Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Tốn BÍ KÍP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH CHỈ TRONG 10 PHÚT - Khi máy tính casio bó tay - Khi kỹ phân tích nhân tử đưa phương trình tích vơ hiệu hóa  Các em học sinh phải xử lý ? Hãy áp dụng phương pháp cực hữu ích sau Chuyên đề Phƣơng pháp miền giá trị giải hệ phƣơng trình Dấu hiệu nhận biết:  Trƣờng hợp 1: Hệ có phương trình bậc với x, y Cách giải: Coi phương trình bậc ẩn x , giải    điều kiện y Coi phương trình bậc ẩn y , giải    điều kiện x Dùng điều kiện x, y để đánh giá phương trình cịn lại  Trƣờng hợp 2: Hệ có phương trình bậc hai với x (hoặc bậc hai với y ) Cách giải: Với phương trình (1), coi x ẩn, giải    điều kiện y Với phương trình (2), coi x ẩn, giải    điều kiện y So sánh điều kiện phương trình rút kết luận Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 697  (1) x y  81   x  y  xy  3x  y   (2) Coi (2) phương trình bậc hai ẩn x : x2  ( y  3) x  y  y   Phương trình có nghiệm     ( y  3)  4( y  y  4)   y  y   y  16 y  16   3 y  10 y   1 y  Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Tốn Coi (2) phương trình bậc hai ẩn y : y  ( x  4) y  x  3x   Phương trình có nghiệm     ( x  4)  4( x  x  4)   x  x  16  x  12 x  16   3x  x  0 x 697  7  4 y  1,  , x  0,  x  y         VT(1)  VP(1), 81  3  3 3 3 4 7 VT(1)=VP(1) x  , y  Vậy hệ phương trình có nghiệm  ,  3 3 3 Ví dụ 2: Giải hệ phƣơng trình  2 (1)  (2 x  1)(2 y  1)  xy  2   x  y  xy  x  y  14  (2) Coi (2) phương trình bậc hai ẩn x : x2  ( y  7) x  y  y  14  Phương trình có nghiệm     y  14 y  49  y  24 y  56   3 y  10 y   Coi (2) phương trình bậc hai ẩn y : 1 y  y  ( x  6) y  x  x  14  Phương trình có nghiệm     x  12 x  36  x  28 x  56   3x  16 x  20  2 x x  y  không nghiệm hệ 10 Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán  1  (1)   x   y    (3) x  y  1 Đặt f  t   2t   f '  t      f  t  đồng biến (;0) (0; ) t t  f 1  1 89  7   7  Xét t  1;      89   y   y  1;  y 21  3  f     3    21    10  Xét t   2;      f   7 191  10    2x   x   2;  x 30  10  191  3     30 f  2   x 1 Vậy hệ có nghiệm (1;2)  VT (3)  Dấu “=” xảy   y  Ví dụ 3: Giải hệ phƣơng trình  x2 y  2x  y    2x  4x   y  (1) (2) Coi (1) phương trình bậc hai ẩn x : x2 y  x  y  Phương trình có nghiệm   '    y   1  y  Coi (2) phương trình bậc hai ẩn x : x2  x   y3  (3) Phương trình có nghiệm   '      y3     y3   y  1 (4) Từ (3) (4)  y  1 Thay vào hệ ta x=1 Vậy hệ có nghiệm (1;-1) Bài tập tự luyện  x3  y   2  x  xy  y  y  Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán Chuyên đề Phƣơng pháp nhân chia giải hệ phƣơng trình Dấu hiệu nhận biết:  Trƣờng hợp 1: Hệ phương trình tích  Trƣờng hợp 2: Hệ phương trình chưa phải hệ phương trình tích sử dụng biến đổi đại số để đưa hệ phương trình tích Ví dụ 1: Giải hệ phƣơng trình  x ( x  y ) y   ( x  y ) x  y  (1) (2) Điều kiện: x, y  +) Dễ thấy x  y  nghiệm hệ +) Với x, y  , chia vế phương trình (1) (2) cho ta được: ( x  y) y x  ( x  y) x y  y( x  y)  x( x  y)  x2  5xy  y   x  3y   x  2y Với x  y , thay vào phương trình (1) ta được: 2y y  3y Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán 3y  16 y  y  y (16 y  3)   y3  y    y  Đối chiếu với điều kiện ta được: y 3  x 4 Với x  y , thay vào phương trình (1) ta được: y y 2y  2y y  2y  y3  y  y(2 y 1)  y     y  Đối chiếu với điều kiện ta được: y  x 2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (0, 0); ( Ví dụ 2: Giải hệ phƣơng trình 3 , ) ; ( 2, ) 4 Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán  ( x 1) y  x  y    ( y  2) x  y  x   ( x 1) y  ( x 1)   y    ( y  2) x  ( y  2)  x 1  ( x 1)( y  1)   y   (1) (2)  ( y  2)( x  1)  x 1 +) Nhận thấy x  1, y  nghiệm hệ phương trình +) Với x  1, y  , nhân vế phương trình (1) (2) cho nhau, ta được: ( x2 1)( y 1)  Do (3) x2   y2 1   VT (3)  VP(3) Khi VT(3)=VP(3)  x  y  Thay x  y  vào hệ ban đầu khơng thỏa mãn Vậy hệ có nghiệm (1,2) Ví dụ 3: Giải hệ phƣơng trình   (4  y  x ) x     (4  ) y   y  2x Điều kiện: x, y    4  y  2x x  Hệ phương trình   4    y  2x y  (1) (2) Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Tốn Cộng vế phương trình (1) (2), trừ vế phương trình (1) (2) ta hệ :   8  x     y  2x   y (3)  x y (4) Nhân vế phương trình (3) (4) ta được: 16 12 16   2x  y x y  8x2  2xy  y      y x y x (thỏa mãn) (loại) Với y  x , vào phương trình ban đầu ta được:   x 2 4 x    (16 x 1) x  8x  16 x 1  x  (16 x 1)2  192 x  256 x 160 x  1  5 x  16   52 x  16  Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán 52 52  52 52  Vậy hệ có nghiệm  , ,    8   16   16 Bài tập tự luyện   (1  y  x ) 3x   Bài   (1  ) y   yx   (1   Bài   (1   12 ) x 2 y  3x 12 ) y 6 y  3x Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán Chuyên đề Phƣơng pháp hạng tử tự Chú ý: Ở phương pháp ta cần làm bước sau để giải toán:  Đưa số hạng bậc nhóm  So sánh bậc hai phương trình để tìm cách hợp lí  x3  xy  y  (1) Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  2 (2) 8 y  x  Giải: Thế phương trình (2) vào phương trình (1) ta được: x3  xy  (8 y  x ) y   x3  xy  x y  y  (3)  Nhận thấy x=0 khơng nghiệm hệ phương trình  Khi x  , chia vế phương trình (3) cho x3  ta được: : Đặt  y  y  y           (4)  x  x  x y  t , phương trình (4) có dạng: x 8t  2t  t  1  (2t  1)(4t  t  1)  t  1  x  2 y  y  Thế vào phương trình (2) ta 12 y      y  1 3 1 x 3 x  1   1  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    ; ; ,    3  3 Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán  x3  y  (1) Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  5 2  x  y  x  y (2) Giải: Thế phương trình (1) vào (2) ta x5  y  ( x  y )( x3  y )  x y  x3 y   x2 y ( x  y)  x    y   x   y Nếu x  từ (1) suy y  Nếu y  từ (1) suy x  Nếu x   y từ (1) suy  1, dẫn tới phương trình vơ nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (0;1), (1;0) Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  x3 -8x = y3 +2y  2  x -3 = 3(y +1) Giải:  x3 -8x = y3 +2y  2  x -3 = 3(y +1)  x3  y  2(4 x  y )  2 x  3y  Thế phương trình (2) vào phương trình (1) ta đươc 3( x3  y )  ( x  y )(4 x  y )  3x3  y  x3  x y  12 xy  y  x3  x y  12 xy  x   2  x  xy  12 y  (3) (1) (2) Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Tốn Nếu x=0 từ (2) suy phương trình vơ nghiệm Nếu x  , chia vế phương trình (3) cho x  ta được:  y  y     12    x  x  t   y  x  3y Đặt  t , ta có phương trình sau  t  12t     x t  1  x  4 y   y 1 x  Với x=3y, thay vào phương trình (2) ta y     y  1  x   Với x=-4y, thay vào phương trình (2) ta   x  4 y  13 13 y     x4 y   13  13 13  6  6  ; ; Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   ( 3; 1),(3;1),  4 , 4  13 13   13 13   Ví dụ 4: Giải hệ phƣơng trình (ĐHKA-2011)  x y  xy  y  2( x  y )   2  xy ( x  y )   ( x  y) (1) (2) Giải: Ta có: (2)  ( xy  1)( x2  y  2)   xy  x  y   Nếu xy  từ (1) suy ra: y  y    y  1 Suy ra: (x;y)=(1;1) (x;y)=(-1;-1)  Nếu x  y  từ (1) suy ra: Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán y ( x  y )  xy  x y  2( x  y )   y  xy  x y  2( x  y )   xy   (1  xy )(2 y  x)    x  2y Với x=2y, từ x  y  suy ra:  10 10   10 10  ( x; y )   ; ;  ( x; y )     5 5      10 10   10 10  Vậy hệ có nghiệm: (1;1),(1; 1),  ; ; ,     5   Bài tập tự luyện Giải hệ phƣơng trình sau: Bài  y  y x  3x  y   x  xy   Bài  x x  y  x  y y  x y 5   Bài  x3  y  xy   4 2 x  y  x  y  Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán Chuyên đề Phƣơng pháp hàm đặc trƣng Nội dung phƣơng pháp: Phương pháp ta sử dụng với hệ mà phương trình có x y độc lập với biến đổi hệ phương trình có x y độc lập với Sau xét hàm số f  t  đồng biến (hoặc nghịch biến) D Khi phương trình f (u)  f (v)  u  v Để xuất hàm đặc trƣng cần ý:  Hàm đặc trưng xuất từ (1) (2) phương trình hệ thông qua biến đổi đại số, đặt ẩn phụ chia hai vế phương trình cho biếu thức  Hàm đặc trưng xuất sau cộng trừ hai phương trình hệ  x3 (2  y )  Ví dụ Giải hệ phƣơng trình   x( y  2)  Giải:  Xét x=0 không nghiệm hệ phương trình   y  (1) 3  x (2  y )    x  Xét x  :   x ( y  2)    y3   (2)  x  Cộng phương trình (1) (2) ta được:   y  y (3) x x Xét hàm : f  t   t  3t Ta có f '  t   3t   suy hàm f (t ) đồng biến Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán 1 (3)  f    f ( y ) x  y x Thay vào phương trình (1) ta được:  x  y2 3  x (2  )   x  3x     x  x  1  y  1 1  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    ;2  ,  1; 1 2   x  x  x   y 1  (1) Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  x 1  y  y  y    (2) Giải:   x  1  y 1   x  x  2x       x 1   y  y  y     y  1   x  1  y  1   y 1   3x 1 Trừ hai vế phương trình cho ta đươc:  x  1   x  1   3x1   y  1  Xét hàm f (t )  t  t   3t Ta có f ' (t )   đồng biến t t 1  y  1 (3)  f  x  1  f ( y  1) Thay vào phương trình được:   y 1 (3)  3t ln t  0, t suy hàm f (t ) x y Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán x 1   x  1   3x1 Đặt u  x 1 Ta phương trình u  u   3u    3u u  u      u  Xét hàm: g  u   3u u  u   g '  u   3u ln3 1  0 u    Suy hàm g (u ) nghịch biến Mặt khác, g(0)=1, phương trình có nghiệm u=0 suy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(1;1) 10   x  xy  y  y Ví dụ Giải hệ phƣơng trình    4x   y   (1) (2) Giải: Nhận thấy y  không nghiệm hệ nên ta chia vế phương trình (1) cho y  :ta được: x x     y  y (3)  y y Ta xét hàm: f  t   t  t  f '(t )  5t   Suy hàm f (t ) đồng biến Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán x (3)  f    f ( y )  y x  y y  x  y2 Thay vào phương trình (2):   4x   x     4x     x8 3  4( x  1) x 1  0 4x   x8 3    ( x  1)   0 x8 3  4x    x 1     x   y  1   0  x   x8 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   (1;1) , (1;-1) Ví dụ (ĐHKA-2010) Giải hệ phƣơng trình   x  1 x   y  3  y   2  4 x  y   x  (1) (2) Giải: Đặt  t2  y  t (t  0)  y  1  t (1)   x  1 x  t  2  x  x   1   t  1 t (3)   Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán Ta xét hàm: f  t   (t  1)t  f '(t )  3t   Suy hàm f (t ) đồng biến (3)  f  2x   f (t )  2x  t  2x   y x     4x y   Thế vào (2) ta được: 5  4x    2x2    x  2  Dễ thấy x  0, x  (4), 0 x không nghiệm (4) 5   3 Xét g ( x)  x    x    x  0;  2   4 4 5  g '( x)  x  x   x    12 x  16 x3   4x  4x 2   3  x  x  3   x   0;   4x  4  3 1 Suy hàm g ( x) nghịch biến  0;  Mặt khác g     x  nghiệm  4 2 (4)  y  1  Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y )   ;2    NOTE: Chúng ta xét hàm (a,b) khơng xét hàm [a,b], số trường hợp điểm mút a,b đạo hàm không xác định Vì em nên tách điểm đầu mút xét riêng xem có nghiệm phương trình khơng Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Tốn  e x  y  e x  y   x  1 (1) Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  x  y (2) e  x  y  Giải: Đặt u  x  y, v  x  y Hệ có dạng: eu  ev  u  v    u  1   v  1  eu  v   eu  ev   u  1  eu  eu  v   ev  u   u e  v  (3) (4) Trừ vế (3) (4) cho ta được: ev  eu  u  v  ev  v  eu  u (5) Ta xét hàm: f  t   et  t  f '(t )  et   Suy hàm f (t ) đồng biến (5)  f  u   f (v) uv  x y  x y  y 0 Từ (2)  e x  x   e x  x  (6) Đặt g ( x)  e x  x , g '( x)  e x   Nếu x   g ' ( x)   g ( x) đồng biến (0; )  g ( x)  g (0)  g ( x)  Suy (6) vô nghiệm  Nếu x   g ' ( x)   g ( x) nghịch biến (;0)  g ( x)  g (0)  g ( x)  Suy (6) vô nghiệm  Nếu x   VT(6)  VP(6)   x  nghiệm (6) Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Tốn Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y)  (0;0) Bài tập tự luyện Giải hệ phƣơng trình sau: Bài 2 y  x  x   x  y   y  x   xy  x Bài  2  x  1  x    y  3 y     4x   y   Bài 3   y  y  x  3x  x     1 x  y   y 1 Bài   x   x  y y      2  x   y  1  Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán Chuyên đề Phƣơng pháp đặt ẩn phụ Nội dung phƣơng pháp: Sử dụng phƣơng pháp hệ phƣơng trình có vế phải độc lập với x y Khi ta khử x, y vế phải hai phƣơng trình lựa chọn ẩn phụ cho phù hợp  y  xy  x Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  2 1  x y  x Giải:  Xét x=0 khơng nghiệm hệ phương trình  Xét x  , chia vế hai phương trình cho x  ta được:  y y2 6   x x    y2   x  y1  6  x  x  y       y   y    x x  Đặt u  y ; v   y ta hệ phương trình: x x   u    u.v  u u    v    v  v  v  2u  v    v3  5v  12    v Với u=2, v=3: Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán     x   y    2   y  2x  y  y  2x  x    1     1 x x    x    x    y3 x   x      y     1  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   1;2  ,  ;1 2   xy  y  3x  Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  2  y  x y  2x  (1) (2) Giải:  Ta có x=y=0 nghiệm hệ phương trình  Khi x  0; y  , chia vế phương trình (1) cho x , chia vế phương trình cho y ta được:  y2  y2 y y  2  3  2 3  x x x x    2 1  x  x   x  x  1  y y2 y2  y y2 x2 Đặt u  ; v  ta hệ phương trình x y  u  1   u    v    u   3  u  v  3     v 1    u   3   v 1 v        u  6 v   1  2   v   1 v   v   3v  v      u  3    v     v     Với u= -1,v=1 ta có: Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán  y2   1  x  1  x  1 x    x2    x  y 1   y 1   y Với u  6; v  2 ta có  y2  x3  x  6      x   y    y    Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y     ;   ,  1;1 9   x +y +xy+1 = 4y Ví dụ Giải hệ phƣơng trình  2  y(x+y) = 2x  y  Giải:   x2  x  y  4    x +y +xy+1 = 4y y  y ( x  y )  ( x  1)  y     2 2 y y x y x y y(x+y) = 2x   (  )  2(  1)    ( x  y )  x     y  x2  Đặt u  x  y; v  ta hệ phương trình y  u  u   v   u  v   u  4v  u  4v   v 1     v        u  5 v  10v   u  2v   v  u  2v        v  Với u  3; v  1: Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán      x  1 x y 3  y  3 x y  3 x      y4   x 1    x  1    x 1  x   y 1  y 1   x         y 1     Với u  5; v  :  x  y  5  y  5  x   (vô nghiệm)   x2   x 1  y 9  y 9   Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   (1;4),(2;1)  y  x3 (9  x3 ) Ví dụ 4: Giải hệ phƣơng trình  2 x y  y  6x (1) (2) Giải:  Nhận thấy x=y=0 nghiệm hệ phương hệ phương trình  Xét x  0; y  Chia vế phương trình (1) cho x , chia vế phương trình (2) cho x ta được:   y   y  y y y2    y    x3  x 9  x   (x  y  )   x   [  x   -3y]=9 x  x  x   x    x x     y y  y2   y( x  y )    y( x  )  y x    xy       x x x x     y Đặt u  x  ; v  y ta hệ phương trình: x   v  u (u  3v)   v  u   u   u.v  u  27  y  x   Với u=3;v=3:  x   y3 (hệ vô nghiệm) Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x;y)=(0;0) Bài tập tự luyện Bài 1  x3 y  19 x3  2  y  xy  6 x Bài  x3 (2  y )    x( y  2)  Bài  x  xy  x  y   2  x  x y  3x  y  Bài 1  x3 y  19 x3  2  y  xy   x Bài  x2   y( x  y)  y  ( x  1)( y  x  2)  y Bài 8 x3 y  27  18 x3  2  xy  x  y Bài  xy  x   y  2  x y  xy   13x Bài  x3  xy  216 y   x y  y  24 x ... Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán y ( x  y )  xy  x y  2( x  y )   y  xy  x y  2( x  y )   xy   (1  xy )(2 y  x)    x  2y Với x=2y, từ x  y  suy ra:  10 10   10 10  (... từ x  y  suy ra:  10 10   10 10  ( x; y )   ; ;  ( x; y )     5 5      10 10   10 10  Vậy hệ có nghiệm: (1;1),(1; 1),  ; ; ,     5   Bài tập tự luyện Giải hệ...   y  1;  y 21  3  f     3    21    10  Xét t   2;      f   7 191  10    2x   x   2;  x 30  10  191  3     30 f  2   x 1 Vậy hệ có nghiệm