TỐN TỰ HỌC TỐN Tự học Tốn Năm học 2019-2020 MỤC LỤC CHƯƠNG Căn bậc hai, bậc ba Căn bậc hai A Tóm tắt lý thuyết Phương pháp giải toán √ Căn thức bậc hai đẳng thức A2 = |A| B A Tóm tắt lí thuyết B Phương pháp giải toán C Các dạng toán Dạng Phá dấu trị tuyệt đối √ Dạng Điều kiện để A có nghĩa √ Dạng Sử dụng đẳng thức A2 = |A| 10 Dạng Giải phương trình - Bất phương trình 13 D Bài tập tự luyện 14 CHƯƠNG Căn bậc hai, bậc ba 21 Liên hệ phép nhân phép khai phương 21 A Tóm tắt lí thuyết 21 B Các dạng toán 21 C Bài tập tự luyện 27 LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG 32 A Tóm tắt lí thuyết 32 Dạng Khai phương thương 32 Dạng Chia hai thức bậc hai 32 B Phương pháp giải toán 33 C Bài tập tự luyện 37 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai 40 A Tóm tắt lí thuyết 40 B Các dạng toán 41 Dạng Đưa thừa số vào dấu 41 Dạng Khử mẫu biểu thức dấu căn-Phép nhân liên hợp 43 Dạng Sử dụng phép biến đổi thức bậc hai cho toán rút gọn chứng minh đẳng thức 44 Dạng Sử dụng phép biến đổi thức bậc hai giải phương trình 47 Rút gọn biểu thức có chứa bậc hai 55 A Tóm tắt lí thuyết 55 B Các dạng toán 55 Dạng Thực phép tính rút gọn biểu thức có chứa bậc hai 55 Tự học Toán C Năm học 2019-2020 Vấn đề 2: Giải phương trình 64 CĂN BẬC BA - CĂN BẬC n 69 A Tóm tắt lí thuyết 69 B Phương pháp giải toán 70 C KHỬ MẪU CHƯA CĂN BẬC BA 77 D GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BẬC BA 78 CHƯƠNG HÀM SỐ BẬC NHẤT 81 Nhắc lại bổ sung khái niệm hàm số 81 A Tóm tắt lí thuyết 81 B Các dạng toán 81 Dạng Sự xác định hàm số 81 Dạng Tìm tập xác định hàm số 83 Dạng Xét tính chất biến thiên hàm số 87 CHƯƠNG Hàm số bậc Hàm số bậc 101 A Tóm tắt lý thuyết 101 B Phương pháp giải toán 101 C Bài tập luyện tập 103 CHƯƠNG Hàm số bậc 101 107 Đồ thị hàm số bậc 107 A Tóm tắt lý thuyết 107 B Phương pháp giải toán 108 C Bài tập luyện tập 112 Đường thẳng song song đường thẳng cắt 116 A Tóm tắt lí thuyết 116 B Phương pháp giải toán 116 C Bài tập luyện tập 121 Hệ số góc đường thẳng 123 A Tóm tắt lí thuyết 123 B Phương pháp giải toán 124 Dạng Hệ số góc đường thẳng 124 Dạng Lập phương trình đường thẳng biết hệ số góc 125 C Bài tập tự luyện 128 CHƯƠNG Hệ thức lượng tam giác vng 131 Tự học Tốn Năm học 2019-2020 Một số hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông 131 A Tóm tắt lí thuyết 131 B Phương pháp giải toán 132 Dạng Giải toán định lượng 132 Dạng Giải tốn định tính 133 C Bài tập tự luyện 134 CHƯƠNG Hệ thức lượng tam giác vuông 139 Tỉ số lượng giác 139 A Tóm tắt lí thuyết 139 B Phương pháp giải toán 140 Dạng Giải toán định lượng 140 Dạng Giải toán định tính 140 C Bài tập tự luyện 141 CHƯƠNG Đường tròn 143 Sự xác định đường trịn - Tính chất đối xứng đường tròn 143 A Tóm tắt lí thuyết 143 B Các dạng toán 145 Dạng Chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn 145 Dạng Quỹ tích điểm đường tròn 146 Dạng Dựng đường tròn 148 ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG CỦA ĐƯỜNG TRỊN 156 A Tóm tắt lí thuyết 156 B Phương pháp giải toán 156 Dạng Giải tốn định tính định lượng 156 Dạng Giải toán dựng hình 159 Dạng Giải tốn quỹ tích 159 LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY 162 A Tóm tắt lí thuyết 162 B Phương pháp giải toán 162 C Bài tập luyện tập 162 CHỦ ĐỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 163 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 163 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 164 CHỦ ĐỀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN 170 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 170 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 170 Dạng DỰNG TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN 170 Tự học Tốn Năm học 2019-2020 Dạng GIẢI BÀI TỐN ĐỊNH TÍNH VÀ ĐỊNH LƯỢNG 173 Dạng Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn 174 Dạng Sử dụng tính chất tiếp tuyến để tìm quỹ tích 176 TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU 185 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 185 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 186 C BÀI TẬP LUYỆN TẬP 187 D HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ 188 Vị trí tương đối hai đường tròn 191 A Tóm tắt lý thuyết 191 B Phương pháp giải toán 195 C Bài tập luyện tập 199 CHƯƠNG Hệ hai phương trình bậc ẩn 207 Phương trình bậc hai ẩn số 207 A Tóm tắt lý thuyết 207 B Phương pháp giải toán 208 C Bài tập luyện tập 213 Hệ hai phương trình bậc hai ẩn 217 A Tóm tắt lí thuyết 217 B Các dạng toán 218 Giải hệ phương trình phương pháp 228 A Tóm tắt lí thuyết 228 B Phương pháp giải toán 229 Dạng Giải hệ phương trình 229 Dạng Sử dụng hệ phương trình giải tốn 238 Giải hệ phương trình phương pháp cộng 250 A Tóm tắt lí thuyết 250 B Các dạng toán 251 Dạng Giải hệ phương trình 251 Dạng Sử dụng hệ phương trình giải toán 257 C Bài tập luyện tập 260 Giải tốn cách lập hệ phương trình 263 A Tóm tắt lí thuyết 263 B Các dạng toán 263 Dạng Bài toán chuyển động 263 Dạng Bài tốn vịi nước 268 CHƯƠNG 10 Hàm số y = ax2 Phương trình bậc hai ẩn số 273 Tự học Toán Năm học 2019-2020 Hàm số y = ax2 , (a = 0) 273 A Tóm tắt lí thuyết 273 B Phương pháp giải toán 273 Đồ thị hàm số y = ax2 , a = 278 A Tóm tắt lí thuyết 278 B Phương pháp giải toán 278 Phương trình bậc hai ẩn số 288 A TĨM TẮT LÍ THUYẾT 288 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 288 C BÀI TẬP LUYỆN TẬP 293 Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai 298 A Tóm tắt lí thuyết 298 B Các dạng toán 298 Dạng Giải phương trình bậc hai 298 Dạng Điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai 303 Dạng Nghiệm nguyên nghiệm hữu tỉ phương trình bậc hai 310 C Bài tập luyện tập 311 CHỦ ĐỀ 5: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ CÁC ỨNG DỤNG 321 A A TĨM TẮT LÍ THUYẾT 321 Dạng Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai 321 Dạng Tìm hai số biết tổng tích chúng 323 Dạng Tìm giá trị biểu thức đối xứng nghiệm 328 Dạng Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào tham số 329 Dạng Xét dấu nghiệm 332 Dạng Tìm giá trị tham số để nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước 334 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 348 A Phương pháp giải toán 348 Dạng Giải phương trình tích 348 Dạng Sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình phương trình bậc hai 350 Dạng Giải phương trình chứa ẩn mẫu 351 Dạng Giải phương trình bậc ba 354 Dạng Giải phương trình trùng phương 357 Dạng Giải phương trình hồi quy phản hồi quy 359 Dạng Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (1), với a + b = c + d362 Dạng Phương trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c (1) 363 Dạng Sử dụng phương trình bậc hai giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 365 Dạng 10 Sử dụng phương trình bậc hai giải phương trình chứa thức 366 B Bài tập 368 Tự học Toán Năm học 2019-2020 GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 384 A Tóm tắt lí thuyết 384 B Phương pháp giải toán 384 Dạng Bài toán chuyển động 384 Dạng Bài toán số chữ số 387 Dạng Bài tốn vịi nước 390 Dạng Bài tốn có nội dung hình học 391 Dạng Bài toán phần trăm - suất 393 C Bài tập luyện tập 395 CHƯƠNG 11 Góc với đường trịn 401 Góc tâm - Số đo cung 401 A Tóm tắt lí thuyết 401 B Phương pháp giải toán 401 C Bài tập tự luyện 404 Liên hệ cung dây 406 A Tóm tắt lí thuyết 406 B Phương pháp giải toán 407 C Bài tập tự luyện 410 Góc nội tiếp 412 A Tóm tắt lí thuyết 412 B Các dạng toán 414 Dạng Giải toán định lượng 414 Dạng Giải tốn định tính 415 Góc tạo tiếp tuyến dây cung 425 A Tóm tắt lí thuyết 425 B Các dạng toán 425 Dạng Giải toán định tính 425 Dạng Giải toán định lượng 427 C Bài tập tự luyện 428 Góc có đỉnh bên đường trịn, góc có đỉnh bên ngồi đường tròn 433 A Tóm tắt lý thuyết 433 B Phương pháp giải toán 434 C Bài tập luyện tập 436 CHƯƠNG 12 GÓC VỚI ĐƯỜNG TRỊN 443 CUNG CHỨA GĨC 443 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 443 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 444 Tự học Toán Năm học 2019-2020 Dạng TÌM QUỸ TÍCH CÁC ĐIỂM M TẠO THÀNH VỚI HAI MÚT CỦA ĐOẠN ÷ THẲNG AB CHO TRƯỚC MỘT GĨC AM B CĨ SỐ ĐO KHƠNG ĐỔI BẰNG α (0◦ < α < 180◦ ) 444 Dạng DỰNG CUNG CHỨA GÓC α (0◦ < α < 180◦ ) TRÊN ĐOẠN THẲNG AB = a CHO TRƯỚC 448 Dạng SỬ DỤNG QUỸ TÍCH CUNG CHỨA GĨC CHỨNG MINH NHIỀU ĐIỂM CÙNG NẰM TRÊN MỘT ĐƯỜNG TRÒN 451 Dạng TOÁN TỔNG HỢP 453 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 454 CHƯƠNG 13 Góc với đường trịn 465 Tứ giác nội tiếp 465 A B Tóm tắt lí thuyết 465 Phương pháp giải toán 466 Dạng Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn 466 Dạng Sử dụng tứ giác nội tiếp giải toán hình học 468 C Bài tập luyện tập 472 Đường tròn ngoại tiếp - Đường tròn nội tiếp 478 A Tóm tắt lí thuyết 478 B Phương pháp giải toán 479 C Bài tập luyện tập 483 Độ dài đường tròn, cung tròn 485 A Tóm tắt lý thuyết 485 B Các ví dụ 486 Diện tích hình trịn, hình quạt trịn 491 A Tóm tắt lí thuyết 491 B Phương pháp giải toán 492 CHƯƠNG 14 Hình cầu, hình trụ, hình nón 499 HÌNH CẦU - DIỆN TÍCH MẶT CẦU 499 A Tóm tắt lí thuyết 499 B Phương pháp giải toán 499 C Bài tập tự luyện 501 Tự học Toán Năm học 2019-2020 CHƯƠNG CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA BÀI CĂN BẬC HAI A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Căn bậc hai số Định nghĩa Căn bậc hai số học số a ≥ số x khơng âm mà bình phương √ a Ký hiệu a x≥0 √ x= a⇔ , với a ≥ x2 = a Tổng quát R: Mọi số dương a > có hai bậc hai hai số đối √ a > gọi bậc hai số học hay gọi bậc hai dương a √ − a < gọi bậc hai âm a Số có bậc hai Số âm khơng có bậc hai So sánh bậc hai số học Định lí Với hai số a, b khơng âm, ta có a < b ⇔ √ a< √ b B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN VÍ DỤ Tính √ √ 16; 1,44; (−8)2 ✍ LỜI GIẢI Ta có √ 16 = > 42 = 16 √ 1,44 = 1,2 1,2 > (1,2)2 = 1,44 √ (−8)2 = 64 = > 82 = 64 Rất nhiều học sinh nhầm lẫn công thức » √ a2 = a, dẫn tới cho (−8)2 = −8 √ Cần ý a2 = |a|, (−8)2 = | − 8| = ! HDedu - Page Tự học Tốn Năm học 2019-2020 VÍ DỤ Tính giá trị biểu thức sau … √ a) 0,16 + 25 … √ b) − 0,36 16 ✍ LỜI GIẢI …  Å ã  Å ã √ 4 2 2 0,16 + = + = + = 25  Å10 ã  Å ã 5 … 2 √ 7 23 − 0,36 = − = − = 16 10 20 VÍ DỤ Trong số √ (−3)2 ; 32 ; − √ (−3)2 ; − 32 số bậc hai số học ✍ LỜI GIẢI √ Ta có = 3, mà • (−3)2 = | − 3| = > • − (−3)2 = −| − 3| = −3 < √ Vậy (−3)2 ; 32 bậc hai số học √ 32 = |3| = > √ • − 32 = −|3| = −3 < • VÍ DỤ Tìm x, biết a) x2 = 16 b) (x − 1)2 = ✍ LỜI GIẢI 16 Å ã2 x2 = 4 x = x = − 3 Vậy tập nghiệm phương trình ß ™ 4 S= − ; 3 a) Ta có x2 = Å ã2 (x − 1)2 = 1 x − = x − = − 3 x = x = 3 Vậy tập nghiệm phương trình ß ™ S= − ; 3 b) Ta có (x − 1)2 = Nhận xét Như vậy, thông qua ví dụ làm quen với việc sử dụng khái niệm bậc hai để tìm nghiệm phương trình Tuy nhiên bắt đầu với phương trình dạng x2 = a2 cần biến đổi đơi chút để có dạng sử dụng đẳng thức, cụ thể Å ãÅ ã 16 16 4 4 2 x = ⇔x − =0⇔ x− x+ = ⇔ x = x = − 9 3 3 Ví dụ nâng mức tiếp cận cho HDedu - Page Tự học Tốn Năm học 2019-2020 VÍ DỤ Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng cho điểm B nằm hai điểm A C (hình vẽ bên) Chứng minh độ dài nửa đường tròn đường kính AC tổng độ dài hai nửa đường trịn đường kính AB BC A B C ✍ LỜI GIẢI Gọi C1 , C2 , C3 độ dài nửa đường trịn đường kính AC, AB BC Khi π · π · AC = AC; 2 π C2 = · π · AB = AB; 2 π C3 = · π · BC = BC 2 π π π π Xét C2 + C3 = AB + BC = (AB + BC) = AC = C1 2 2 Vậy C1 = C2 + C3 (điều phải chứng minh) C1 = Nhận xét Người ta phát biểu tốn theo chiều ngược lại sau: “Cho ba điểm A, B, C Chứng minh độ dài đường trịn đường kính AC tổng độ dài đường trịn đường kính AB BC Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng điểm B nằm A C” Từ đó, ta có kết tổng quát: C(AC) ≤ C(AB) + C(BC) C BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI Một tam giác hình vng có chu vi 72cm Hỏi đường trịn ngoại tiếp hình lớn hơn? Lớn bao nhiêu? ✍ LỜI GIẢI Gọi a, b độ dài cạnh tam giác hình vng Suy 3a = 72 ⇔ a = 24(cm); 4b = 72 ⇔ b = 18(cm) Gọi R1 , R2 bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác hình vng Suy √ a 24 R1 = = = (cm); 180◦ sin 60◦ sin √ b 18 R2 = = = (cm) 180◦ sin 45◦ sin Khi √ C1 = 2πR1 = 16π ≈ 87,06 (cm); √ C2 = 2πR2 = 18π ≈ 79,97 (cm) Vậy C1 > C2 C1 − C2 ≈ 7,08 HDedu - Page 489 Tự học Toán Năm học 2019-2020 BÀI Cho đoạn thẳng AD = 12cm Các điểm B, C thuộc đoạn thẳng AD cho AB = CD Vẽ đường trịn có đường kính theo thứ tự AD BC Biết chu vi đường tròn lớn ba lần chu vi đường trịn nhỏ Tính chu vi đường trịn nhỏ ✍ LỜI GIẢI Ta có đường trịn lớn đường trịn đường kính AD nên bán kính R = AD : = (cm) Do chu vi đường tròn lớn ba lần chu vi đường tròn nhỏ nên bán kính đường trịn lớn gấp ba lần bán kính đường trịn nhỏ Suy đường trịn đường kính BC có bán A kính r = R : = : = (cm) Vậy chu vi đường tròn nhỏ B O D C C = 2πr = 2π · = 4π BÀI Cho hai đường tròn (O; R) (O ; R ) tiếp xúc với A Một đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) B, cắt đường tròn (O ) C Chứng minh R = R độ dài ˜ ˜ AC nửa độ dài AB (chỉ xét cung AC, AB nhỏ nửa đường tròn) ✍ LỜI GIẢI Xét đường tròn (O), ’ = OBA; ’ AOB cân O nên OAB ’ Tương tự, đường tròn (O ), O AC cân O nên O AC = ’ O CA ’ =O ’ Mà OAB AC (hai góc đối đỉnh) ’ =O ’ Do OBA CA Xét hai tam giác OAB O AC có ’ =O ’ OBA CA (chứng minh trên) B O A O C ’ =O ’ OAB AC (đối đỉnh) ⇒ OAB O AC (góc - góc) AC AO R ⇒ = = AB AO R ˜ nửa độ dài AB ˜ Vậy R = R độ dài AC BÀI Cho ABC vuông A, C = 30◦ AB = 4cm Vẽ đường cao AH Gọi M N theo thứ tự trung điểm AB AC Chứng minh tứ giác AM HN nội tiếp Tính độ dài đường trịn ngoại tiếp tứ giác AM HN ✍ LỜI GIẢI HDedu - Page 490 Tự học Toán Năm học 2019-2020 Tam giác vng AHB có HM trung tuyến nên M H = M A; A Tam giác vuông AHC có HN trung tuyến nên N H = N A Xét ⇒ M AN  M HN có  M A = M H (chứng minh trên)   N A = N H (chứng minh trên)    M N : cạnh chung M AN = M HN (cạnh - cạnh - cạnh) M I N 30◦ B H C “ = A = 90◦ ⇒H “ + A = 90◦ + 90◦ = 180◦ nên nội tiếp Tứ giác AM HN có H đường trịn tâm I đường kính M N b) Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn tam giác vng ABC, ta có AB AB sin C = ⇒ BC = = = (cm) ◦ BC sin 30 Lại có M N đường trung bình ABC nên 1 M N = BC = · = (cm) 2 1 Suy đường tròn ngoại tiếp tứ giác AM HN có bán kính R = M N = · = (cm) 2 Vậy độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác AM HN C = 2πR = 2π · = 4π (cm) BÀI Cho hình vng ABCD có AC = 4cm Ở phía ngồi hình vng vẽ nửa đường trịn có đường kính theo thứ tự AB, BC, CD, DA Bốn nửa đường trịn tạo thành hình hoa bốn cánh Tính chu vi hình hoa ✍ LỜI GIẢI Giả sử a độ dài cạnh hình vng ABCD Do AC = 4cm nên theo định lý Py-Ta-Go, ta có D C A B √ AC = 2a2 ⇔ 42 = 2a2 ⇒ a = 2(cm) Chu vi hình hoa bốn cánh tạo thành từ bốn nửa đường tròn √ C = · (πd : 2) = · π · a = · π · 2 ≈ 17,78(cm) BÀI DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN, HÌNH QUẠT TRỊN A TĨM TẮT LÍ THUYẾT HDedu - Page 491 Tự học Tốn Năm học 2019-2020 Diện tích hình trịn Diện tích hình trịn bán kính R S = πR2 Diện tích hình quạt trịn Định nghĩa Hình quạt trịn phần hình tròn bao gồm cung tròn hai bán kính qua hai đầu mút cung B Trong hình minh họa bên, ta có hình quạt trịn AOB (miền in đậm) Diện tích hình quạt n◦ bán kính R cho bởi: Squạt = A πR2 n 360 O Diện tích hình viên phân Định nghĩa Hình viên phân phần hình trịn bao gồm cung trịn dây trương cung A Trong hình minh họa bên, ta có hình viên phân AmB (miền in đậm) Diện tích hình viên phân AmB cho bởi: SAmB = Squạt AOB − S AOB m O B B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN VÍ DỤ (Bài 77/tr 98 - Sgk) Tính diện tích hình trịn nội tiếp hình vng có cạnh cm ✍ LỜI GIẢI Hình trịn nội tiếp hình vng có đường kính d cạnh hình vng: d = cm πd2 π42 Hình trịn nội tiếp hình vuông cạnh cm là: S = = = 4π ≈ 12,56 cm2 4 VÍ DỤ Tính diện tích hình trịn, biết: Bán kính cm Đường kính 12 cm Chu vi đường trịn 18π ✍ LỜI GIẢI HDedu - Page 492 Tự học Toán Năm học 2019-2020 Với giả thiết, ta có: R = cm ⇒ S = π · 82 = 64π cm2 Với giả thiết, ta có: 2R = cm ⇔ R = cm ⇒ S = π · 42 = 16π cm2 Với giả thiết, ta có: 2πR = 18π ⇔ R = cm ⇒ S = π · 92 = 81π cm2 VÍ DỤ (Bài 81/tr 99 - Sgk) Diện tích hình tròn thay đổi nếu: Bán kính tăng gấp đơi? Bán kính tăng gấp ba? Bán kính tăng gấp k lần (k > 1)? ✍ LỜI GIẢI Diện tích hình trịn có bán kính (kR) S = π(kR)2 = k (πR) Nếu bán kính tăng gấp đơi diện tích hình trịn tăng gấp lần Nếu bán kính tăng gấp ba diện tích hình trịn tăng gấp lần Nếu bán kính tăng gấp k lần diện tích hình trịn tăng gấp k lần VÍ DỤ (Bài 79/tr 98 - Sgk) Tính diện tích hình quạt trịn có bán kính cm góc tâm tương ứng 36◦ ✍ LỜI GIẢI Ta có Squạt = πR2 n π62 36 = ≈ 11,3 cm2 360 360 ’ = 60◦ bán kính đường VÍ DỤ Tính diện tích hình viên phân AmB (hình trên), biết AOB trịn cm ✍ LỜI GIẢI Ta có SAmB = Squạt AOB − S AOB √ π82 60 82 = − ≈ 5,79 cm2 360 VÍ DỤ (Bài 87/ tr 100 - Sgk) Lấy cạnh BC tam giác làm đường kính, vẽ nửa đường trịn phía với tam giác đường thẳng BC Cho biết cạnh BC = a, tính diện tích hai hình viên phân tạo thành ✍ LỜI GIẢI Bạn đọc tự vẽ hình a Gọi O trung điểm BC, ta có OB = OC = Gọi D, E theo thứ tự giao điểm AB AC với đường trịn đường kính BC Dễ thấy OAB, OEC tam giác Từ đó, ta có diện tích hai hình viên phân gạch sọc ñ √ ô ñ √ ô πa2 a a π S=2 − · · · = − a ≈ 0,045a2 24 2 2 12 HDedu - Page 493 Tự học Toán Năm học 2019-2020 “ = 60◦ Vẽ nửa đường trịn tâm O đường VÍ DỤ Cho ABC vng A có AB = 10 m, B kính BC qua điểm A Tính tổng diện tích hai hình viên phân ứng với cung AB cung AC ✍ LỜI GIẢI A Tổng diện tích hai hình viên phân diện tích nửa hình trịn trừ diện tích tam giác ABC πOB π · 100 = = 50π m2 C 2 √ Với ABC, ta có: AC = AB · tan 60◦ = 10 m; BC = 2AB = 20 m √ √ 1 Diện tích tam giác ABC: S ABC = AB · AC = 10 · 10 = 50 m2 2 √ √ Suy ra, tổng diện tích hai hình viên phân 50π − 50 = 50(π − 3) m2 Diện tích nửa đường trịn: O B VÍ DỤ (Bài 83/tr99 - Sgk) Vẽ lại hình sgk (tạo cung tròn) với HI = 10 cm HO = BI = cm Nêu cách vẽ Tính diện tính hình HOABINH (miền gạch sọc) Chứng tỏ hình trịn đường kính N A có diện tích với hình HOABINH ✍ LỜI GIẢI Bạn đọc tự vẽ hình Cách vẽ: Kẻ đường thẳng HI = 10 cm Vẽ cung trịn HI có số đo 180◦ Lấy O thuộc đoạn HI cho HO = cm Vẽ cung trịn HO có số đo 180◦ đường tròn (S1 ; 5cm) Lấy B thuộc đoạn HI cho BI = cm Vẽ cung trịn BI có số đo 180◦ đường trịn (S2 ; 1cm) Vẽ cung trịn BO có số đo 180◦ đường tròn (S3 ; 1cm) Ta có diện tích hình gạch sọc Å ã HI OB HO2 100 36 S=π +π −π =π + − = 16π(cm2 ) 8 8 Ta có AN = + = (cm) Diện tích hình quạt trịn đường kính N A S = π82 = 16π(cm2 ) VÍ DỤ Tính diện tích phần gạch sọc hình ✍ LỜI GIẢI HDedu - Page 494 Tự học Tốn Năm học 2019-2020 Diện tích phải tìm hiệu diện tích hình thang vng ◦ A D ABCD hình quạt 30 a Kẻ DH ⊥ BC, ta được: √ a a DH = CD · sin 30◦ = , HC = CD · cos 30◦ = , AD = √ a B BH = BC − HC = a − H 2Ç √ å √ a a a a πa2 Khi đó, ta có: SABCD = a+a− = − Squạt = 2 2 12 30◦ C Diện tích phải tìm: S = SABCD − Squạt √ ä √ a2 a πa2 a2 Ä = − − = 12 − 3 − 2π ≈ 0,025a2 12 24 C BÀI TẬP LUYỆN TẬP BÀI Một hình vng hình trịn có chu vi Hỏi hình có diện tích lớn hơn? ✍ LỜI GIẢI Gọi C độ dài chu vi hình vng hình trịn Gọi a độ dài cạnh hình vuồn, suy C = 4a ⇔ a = C C2 ⇒ Shv = a2 = 16 Gọi R bán kính hình trịn, suy ra: C = 2πR ⇔ R = C C2 C2 C2 ⇒ Shv = πR2 = π = > 2π 4π 4π 16 Vậy diện tích hình trịn lớn hình vng BÀI Cho ABC nội tiếp đường trịn (O; 6cm) Tính diện tích viên phân giới hạn dây BC cung nhỏ BC ✍ LỜI GIẢI Hướng dẫn: Ta có SBmC = Squạt BOC − S BOC BÀI Hình vành khăn phần hình trịn bao gồm hai đường trịn đồng tâm Tính diện tích hình vành khăn tạo thành đường tròn nội tiếp đường tròn ngoại tiếp tam giác có cạnh cm ✍ LỜI GIẢI Gọi R, r theo thứ tự bán kính đường trịn ngoại tiếp bán kính đường trịn nội tiếp tam giác đều, ta có: √ √ a = 3cm ⇒ S = πR = π(2 3) = 12πcm2 ◦ = ngoại tiếp 180 sin 60◦ sin √ √ a r= = 3cm ⇒ S = πr = π( 3) = 3πcm2 ◦ = nội tiếp 180 tan 60◦ tan R= Khi hình vành khăn có diện tích S = Sngoại tiếp − Snội tiếp = 12π − 3π = 9π cm2 BÀI (Bài 84/tr 99 - Sgk) HDedu - Page 495 Tự học Tốn Năm học 2019-2020 Vẽ lại hình tạo cung tròn xuất phát từ đỉnh C tam giác ABC cạnh cm Nêu cách vẽ Tính diện tích miền gạch sọc ✍ LỜI GIẢI Cách vẽ: Vẽ cung CD có số đo 120◦ đường trịn (A; 1cm) Vẽ cung DE có số đo 120◦ đường tròn (B; 2cm) Vẽ cung EF có số đo 120◦ đường trịn (C; 3cm) π π22 π32 Diện tích miền gạch sọc S = + + ≈ 14,65(cm2 ) 3 BÀI Một đường trịn có độ dài 72 cm Tính diện tích hình viên phân tạo thành cạnh tam giác nội tiếp cung nhỏ bị trương ✍ LỜI GIẢI chu vi 72 = (cm) 2π π Diện tích hình viên phân giới hạn cung nhỏ AB cạnh AB √ √ πR2 722 · 722 S = Squạt − S AOB = − R = − ≈ 547 (cm2 ) 3π 4π A Bán kính đường trịn R = O B C √ BÀI Cho đường tròn (O; 2cm), điểm M có M O = 2 cm Qua M kẻ hai tiếp tuyến M A, M B với đường trịn (A, B tiếp điểm) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng M A, M B cung nhỏ AB ✍ LỜI GIẢI Các tam giác OBM, OAM tam giác vuông cân Do đó, tứ giác OBM A hình vng Gọi S diện tích A hình giới hạn M A, M B cung nhỏ AB Ta có S = SOBM A − Squạt OAB πR2 · 90 = OA · BM − 360 π·4 =2·2− = − π ≈ 0,858(cm2 ) O M B BÀI Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R, C điểm cung AB Vẽ cung AB có tâm C bán kính CA Tính diện tích hình trăng giới hạn cung AB đường trịn (C) cung AB khơng chứa C đường trịn (O) ✍ LỜI GIẢI HDedu - Page 496 Tự học Tốn Năm học 2019-2020 Gọi Străng diện tích cần tìm Ta có A Străng = Sviên phân AnB − Sviên phân AmB, Trong đó: Sviên phân AnB = πR2 ; n Sviên phân AmB = Squạt CAB − S CAB √ 90 = π(R 2)2 − R2 360 = πR2 − R2 ≈ 0, 57R2 Suy ra, diện tích cần tìm Străng = πR2 − 0, 57R2 ≈ R2 m O C B HDedu - Page 497 Tự học Toán Năm học 2019-2020 HDedu - Page 498 Tự học Tốn Năm học 2019-2020 CHƯƠNG 14 HÌNH CẦU, HÌNH TRỤ, HÌNH NĨN BÀI HÌNH CẦU - DIỆN TÍCH MẶT CẦU A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Cho hình cầu có bán kính đáy R A O B Khi cắt hình cầu mặt phẳng mặt cắt hình trịn Khi cắt mặt cầu mặt phẳng mặt cắt đường trịn: – Đường trịn có bán kính R mặt phẳng qua tâm (gọi đường tròn lớn) – Đường trịn có bán kính nhỏ R mặt phẳng khơng qua tâm Diện tích mặt cầu tính theo cơng thức S = 4πR2 Thể tích hình cầu tính theo cơng thức V = πR3 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN √ 5a VÍ DỤ Cho hình cầu có bán kính R = Tính diện tích mặt cầu Tính thể tích khối cầu tương ứng ✍ LỜI GIẢI HDedu - Page 499 Tự học Toán Năm học 2019-2020 √ å2 5a Ta có S = 4πR2 = 4π = 50πa2 Ç √ å3 √ 5a 125a3 2 Ta có V = πR = 3 Ç A B O VÍ DỤ A Một chi tiết máy gồm hình trụ hai nửa hình cầu với kích thước cho hình (đơn vị : cm) O Tìm hệ thức liên hệ x h AA có độ dài không đổi 2a Với điều kiện cầu a), tính diện tích bề mặt thể tích chi tiết 2x h O máy theo x a A ✍ LỜI GIẢI Bán kính hình cầu x Ta có AA = h + 2x ⇒ 2a = h + 2x ⇒ y = 2a − 2x Diện tích hình trụ 2πxh = 4π(a − x)x Diện tích hai nửa mặt cầu 4πx2 Diện tích bề mặt chi tiết máy 4π(a − x)x + 4πx2 = 4πax Thể tích phần hình trụ V1 = πx2 h = 2πx2 (a − x) Thể tích nửa hình cầu V2 = πx3 Thể tích chi tiết máy V1 + V2 = 2πx2 (a − x) + πx3 = πx3 (3a − 1) 3 VÍ DỤ Cho hình vng ABCD nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R GEF tam giác nội tiếp đường trịn đó, EF dây song song với AB Cho hình quay xung quanh trục GO Chứng minh Bình phương thể tích hình trụ sinh hình vng tích thể tích hình cầu sinh hình trịn thể tích hình nón tam giác sinh Bình phương diện tích tồn phần hình trụ tích diện tích hình cầu diện tích tồn phần hình nón ✍ LỜI GIẢI HDedu - Page 500 Tự học Toán Năm học 2019-2020 G G B A A B D C O E D F C E F Gọi r bán kính đường trịn ngoại tiếp, ta có: √ Cạnh hình vng AB = AD = r √ Cạnh tam giác EF = r Khi quay xung quanh OG, hình vng tạo thành hình trụ có: √ r Bán kính đáy R = AB = √ Chiều cao h = AD Ç = √ rå22 √ √ r πr3 Thể tích V1 = π ·r 2= 2 Khi quay xung quanh OG, GEF √tạo thành hình nón có: r Bán kính đáy: R = EF = √ Chiều cao: h = r Ç √ å r 3r Thể tích: V2 = π · = πr3 2 Khi quay xung quanh OG, hình trịn tạo thành hình cầu có V3 = πr3 Ta có:Ç √ å2 πr π r6 V12 = = , 2 3 π r6 V2 V3 = πr · πr = 2 Từ (1) (2) suy V1 = V2 · V3 Tương tự, ta có diện tích tồn phần hình trụ: S1 = 3π Diện tích tồn phần hình nón S2 = πr2 Diện tích mặt cầu: S3 = 4πr2 Từ đó, ta có: S12 = (3πr2 ) = 9π r4 , S2 S3 = πr2 · 4πr2 = 9π r4 Vậy, ta thấy S12 = S2 · S3 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI Điền vào ô trống bảng sau HDedu - Page 501 (1) (2) Tự học Toán Năm học 2019-2020 Bán kính hình cầu 0,3 mm 6,21 dm 0,283 m 100 km hm 50 dam Diện tích mặt cầu Thể tích hình cầu ✍ LỜI GIẢI Ta có bảng kết r 0,3 mm 6,21 dm 0,283 m 100 km hm 50 dam S 0,36π mm2 154,26π dm2 0,32π m2 40000π 144π 10000π V 0,036π mm3 319,31π dm3 0,03π m3 1333333π 288π 166667π √ a BÀI Cho hình cầu có bán kính R = Tính diện tích mặt cầu thể tích hình cầu ✍ LỜI GIẢI Ç √ å2 a Diện tích mặt cầu: S = 4πR2 = 4π = 2πa2 Ç √ å3 √ 4 a πa3 Thể tích hình cầu: V = πR = π = 3 BÀI Cho hình cầu bán kính R, hình nón nội tiếp hình cầu có đường cao x (0 < x < 2R) Tính thể tích V diện tích xung quanh S hình nón Tìm hệ thức liên hệ V , R, S độc lập với x Với giá trị x V lớn ✍ LỜI GIẢI C O A I B D HDedu - Page 502 Tự học Toán Năm học 2019-2020 Gọi I tâm đường trịn đáy hình nón hay CI = x Khi OI = |x − R| √ Xét tam giác vng OIB ta có: r = IB = OB − OI = R2 − (x − R)2 = x(2R − x) Thể 1 tích hình nón: V πr2 h = πx2 (2R − x) 3 √ √ Độ dài đường sinh: l = CB = CI + IB = x2 + x(2R − x) = 2Rx √ Diện tích xung quanh hình nón: S = πrl = π x(2R − x) 2Rx = πx 2R(2R − x) S = π x2 · 2R(2R − x) = 6πR · πx2 (2R − x) = 6πRV 3 Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ta có: Ñx x é3 + + 2R − x x x 32πR3 2 V = π · · (2R − x) ≤ π = 2 3 81 Dấu “= ” xảy x 4R = 2R − x ⇔ x = HDedu - Page 503 ... = 16 ⇔ x = 17 Vậy phương trình có nghiệm x = HDedu - Page 19 Tự học Toán Năm học 20 19- 2020 HDedu - Page 20 Tự học Toán Năm học 20 19- 2020 CHƯƠNG BÀI CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA LIÊN HỆ GIỮA PHÉP... x−1−x HDedu - Page 35 Tự học Toán Năm học 20 19- 2020 Trước hết, ta đơn giản biểu thức với giá trị x, cách: √ √ √ 53 53 (9 + 7) 53 (9 + 7) √ = √ √ = x= = + 81 − 28 9? ??2 (9 − 7) (9 + 7) Khi đó: » » √... - Page 26 Tự học Toán Năm học 20 19- 2020 ⇔  x≥3    x=3    x = −2 ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = C BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI Tính √ 49 · 100 24 · (? ?9) 2 √ 72 · 32 √ 12,1 · 490 ✍ LỜI