Hình Học Tọa Độ Oxyz GTLN, GTNN TRONG HÌNH HỌC TỌA ĐỘ OXYZ A - LÝ THUYẾT CHUNG Để tìm cực trị không gian thường sử dụng hai cách làm: Cách 1: Sử dụng phương pháp hình học Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số Bài tốn 1: Trong khơng gian Oxyz , cho điểm A( xA ; yA ; z A ), B( xB ; yB ; zB ) mặt phẳng ( P ) : ax + by + cz + d = Tìm điểm M ∈ ( P ) cho MA + MB nhỏ MA − MB lớn với d ( A, ( P )) ≠ d ( B, ( P )) Phương pháp: • Xét vị trí tương đối điểm A, B so với mặt phẳng ( P) • Nếu (axA + by A + cz A + d )(axB + byB + czB + d ) > hai điểm A, B phía với mặt phẳng ( P) • Nếu (axA + by A + cz A + d )(axB + byB + czB + d ) < hai điểm A, B nằm khác phía với mặt phẳng ( P) MA + MB nhỏ • Trường hợp 1: Hai điểm A, B khác phía so với mặt phẳng ( P) Vì A, B khác phía so với mặt phẳng ( P ) nên MA + MB nhỏ AB M = ( P ) ∩ AB • Trường hợp 2: Hai điểm A, B phía so với mặt phẳng (P) Gọi A ' đối xứng với A qua mặt phẳng ( P ), A ' B khác phía ( P ) MA = MA′ nên MA + MB = MA′ + MB ≥ A′B Vậy MA + MB nhỏ A′B M = A′B ∩ ( P ) MA − MB lớn • Trường hợp 1: Hai điểm A, B phía so với mặt phẳng ( P ) Vì A, B phía so với mặt phẳng ( P ) nên MA − MB lớn AB M = ( P ) ∩ AB • Trường hợp 2: Hai điểm A, B khác phía so với mặt phẳng ( P ) Gọi A ' đối xứng với A qua mặt phẳng ( P ) , A ' B phía ( P ) MA = MA′ nên MA − MB = MA′ − MB ≤ A′B Vậy MA − MB lớn A′B M = A′B ∩ ( P ) Bài tốn 2: Lập phương trình mặt phẳng ( P ) biết ( P ) qua đường thẳng ∆ khoảng cách từ A∉ ∆ đến ( P ) lớn 178 Hình Học Tọa Độ Oxyz ( P ) qua ∆ tạo với mặt phẳng (Q ) góc nhỏ ( P ) qua ∆ tạo với đường thẳng d góc lớn Phương pháp: Cách 1: Dùng phương pháp đại số Giả sử đường thẳng ∆ : x − x1 y − y1 z − z1 A( x0 ; y0 ; z0 ) = = a b c Khi phương trình ( P ) có dạng: A( x − x1 ) + B( y − y1 ) + C ( z − z1 ) = Trong Aa + Bb + Cc = ⇒ A = − Khi d ( A, ( P)) = bB + cC ( a ≠ ) ( 1) a A( x0 − x1 ) + B( y0 − y1 ) + C ( z0 − z1 ) Thay (1) vào (2) đặt t = A2 + B + C B , ta đươc d ( A, ( P)) = C (2) f (t ) mt + nt + p , khảo sát hàm f (t ) ta tìm max f (t ) Từ suy biểu m 't2 + n 't + p ' diễn A, B qua C cho C giá trị ta tìm A, B Trong f (t ) = làm tương tự Cách 2: Dùng hình học Gọi K , H hình chiếu A lên ∆ ( P ) , ta có: d ( A, ( P )) = AH ≤ AK , mà AK không đổi Do d ( A, ( P )) lớn ⇔ H ≡ K Hay ( P ) mặt phẳng qua K , nhận AK làm VTPT Nếu ∆ ⊥ (Q) ⇒ ( ( P),(Q) ) = 900 nên ta xét ∆ (Q) không vuông góc với • Gọi B điểm thuộc ∆ , dựng đường thẳng qua B vng góc với (Q ) Lấy điểm C cố định đường thẳng Hạ CH ⊥ ( P ), CK ⊥ d Góc mặt phẳng ( P ) mặt phẳng (Q ) BH BK BCH Ta có sin BCH = ≥ BC BC Mà BK không đổi, nên BCH nhỏ H ≡ K BC • Mặt phẳng ( P ) cần tìm mặt phẳng chứa ∆ vng góc với mặt phẳng ( BCK ) Suy nP = u∆ , u∆ , nQ   VTPT ( P )   Gọi M điểm thuộc ∆ , dựng đường thẳng d ' qua M song song với d Lấy điểm A cố định đường thẳng Hạ AH ⊥ ( P ), AK ⊥ d Góc mặt phẳng ( P ) đường thẳng d ' HM KM AMH Ta có cos AMH = ≥ AM AM Mà 179 KM không đổi, nên AMH lớn H ≡ K AM Hình Học Tọa Độ Oxyz • Mặt phẳng ( P ) cần tìm mặt phẳng chứa ∆ vng góc với mặt phẳng ( d ', ∆) Suy nP = u∆ , u∆ , ud '   VTPT ( P )   B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 0; ) ; B ( 0; −1; ) mặt phẳng ( P ) : x + y − z + 12 = Tìm tọa độ điểm M thuộc ( P ) cho MA + MB nhỏ nhất? 18 25 B M  − ; − ;  A M ( 2; 2;9 )  11  11 18  D M  − ; − ;   5 5 7 31 C M  ; ;  6  Câu 2: 11 11  Cho hai điểm A ( −1,3, −2 ) ; B ( −9, 4,9 ) mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = Điểm M thuộc (P) Tính GTNN AM + BM A Câu 3: + 204 B 7274 + 31434 C 2004 + 726 D 26 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x + y + z − = hai điểm A(1; −3;0), B ( 5; −1; −2 ) M điểm mặt phẳng ( P) Giá trị lớn T = MA − MB là: A T = Câu 4: C T = B T = 6 D T = Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình x – y + z + = hai điểm M ( 3;1;0 ) , N ( −9; 4;9 ) Tìm điểm I ( a; b; c ) thuộc mặt phẳng (P) cho IM − IN đạt giá trị lớn Biết a, b, c thỏa mãn điều kiện: A a + b + c = 21 Câu 5: C a + b + c = B a + b + c = 14 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 2; ) , B ( 5; 4; ) mặt phẳng ( P ) : x + y – z + = Tọa độ điểm M nằm (P) saocho A ( −1;3; ) Câu 6: D a + b + c = 19 Trong B ( 2;1; −11) không gian tọa MA2 + MB nhỏ là: C ( −1;1;5) độ ( P ) : x − y + z + = 0, A (8; −7; ) , B ( −1; 2; −2) Oxyz , D (1; −1; ) cho mặt phẳng Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng ( P ) cho MA2 + MB nhỏ A M ( 0; 0; −1) Câu 7: B M ( 0;0;1) D M ( 0;1;0 ) A ( 0, 0, −3) , B ( 2, 0, −1) ( P ) : 3x − y + z − = Tìm M ∈ ( P ) Cho điểm mặt phẳng cho MA2 + MB nhỏ  283 −104 −214  ; ; A M    183 183 183  180 C M (1;0;1)  −283 104 −214  ; ; B M    183 183 183  Hình Học Tọa Độ Oxyz  283 −14 −14  ; ; C M    183 183 183  Câu 8:  283 14 14  ; ; D M    183 183 183  x = + t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : y = −1 + 2t t ∈ R hai điểm z = 3t  ( ( ) ( ) ( ) ) A 2; 0; B 2; −2; −3 Biết điểm M x ; y ; z thuộc ∆ MA4 + MB nhỏ nhất.Tìm x0 A x = Câu 9: B x = C x = D x = Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A (1;2;3) ; B ( 0;1;1) ; C (1;0; − ) Điểm M ∈( P ) : x + y + z + = cho giá trị biểu thức T = MA2 + 2MB2 + 3MC nhỏ Khi đó, điểm M cách ( Q ) :2 x − y − z + = khoảng A 121 54 B 24 C D 101 54 A (1;1;1) B ( 0;1; ) C ( −2;0;1) Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho , , ( P ) : x − y + z + = Tìm điểm N ∈ ( P ) cho S = NA2 + NB + NC đạt giá trị nhỏ  3 A N  − ; ;   4 B N ( 3;5;1) C N ( −2;0;1) 3  D N  ; − ; −2  2  Câu 11: rong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A (1;01;1) , B (1; 2;1) , C ( 4;1; −2 ) mặt phẳng ( P ) : x + y + z = Tìm (P) điểm M cho MA2 + MB + MC đạt giá trị nhỏ Khi M có tọa độ A M (1;1; −1) B M (1;1;1) C M (1;2; −1) Câu 12: (Hình Oxyz) Cho A ( −1;3;5) , B ( 2;6; −1) , C ( −4; −12;5) điểm D M (1;0; −1) ( P) : x + y − 2z − = Gọi M điểm thuộc ( P ) cho biểu thức S = MA − MB + MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ Tìm hồnh độ điểm M A xM = B xM = −1 C xM = D xM = −3 Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 2;1; −1) , B ( 0;3;1) mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = Tìm tọa độ điểm M thuộc ( P ) cho 2MA − MB có giá trị nhỏ A M ( −4; −1;0 ) Câu 14: Trong không B M ( −1; −4;0 ) gian Oxyz , 2 cho mặt C M ( 4;1;0 ) phẳng D M (1; −4;0 ) 2x − y − z + = mặt cầu (S ) : ( x − 3) + ( y + 2) + ( z − 1) = 100 Tọa độ điểm M nằm mặt cầu ( S ) cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) đạt giá trị nhỏ là: 181 Hình Học Tọa Độ Oxyz  11 14 13  A M  − ; ;   3 3  29 26  B M  ; − ; −  3   29 26  C M  − ; ; −  3  3  11 14 13  D M  ; ; −  3 3 Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x + y + z + = mặt cầu (S ) : x + y + z − x − y − z − = Giá trị điểm M ( S ) cho d ( M , ( P ) ) đạt GTNN là: 2 A (1;1;3) 5 7 B  ; ;  3 3 1 1 C  ; − ; −  3 3 D (1; −2;1) ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = mặt phẳng Câu 16: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( P ) : x − y + z + = Gọi M ( a; b; c ) điểm mặt cầu ( S ) cho khoảng cách từ ( P ) lớn Khi M đến A a + b + c = B a + b + c = C a + b + c = D a + b + c = Câu 17: Trong không gian Oxyz cho điểm A ( 2;3; ) , B ( 6; −1; −2 ) , C ( −1; −4;3) , D (1;6; −5 ) Gọi M điểm nằm đường thẳng CD cho tam giác MAB có chu vi bé Khi toạ độ điểm M là: A M ( 0;1; −1) B M ( 2;11; −9 ) C M ( 3;16; −13) D M ( −1; −4;3) Câu 18: Cho hình chóp O ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi vuông góc với Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng đến mặt phẳng ( OBC ) , ( OCA) , ( OAB ) 1,2,3 Khi tồn a, b, c thỏa thể tích khối chóp O ABC nhỏ nhất, giá trị nhỏ thể tích khối chóp O ABC A 18 B 27 C D Không tồn a, b, c thỏa yêu cầu toán Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;1) Mặt phẳng ( P ) thay đổi qua M cắt tia Ox, Oy , Oz A, B, C khác O Tính giá trị nhỏ thể tích khối tứ diện OABC A 54 B C D 18 Câu 20: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) với a, b, c > Giả sử a, b, c thay đổi thỏa mãn a + b2 + c = k khơng đổi Diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn A k2 B k2 C k D k Câu 21: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(9;1;1) , cắt tia Ox, Oy , Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ 182 Hình Học Tọa Độ Oxyz A x y z + + =1 3 B x y z + + =1 27 3 C x y z + + =1 −27 3 D x y z + + = −1 27 3 Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B ′C ′D ′ có điểm A trùng với gốc tọa độ, B ( a; 0; 0), D (0; a; 0), A′(0; 0; b) với (a > 0, b > 0) Gọi M trung điểm cạnh CC ′ Giả sử a + b = , tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện A′BDM ? A max VA′MBD = 64 27 C max VA′MBD = − 64 27 B max VA′MBD = D max VA′MBD = 27 64 Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1;5; ) , B ( 3;3;6 ) đường thẳng ∆  x = −1 + 2t  có phương trình tham số  y = − t Một điểm M thay đổi đường thẳng ∆ cho  z = 2t  chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ Tọa đô điểm M chu vi tam giác ABC 183 A M (1; 0; ) ; P = 2( 11 + 29) B M (1; 2; ) ; P = 2( 11 + 29) C M (1; 0; ) ; P = 11 + 29 D M (1; 2; ) ; P = 11 + 29 Hình Học Tọa Độ Oxyz C - HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1; 0; ) ; B ( 0; −1; ) mặt phẳng ( P ) : x + y − z + 12 = Tìm tọa độ điểm M thuộc ( P ) cho MA + MB nhỏ nhất? 18 25 B M  − ; − ;   11 11 11  A M ( 2; 2;9 )  11 18  D M  − ; − ;   5 5 7 31    C M  ; ; 6 Hướng dẫn giải: Chọn D Thay tọa độ A (1; 0; ) ; B ( 0; −1; ) vào phương trình mặt phẳng ( P ) , ta P ( A ) P ( B ) > ⇒ hai điểm A, B phía với mặt phẳng ( P ) B Gọi A′ điểm đối xứng A qua ( P ) Ta có A MA + MB = MA′ + MB ≥ A′B Nên ( MA + MB ) = A′B M giao điểm A′B với ( P ) M H P x = 1+ t  Phương trình AA′ :  y = 2t ( AA′ qua A (1;0; )   z = − 2t A' có véctơ phương n( P ) = (1; 2; −1) ) Gọi H giao điểm AA′ ( P ) , suy tọa độ H H ( 0; −2; ) , suy x = t  A′ ( −1; −4;6 ) , nên phương trình A′B :  y = −1 + 3t  z = − 4t  11 18 Vì M giao điểm A′B với ( P ) nên ta tính tọa độ M  − ; − ;  5   Câu 2: Cho hai điểm A ( −1,3, −2 ) ; B ( −9, 4,9 ) mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = Điểm M thuộc (P) Tính GTNN AM + BM A + 204 B 7274 + 31434 C 2004 + 726 D 26 Hướng dẫn giải: Ta có: ( ( −1) − + ( −2 ) + 1) ( ( −9 ) − + + 1) = 72 > => A, B nằm phía so với mặt phẳng (P) 184 Hình Học Tọa Độ Oxyz Gọi A’ điểm đối xứng A qua (P) Mặt phẳng (P) có vtpt n ( 2, −1,1)  x = −1 + 2t  Đường thẳng AA’ qua A ( −1,3, −2 ) có vtcp n ( 2, −1,1) có pt:  y = − t  z = −2 + t  Gọi H giao AA’ ( P ) ta có: ( −1 + 2t ) − ( − t ) + ( −2 + t ) + = => t = => H (1, 2, −1) Ta có H trung điểm AA’ => A’ ( 3,1,0 )  x = − 4t  Đường A’B qua A’(3, 1, 0) có vtcp A ' B ( −12,3, ) có pt:  y = + t  z = 3t  Gọi N giao điểm A’B mặt phẳng ( P ) ta có: ( − 4t ) – (1 + t ) + 3t + = => t = => N ( −1, 2,3) Để MA + MB nhỏ M ≡ N MA + MB = A’B = ( −12 ) + 32 + = 234 = 26 Chọn D Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x + y + z − = hai điểm A(1; −3;0), B ( 5; −1; −2 ) M điểm mặt phẳng ( P) Giá trị lớn T = MA − MB là: A T = B T = C T = D T = Hướng dẫn giải: Ta có: A, B nằm khác phía so với (P) Gọi B’ điểm đối xứng với B qua (P) Suy B '(−1; −3;4) T = MA − MB = MA − MB ' ≤ AB ' = Đẳng thức xảy M , A, B’ thẳng hàng Chọn A Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình x – y + z + = hai điểm M ( 3;1;0 ) , N ( −9; 4;9 ) Tìm điểm I ( a; b; c ) thuộc mặt phẳng (P) cho IM − IN đạt giá trị lớn Biết a, b, c thỏa mãn điều kiện: A a + b + c = 21 B a + b + c = 14 C a + b + c = Hướng dẫn giải: Nhận thấy điểm M, N nằm hai phía mặt phẳng (P) 185 D a + b + c = 19 Hình Học Tọa Độ Oxyz Gọi R điểm đối xứng M qua mặt phẳng (P), đường thẳng MR qua điểm M(3; x − y −1 z = = Gọi 1; 0) vng góc với mặt phẳng (P) có phương trình: −1 H = MR ∩ (P) ⇒ H (1; 2; −1) ⇒ R (−1;3; −2) Ta có IM − IN = IR − IN ≤ RN Đẳng thức xảy I, N, R thẳng hàng Do tọa độ  x = −1 − 8t  điểm I giao điểm đường thẳng NR:  y = + t (t tham số ) mặt phẳng (P)  z = −2 + 11t  Dễ dàng tìm I(7; 2; 13) Chọn A Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 2; ) , B ( 5; 4; ) mặt phẳng ( P ) : x + y – z + = Tọa độ điểm M nằm (P) saocho A ( −1;3; ) MA2 + MB nhỏ là: C ( −1;1;5) B ( 2;1; −11) D (1; −1; ) Hướng dẫn giải: + Kiểm tra phương án A khơng thuộc (P) + Tính trực tiếp MA2 + MB2 phương án B,C,D so sánh Chọn C Câu 6: Trong không gian tọa độ ( P ) : x − y + z + = 0, A (8; −7; ) , B ( −1; 2; −2) Oxyz , cho mặt phẳng Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng ( P ) cho MA + MB nhỏ A M ( 0; 0; −1) B M ( 0;0;1) C M (1;0;1) D M ( 0;1;0 ) Hướng dẫn giải: Gọi I điểm thỏa mãn IA + IB = ⇒ I ( 2; −1;0 ) Có MA2 + 2MB = MI + IA + MI + IB ( ) ) Vì IA, IB khơng đổi nên ( MA2 + 2MB ) ⇔ MI ⇒ M hình chiếu vng góc I ( = 3MI + IA2 + IB lên mặt phẳng ( P ) Đường thẳng d qua I vng góc với ( P )  x = + 2t  ⇒ d :  y = −1 − t ; d ∩ ( P ) = M ( 0; 0; −1) z = t  Chọn A Câu 7: 186 A ( 0, 0, −3) , B ( 2, 0, −1) ( P ) : 3x − y + z − = Tìm M ∈ ( P ) Cho điểm mặt phẳng cho MA2 + 2MB nhỏ Hình Học Tọa Độ Oxyz  283 −104 −214  ; ; A M    183 183 183   −283 104 −214  ; ; B M    183 183 183   283 −14 −14  ; ; C M    183 183 183   283 14 14  ; ; D M    183 183 183  Hướng dẫn giải:  5 Gọi I cho IA + IB = ⇒ I  ;0;   3 ( ) = ( MI + IB ) MA2 = MA = MI + IA = MI + IA2 + 2MI IA MB = MB 2 = MI + IB + 2MI IB ( ) MA2 + 2MB = 3MI + IA2 + IB + 2MI IA + IB = 3MI + IA2 + IB ( Suy MA2 + 2MB ) MI bé hay M hình chiếu I ( P )  283 −104 −214  ; ; Tìm tọa độ M    183 183 183  Chọn A Câu 8: x = + t  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : y = −1 + 2t t ∈ R hai điểm z = 3t  ( ( ) ( ) ( ) ) A 2; 0; B 2; −2; −3 Biết điểm M x ; y ; z thuộc ∆ MA4 + MB nhỏ nhất.Tìm x0 A x = B x = C x = D x = Hướng dẫn giải: x =  Phương trình đường thẳng AB là: y = t1 t1 ∈ R Dễ thấy đường thẳng ∆ AB cắt z = + 3t  ( ( ) ) điểm I 2; −1; suy AB ∆ đồng phẳng Lại có IA ( 0;1; ) , IB ( 0; −1; −3 ) => IA = −IB ⇒ IA + IB = AB 2 Ta có: MA4 + MB ≥ ( MA2 + MB ) ≥  (MA + MB )  ≥ AB = ( IA + IB ) 22  ( Do MA4 + MB nhỏ M trùng với điểm I 2; −1; ) Chọn C Câu 9: 187 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A (1;2;3) ; B ( 0;1;1) ; C (1;0; − ) Hình Học Tọa Độ Oxyz Điểm M ∈( P ) : x + y + z + = cho giá trị biểu thức T = MA2 + 2MB2 + 3MC nhỏ Khi đó, điểm M cách ( Q ) :2 x − y − z + = khoảng A 121 54 B 24 C D 101 54 Hướng dẫn giải: 2 Gọi M ( x; y; z ) Ta có T = x + y + z − 8x − y + z + 31 2  2  2    145 ⇒ T =  x −  +  y −   z +   + 3  3     ⇒ T = MI + 145 2 1 với I  ; ; −  3 2 ⇒ T nhỏ MI nhỏ ⇒ M hình chiếu vng góc I ( P ) 13  ⇒ M  − ;− ;−  18 18    A (1;1;1) B ( 0;1; ) C ( −2;0;1) Câu 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho , , ( P ) : x − y + z + = Tìm điểm N ∈ ( P ) cho S = NA2 + NB + NC đạt giá trị nhỏ  3 A N  − ; ;   4 B N ( 3;5;1) C N ( −2;0;1) 3  D N  ; − ; −2  2  Hướng dẫn giải: Chọn A  3  5 Gọi I trung điểm BC J trung điểm AI Do I  −1; ;  J  0; ;  2   4 Khi S = NA2 + NI + 1 BC = NJ + IJ + BC 2 Do S nhỏ NJ nhỏ Suy J hình chiếu N ( P )  x = t   Phương trình đường thẳng NJ :  y = − t    z = + t 188 Hình Học Tọa Độ Oxyz x − y + z +1 =  x = t x = −     ⇒ y = Tọa độ điểm J nghiệm hệ:  y = − t 4     z = + t z =   Câu 11: rong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A (1;01;1) , B (1; 2;1) , C ( 4;1; −2 ) mặt phẳng ( P ) : x + y + z = Tìm (P) điểm M cho MA2 + MB + MC đạt giá trị nhỏ Khi M có tọa độ A M (1;1; −1) B M (1;1;1) C M (1;2; −1) D M (1;0; −1) Hướng dẫn giải: Gọi G trọng tâm tam giác ABC, ta có G ( 2;1;0 ) , ta có MA2 + MB + MC = 3MG + GA2 + GB + GC (1) Từ hệ thức (1) ta suy ra: MA2 + MB + MC đạt GTNN ⇔ MG đạt GTNN ⇔ M hình chiếu vng góc G (P) Gọi (d) đường thẳng qua G vng góc với (P) x = + t  (d) có phương trình tham số  y = + t z = t  x = + t t = −1  y = 1+ t x =   Tọa độ M nghiệm hệ phương trình  ⇔ ⇒ M (1; 0; −1) z t =  y =  x + y + z =  z = −1 Chọn D Câu 12: (Hình Oxyz) Cho A ( −1;3;5) , B ( 2;6; −1) , C ( −4; −12;5) điểm ( P) : x + y − 2z − = Gọi M điểm thuộc ( P ) cho biểu thức S = MA − MB + MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ Tìm hồnh độ điểm M A xM = B xM = −1 C xM = D xM = −3 Hướng dẫn giải: Gọi I điểm IA − IB = ⇒ I ( 3;7; −3) Gọi G trọng tâm ta m giác ABC ⇒ G ( −1; −1;3) Nhận thấy, M,I nằm khác phía so với mp(P) Có S = ( MI + MG ) ≥ 3GI Dấu xảy M giao điểm GI (P) ⇒ M (1;3;1) Chọn C 189 Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 2;1; −1) , B ( 0;3;1) mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = Tìm tọa độ điểm M thuộc ( P ) cho 2MA − MB có giá trị nhỏ A M ( −4; −1;0 ) B M ( −1; −4;0 ) C M ( 4;1;0 ) D M (1; −4;0 ) Hướng dẫn giải: Gọi I ( a; b; c ) điểm thỏa mãn IA − IB = , suy I ( 4; −1; −3) Ta có MA − MB = MI + IA − MI − IB = MI Suy 2MA − MB = MI = MI Do 2MA − MB nhỏ MI nhỏ hay M hình chiếu I mặt phẳng ( P ) Đường thẳng qua I vng góc với ( P ) có d : x − y +1 z + = = 1 −1 Tọa độ hình chiếu M I ( P ) thỏa mãn  x − y +1 z + = =  −1 ⇒ M (1; −4;0 )   x + y − z + = Chọn D Câu 14: Trong không gian Oxyz , 2 cho mặt phẳng 2x − y − z + = mặt cầu (S ) : ( x − 3) + ( y + 2) + ( z − 1) = 100 Tọa độ điểm M nằm mặt cầu ( S ) cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) đạt giá trị nhỏ là:  11 14 13  A M  − ; ;   3 3  29 26  B M  ; − ; −  3   29 26  C M  − ; ; −  3  3  11 14 13  D M  ; ; −  3 3 Hướng dẫn giải: Mặt cầu ( S ) có tâm I (3; −2;1) Khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( P ) : d ( I ; ( P )) = < R nên ( P ) cắt ( S ) Khoảng cách từ M thuộc ( S ) đến ( P ) lớn ⇒ M ∈ ( d ) qua I vng góc với ( P)  x = + 2t  Phương trình (d ) :  y = −2 − 2t z = 1− t  Ta có: M ∈ ( d ) ⇒ M (3 + 2t ; −2 − 2t ;1 − t ) 190 Hình Học Tọa Độ Oxyz  10  29 26  t = ⇒ M  ; − ; −    Mà: M ∈ ( S ) ⇒   10  11 14 13  t = − ⇒ M  − ; ;   3 3   11 14 13  Thử lại ta thấy: d (M1 ,( P)) > d ( M ,( P)) nên M  − ; ;  thỏa yêu cầu toán  3 3 Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x + y + z + = mặt cầu (S ) : x2 + y + z − x − y − z − = Giá trị điểm M ( S ) cho d ( M , ( P ) ) đạt GTNN là: 5 7 B  ; ;  3 3 A (1;1;3) 1 1 C  ; − ; −  3 3 D (1; −2;1) Hướng dẫn giải:: Ta có: d ( M , ( P )) = > R = ⇒ ( P ) ∩ ( S ) = ∅  x = 1+ t  Đường thẳng d qua I vng góc với (P) có pt:  y = + 2t , t ∈ ℝ  z = + 2t  5 7 1 1 Tọa độ giao điểm d (S) là: A  ; ;  , B  ; − ; −  3 3 3 3 Ta có: d ( A, ( P )) = ≥ d ( B, ( P )) = ⇒ d ( A, ( P )) ≥ d ( M , ( P )) ≥ d ( B, ( P )) Vậy: ⇒ d (M ,( P))min = ⇔ M ≡ B ( S ) : ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 3) = mặt phẳng Câu 16: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( P ) : x − y + z + = Gọi M ( a; b; c ) điểm mặt cầu ( S ) cho khoảng cách từ ( P ) lớn Khi M đến A a + b + c = B a + b + c = C a + b + c = D a + b + c = Hướng dẫn giải: Chọn C Mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = có tâm I (1; 2;3) bán kính R = 2 Gọi d đường thẳng qua I (1; 2;3) vng góc ( P )  x = + 2t  Suy phương trình tham số đường thẳng d  y = − 2t z = + t  191 Hình Học Tọa Độ Oxyz Gọi A, B giao d ( S ) , tọa độ A, B ứng với t nghiệm t = 2 phương trình (1 + 2t − 1) + ( − 2t − ) + ( + t − 3) = ⇔  t = −1 Với t = ⇒ A ( 3;0; ) ⇒ d ( A;( P) ) = 13 Với t = −1 ⇒ B ( −1;4; ) ⇒ d ( B;( P) ) = Với điểm M ( a; b; c ) ( S ) ta ln có d ( B;( P) ) ≤ d ( M ;( P) ) ≤ d ( A;( P) ) Vậy khoảng cách từ M đến ( P ) lớn 13 M ( 3;0; ) Do a + b + c = Câu 17: Trong không gian Oxyz cho điểm A ( 2;3; ) , B ( 6; −1; −2 ) , C ( −1; −4;3) , D (1;6; −5 ) Gọi M điểm nằm đường thẳng CD cho tam giác MAB có chu vi bé Khi toạ độ điểm M là: A M ( 0;1; −1) B M ( 2;11; −9 ) C M ( 3;16; −13) D M ( −1; −4;3) Hướng dẫn giải: Tam giác MAB có độ dài cạnh AB = khơng đổi, chu vi bé MA + MB bé AB = ( 4; −4; −4 ) ; CD = ( 2;10; −8) Vì AB.CD = nên AB ⊥ CD , suy điểm M cần tìm hình chiếu vng góc A, hình chiếu vng góc B lên đường thẳng CD Từ tìm điểm M ( 0;1; −1) Chọn A Câu 18: Cho hình chóp O ABC có OA = a, OB = b, OC = c đơi vng góc với Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng đến mặt phẳng ( OBC ) , ( OCA) , ( OAB ) 1,2,3 Khi tồn a, b, c thỏa thể tích khối chóp O ABC nhỏ nhất, giá trị nhỏ thể tích khối chóp O ABC A 18 B 27 C D Không tồn a, b, c thỏa yêu cầu toán Hướng dẫn giải: Chọn hệ trục tọa độ thỏa O ( 0,0, ) , A ( a, 0, ) , B ( 0, b, ) , C ( 0, 0, c ) Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng đến mặt phẳng ( OBC ) , ( OCA) , ( OAB ) 1,2,3 nên tọa độ điểm M (1,2,3) 192 Phương trình mặt phẳng (ABC) x y z + + =1 a b c Vì M thuộc mặt phẳng (ABC) nên + + =1 a b c Hình Học Tọa Độ Oxyz VOABC= abc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có = 1 1 + + ≥ 3 ⇔ abc ≥ 27 a b c a b c Chọn B Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;1) Mặt phẳng ( P ) thay đổi qua M cắt tia Ox, Oy , Oz A, B, C khác O Tính giá trị nhỏ thể tích khối tứ diện OABC A 54 B C D 18 Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0, 0, c ) với a, b, c > Phương trình mặt phẳng ( P ) : Vì: M ∈ ( P ) ⇔ x y z + + =1 a b c + + = a b c Thể tích khối tứ diện OABC là: VOABC = Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Hay ≥ 3 abc 12 + + ≥ 33 a b c ab c 54 ⇔1≥ Suy ra: abc ≥ 54 ⇔ abc ≥ abc abc Vậy: VOABC ≥ Câu 20: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) với a, b, c > Giả sử a, b, c thay đổi thỏa mãn a + b2 + c = k khơng đổi Diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn A k2 B k2 C k Hướng dẫn giải: Phương trình (ABC): x y z + + =1 a b c Gọi H ( x; y; z ) hình chiếu vng góc O lên ( ABC ) 193 D k Hình Học Tọa Độ Oxyz  ab c x = 2 ( ab ) + ( bc ) + ( ca )   H ∈ ( ABC ) a 2bc  bcx + cay + abz = abc  ⇔ y = Khi OH ⊥ AB ⇔ −ax + by = 2 ( ab ) + ( bc ) + ( ca ) −ax + cz = OH ⊥ AC  2  abc z = 2 ( ab ) + ( bc ) + ( ca )  ⇒ OH = abc ( ab ) + ( bc ) + ( ca ) 2 1 Ta có VOABC = OA.OB.OC = abc 6 ⇒ S ∆ABC = 3VABCD = OH ( ab ) + ( bc ) + ( ca ) 2 Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có a 2b + b c + c a ≤ a4 + b4 b4 + c4 c4 + a + + = a4 + b4 + c4 2 Dấu “=” xảy a = b = c Vậy max S = k4 k2 = Chọn B Câu 21: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(9;1;1) , cắt tia Ox, Oy , Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ A x y z + + =1 3 B x y z + + =1 27 3 C x y z + + =1 −27 3 D x y z + + = −1 27 3 Hướng dẫn giải: Giá sử A(a; 0;0) ∈ Ox, B(0; b;0) ∈ Oy, C (0;0; c) ∈ Oz (a, b, c > 0) Khi PT mặt phẳng (P) có dạng: Ta có: M (9;1;1) ∈ (P) ⇒ x y z + + =1 a b c 1 + + = (1); VOABC = abc (2) a b c (1) ⇔ abc = bc + ac + ab ≥ 9(abc) ⇔ (abc)3 ≥ 27.9(abc)2 ⇔ abc ≥ 243  a = 27 9bc = ac = ab  x y z  + + =1 ⇔  b = ⇒ (P): Dấu "=" xảy ⇔  1 27 3 c =  a + b + c = Chọn B 194 Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B ′C ′D ′ có điểm A trùng với gốc tọa độ, B ( a;0;0), D (0; a;0), A′(0;0; b) với (a > 0, b > 0) Gọi M trung điểm cạnh CC ′ Giả sử a + b = , tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện A′BDM ? A max VA′MBD = 64 27 C max VA′MBD = − B max VA′MBD = 64 27 D max VA′MBD = 27 64 Hướng dẫn giải: b  Ta có: C (a; a;0), B′(a;0; b), D′(0; a; b), C ′(a; a; b) ⇒ M  a; a;  2  b  Suy ra: A′B = (a;0; −b), A′D = (0; a; −b), AM =  a; a; −  2  ⇒  A′B, A′D  = (ab; ab; a ) ⇒  A′B, A′D  A′M = 3a 2b a 2b ⇒ VA′MBD = Do a, b > nên áp dụng BĐT Côsi ta được: = a + b = Suy ra: max VA′MBD = 1 64 a + a + b ≥ 3 a 2b ⇒ a 2b ≤ 2 27 64 27 Chọn A Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1;5;0 ) , B ( 3;3;6 ) đường thẳng ∆  x = −1 + 2t  có phương trình tham số  y = − t Một điểm M thay đổi đường thẳng ∆ cho  z = 2t  chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ Tọa đô điểm M chu vi tam giác ABC A M (1;0; ) ; P = 2( 11 + 29) B M (1; 2; ) ; P = 2( 11 + 29) C M (1; 0; ) ; P = 11 + 29 D M (1; 2; ) ; P = 11 + 29 Hướng dẫn giải: Gọi P chu vi tam giác MAB P = AB + AM + BM Vì AB không đổi nên P nhỏ AM + BM nhỏ Điểm M ∈ ∆ nên M ( −1 + 2t;1 − t; 2t ) AM + BM = (3t )2 + (2 5) + (3t − 6)2 + (2 5) ( ) ( ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ u = 3t ; v = −3t + 6; Ta có u = (3t )2 + (2 5) ; v = (3t − 6) + (2 5)2 ⇒ AM + BM =| u | + | v | u + v = (6; 5) ⇒| u + v |= 29 Mặt khác, ta ln có | u | + | v |≥| u + v | Như AM + BM ≥ 29 195 Hình Học Tọa Độ Oxyz Đẳng thức xảy u, v hướng ⇔ 3t = ⇔ t =1 −3t + ⇒ M (1;0; 2) min( AM + BM ) = 29 Vậy M(1;0;2) minP = 2( 11 + 29) Chọn A 196 ... (2 5) + (3t − 6)2 + (2 5) ( ) ( ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ u = 3t ; v = −3t + 6; Ta có u = (3t )2 + (2 5) ; v = (3t − 6) + (2 5) 2 ⇒ AM + BM =| u | + | v | u + v = (6; 5) ... toán  3 3 Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x + y + z + = mặt cầu (S ) : x2 + y + z − x − y − z − = Giá trị điểm M ( S ) cho d ( M , ( P ) ) đạt GTNN là: ? ?5 7 B  ; ;  ... Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 2; ) , B ( 5; 4; ) mặt phẳng ( P ) : x + y – z + = Tọa độ điểm M nằm (P) saocho A ( −1;3; ) MA2 + MB nhỏ là: C ( −1;1 ;5) B