Hình Học Tọa Độ Oxyz PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG NÂNG CAO A - LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa Phương trình tham số đường thẳng ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vec tơ phương  x = x0 + a1t  a = ( a1 ; a2 ; a3 ) , a ≠ :  y = y0 + a2t z = z + a t  Nếu a1 ; a2 ; a3 khác không Phương trình đường thẳng ∆ viết dạng tắc sau: x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3  A1 x + B1 y + C1 z + D1 = Ngoài đường thẳng cịn có dạng tổng qt là:   A2 x + B2 y + C2 z + D2 = với ∀A1 , B1 , C1 , A2 , B2 , C2 thỏa A12 + B12 + C12 > 0, A2 + B2 + C2 > Vị trí tương đối hai đường thẳng Chương trình Chương trình nâng cao )Vị trí tương đối hai đường thẳng ) Vị trí tương đối hai đường thẳng Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng  x = x0 + a1t  d :  y = y0 + a2t z = z + a t   x = x0 + a1t  d :  y = y0 + a2t z = z + a t   x = x0 '+ a1 ' t '  ; d ' :  y = y0 '+ a2 ' t '  z = z '+ a ' t '  Vtcp u qua M d ' có vtcp u ' qua M ' ( d ) / / ( d ') ⇔   u = ku ' u = ku ' d / /d ' ⇔  ;d ≡ d ' ⇔   M ∉ d '  M ∈ d ' u , u ' không phương: (I )  d chéo d’ ⇔ hệ phương trình (1) vơ nghiệm  d cắt d’ ⇔ hệ phương trình (1) có nghiệm 76 Vtcp u qua M d ' có vtcp u ' qua M '  u , u ' =  u , u ' phương:  x0 + a1t = x0 '+ a1 ' t '   y0 + a2t = y0 '+ a2 ' t '  z + a t = y '+ a ' t '   x = x0 '+ a1 ' t '  ; d ' :  y = y0 '+ a2 ' t '  z = z '+ a ' t '   M ∉ d '  u, u ' =  ( d ) ≡ ( d ') ⇔    M ∈ d ' (d )  u , u ' ≠   cat ( d ' ) ⇔   u , u ' MM = (d ) cheo ( d ') ⇔ u , u ' MM ≠ Hình Học Tọa Độ Oxyz Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Phương pháp Phương pháp Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d Trong không gian Oxyz cho: qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vtcp: a = ( a1 ; a2 ; a3 )  x = x0 + a1t (α ) :Ax+By+Cz+D=0 d :  y = y0 + a2t z = z + a t  (α ) :Ax+By+Cz+D=0 Pt: A ( x0 + a1t ) + B ( y0 + a2t ) + C ( z0 + a3t ) + D = (1) (1) Phương trình vơ nghiệm ( d ) cắt (α ) ⇔ a.n ≠ a.n = ( d ) / / (α ) ⇔   M ∉ (α ) d / / (α ) Phương trình (1) có nghiệm d cắt Phương trình (1) có vơ số nghiệm (d ) (α ) có vtpt n = ( A; B; C ) nằm mp (α ) d ∈ (α ) a.n = ⇔  M ∈ (α ) Đặc biệt: d ⊥ (α ) ⇔ a, n phương Khoảng cách Khoảng cách từ M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng d ( M ,α ) = (α ) :Ax+By+Cz+D=0 cho công thức Ax + By0 + Cz0 + D A2 + B + C Khoảng cách từ M đến đường thẳng ( d ) Khoảng cách từ M đến đường thẳng ( d ) Phương pháp 1: Phương pháp 2: Lập ptmp (α ) qua M vuông góc với d ( d qua M có vtcp u ) Tìm tọa độ giao điểm H mp (α ) d d (M , ∆) = d ( M , d ) = MH M 0M , u    u Khoảng cách hai đường thẳng chéo Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp 1: Phương pháp 2: d qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) ; có vtpt a = ( a1 ; a2 ; a3 ) d qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) ; có vtpt a = ( a1 ; a2 ; a3 ) d' qua M ' ( x0 '; y0 '; z0 ') ; vtpt d ' qua M ' ( x0 '; y0 '; z0 ' ) ; vtpt a ' = ( a1 '; a2 '; a3 ') a ' = ( a1 '; a2 '; a3 ') Lập phương trình mp (α ) chứa d song song với d’: d ( d , d ') = d ( M ', (α ) ) Góc hai đường thẳng 77 d ( ∆, ∆ ' ) =  a, a ' MM ' V   = hop S day  a, a '   Hình Học Tọa Độ Oxyz  Góc hai đường thẳng ( ∆ ) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP a = ( a1 ; a2 ; a3 ) ( ∆ ') qua M ' ( x0 '; y0 '; z0 ') có VTCP a ' = ( a1 '; a2 '; a3 ') ( ) cos ϕ = cos a, a ' = a.a ' a a' = a1.a '1 + a2 a '2 + a3 a '3 a1 + a2 + a32 a '12 + a '2 + a '32 Góc đường thẳng mặt phẳng Góc đường thẳng mặt phẳng ( ∆ ) qua M có VTCP a , mặt phẳng (α ) có VTPT n = ( A; B; C ) ( ) Gọi ϕ góc hợp ( ∆ ) mặt phẳng (α ) : sin ϕ = cos a, n = Aa1 + Ba2 + Ca3 A + B + C a12 + a2 + a32 B - CÁC DẠNG TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định điểm thuộc d VTCP Dạng Viết phương trình đường thẳng ( d ) qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vtcp a = ( a1 ; a2 ; a3 ) :  x = xo + a1t  (d ) :  y = yo + a2t z = z + a t o  Dạng Đường thẳng d qua A (hoặc B ) có vtcp ad = AB • Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d Đường thẳng d qua A có vtcp ud = u∆ • Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d Đường thẳng d qua A có vtcp ud = nα • Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d Đường thẳng d qua A có vtcp u = ud1 , ud2    • Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d • y − y0 Đường thẳng ( d ) qua A vng góc đường thẳng d1 d2 : • Dạng a1 = Đường thẳng d qua A vng góc mp (α ) • Dạng x − x0 Đường thẳng d qua A song song ∆ • Dạng (d ) : Đường thẳng d qua A B : • Dạng 78 ( t ∈ R) Đường thẳng ( d ) giao tuyến hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) : Cách 1: Tìm điểm vtcp a2 = z − z0 a3 Hình Học Tọa Độ Oxyz ( P ) – Tìm toạ độ điểm A ∈ d : Bằng cách giải hệ phương trình  (Q ) (với việc chọn giá trị cho ẩn ta giải hệ tìm giá trị hai ẩn cịn lại) – Tìm vtcp d : ud =  nP , nQ    • Cách 2: Tìm hai điểm A , B thuộc d , viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Dạng Đường thẳng ( d ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) vng góc với hai đường thẳng d1 , d2 : • Vì d ⊥ d1 , d ⊥ d2 nên vtcp d là: ud = ud1 , ud2    • Sử dụng dạng để viết phương trình đường thẳng d Dạng • Đường thẳng ( d ) qua điểm M ( x0 ; y ; z0 ) , vng góc cắt đường thẳng ∆ Cách 1: Gọi H hình chiếu vng góc M đường thẳng ∆ H ∈ ∆ Ta có  ⇒H  M0 H ⊥ u△ Khi đường thẳng d đường thẳng qua M , H (trở dạng 2) • Cách 2: Gọi ( P ) mặt phẳng qua M vng góc với ∆ ; ( Q ) mặt phẳng qua M chứa ∆ Khi d = ( P ) ∩ ( Q ) (trở dạng 6) • Cách 3: Gọi ( P ) mặt phẳng qua M vng góc với ∆ - Tìm điểm B = ( P ) ∩ ∆ - Viết phương trình đường thẳng ∆ qua hai điểm M , B (quay dạng 2) Dạng Đường thẳng ( d ) nằm mặt phẳng ( P) , vng góc cắt đường thẳng ∆ • Tìm giao điểm M ∆ ( P) ⇒ M ∈ d • u ⊥ u ∆ ⇒ ud = u∆ , nP  Vì  d   ud ⊥ nP Dạng 10 Đường thẳng ( d ) qua A cắt d1 , d2 : • d = (α ) ∩ ( β ) với mp (α ) chứa A d1 ; mp ( β ) chứa A d2 (trở dạng 6) Dạng 11 Đường thẳng ( d ) nằm mặt phẳng ( P) cắt hai đường thẳng d1 , d2 : • Tìm giao điểm A = d1 ∩ ( P ) , B = d2 ∩ ( P ) Khi d đường thẳng AB (về dạng 2) Dạng 12 Đường thẳng ( d ) / / ∆ cắt d1 , d2 : 79 Hình Học Tọa Độ Oxyz • Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa d d1 , mặt phẳng ( Q ) chứa d d2 Khi d = ( P ) ∩ (Q ) (trở dạng 6) Dạng 13 Đường thẳng ( d ) qua A ⊥ d1 , cắt d2 : • Cách 1: - Viết phương trình mp (α ) qua A vng góc với d1 - Tìm B = d2 ∩ (α ) - Khi ( d ) đường thẳng AB (về dạng 2) • Cách 2: - Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A vng góc với d1 - Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) chứa A d2 - Khi d = ( P ) ∩ ( Q ) (trở dạng 6) • Cách 3: - Viết phương trình tham số t đường thẳng d2 (nếu chưa có) - Tìm điểm B = d ∩ d2 ( B có tọa độ theo tham số t ) thỏa mãn AB.ud1 = Giải phương trình tìm t ⇒ B - Viết phương trình đường thẳng ∆ qua hai điểm A , B Dạng 14 Đường thẳng ( d ) ⊥ ( P ) cắt d1 , d2 : • Tìm mp (α ) chứa d1 , ⊥ ( P ) ; mp( β ) chứa d2 , ⊥ ( P ) • d = (α ) ∩ ( β ) (trở dạng 6) Dạng 15 Đường thẳng d’ hình chiếu d lên (α ) : • Cách 1: - Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa d vng góc với (α ) - Đường thẳng d ' giao tuyến (α ) ( β ) (trở dạng 6) • Cách 2: - Xác định A giao điểm d (α ) - Lấy điểm M ≠ A d Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M vng góc với (α ) - Tìm tọa độ điểm H giao điểm ∆ với (α ) - Đường thẳng d ' đường thẳng AH (trở dạng 2) Đặc biệt: Nếu d song song (α ) d ' đường thẳng qua H song song với d 80 Hình Học Tọa Độ Oxyz Dạng 16 Phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo ( d1 ) ( d2 ) : • Cách 1: - Chuyển phương trình đường thẳng ( d1 ) , ( d2 ) dạng tham số xác định u1 , u2 vtcp ( d1 ) , ( d2 ) - Lấy A , B thuộc ( d1 ) , ( d2 ) (tọa độ A , B phụ thuộc vào tham số)  AB ⊥ u = ⇔ - Giả sử AB đường vuông góc chung Khi đó:   AB ⊥ u2 =  AB.u =   AB.u2 = (* ) Giải hệ phương trình ( * ) tìm giá trị tham số Từ tìm A , B - Viết phương trình đường vng góc chung AB • Cách 2: - Vì d ⊥ d1 d ⊥ d2 nên vtcp d là: ad =  ad1 , ad2    - Lập phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng cắt d d1 , cách: + Lấy điểm A d1 + Một vtpt ( P ) là: nP =  a , ad1    - Tương tự lập phương trình mặt phẳng ( Q ) chứa đường thẳng cắt d d2 Khi d = ( P ) ∩ ( Q ) (trở dạng 6) • Cách 3: - Vì d ⊥ d1 d ⊥ d2 nên vtcp d là: ad =  ad , ad   2 - Lập phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng cắt d d1 , cách: + Lấy điểm A d1 + Một vtpt ( P ) là: nP =  a , ad1    - Tìm M = d2 ∩ ( P ) Khi viết phương trình d qua M có vtcp ad CÁC DẠNG TỐN KHÁC Dạng • Tìm H hình chiếu M đường thẳng ( d ) Cách 1: - Viết phương trình mp (α ) qua M vng góc với ( d ) : ta có nα = ad - Khi đó: H = d ∩ (α ) ⇔ tọa độ H nghiệm hpt: ( d ) (α ) 81 Hình Học Tọa Độ Oxyz • Cách 2: H ∈ d - Đưa ( d ) dạng tham số Điểm H xác định bởi:   MH ⊥ ad Dạng • Điểm M / đối xứng với M qua đường thẳng d : Cách 1: - Tìm hình chiếu H M ( d ) - Xác định điểm M ' cho H trung điểm đoạn MM ' (cơng thức trung điếm) • Cách 2: - Gọi H trung điểm đoạn MM ' Tính toạ độ điểm H theo toạ độ M , M ' (công thức trung điếm)  - Khi toạ độ điểm M / xác định bởi:  MM ' ⊥ ad H ∈ d Dạng • Đường thẳng ( d ') đối xứng đường thẳng ( d ) qua mặt phẳng ( P ) TH1: ( d ) ∩ ( P ) = A - Xác định A giao điểm d ( P) - Lấy điểm M ∈ d ( M bất kỳ) Tìm tọa độ điểm M / đối xứng với M qua ( P) - Đường thẳng d ' đường thẳng AM ' • TH2: ( d ) / / ( P ) - Lấy điểm M ∈ d ( M bất kỳ) Tìm tọa độ điểm M / đối xứng với M qua ( P) - Đường thẳng d ' đường thẳng qua M ' song song d C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: x + y −5 z + = = cắt hai đường thẳng −4 x −1 y +1 z − x+2 y−3 z d : d1 : = = = = Phương trình khơng phải đường 2 thẳng ∆ Đường thẳng ∆ song song với d : x + y +1 z +1 A ∆ : = = −4 C ∆ : Câu 2: 82 x+9 y+7 z+2 = = −4 y− z− x−3 3= B ∆ : = −4 D ∆ : x − y −1 z −1 = = −4 x = 1− t  Cho đường thẳng (d ) :  y = − t mp (P) : x + y − = Tìm phương trình đường thẳng  z = 2t  nằm mặt phẳng (P) cắt vng góc với (d) Hình Học Tọa Độ Oxyz  x = − 2t  A  y = + 2t z =  Câu 3:  x = − 3t  B  y = + 3t z =   x = − 2t  C  y = − 2t z =  x = 1− t  D  y = + t z =  x y −1 z − mặt phẳng = = 1 −1 ( P ) : x + y + z − = Phương trình đường thẳng d nằm ( P ) cho d cắt Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : vng góc với đường thẳng ∆ Câu 4:  x = −3 + t A d :  y = − 2t ( t ∈ ℝ )  z = 1− t   x = 3t B d :  y = + t ( t ∈ ℝ )  z = + 2t   x = −2 − 4t C d :  y = −1 + 3t ( t ∈ ℝ )  z = 4−t   x = −1 − t D d :  y = − 3t ( t ∈ ℝ )  z = − 2t  x−2 y+2 z = = mặt phẳng 1 ( P ) : x + y − z − = Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm ( P ) cho ∆ vuông Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : góc với d khoảng cách hai đường thẳng ∆ d Câu 5:  x−7 y z −4  ∆ : = −1 = −1 A  ∆ : x − = y = z  −1 −1  x+7 y z−4  ∆ : = = −1 B  ∆ : x + = y = z  1 −1  x−7 y z −4  ∆ : = = −1 C  ∆ : x − = y = z   x −7 −y z −  ∆ : = −1 = −1 D  ∆ : x − = − y = z −  −1 −1 Cho hai điểm A ( 3;3;1) , B ( 0; 2;1) mặt phẳng (α ) : x + y + z − = Đường thẳng d nằm (α ) cho điểm d cách điểm A, B có phương trình x = t  A  y = − 3t  z = 2t  Câu 6: x = t  B  y = + 3t  z = 2t   x = −t  C  y = − 3t  z = 2t  x − y +1 z mặt phẳng = = −2 −1 ( P ) : x + y + z − = Gọi I giao điểm d , ( P ) Tìm M ∈ ( P ) cho MI vng góc Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : với d MI = 14  M ( 5;9; −11) A   M ( −3; −7;13) 83  x = 2t  D  y = − 3t z = t   M ( 5;7; −11) B   M ( −3; −7;13) Hình Học Tọa Độ Oxyz  M ( −5;9; −11) C   M ( 3; −7;13) Câu 7:  M ( 5; −7;11) D   M ( 3;7; −13) Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng Viết phương trình đường thẳng d qua ( P ) : x − y + z = 0, ( Q ) : x + y + z − = A ( 0; 0;1) , nằm mặt phẳng ( Q ) tạo với mặt phẳng ( P ) góc 450 Câu 8: x = t x = t   ; d :  y = −t A d1 :  y = t  z = − 4t z =   x = t x = t   B d1 :  y = 2t − 1; d :  y = − t  z = − 4t z =   x = t  x = 3t   C d1 :  y = t − ; d :  y = −t    z = − 4t  z = + 4t  x = + 4t x = t   D d1 :  y = − t ; d :  y = −t  z = − 4t z =   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB, CD thỏa mãn CD = AB diện tích 27; đỉnh A ( −1; −1;0 ) ; phương trình đường thẳng chứa x − y +1 z − = = Tìm tọa độ điểm D biết hồnh độ điểm B lớn 2 hoành độ điểm A cạnh CD A D ( −2; −5;1) Câu 9: B D ( −3; −5;1) C D ( 2; −5;1) D D ( 3; −5;1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : x +1 y + z = = ; x − y −1 z −1 mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = Lập phương trình đường = = 1 thẳng d song song với mặt phẳng ( P ) cắt d1 , d2 A, B cho độ dài đoạn AB đạt giá trị nhỏ d2 : A d : x −1 y − z − = = 1 B d : x −1 y + z − = = 1 −1 C d : x +1 y − z + = = 1 D d : x−2 y−2 z−2 = = 1 x − y + z +1 mặt = = −1 phẳng ( P ) : x + y + z + = Gọi M giao điểm d ( P ) Viết phương trình đường Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : thẳng ∆ nằm mặt phẳng ( P ) , vng góc với d đồng thời khoảng cách từ M đến ∆ 42  x−5 ∆ : = A  ∆ : x + =  84 y+2 = −3 y+4 = −3 z +5 z −5  x−5  ∆ : −2 = B  ∆ : x + =  −2 y+2 = −3 y+4 = −3 z +5 z −5 Hình Học Tọa Độ Oxyz  x−5 ∆ : = C  ∆ : x + =  y−2 = −3 y+4 = −3 z −5 z −5  x−5 y + z +5 ∆ : = = D  ∆ : x + = y + = z −  x y z +1 = = −1 mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = Gọi d ' đường thẳng đối xứng với d qua ( P ) Tìm Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A (1; 2;3) , đường thẳng d : tọa độ điểm B d ' cho AB =   62 + 16 151 −26 + 151 31 + 151  ; ;  B   27 27 27    A    62 − 16 151 − 26 − 151 31 − 151 B ; ;    27 27 27      62 + 151 −26 + 151 31 + 151  ; ;  B   27 27 27    B    62 − 151 − 26 − 151 31 − 151 B ; ;    27 27 27      16 151 151 151  ; ;  B   27 27    27 C   B  −16 151 ; −2 151 ; −8 151     27 27 27      62 + 151 −26 + 151 31 + 151  ; ;  B   27 27 27    D   B  62 − 151 ; −26 − 151 ; 31 − 151     27 27 27    Câu 12: Cho hai điểm M (1; 2;3) , A ( 2; 4; ) hai mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = 0, ( Q ) : x − y − z + = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M cắt ( P ) , ( Q ) B, C cho tam giác ABC cân A nhận AM đường trung tuyến 85 A ∆ : x −1 y − z − = = −1 −1 B ∆ : x −1 y − z − = = −1 C ∆ : x −1 y − z − = = 1 D ∆ : x −1 y − z − = = −1 Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : x y −1 z + = = −1  x = −1 + 2t  d :  y = + t Phương trình đường thẳng vng góc với ( P ) : x + y − z = cắt hai z =  đường thẳng d1 , d2 là: x−7 y z +4 = = 1 x + y z −1 = = C −7 −1 Hướng dẫn giải: x − y z +1 = = −4 x − y z +1 = = D A B Gọi d đường thẳng cần tìm Gọi A = d ∩ d1 , B = d ∩ d2 A ∈ d1 ⇒ A ( 2a;1 − a; −2 + a ) B ∈ d ⇒ B ( −1 + 2b;1 + b;3) AB = ( −2a + 2b − 1; a + b; −a + ) ( P ) có vectơ pháp tuyến nP = ( 7;1; −4 ) , d ⊥ ( P ) ⇔ AB, n p phương ⇔ có số k thỏa AB = k n p −2a + 2b − = k −2a + 2b − k = a =    ⇔ a + b = k ⇔ a + b − k = ⇔ b = −2 −a + = −4k  − a + k = −5 k = −1    d qua điểm A ( 2;0; −1) có vectơ phương ad = nP = ( 7;1 − ) Vậy phương trình d x − y z +1 = = −4 x + y − z −1 = = x = x −1 y z +1  ∆2 : = = Phương trình đường thẳng song song với d :  y = −1 + t cắt hai z = + t  Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng ∆1 : đường thẳng ∆1; ∆ là: x =  A  y = − t z = − t   x = −2  B  y = −3 − t  z = −3 − t  Hướng dẫn giải: Gọi ∆ đường thẳng cần tìm Gọi A = ∆ ∩ ∆1 , B = ∆ ∩ ∆2 104  x = −2  C  y = −3 + t  z = −3 + t  x =  D  y = −3 + t z = + t  Hình Học Tọa Độ Oxyz A ∈ ∆1 ⇒ A ( −1 + 3a; + a;1 + 2a ) B ∈ ∆ ⇒ B (1 + b; 2b; −1 + 3b ) AB = ( −3a + b + 2; −a + 2b − 2; −2a + 3b − ) d có vectơ phương ad = ( 0;1;1) ∆ / / d ⇔ AB, ad phương ⇔ có số k thỏa AB = kad −3a + b + = −3a + b = −2 a =    ⇔ −a + 2b − = k ⇔ − a + 2b − k = ⇔ b = −2a + 3b − = k −2a + 3b − k =  k = −1    Ta có A ( 2;3;3) ; B ( 2; 2; ) ∆ qua điểm A ( 2;3;3) có vectơ phương AB = ( 0; −1; −1) x =  Vậy phương trình ∆  y = − t z = − t  A ( −3;3; −3) (α ) : x – y + z + 15 = Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho điểm thuộc mặt phẳng ( S ) : (x − 2)2 + (y− 3)2 + (z− 5)2 = 100 Đường thẳng ∆ qua A, nằm mặt phẳng mặt cầu (α ) A cắt ( S ) A , B Để độ dài AB lớn phương trình đường thẳng ∆ là: x +3 y −3 z +3 = =  x = −3 + 5t  C  y =  z = −3 + 8t  B x +3 y −3 z +3 = = −10 16 11 D x +3 y −3 z +3 = = 1 Hướng dẫn giải: Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2;3;5 ) , bán kính R = 10 Do d (I, (α )) < R nên ∆ cắt ( S ) A, B Khi AB = R − ( d (I, ∆) ) Do đó, AB lớn d ( I , ( ∆ ) ) nhỏ nên ∆ qua H ,  x = + 2t  với H hình chiếu vng góc I lên (α ) Phương trình BH :  y = − 2t z = + t  H ∈ (α ) ⇒ ( + 2t ) − ( – 2t ) + + t + 15 = ⇔ t = −2 ⇒ H ( −2; 7; 3) Do AH = (1; 4;6) véc tơ phương ∆ Phương trình 105 x +3 y −3 z +3 = = Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 21: Phương trình sau khơng phải phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng  x = + 2t  d:  y = −2 + 3t , t ∈ R mặt phẳng (Oxy): z = + t   x = + 2t '  A  y = + 3t ' , t ' ∈ R z =   x = + 4t '  B  y = −2 + 6t ', t ' ∈ R z =   x = + 2t '  C  y = + 3t ', t ' ∈ R z =   x = − 2t '  D  y = − 3t ', t ' ∈ R z =  Hướng dẫn giải: A(1;-2;3), B(3;1;4) thuộc d Hình chiếu A,B mặt phẳng (Oxy) A/(1;-2;0), B/(3;1;0) / / Phương trình hình chiếu qua A/ B / nhận véc tơ phương với A B = ( 2;3;0 ) làm véc tơ phương Chọn C x − 12 y − z − = = , mặt thẳng ( P ) : 3x + y − z − = Gọi d ' hình chiếu d lên ( P ) Phương trình tham số d ' Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  x = −62t  A  y = 25t  z = − 61t   x = 62t  B  y = −25t  z = + 61t   x = 62t  C  y = −25t  z = −2 + 61t  Hướng dẫn giải: Cách 1: Gọi A = d ∩ ( P ) A ∈ d ⇒ A (12 + 4a;9 + 3a;1 + a ) A ∈ ( P ) ⇒ a = −3 ⇒ A ( 0;0; −2 ) d qua điểm B (12;9;1) Gọi H hình chiếu B lên ( P ) ( P ) có vectơ pháp tuyến nP = ( 3;5; −1) BH qua B (12;9;1) có vectơ phương aBH 106 = nP = ( 3;5; −1)  x = 62t  D  y = −25t  z = + 61t  Hình Học Tọa Độ Oxyz  x = 12 + 3t  BH :  y = + 5t z = 1− t  H ∈ BH ⇒ H (12 + 3t ;9 + 5t ;1 − t ) H ∈ ( P) ⇒ t = − 78  186 15 113  ⇒H ;− ;  35 35   35  186 15 183  AH =  ;− ;  35   35 d ' qua A ( 0;0; −2 ) có vectơ phương ad ' = ( 62; −25;61)  x = 62t  Vậy phương trình tham số d '  y = −25t  z = −2 + 61t  Cách 2:  Gọi ( Q ) qua d vng góc với ( P ) d qua điểm B (12;9;1) có vectơ phương ad = ( 4;3;1) ( P ) có vectơ pháp tuyến nP = ( 3;5; −1) ( Q ) qua B (12;9;1) có vectơ pháp tuyến nQ =  ad , nP  = ( −8;7;11) ( Q ) : 8x − y − 11z − 22 =  d ' giao tuyến ( Q ) ( P ) Tìm điểm thuộc d ' , cách cho y = 3 x − z = x = Ta có hệ  ⇒ ⇒ M ( 0; 0; −2 ) ∈ d ' 8 x − 11z = 22  y = −2 d ' qua điểm M ( 0;0; −2 ) có vectơ phương ad =  nP ; nQ  = ( 62; −25;61)  x = 62t  Vậy phương trình tham số d '  y = −25t  z = −2 + 61t  107 Hình Học Tọa Độ Oxyz  x = + 2t  Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ BH cho đường thẳng d :  y = −2 + 4t Hình chiếu song z = + t  x = 1+ t  BH :  y = −1 − 2t  z = + 2t  song aBH = nQ = (1; −2; ) lên mặt phẳng H ∈ BH ⇒ H (1 + t ; −1 − 2t ;3 + 2t ) H ∈( P) ⇒ t = − phương ∆ : theo 10  11  ⇒ H − ; ;   9 9 x +1 y − z − = = có phương trình là: −1 −1  x = + 2t  A  y =  z = − 4t  x = + t  B  y =  z = + 2t   x = −1 − 2t  C  y =  z = − 4t   x = − 2t  D  y = z = 1+ t  Hướng dẫn giải: x = 1+ t  BH :  y = −1 − 2t  z = + 2t  Giao điểm d mặt phẳng H ∈ BH ⇒ H (1 + t ; −1 − 2t ;3 + 2t ) H ∈( P) ⇒ t = − là: M (5;0;5) 10  11  ⇒ H − ; ;   9 9  x = + 2t  Trên d :  y = −2 + 4t chọn M không trùng với M (5;0;5) ; ví dụ: M (1; −2;3) Gọi A z = + t  x = 1+ t  BH :  y = −1 − 2t  z = + 2t  hình chiếu song song M lên mặt phẳng H ∈ BH ⇒ H (1 + t ; −1 − 2t ;3 + 2t ) H ∈( P) ⇒ t = − phương ∆ : 10  11  ⇒ H − ; ;   9 9 x +1 y − z − = = −1 −1 +/ Lập phương trình d’ qua M song song trùng với ∆ : 108 theo x +1 y − z − = = −1 −1 Hình Học Tọa Độ Oxyz x = 1+ t  BH :  y = −1 − 2t  z = + 2t  +/ Điểm A giao điểm d’ H ∈ BH ⇒ H (1 + t ; −1 − 2t ;3 + 2t ) H ∈( P) ⇒ t = − 10  11  ⇒ H − ; ;   9 9 +/ Ta tìm A(3; 0;1)  x = + 2t  Hình chiếu song song d :  y = −2 + 4t lên mặt phẳng z = + t  x = 1+ t  BH :  y = −1 − 2t  z = + 2t  H ∈ BH ⇒ H (1 + t ; −1 − 2t ;3 + 2t ) theo phương ∆ : 10  11  ⇒ H − ; ;   9 9 qua M (5;0;5) A(3; 0;1) x +1 y − z − = = đường thẳng −1 −1 H ∈( P) ⇒ t = − x = + t  Vậy phương trình là:  y =  z = + 2t  Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ ( Q ) : x − y + z + = gọi d qua A ( 3; −1;1) , nằm mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = , đồng thời tạo với ∆ : x y−2 z = = góc 450 Phương 2 trình đường thẳng d  x = + 7t  A  y = −1 − 8t  z = −1 − 15t   x = + 7t  C  y = −1 − 8t  z = − 15t  Hướng dẫn giải: ∆ có vectơ phương a∆ = (1; 2; ) d có vectơ phương ad = ( a; b; c ) ( P) 109 có vectơ pháp tuyến nP = (1; −1;1) x = + t  B  y = −1 − t z =  x = + t  D  y = −1 − t z =   x = + 7t   y = −1 − 8t  z = − 15t  Hình Học Tọa Độ Oxyz d ⊂ ( P ) ⇒ ad ⊥ nP ⇔ b = a + c; (1) ( ∆, d ) = 450 ⇔ cos ( ∆, d ) = cos 450 ⇔ a + 2b + 2c 2 a +b +c = 2 ⇔ ( a + 2b + 2c ) = ( a + b + c ) ; ( ) Từ ∆1 : x +1 y + z x −1 y z +1 c = = = ∆ : = = , ta có: 14c + 30ac = ⇔  1 15a + 7c = x = + t  Với c = , chọn a = b = , phương trình đường thẳng d  y = −1 − t z =  Với 15a + 7c = , chọn a = ⇒ c = −15; b = −8 , phương trình đường thẳng d  x = + 7t   y = −1 − 8t  z = − 15t  Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi d qua điểm A (1; −1;2 ) , song song với ( P) : 2x − y − z + = , đồng thời tạo với đường thẳng ∆ : x +1 y −1 z góc lớn = = −2 Phương trình đường thẳng d A x −1 y +1 z − = = −5 B x −1 y +1 z + = = −5 C x −1 y +1 z − = = D x −1 y +1 z − = = −5 −7 Hướng dẫn giải: ∆ có vectơ phương a∆ = (1; −2;2 ) d có vectơ phương ad = ( a; b; c ) ( P) có vectơ pháp tuyến nP = ( 2; −1; −1) Vì d ⊂ ( P ) nên ad ⊥ nP ⇔ ad nP = ⇔ 2a − b − c = ⇔ c = 2a − b ( 5a − 4b ) = cos ( ∆, d ) = 2 5a − 4ab + 2b2 5a − 4ab + 2b 5a − 4b ( 5t − ) a , ta có: cos ( ∆, d ) = b 5t − 4t + 2 Đặt t = Xét hàm số f ( t ) = ( 5t − )  1 , ta suy được: max f ( t ) = f  −  = 5t − 4t +  5 Do đó: max cos ( ∆, d )  = 110 a 1 ⇔t =− ⇒ =− b 27 5 Hình Học Tọa Độ Oxyz Chọn a = ⇒ b = −5, c = Vậy phương trình đường thẳng d x −1 y +1 z − = = −5 Chọn A Câu 26: Trong không gian cho đường ∆: thẳng x − y z +1 = = đường thẳng x + y −1 z + = = Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua ∆ tạo với đường thẳng d góc lớn d: A 19 x − 17 y − 20 z − 77 = B 19 x − 17 y − 20 z + 34 = C 31x − y − z + 91 = D 31x − y − z − 98 = Hướng dẫn giải: Chọn D Đường thẳng d có VTCP u1 = ( 3;1; ) Đường thẳng ∆ qua điểm M ( 3;0; −1) có VTCP u = (1; 2;3) ( ) Do ∆ ⊂ ( P ) nên M ∈ ( P ) Giả sử VTPT ( P ) n = ( A; B; C ) , A2 + B + C ≠ Phương trình ( P ) có dạng A ( x − 3) + By + C ( z + 1) = Do ∆ ⊂ ( P ) nên u.n = ⇔ A + B + 3C = ⇔ A = −2 B − 3C Gọi α góc d ( P ) Ta có sinα = = u1.n u1 n = A + B + 2C 2 14 A + B + C B + 7C 14 B 212 BC + 10C 14 = ( −2 B − 3C ) + B + 2C = 14 ( −2 B − 3C ) ( B + 7C ) + B2 + C 2 B + 12 BC + 10C 70 = 14 14 TH1: Với C = sinα = B ( 5t + ) TH2: Với C ≠ đặt t = ta có sinα = C 14 5t + 12t + 10 Xét hàm số f ( t ) = Ta có f ′ ( t ) = 111 ( 5t + ) 5t + 12t + 10 −50t + 10t + 112 (5t + 12t + 10 ) ℝ Hình Học Tọa Độ Oxyz  t = ⇒ f f ′ ( t ) = ⇔ −50t + 10t + 112 = ⇔   t = − ⇒  Và lim f ( t ) = lim x →±∞ x →±∞ ( 5t + )   75  =   14  7 f −  =  5 5t + 12t + 10 = Bảng biến thiên Từ ta có Maxf ( t ) = 75 B 75 8 t = ⇒ = Khi sinα = f = 14 C 14   14 So sánh TH1 Th2 ta có sinα lớn sinα = 75 B = 14 C Chọn B = −8 ⇒ C = −5 ⇒ A = 31 Phương trình ( P ) 31( x − 3) − y − ( z + 1) = ⇔ 31x − y − z − 98 = Câu 27: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = hai x = 1+ t  x = − t′   ; d ' :  y = + t′ đường thẳng d :  y = t  z = − 2t ′  z = + 2t   Biết có đường thẳng có đặc điểm: song song với ( P ) ; cắt d , d ′ tạo với d góc 30 O Tính cosin góc tạo hai đường thẳng A B C D Hướng dẫn giải:: Gọi ∆ đường thẳng cần tìm, nP VTPT mặt phẳng ( P ) Gọi M (1 + t ; t; + 2t ) giao điểm ∆ d ; M ′ ( − t ′;1 + t ′;1 − 2t ′ ) giao điểm ∆ d ' Ta có: MM ' ( − t ′ − t;1 + t ′ − t; − − 2t ′ − 2t ) 112 Hình Học Tọa Độ Oxyz  M ∉( P ) MM ′ // ( P ) ⇔  ⇔ t ′ = − ⇒ MM ′ ( − t; −1 − t;3 − 2t )  MM ′ ⊥ nP ( ) Ta có cos30O = cos MM ′, u d ⇔ −6t + t = = ⇔ 2 36t −108t + 156 t = −1 x =  x = t′   Vậy, có đường thẳng thoả mãn ∆1 :  y = + t ; ∆ :  y = −1  z = 10 + t  z = t′   Khi đó, cos ( ∆1 , ∆ ) = Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( −2; 3; 1) B ( 5; 6; ) Đường thẳng AB cắt mặt phẳng ( Oxz ) điểm M Tính tỉ số A AM = BM B AM =2 BM C AM BM AM = BM D AM =3 BM Hướng dẫn giải: Ta có: Ta M ∈ ( Oxz ) ⇒ M ( x;0;z ) ; AB = ( 7;3;1) ⇒ AB = 59 AM = ( x + 2; − 3;z − 1) ; có: A , B, M thẳng hàng x + = k  x = −9   ⇒ AM = k.AB ( k ∈ ℝ ) ⇔ −3 = k ⇔ −1 = k z − = k z =   ⇒ M ( −9;0;0 ) BM = ( −14; − 6; − ) ⇒ BM = 118 = AB Chọn A Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( −2; −2; 1), B (1; 2; − 3) đường x +1 y − z = = Tìm vectơ phương u đường thẳng ∆ qua A, vng góc 2 −1 với d đồng thời cách điểm B khoảng bé thẳng d : A u = (2;1;6) B u = (2; 2; −1) C u = (25; −29; −6) D u = (1;0; 2) Hướng dẫn giải: Cách (Tự luận) Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với d, B’ hình chiếu B lên (P) Khi đường thẳng ∆ đường thẳng AB’ u = B'A Qua A( −2; −2;1) Ta có ( P ) :  ⇒ (P) : x + y − z + = VTPT nP = ud = (2; 2; −1) 113 Hình Học Tọa Độ Oxyz  x = + 2t  Gọi d’ đường thẳng qua B song song d’ ⇒ d '  y = + 2t  z = −3 − t  B’ giao điểm d’ (P) ⇒ B '(−3; −2; −1) ⇒ u = B ' A = (1;0; 2) ⇒ Chọn D Cách 2: Không cần viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với d  x = + 2t  Gọi d’ đường thẳng qua B song song d’ ⇒ d '  y = + 2t  z = −3 − t  B’ ∈ d’ ⇒ B ' A = ( −2t − 3; −2t − 4; t + ) AB’ ⊥ d ⇒ ud B ' A = ⇒ t = −2 ⇒ u = B ' A = (1;0; 2) ⇒ Chọn D Câu 30: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 2; −1) , B ( 7; −2;3) đường thẳng  x = + 3t  d có phương trình  y = −2t (t ∈ R) Điểm M d cho tổng khoảng cách từ M  z = + 2t  đến A B nhỏ có tổng tọa độ là: A M = ( 2;0; ) B M = ( 2;0;1) C M = (1;0; ) D M = (1;0; ) Hướng dẫn giải: Nếu M nằm d điểm I có tọa độ M=(2+3t;-2t;4+2t) Từ ta có: ⇔ AM = ( 3t + 1; −2 − 2t;2t + ) ⇒ AM = ( 3t + 1) Tương tự: ⇔ BM = ( 3t − 5;2 − 2t ;2t + 1) ⇒ BM = Từ (*): MA=MB = ( 3t + 1) + ( + 2t ) + ( 2t + ) ( 3t − 5) + ( + 2t ) + ( 2t + 5) = 2 2 + ( − 2t ) + ( 2t + 1) ( 3t − 5) 2 + ( − 2t ) + ( 2t + 1) 2 Hay: ⇔ 17t + 34t + 30 = 17t − 36t + 30 ⇔ 34t + 36t = − 11 ⇔ 70t = → t = Tọa độ M thỏa mãn yêu cầu là: M=(2;0;4 ) Chọn A 6  Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(2;3; 0), B(0; − 2;0), M  ; − 2;2  5  x = t  đường thẳng d :  y = Điểm C thuộc d cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhấ độ z = − t  dài CM A Hướng dẫn giải: 114 B C D Hình Học Tọa Độ Oxyz Do AB có độ dài khơng đổi nên chu vi tam giác ABC nhỏ AC + CB nhỏ Vì C ∈ d ⇒ C ( t;0;2 − t ) ⇒ AC = ⇒ AC + CB = Đặt u = ⇒ ( ( ( 2t − 2 ) ) ( 2t − 2 ( +9 + ) 2t − ( ) + 9, BC = ( ) +4 + ) 2t − 2;3 , v = − 2t + 2; ápdụngbấtđẳngthức u + v ≥ u + v ) 2t − 2 + + ( 2t − ) +4 ≥ ( −2 ) + 25 Dấubằngxảyrakhivàchỉ 2t − 2 2t − 2 3 7 3 6 7  = ⇔ t = ⇒ C  ; 0;  ⇒ CM =  −  + +  −  = 5 − 2t + 2 5 5 5 5  Chọn C Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ., cho bốn điểm Kí hiệu d đường thẳng qua D cho tổng khoảng cách từ điểm A, B, C đến d lớn Hỏi đường thẳng d qua điểm đây? A M ( −1; −2;1) B N ( 5;7;3) C P ( 3; 4;3) D Q ( 7;13;5 ) Hướng dẫn giải: x y z Ta có phương trình mặt phẳng qua A,B,C là: ( ABC ) : + + = ⇔ x + y + z − = Dễ thấy D ∈ ( ABC ) Gọi hình chiếu vng góc A, B, C d Suy d ( A, d ) + d ( B, d ) + d ( C , d ) = AA '+ BB '+ CC ' ≤ AD + BD + CD Dấu xảy A ' ≡ B ' ≡ C ' ≡ D Hay tổng khoảng cách từ điểm A, B, C đến d lớn d  x = + 2t  đường thẳng qua D vng góc với mặt phẳng ( ABC ) => d :  y = + 3t ; N ∈ d z = 1+ t  chọn B Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (1;1;1) hai đường thẳng  x = − 2t  x = + 3s   d :  y = Gọi B, C điểm di động d1 , d Hỏi giá d1 :  y =  z = −2 + t z = − s   trị nhỏ biểu thức P = AB + BC + CA là? A 29 B 985 C + 10 + 29 D + 10 Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi A1 , A2 điểm đối xứng A qua d1 , d ta có BA = BA1 , CA = CA2 , P = A1B + BC + CA ≥ A1 A2 = 29 Dấu xảy ⇔ B = d1 ∩ A1 A2 , C = d2 ∩ A1 A2 Trong A1 ( −1;1; −3) , A2 ( 3;1; ) , A1 A2 = 29 115 Hình Học Tọa Độ Oxyz 11    31 69  Kiểm tra dấu bằng, dễ thấy A1 A2 ∩ d1 = B  − ;1; −  , A1 A2 ∩ d = C  ;1;  12    17 17  x =  Câu 34: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y = t A ( 0; 4;0 ) Gọi z =  M điểm cách d trục x ' Ox Khoảng cách ngắn A M bằng: 65 A B C D 2 Hướng dẫn giải: d ( M , Ox ) = b2 + c  Gọi M ( a; b; c ) ta có:  d ( M , d ) = a + ( c − 1) 2 2 Do b + c = a + ( c − 1) ⇔ a = b + 2c − 2 Khi AM = a + ( b − ) + c = ( b − ) + ( c + 1) + 2 Chọn C Câu 35: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn đường thẳng có phương trình x −1 y − z x−2 y−2 z x y z −1 x − y z −1 ; d2 : ; d3 : = = ; d4 : d1 : = = = = = = 2 1 2 −2 −4 −1 Biết đường thẳng ∆ có vector phương u ( 2; a; b ) cắt bốn đường thẳng cho Giá trị biểu thức 2a + 3b bằng: A B −1 C − D − Hướng dẫn giải: Ta phát đường thẳng đầu đồng phẳng ta viết phương trình mặt phẳng qua đường thẳng Tiếp xác định giao điểm đường thẳng d3 , d với mặt phẳng vừa tìm ∆ đường thẳng qua giao điểm Câu 36: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz gọi ∆ đường thẳng qua điểm A ( 2,1, ) , song song với mặt phẳng ( P) : x − y − z = có tổng khoảng cách từ điểm M ( 0, 2, ) , N ( 4, 0,0 ) tới đường thẳng đạt giá trị nhỏ nhất? Vector phương ∆ là? A u∆ = (1, 0,1) B u∆ = ( 2,1,1) C u∆ = ( 3, 2,1) Hướng dẫn giải: Ta gọi ( Q ) : x − y − z − = mặt phẳng qua điểm A ( 2,1, ) , song song với mặt phẳng ( P ) : x − y − z = Đồng thời ta phát điểm A ( 2,1, ) trung điểm MN Khi tổng khoảng cách MF + NG ≥ MC + ND=2d ( M , ( Q ) ) Đẳng thức xảy ∆ đường thẳng 116 D u∆ = ( 0,1, −1) Hình Học Tọa Độ Oxyz qua A hai hình chiếu C D điểm M ( 0, 2, ) , N ( 4, 0, ) tới mặt phẳng ( Q ) Chọn A x − y −1 z + hai điểm = = 2 A (1; −1; −1) , B ( −2; −1;1) Gọi C, D hai điểm phân biệt di động đường thẳng ∆ Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : cho tồn điểm I cách tất mặt tứ diện ABCD I thuộc tia Ox Tính độ dài đoạn thẳng CD 12 17 17 A B 17 C D 13 17 11 Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có ( ACD ) : x + y + z + = 0; ( BCD ) : x + y + z + = Gọi I ( m; 0; ) , với m > , ta có d ( I , ( ACD ) ) = d ( I , ( BCD ) ) ⇔ 2m + = m+2 m = ⇔  m = −1 Vì m > nên I (1;0;0 ) d ( I , ( BCD ) ) = Gọi C ( 2t + 2; 2t + 1; −3t − 3) , ta có ( ABC ) : ( 4t + ) x + ( 5t + ) y + ( 6t + z ) + 7t + = Vì d ( I , ( ACD ) ) = d ( I , ( BCD ) ) = ⇔ Suy CD = (2 2 +2 +3 ) (t − t ) 11t + 10 ( 4t + ) + ( 5t + ) + ( 6t + z ) 2 t = −1 =1⇔  t = −  11 2 8 17  = 17  −1 +  = Chọn đáp án C 11  11  Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 2 x = 1+ t  Xét đường thẳng d :  y = − mt ( t ∈ R ) , m tham số thực Giả sử ( P ) ( P′) hai mặt z = m −1 t )  ( phẳng chứa d , tiếp xúc với ( S ) T T ′ Khi m thay đổi, tính giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng TT ′ 13 12 13 11 A B 2 C D 13 Hướng dẫn giải: Chọn A x = 1+ t  Ta có d :  y = − mt ( t ∈ R ) , suy x + y + z = z = m −1 t )  ( 117 Hình Học Tọa Độ Oxyz Nên đường thẳng d ⊂ ( P ) : x + y + z − = Do IH ≥ d ( I , ( P ) ) = 118 13 ⇒ T1T2 ≥ ... trình đường thẳng ∆ là: x +3 y ? ?3 z +3 = =  x = ? ?3 + 5t  C  y =  z = ? ?3 + 8t  B x +3 y ? ?3 z +3 = = −10 16 11 D x +3 y ? ?3 z +3 = = 1 Hướng dẫn giải: Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2 ;3; 5 ) , bán... mặt phẳng qua đường thẳng Tiếp xác định giao điểm đường thẳng d3 , d với mặt phẳng vừa tìm ∆ đường thẳng qua giao điểm Câu 36 : Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz gọi ∆ đường thẳng qua điểm... x = −2 x =    B  y = ? ?3 − t C  y = ? ?3 + t D  y = ? ?3 + t  z = ? ?3 − t  z = ? ?3 + t z = + t    A ( ? ?3; 3; ? ?3) (α ) : x – y + z + 15 = Câu 20: Trong không gian Oxyz , cho điểm thuộc