rn + s ).α n , dựa vào u0 , u1 ta tìm r , s Ví dụ 6.1: Xác định CTTQ dãy (un ) : u0 = −1, u1 = 3, un +1 = 5un − 6un−1 ∀n ≥ Lời giải Ta viết công thức truy hồi dãy lại sau: un+1 − 2un = 3(un − 2un−1 ) (1) v1 = ⇒ = 5.3n−1 ⇒ un − 2un−1 = 5.3n−1 Đặt vn+1 = un+1 − 2un , ta có:  vn+1 = 3vn Sử dụng kết 2, ta có: un = 5.3n − 6.2n u0 = 1; u1 = Ví dụ 6.2: Cho dãy số ( un ) xác định :  u = u + u ∀ n ≥ n n −1  n+1 Hãy xác định CTTQ dãy (un ) Lời giải x + y = ⇔ x, y nghiệm PT: X − X − = Gọi x, y hai số thỏa mãn:  xy = −  ⇔ X = ± , ta chọn x = + 5; y = − Ta có: un+1 = ( x + y )un − xyun−1 ⇔ un+1 − x.un = y (un − xun−1 ) Đặt = un − x.un−1 ⇒ v1 = − x vn+1 = y.vn ⇒ = v1 y n−1 = (2 − x) y n−1 ⇒ un − x.un−1 = (2 − x) y n−1 Áp dụng kết 3, ta có: y−2 n 2− x n 1 un = x + y = (2 + 5) n + (2 − 5) n  y−x y−x Ví dụ 6.3: Cho a, b, c số thực khác không dãy (un ) xác định u0 = p; u1 = q Hãy xác định CTTQ dãy (un ) ?  u = a u + b u n n −1  n+1 Lời giải Ta viết lại công thức truy hồi dãy cho sau: un+1 − x.un = y (un − x.un−1 ) x + y = a ⇒ x, y nghiệm PT: X − aX − b = Ta xác định x, y cho:  xy = − b  Giả sử tồn tại x, y , tức phương trình (1) có nghiệm v1 = q − x p ⇒ = (q − xp ) y n−1 Đặt = un − x.un−1 Ta có:  vn+1 = yvn ⇒ un − x.un−1 = (q − px) y n−1 • Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, hay x ≠ y Áp dụng kết 2, ta có: yp − q n q − xp n un = x + y y−x y−x a • Ta xét trường hợp cịn lại: (1) có nghiệm kép ⇒ x = y = a pa a n−1 ⇒ un − un−1 = (q − )( ) Áp dụng kết dạng 3, ta có: 2 n −1 ap   a   pa un =  ÷  + (q − )n   2  u1 = p; u2 = q Dạng 7: Để tìm CTTQ dãy (un ) :  , a u + b u + c u = f ( n ) ; ∀ n ≥ n n −1  n+1 ( f ( n) đa thức theo n bậc k b − 4ac ≥ ) ta làm sau: • Xác định đa thức g ( n) : a.g (n) + bg ( n − 1) + cg ( n − 2) = f ( n) , g ( n) là: đa thức theo n bậc k PT (1) có hai nghiệm phân biệt khác ; đa thức bậc k + (1) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm ; đa thức bậc k + (1) có nghiệm kép x = • Khi xác định g ( n) ta đặt un = xn + g (n) , ta có dãy ( xn ) xác định bởi:  x0 = p − g (0); x1 = u1 − g (1) Áp dụng kết ta xác định CTTQ  a.xn+1 + bxn + c = ∀n ≥ ( xn ) , từ ta tìm CTTQ dãy (un ) u0 = −1; u1 = Ví dụ 7.1: Cho dãy (un ) :  u − u + u = n + n + 1; ∀ n ≥ n −1 n−2  n Xác định CTTQ dãy (un ) Lời giải Ta tìm cách làm vế phải công thức truy hồi dãy, cách: Đặt un = xn + an + bn + c Thay vào công thức truy hồi dãy rút gọn ta xn − xn−1 + xn−1 + 2an − (14a + 2b)n + 19a − b + 2c = 2n + 2n +  2a = a =   Ta chọn a, b, c : 14a + 2b = −2 ⇔ b = −8 Khi đó: 19a − b + 2c = c = −13    x0 = 12; x1 = 23 ( xn ) :  Áp dụng kết 3, ta có: x − x + x = n −1 n−2  n n n xn = 13.2 − ⇒ un = 13.2n − 3n + n − 8n − 13 u1 = p; u2 = q Ví dụ 7.2: Tìm CTTQ dãy số: (un ) :  , a u + b u + c u = f ( n ) ; ∀ n ≥ n n −1  n+1 ( f ( n) đa thức theo n b − 4ac ≥ ) Lời giải Đặt un = xn + g (n) với g ( n) đa thức theo n Thay vào công thức truy hồi dãy ta được: a.xn + b.xn−1 + c.xn− + a.g (n) + b.g (n − 1) + cg (n − 2) = f (n) Ta chọn g ( n) : a.g (n) + bg ( n − 1) + cg ( n − 2) = f ( n) (*) Khi đó: a.xn + bxn−1 + c.xn−2 = Áp dụng kết dạng 6, ta có CTTQ dãy ( xn ) , từ ta tìm CTTQ dãy (un ) Vấn đề lại giải phương trình (*) Giả sử g ( n) = ak n k + ak −1n k −1 + + a1n + a0 đa thức bậc k Khi hệ số x k k −1 x k −1 VP là: ak (a + b + c ) x k [ −(b + 2c)k ak + (a + b + c)ak −1 ] x Do : * Nếu PT: aX + bX + c = (1) có nghiệm hai nghiệm phân biệt khác a + b + c ≠ nên VT(*) đa thức bậc k * Nếu PT (1) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm x = ⇒ a + b + c = −(b + 2c) k ak + ( a + b + c)ak −1 = −(b + 2c).k ak ≠ nên VT đa thức bậc k − 10 * Nếu PT (1) có nghiệm kép x = ⇒ a + b + c = [ −(b + 2c)k ak + (a + b + c)ak −1 ] x k −1 nên VT(*) đa thức bậc k − Vậy để chọn g ( n) ta cần ý sau: Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, g ( n) đa thức bậc với f ( n) Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, nghiệm ta chọn g ( n) đa thức lớn bậc f ( n) bậc Nếu (1) có nghiệm kép x = ta chọn g ( n) đa thức có bậc lớn bậc f ( n) hai bậc u0 ; u1 Dạng 8: Cho dãy số (un ) xác định bởi:  n u + b u + c u = d α ; ∀ n ≥ n −1 n −2  n Để xác định CTTQ dãy (un ) ta làm sau: • Nếu phương trình : X + bX + c = (1) có hai nghiệm phân biệt khác α ta đặt dα un = xn + α n , ta có: a.xn+1 + bxn + c.xn−1 = aα + bα + c Từ sử dụng kết dạng 6, ta tìm xn ⇒ un dα • Nếu x = α nghiệm đơn (1) ta đặt: un = xn − n.α n , ta có: b + 2c a.xn+1 + bxn + c.xn −1 = Từ sử dụng kết 4, ta tìm xn ⇒ un dα • Nếu x = α nghiệm kép (1) ta đặt: un = xn + n α n , ta có: bα + 4c a.xn+1 + bxn + c.xn −1 = Từ sử dụng kết 4, ta tìm xn ⇒ un u0 = −1; u1 = ( u ) : Ví dụ 8.1: Tìm CTTQ dãy số n  n un − 5un−1 + 6un− = 5.2 ∀n ≥ Lời giải n Đặt un = xn + y.2 Khi thay vào công thức truy hồi ta không làm 5.2n VT Ta tìm cách giải khác cho tốn Ta viết công thức truy hồi dãy sau: (un − 2un−1 ) − 3(un −1 − 2un−2 ) = 5.2n Đặt xn = un − 2un−1 ⇒ xn − 3xn−1 = 5.2n Áp dụng kết dạng 6, ta có: xn = 25.3n−1 − 10.2n ⇒ un − 2un−1 = 25.3n−1 − 10.2n Sử dụng ý kết dạng 4, ta đặt un = + a.3n + bn.2n Ta được: = 2vn−1 + (25 − a )3n−1 − (b + 10)2n Ta chọn a = 25, b = −10 ⇒ = v0 2n = −26.2n ⇒ un = 25.3n − (5n + 13).2n +1 Lưu ý : Dựa vào CTTQ xác định trên, ta giải toán theo cách khác sau: Đặt un = xn + yn.2n , ta có: xn − xn −1 + xn −2 − y.2n−1 = 5.2n , ta chọn y = −10 11  x0 = −1; x1 = 23 ⇒ ( xn ) :  Áp dụng kết dạng 6,  xn − xn−1 + xn−2 = ∀n ≥ ta có: xn = −26.2n + 25.3n ⇒ un = 25.3n − (5n + 13).2n +1 u0 = 1; u1 = Ví dụ 8.2: Tìm CTTQ dãy (un ) :  n u − u + u = 3.2 n −1 n −2  n Lời giải Với dãy số ta đặt un = xn + y.2n thay vào cơng thức truy hồi dãy ta không xác định y ! Nên ta tìm cách giải khác cho tốn Ta viết lại cơng thức truy hồi dãy sau: (un − 2un−1 ) − 2(un −1 − 2un−2 ) = 3.2n Đặt xn = un − 2un−1 , ta có: xn − xn−1 = 3.2n Áp dụng kết 2, ta có: ⇒ xn = (6n − 5).2n−1 ⇒ un − 2un−1 = (6n − 5).2n−1 ⇒ un = (un − 2un−1 ) + 2(un−1 − 2un− ) + + 2n−1 (u1 − 2u0 ) + 2n.u0 n  n  = 2n −1 ∑ (6i − 5) + 2n = 2n−1 6∑ i − 5n +  i =1  i =1   (n + 1)n  = 6 − 5n +  n−1 = (3n − 2n + 2)2n−1   Lưu ý : Từ CTTQ dãy (un ) ta giải toán theo cách khác sau Đặt un = xn + yn 2n Ta có: xn − xn−1 + xn− + y.2n = 3.2 n Ta chọn y =  x0 = 1; x1 = ⇒ ( xn ) :  Áp dụng kết 4, ta  xn − xn−1 + xn− = ∀n ≥ xn = (2 − 2n)2n−1 ⇒ un = (2 − 2n).2 n−1 + 3n 2 n−1 = (3n − 2n + 2)2 n−1 u1 = x, u2 = y, u3 = z Dạng 9: Cho dãy (un ) :  aun + + bun +1 + cun + dun −1 = ∀n ≥ Để xác định CTTQ dãy ta xét phương trình: ax3 + bx + cx + d = (1) ( (1)gọi phương trình đặt trưng dãy) • Nếu (1) có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 ⇒ un = α x1n + β x2n + γ x3n Dựa vào u0 , u1 , u2 ta tìm α , β , γ • Nếu (1) có nghiệm đơn, nghiệm kép: x1 = x2 ≠ x3 ⇒ un = (α + β n) x1n + γ x3n Dựa vào u0 , u1 , u2 ta tìm α , β , γ 12 • Nếu (1) có nghiệm bội x1 = x2 = x3 ⇒ un = (α + β n + γ n ) x1n Dựa vào u0 , u1 , u2 ta tìm α , β , γ u1 = 0, u2 = 1, u3 = 3, Ví dụ 9: Tìm CTTQ dãy (un ) :  un = 7un−1 − 11.un −2 + 5.un −3 , ∀n ≥ Lời giải Xét phương trình đặc trưng : x − x + 11x − = Phương trình có nghiệm thực: x1 = x2 = 1, x3 = Vậy an = α + β n + γ 5n Cho n = 1, n = 2, n = giải hệ phương trình tạo thành, ta α =− ,β= ,γ= 16 16 Vậy an = − + ( n − 1) + 5n−1 16 16  xn+1 = pxn + qyn x1 = a Dạng 10: Cho dãy ( xn ),( yn ) :  Để xác định CTTQ  yn+1 = ryn + sxn y1 = b hai dãy ( xn ),( yn ) ta làm sau: Ta biến đổi được: xn+1 − ( p + s ) xn + ( ps − qr ) xn−1 = theo kết ta xác định xn , từ thay vào hệ cho ta có yn Chú ý : Ta tìm CTTQ dãy số theo cách sau: q − λr  x − λ y = ( p − λ s )( x − y ) n + n + n  λs − p n Ta đưa vào tham số phụ λ , λ ' ⇒   x + λ ' y = ( p + λ ' s )( x + q + λ ' r y ) n +1 n n  n+1 p + λ 's q − λr  λ =  λs − p  xn+1 − λ yn+1 = ( p − λ s )( xn − λ yn ) ⇒ Ta chọn λ , λ ' cho   xn+1 + λ ' yn+1 = ( p + λ ' s )( xn + λ ' yn ) λ ' = q + λ ' r  λ 's + p  xn+1 − λ yn+1 = ( p − λ s ) n ( x1 − λ y1 ) giải hệ ta tìm ( xn ) , ( yn )  n  xn+1 + λ ' yn+1 = ( p + λ ' s ) ( x1 + λ ' y1 ) u0 = 2; un = 2un −1 + vn−1 ∀n ≥ Ví dụ 10: Tìm CTTQ dãy số (un ),(vn ) :  v0 = 1; = un−1 + 2vn−1 Lời giải Ta có: un = 2un−1 + un−2 + 2vn−2 = 2un−1 + un−2 + 2(un−1 − 2un−2 ) 13 ⇒ un = 4un−1 − 3un−2 u1 = + 3n+1 −1 + 3n+1 Áp dụng kết 4, ta có: un = ⇒ = un+1 − 2un = 2 pun−1 + q ∀n ≥ Để tìm CTTQ Dạng 11: Cho dãy (xn): u1 = α ; un = run−1 + s dãy (xn) ta làm sau: Đặt un = xn + t , thay vào công thức truy hồi dãy ta có: pxn−1 + pt + q ( p − rt ) xn−1 − rt + ( p − s )t + q xn = −t = (1) run−1 + rt + s rxn−1 + rt + s 1 =a +b Ta chọn t : rt + ( s − p)t − q = Khi ta chuyển (1) dạng: xn xn−1 Áp dụng kết 1, ta tìm , từ suy xn ⇒ un xn u1 =  2un −1 Ví dụ 11.1: Tìm CTTQ dãy (un ) :  u =  n 3u + ∀n ≥ n −1  Lời giải 3un−1 + 1 = = +2 Ta có Đặt xn = , ta có: un 2un−1 un −1 un  x1 =  5.2n−1 − ⇒ un =  Áp dụng kết 1, ta được: xn = 5.2n−1 −  xn = xn−1 + u1 =  −9un−1 − 24 Ví dụ 11.2: Tìm CTTQ dãy số (un ) :  u = ∀ n ≥ n  5un−1 + 13  Lời giải Đặt un = xn + a Thay vào cơng thức truy hồi, ta có: −9 xn−1 − 9a − 24 (−9 − 5a) xn−1 − 5a − 22a − 24 xn + a = ⇒ xn = xn−1 + 5a + 13 xn−1 + 5a + 13 Ta chọn a : 5a + 22a + 24 = ⇒ a = −2 ⇒ x1 = xn−1 11.3n−1 − 10 ⇒ xn = ⇒ =5+ ⇒ = ⇒ xn = n −1 xn−1 + xn xn−1 xn 11.3 − 10 −22.3n−1 + 24 ⇒ un = xn − = 11.3n−1 − 10 14 Dạng 12: 1) Từ hai ví dụ ta có cách tìm CTTQ hai dãy số un = un2−1 + a.vn2−1 ; u1 = α (un ),(vn ) xác định bởi:  (trong a số thực v = v u ; v = β n −1 n −1  n dương) sau: un = un2−1 + a.vn2−1 (un + aun−1 = (un−1 + aun −1 ) ⇒ Ta có:  a v = a v u n n −1 n −1  (un − aun−1 = (un−1 − aun−1 ) 1  2n −1 2n −1  un =  (α + β a ) + (α − β a )  ⇒ n −1 n −1 2 (α + β a ) − (α − β a )  vn =   a  x1 = α  2) Áp dụng kết ta tìm CTTQ dãy ( xn ) :  xn2−1 + a  xn = x n −1  2 un = un−1 + a.vn−1 ; u1 = α Xét hai dãy (un ),(vn ) :  ; v1 = vn = 2vn−1un−1 n −1 n −1 un (α + a ) + (α − a ) Khi đó: xn = = a n −1 n −1 (α + a ) + (α − a ) u1 = Ví dụ 12.1: Xác định CTTQ hai dãy số (un ),(vn ) :  v1 = un = un2−1 + 2vn2−1 ∀n ≥  v = u v n −1 n −1  n Lời giải un = un2−1 + 2vn2−1 un + 2vn = (un−1 + 2vn−1 ) ⇒ Ta có:  2 v = 2 u v n n −1 n −1  un − 2vn = (un−1 − 2vn−1 ) un + 2vn = (u1 + 2v1 ) = (2 + 2) ⇒ n −1 2n −1 un − 2vn = (u1 − 2v1 ) = (2 − 2) 1  2n −1 2n −1  u = (2 + 2) + (2 − 2)  n   ⇒ n −1 n −1 2 vn =  (2 + 2) − (2 − 2)   2  n −1 n −1 15  x1 =  Ví dụ 12.2: Xác định CTTQ dãy số ( xn ) :  xn2−1 + ∀n ≥  xn = x n −1  Lời giải u1 = un = un2−1 + 2vn2−1 ∀n ≥ Xét hai dãy (un ),(vn ) :   v = v = u v 1 n −1 n −1  n Ta chứng minh xn = un (*) • n = ⇒ x2 = u2 = ⇒ n = (*) v2 • Giả sử xn−1 = un−1 x + un2−1 + 2vn2−1 un ⇒ xn = n−1 = = ⇒ (*) chứng minh vn−1 xn−1 2un−1vn−1 Theo kết tốn trên, ta có: xn = n −1 n −1 n −1 n −1 (2 + 2) + (2 − 2) (2 + 2) − (2 − 2) u1 = 1) Dạng 13: Dãy (un ) :  un = 5un−1 + aun−1 − ∀n ≥ dãy nguyên ⇔ a = 24 Thật vậy: u2 = + a − = + t ( t = a − ∈ ¥ ) ⇒ u3 = + (t + 8)(t + 5) − ⇒ u3 ∈ ¢ ⇔ f (t ) = (t + 8)(t + 5) − = m ( m ∈ ¢ ) Mà (t + 5t + 4) < f (t ) < (t + 5t + 14) kết hợp với f (t ) số chẵn ta suy m = t + 5t + x với x ∈ { 6,8,10,12} Thử trực tiếp ta thấy t = ⇒ a = 24 u1 = α 2) Với dãy số (un ) :  , với a − b = ta xác định un = aun−1 + bun−1 + c ∀n ≥ CTTQ sau: Từ dãy truy hồi ⇒ (un − aun−1 ) = bun2−1 + c ⇔ un2 − 2aunun−1 + un2−1 − c = Thay n n − , ta có: un2−2 − 2aun −1un −2 + un2−1 − c = ⇒ un + un−2 = 2aun−1 u1 = α  un−1 3) Với dãy (un ) :  α > 0; a > ; a − b = un = ∀n ≥ ,trong  a + cun2−1 + b  ta xác định CTTQ sau: 1 a b = + c + Đặt xn = Ta viết lại công thức truy hồi dạng: un un un−1 un−1 16 Ta có un = aun−1 + bxn2−1 + c dãy mà ta xét u1 = Ví dụ 13: Cho dãy (un ) :  Tìm un ? un = 5un−1 + 24un−1 − ∀n ≥ Lời giải Ta có: u2 = 9; u3 = 89; u4 = 881 Giả sử: un = xun−1 + yun− 9 x + y = 89  x = 10 ⇒ ⇔ Ta chứng minh: un = 10un−1 − un−2 ∀n ≥ 89 x + y = 881  y = −1 Từ cơng thức truy hồi dãy ta có: (un − 5un−1 ) = 24un2−1 − ⇔ un2 − 10unun−1 + un2−1 + = (1) thay n n − , ta được: un2−2 − 10un −2un −1 + un2−1 − = (2) Từ (1),(2) ⇒ un−2 , un hai nghiệm phương trình : t − 10un−1t + un2−1 − = Áp dụng định lí Viet, ta có: un + un−2 = 10un−1 n −1 n −1 −2 6+2 5−2 + 5+2 6 2.3.2 Bài tập tương tự ( có mở rộng số vấn đề) Bài tập :(Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa 2017-2018) u1 = 2, u2 = Cho dãy số (un ) xác định sau  un+ = 5un+1 − 6un , ∀n ≥ u Tính giới hạn lim  nn ÷   Lời giải Từ giả thiết ta có un+ − 2un +1 = 3(un+1 − 2un ), ∀n ≥ Suy dãy vn+1 = un+1 − 2un cấp số nhân có cơng bội q = ⇒ vn+1 = 3n−1 v2 = 3n−1 (5 − 2.2) = 3n−1 (1) Cũng từ giả thiết ta có un+ − 3un +1 = 2(un+1 − 3un ), ∀n ≥ Suy dãy wn+1 = un +1 − 3un cấp số nhân có công bội q = ⇒ wn+1 = 2n−1 w2 = 2n−1 (5 − 3.2) = −2n−1 (2) Vậy un = ( ) ( )  un+1 − 2un = 3n−1 ⇒ un = 3n−1 + 2n −1 Suy Từ (1) (2) ta có hệ  n −1 un+1 − 3un = −2  1  n   3n−1 + 2n−1   un  lim  n ÷ = lim  = ÷ = lim  +  ÷ ÷ ÷ 3n 3 3        Bài tập :(Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa 2018-2019) 17 u1 = xác định  n * u = u + 3.4 , ∀ n ∈ ¥ ( ) n  n+1 2n + 3n + u lim Tìm số hạng tổng qt n tính un Lời giải n Ta có un+1 = 4un + 3.4 ⇒ un = 4un−1 + 3.4n−1 với ∀n ∈ ¥ ; n ≥ Cho dãy số ( un ) n −1 n −2 n −1 Khi đó: un = 4un−1 + 3.4 = ( 4un− + 3.4 ) + 3.4 = 42.un −2 + 2.3.4n−1 = 42 ( 4un−3 + 3.4n−3 ) + 2.3.4n−1 = 43.un−3 + 3.3.4n−1 = 4n −1.u1 + ( n − 1) 3.4n−1 = 4n−1.2 + ( n − 1) 3.4n−1 = ( 3n − 1) 4n−1   2+ +  2n + 3n + 2n + 3n + n n 4n ÷ = lim = lim = lim  ÷ un 4n ÷ ( 3n − 1) 4n−1  3− n   2+ + 2 n n = ; Ta có < n = n n < n = n ≥ Vì lim n 2 Cn ( n − 1) với 1 + 3) ( 3− n 2n + 3n + n n −1 = suy lim = = Vậy un = ( 3n − 1) ; lim Mà lim ( n − 1) un 4n u1 = Bài tập : Cho dãy ( un ) xác định  * un+1 = 3un + n + 1, ∀n ∈ ¥ Tìmsố hạng tổng qt ( un ) , từ tính tổng S2019 = u1 + u2 + + u2019 ? Lời giải 2 Đặt g ( n) = an + bn + c = un + g (n)(a, b, c ∈ R) vn+1 = 3vn ; ; Khi : vn+1 = 3vn ⇔ un +1 + g (n + 1) = 3[ un + g (n) ] ⇔ 3un + n + + g (n + 1) = 3un + g (n) ⇔ n + + a( n + 1) + b(n + 1) + c = 3an + 3bn + 3c ⇔ ( a + 1)n + (2a + b)n + + a + b + c = 3an + 3bn + 3c 18 a + = 3a 1  1 ⇔ a = ; b = ; c = Do : g (n) = n + n + Nên : 2a + b = 3b 2 2 1 + a + b + c = 3c  1  Như : = un + n + n + ⇔ un = −  n + n + 1÷ 2 2  u1 = v1 = u1 + g (1) = ⇔  * Từ giả thiết : u = 3u + n + 1, ∀n ∈ ¥ * n  n+1 vn +1 = 3vn , ∀n ∈ ¥ Suy : vn+1 = 3n−1.v1 = 4.3n−1 Khi : 1 1  un = 4.3n−1 −  n + n + 1÷ ⇒ un = 4.3n−1 − ( n + n + ) 2 2  Ta có : n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) 2 +) + + + n = +)1 + + + n = n −1 +) 4(30 + 31 + 3n−1 ) = = 2(3n − 1) −1 +) Sn = u1 + u2 + + un = ( 30 + 31 + + 3n−1 ) − ( 12 + 22 + + n ) + ( + + + n ) + 2n   n ( n + 1) ( n + )  n ( n + 1) ( 2n + 1) n ( n + 1) = ( 3n − 1) −  + + 2n  = 2.3n − −2−n 2 6  2019.2020.2021 2019 − − 2019 ⇒ S2019 = 2.32019 − 1373732309 +) S2019 = 2.3 − u1 = 2018  Bài tập : Cho dãy số (un) xác định  n + 4n + u = u , n ≥  n+1 n n + 4n  Hãy lập cơng thức tính un theo n tính lim un Lời giải ( n + 1) + 2( n + 1) un+1 un u ⇔ = Ta có un+1 = n n + 2n ( n + 1) + 2( n + 1) n + 2n u 1 Đặt = n ⇒ +1 = ⇒ (vn) cấp số nhân có công bội q = n + 2n 2 u 2018 2018 4036 n + 2n số hạng đầu v1 = = ⇒ = ⇒ u = n 3 2n−1 2n n(n − 1)(n − 2) n n 3 +) Ta có = (1 + 1) = Cn + Cn + Cn + Cn + + Cn ≥ Cn = 19 ⇒ un ≤ 8072 n + 2n n(n − 1)(n − 2) +  n + 2n  n n2 lim 8072 = 8072lim = ⇒ lim un =  n ( n − 1)( n − 2)       − ÷ − ÷  n  n  Bài tập 5: Cho dãy số ( un ) xác định sau: u1 = 1, u2 = 3, un+ = 2un+1 − un + 1, n = 1,2, u Tính lim n2 n →+∞ n Lời giải Ta có un+ − un +1 = un+1 − un + 1, n = 1,2, suy { un+ − un+1} lập thành cấp số cộng có cơng sai nên un+ − un+1 = u2 − u1 + n.1 = n + (1) Từ (1) ta un − u1 = un − un −1 + un −1 − un −2 + + u2 − u1 = n + n − + + n ( n + 1) ⇒ un = + + + n = n ( n + 1) un u lim = lim n2 = lim = Vậy n →+∞ n n →+∞ n n →+∞ 2n 2 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 20 2.4.1 Đối với thân Từ năm học 2017-2018 đến nhà trường phân công bồi dưỡng học sinh giỏi Tơi vận dụng kinh nghiệm mà tích lũy để ôn tập hướng dẫn học sinh thi học sinh giỏi Bảng thống kê kết HSG mơn Tốn tơi trực tiếp giảng dạy Năm học Học sinh lớp HSG tỉnh Trịnh Quốc Đạt 11B1 Nhì Lê Minh Đức 11B1 Ba 2017- 2018 Nguyễn Thị Loan 11B1 KK Phạm Kim Chiến 11B1 KK Lê Thị Thùy 11B1 KK Năm học 2019-2020 : có hai học sinh lớp 10 chọn vào Đội tuyển Toán lớp 11 trường Kết học sinh giỏi cấp tỉnh thi học sinh giỏi cấp trường đạt năm gần thực kì tích thân tơi nhà trường Đó minh chứng cho thấy hướng đắn việc ôn thi học sinh giỏi, nguồn động lực niềm tin để tiếp tục cố gắng phấn đấu áp dụng kinh nghiệm vào thực tiễn công tác năm tới 2.4.2 Hiệu ứng dụng vào thực tiễn trường THPT tỉnh: - SKKN áp dụng cho tất trường THPT - Giới thiệu cho đồng nghiệp học sinh nguồn tập hay để áp dụng - Khích lệ cổ vũ phong trào ôn thi học sinh giỏi trường THPT tỉnh - Giúp học sinh trường THPT có thêm kiến thức tham gia kì thi chọn học sinh giỏi đạt kết tốt nhất; có thêm động lực niềm tin vào khả KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Sau thời gian nghiên cứu, hoàn thành đề tài vận dụng vào dạy học thân khẳng định đề tài mang lại hiệu công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Học sinh sau hướng dẫn, em vận dụng phương pháp tìm số hạng tổng quát vào toán cụ thể đề thi học sinh giỏi năm gần Giúp trường THPT Nơng Cống trì kết thi học sinh giỏi cấp tỉnh Mong muốn đóng góp chút cơng sức cho giáo dục tỉnh nhà, cổ vũ phong trào ôn thi học sinh giỏi trường THPT tỉnh, chia sẻ cách làm với đồng nghiệp nhà trường Đây dịp để thân tơi nhìn lại làm để đạt thành công năm qua Tôi hi vọng kinh nghiệm giúp ích cho đồng nghiệp công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, để đồng nghiệp 21 tham khảo, góp ý áp dụng nhằm nâng cao hiệu bồi dưỡng học sinh giỏi trường THPT toàn tỉnh 3.2 Kiến nghị - Tiếp tục đổi khâu đề thi theo hướng kiểm tra lực, đáp ứng đổi toàn diện giáo dục, đảm bảo khách quan, phù hợp với đặc điểm môn học - Đề thi HSG nên lựa chọn toán tạo điều kiện để học sinh chứng tỏ sáng tạo q trình làm Thanh Hóa, ngày 16 tháng năm 2020 HIỆU TRƯỞNG Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Mai Giáp Tý TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn tỉnh Thanh Hóa Đề thi học sinh giỏi mơn Tốn trường THPT tỉnh Thanh Hóa 22 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Mai Giáp Tý Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Nông Cống TT Tên đề tài SKKN SKKN “Từ hệ phương trình đề thi ĐH khối A năm 2011 giúp học sinh khai thác xây dựng tốn nhằm phát huy tính tích cự học sinh” SKKN “Từ toán bất đẳng thức đề thi ĐH khối A năm 2011 giúp học sinh khai thác xây dựng toán nhằm phát bồi dưỡng học sinh giỏi” SKKN “Sử dụng máy tính cầm tay ơn luyện thi THPT Quốc gia, mơn Tốn” Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Ngành C 2014 Ngành C 2015 Ngành B 2017 23 ... 23 HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ, NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TỐN TẠI TRƯỜNG THPT NƠNG CỐNG MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Đối với giáo viên việc bồi dưỡng. .. nghiệm viết sáng kiến kinh nghiệm: "Hướng dẫn học sinh tìm số hạng tổng quát dãy số, nhằm nâng cao hiệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Tốn trường THPT Nơng Cống 3" với hi vọng giúp ích cho đồng nghiệp... mang lại hiệu công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Học sinh sau hướng dẫn, em vận dụng phương pháp tìm số hạng tổng quát vào toán cụ thể đề thi học sinh giỏi năm gần Giúp trường THPT Nông Cống trì