1 MỞ ĐẦU Giải phương trình lượng giác nội dung trọng tâm Đại số Giải tích 11 chương trình tốn học phổ thơng nói chung Trong vài năm lại đây, đề thi trung học phổ thơng quốc gia mơn tốn chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, dạng tốn giải phương trình lượng giác xuất hiện, thay vào phương trình lượng giác chứa tham số 1.1 Lý chọn đề tài Trong chương trình Đại số Giải tích 11, phương trình lượng giác chứa tham số chưa đề cập nhiều, tập hạn chế Khi học sinh gặp tập dạng thường tỏ lúng túng, chưa linh hoạt Việc hệ thống dạng tập nhằm rèn luyện kỹ giải phương trình lượng giác chứa tham số cần thiết Vì vậy, tơi viết sáng kiến: “Rèn luyện kỹ giải số dạng tập trắc nghiệm phương trình lượng giác thường gặp chứa tham số” 1.2 Mục đích nghiên cứu Giải phương trình lượng giác chứa tham số giúp học sinh hiểu rõ chất, có nhìn sâu sắc, tổng hợp, linh hoạt phương pháp giải phương trình lượng giác thường gặp Qua hạn chế tư máy móc, phụ thuộc vào máy tính cá nhân học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài có đối tượng nghiên cứu là: - Phương pháp dạy học mơn Tốn 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp xây dựng sở lý thuyết - Phương pháp khảo sát, thu thập thông tin - Phương pháp thống kê , xử lý số liệu 1.5 Những điểm SKKN -Hướng dẫn học sinh thành thạo giải tốn phương trình lượng giác chứa tham số; số phương trình lượng giác thường gặp chứa tham số,thông qua hệ thống tập đa dạng NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận để đề xuất sáng kiến Khi giảng dạy người giáo viên phải phát khó khăn mà học sinh thường gặp giải phương trình lượng giác chứa tham số Từ đưa giải pháp giúp học sinh giải khó khăn 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến Phương trình lượng giác chứa tham số nhìn chung nội dung khó phức tạp Nội dung phương trình lượng giác chứa tham số đề cập đến sách giáo khoa sách tập Tài liệu, sách tham khảo phương trình lượng giác chứa tham số cịn hạn chế Các tập đưa rời rạc chưa có tính hệ thống Đồng thời, dạng tập phần đa dạng khiến cho học sinh khó nắm bắt, lúng túng khó khăn việc tìm hướng giải toán 2.3.Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Giải pháp 1: Xây dựng hệ thống lý thuyết hàm số lượng giác, phương trình lượng giác bản, số phương trình lượng giác thường gặp A Các hàm số lượng giác: y = sinx; y = cosx;y = tanx; y = cotx B Các phương trình lượng giác bản: sinx = a; cosx = a; tanx = a; cotx = a C Một số phương trình lượng giác thường gặp a Phương trình bậc hàm số lượng giác b Phương trình bậc hai hàm số lượng giác c Phương trình bậc sinx cosx 2.3.2 Giải pháp 2: Rèn luyện kỹ giải số phương trình lượng giác thường gặp chứa tham số thông qua hệ thống ví dụ dạng tập Dạng Phương trình bậc với hàm số lượng giác chứa tham số  Bài toán 1: Biện luận theo m số nghiệm phương trình lượng giác bản: f(x) = m với f(x) hàm số lượng giác 2 Ví dụ 1: Tìm tham số m để phương trình: ( m − 3m + ) cos x = m ( m − 1) ( 1) có nghiệm 2 Giải: ( m − 3m + ) cos x = m ( m − 1) ⇔ ( m − 1) ( m − ) cos x = m ( m − 1) ; +) Khi m = 1, phương trình có dạng: = ∀x ∈ ¡ , hay phương trình có nghiệm ∀x ∈ ¡ +) Khi m = 2: phương trình có dạng: = (vơ lý), suy phương trình vơ nghiệm +) Khi m ≠ 1, m ≠ 2: ( 1) ⇔ ( m − ) cos x = m ⇔ cos x = Khi (2) có nghiệm ≤ m ( 2) m−2 m ≤ ⇔ m ≤ Vậy phương trình m−2 (1) có nghiệm m ≤ 0,m = Ví dụ 2: Tìm m cho phương trình 2sin x − = m có hai nghiệm thỏa sin x + mãn ≤ x ≤ π Giải: Điều kiện sinx + ≠ ln đúng, ta có: pt ⇔ 2sin x − = msin x + ⇔ ( − m ) sinx = (1) +) Với m = 2, phương trình có dạng: = (vô lý), m = không thỏa mãn +) Với m ≠ , ( 1) ⇔ sin x = 2−m Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm đồ thị hàm số y = sinx đường thẳng y = [ 0;π] Dựa vào đồ thị, phương trình (1) có 2−m nghiệm [ 0;π] khi: < < ⇔ m < −2 Vậy với m < −2 2−m phương trình cho có hai nghiệm thỏa mãn ≤ x ≤ π π  Ví dụ 3: Gọi S tập giá trị m để phương trình sin  2x − ÷ = m + có 3   π 3π  nghiệm thuộc khoảng  ; ÷ Tìm tổng số phần tử nguyên S 6  π  Giải: Xét phương trình: sin  2x − ÷ = m + ( 1) ; Số nghiệm phương trình 3  π  π 3π   (1) khoảng  ; ÷ số giao điểm đồ thị hàm số y = sin  2x − ÷ 3 6    π 3π  đường thẳng y = m + khoảng  ; ÷ y = m + đường thẳng song 6  song trùng với trục Ox Dựa vào đồ thị hàm số, phương trình (1) có nghiệm −1 ≤ m + ≤ ⇔ −6 ≤ m ≤ −4 , giá trị nguyên m thỏa mãn – 6; – 5; – Ta có tổng phần tử nguyên m thỏa mãn – 15  Bài tập tương tự Bài 1: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình sinx – m = có nghiệm? A −2 ≤ m ≤ B m ≤ C m ≥ Bài 2: Với giá trị m để phương trình: D ≤ m ≤ π  cos  3x − ÷+ m − = có 4  nghiệm? A m < − B m > + C m ∈  − 3;  D − ≤ m ≤ + π  Bài 3: Phương trình sin  2x + ÷ = m − 3m + vô nghiệm khi: 7  A −1 < m < B −3 < m < −1 m < C  m >  m < −2 D  m > Bài 4: Tìm m để phương trình 2cos x − m + = có nghiệm phân biệt  3π 3π  thuộc  − ;  ?  2 A.3 < m < B < m < C m = m = D  < m <  π π   Bài 5: Để phương trình 4sin  x + ÷cos  x − ÷ = a + sin 2x − cos 2x có 3 6   nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện: A −1 ≤ a ≤ B −2 ≤ a ≤ 1 C − ≤ a ≤ 2 D −3 ≤ a ≤  Bài tốn 2: Giải phương trình tích đưa phương trình bậc với hàm số lượng giác chứa tham số Ví dụ 1: Cho phương trình cos 2x − ( 2m + 1) cos x + m + = ( 1) Tìm tham số  π 3π  m để phương trình có nghiệm khoảng  ; ÷ 2  Giải: cos 2x − ( 2m + 1) cos x + m + = ⇔ 2cos x − ( 2m + 1) cos x + m =  cos x = ⇔ ( 2cosx − 1) ( cos x − m ) = ⇔    cos x = m Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x  π ; 3π ÷, ta thấy  π ; 3π ÷ phương trình cos x = vơ 2  2   π 3π  nghiệm Do để phương trình (1) có nghiệm  ; ÷ phương trình 2   π 3π  cos x = m có nghiệm  ; ÷ Từ đồ thị ta có: −1 ≤ m < 2  Ví dụ 2: Cho phương trình: ( − m ) tan x − a) Giải phương trình m = + + 3m = ( 1) cos x  π b) Tìm m để phương trình có nhiều nghiệm  0; ÷  2 Giải: Điều kiện cos x ≠ ⇔ x ≠ π + kπ Ta có: ( 1) ⇔ ( − m ) sin x − 2cos x + ( + 3m ) cos x = ⇔ ( − m ) ( − cos x ) − 2cos x + ( + 3m ) cos x = ⇔ 4m cos x − 2cos x + − m = ⇔ m ( 4cos x − 1) − ( 2cosx − 1) = ⇔ ( 2cos x − 1) ( 2m cos x + m − 1) = ; a) Khi m = (1) trở thành: ( 2cos x − 1)  cos x −  1 π = ⇔ cos x = ⇔ x = ± + k2π ( k ∈ ¢ ) ( tm ) ÷ 2  π b) Nhận xét: Trên  0; ÷, phương trình thỏa mãn điều kiện xác định  2  cos x = ( *) pt ⇔    2mcos x = − m ( **) Ta có:  π Từ đồ thị ta có  0; ÷ phương trình cos x = có nghiệm  2  π Vậy để phương trình có nhiều nghiệm  0; ÷ phương trình  2 ( **) phải có nghiệm  0;  π ÷ với nghiệm thỏa mãn cos x ≠ 2 +) Xét m = 0, pt có dạng = suy phương trình vơ nghiệm +) Khi m khác cos x = 1− m  π , dựa vào đồ thị hàm số  0; ÷ 2m  2  π 2m cos x = − m phải có nghiệm  0; ÷ với nghiệm thỏa mãn  2 1  1− m < m −1 B m ≥ −1 C −1 ≤ m ≤ D −1 < m ≤ −1 Giải: pt ⇔ ( cos x + 1) cos 2x − m cos x + m ( cos x − 1)  = ; cos 2x = m ( 1) ⇔ ( cos x + 1) [ cos 2x − m ] = ⇔  ; cos x = − ( )   2π  Phương trình (2) ⇔ x = π + k2π,k ∈ ¢ Vì x ∈ 0;  nên không tồn k thỏa  3  2π  mãn Vậy phương trình (2) vơ nghiệm  0;  Do đó, để phương trình có  3  2π  hai nghiệm thuộc đoạn  0;  phương trình (1) có hai nghiệm  3  2π  thuộc đoạn  0;  Xét phương trình (1): cos 2x = m , đặt 2x = t với  3  2π   4π   4π  x ∈ 0;  ⇒ t = 2x ∈ 0;  Ta có đồ thị hàm số y = cos t  0;  :  3  3  3  4π  Từ đồ thị ta có phương trình có hai nghiệm phân biệt  0;   3 −1 < m ≤ −1 Vậy đáp án D  Bài tập tương tự Bài Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình sin 2x + 3m = 2cos x + 3msin x ( *) có nhiều nghiệm khoảng ( 0;π ) B −1 < m ≤ ; A −1 < m < C −2 3