BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN PHƯƠNG THANH NGHIÊN CỨU MỘT SỐ TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA HỐ ĐEN REISSNER-NORDSTRƯM Chun ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 8.44.01.03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ Người hướng dẫn khoa học: TS Đinh Thanh Tâm PGS.TS Lê Viết Hòa HÀ NỘI – 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu giúp đỡ giáo viên hướng dẫn Luận văn khơng có chép tài liệu, cơng trình nghiên cứu người khác mà khơng rõ mục tài liệu tham khảo Những kết số liệu khóa luận chưa cơng bố hình thức Tơi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước nhà trường cam đoan Hà Nội, ngày tháng năm 2020 Học viên Nguyễn Phương Thanh LỜI CẢM ƠN Trong trình học tập làm việc Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội, hướng dẫn TS Đinh Thanh Tâm PGS.TS Lê Viết Hịa, tơi học hỏi nhiều kiến thức Vật lý, Toán học để hoàn thành Luận văn Thạc sĩ để trở thành người có khả độc lập nghiên cứu Khoa học Tôi xin gửi đến thầy hướng dẫn trực tiếp lời cảm ơn sâu sắc với tất tình cảm u q lịng kính trọng Tơi xin cảm ơn thầy, cô khoa Vật lý, Trường ĐHSP Hà Nội giúp đỡ hồn thành nội dung luận văn Thạc sĩ Tôi xin chân thành cảm ơn Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho tơi học tập nghiên cứu Trường, phịng sau đại học hỗ trợ tơi hồn thành thủ tục bảo vệ luận văn Cuối cùng, xin dành tất thành học tập dâng tặng người thân gia đình mà ngày dõi theo bước chân Hà Nội, ngày tháng năm 2020 Học viên Nguyễn Phương Thanh MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài .9 Mục đích đề tài Đối tượng nghiên cứu 10 Nhiệm vụ đề tài 10 Phương pháp nghiên cứu đề tài 10 Cấu trúc luận văn 11 CHƯƠNG I 12 TỔNG QUAN VỀ HỐ ĐEN .12 I.1 THUYẾT TƯƠNG ĐỐI RỘNG VÀ HỐ ĐEN 12 I.1.1 Tác dụng cho hạt 12 I.1.2 Phương trình Einstein hố đen Schwarzschild 15 I.1.3 Vật lý hố đen Schwarzschild 16 I.2 HỐ ĐEN VÀ NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC 21 I.2.1 Các nhận xét chung .21 I.2.2 Định luật zero 23 I.2.3 Sức hút bề mặt 24 I.2.4 Định luật I 25 I 2.5 Bức xạ Hawkin .26 I.2.6 Nguồn gốc entropy hố đen 29 I.3 CÁC HỐ ĐEN KHÁC .30 I.3.1 Hố đen Schwarzschild với số chiều lớn 30 I.3.2 Black Branes 31 I.3.3 Hố đen mang điện 32 I.4 KẾT LUẬN CỦA CHƯƠNG I 34 CHƯƠNG II 36 PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI CỦA HỐ ĐEN REISSNERNORDSTRƯM TRONG KHÔNG THỜI GIAN ANTI DE SITTER 36 II.1 CÁC ĐẠI LƯỢNG NHIỆT ĐỘNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA TRƯỜNG 36 II.2 PHƯƠNG PHÁP LÀM KHỚP (MATCHING METHOD) .40 CHƯƠNG III 45 CÁC TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA HỐ ĐEN REISSNERNORDSTRÖM 45 III.1 PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI .45 III.2 CẤU TRÚC PHA CỦA HỐ ĐEN 49 III.3 KẾT LUẬN CỦA CHƯƠNG III 53 KẾT LUẬN 55 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT STT Kí hiệu viết tắt BH RN AdS AdS4 Chú thích Hố đen (black hole) Reissner-Nordström Anti de Sitter Anti de Sitter bốn chiều DANH MỤC BẢNG BIỂU Bảng 1.1 Hố đen nhiệt động lực học… 22 DANH MỤC HÌNH VẼ Trang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Sau hoàn thành việc xây dựng thuyết tương đối hẹp (1905), khoảng từ năm 1907 đến 1915 Einstein bắt tay xây dựng thuyết tương đối rộng mà nội dung chủ yếu thiết lập mối quan hệ tính chất hình học khơng-thời gian vật chất Mặc dù nay, thuyết tương đối rộng chưa hoàn chỉnh, từ đời cho tiên đốn có tính cách mạng nhận thức giới Một tiên đoán tồn hố đen (black hole) mệnh danh “quái vật” vũ trụ Nói cách đại khái hố đen miền không gian mà trường hấp dẫn mạnh tới mức ánh sáng khơng thể Người ta nói hố đen bí ẩn lớn vũ trụ biết đặc tính Việc lần lịch sử chụp ảnh hố đen vào tháng năm 2019 làm gia tăng mạnh mẽ nghiên cứu hố đen Các nghiên cứu gần cho thấy hố đen có tính chất giống hệ nhiệt động thông thường điều cho phép mô tả tính chất vài biến số vĩ mô áp suất, nhiệt độ, entropy Tuy nhiên người ta nhận thấy trình nhiệt động tượng tới hạn hố đen phong phú nhiều so với hệ nhiệt động thơng thường [1] Có hàng loạt vấn đề cần phải làm sáng tỏ liên quan đến hố đen cấu trúc nội tại, tượng tới hạn gần chân trời, trình nhiệt động trường hấp dẫn cực mạnh hố đen… Mục đích đề tài Luận văn thực với mục đích sau: Tìm hiểu đặc tính hố đen phương pháp lý thuyết áp dụng để nghiên cứu hố đen Nghiên cứu số tính chất nhiệt động quan trọng hố đen tích điện Reissner-Nordstrưm (RN) áp suất, nhiệt dung riêng, lượng tự do… Đối tượng nghiên cứu Là hố đen mô tả mật độ Lagrangian L có dạng 16πG N L = R − 2 − F − ∂ ψ − iQA ψ − m2 ψ , µν µ µ L GN số hấp dẫn lý thuyết Newton; R vô hướng Ricci; Aμ ψ tương ứng trường Gauge trường vật chất; m khối lượng trường ψ; Fµν = ∂ µ A ν − ∂ ν A µ tenxơ cường độ trường điện từ; L bán kính khơng-thời gian Anti de Sitter bốn chiều (AdS4) liên hệ với số vũ trụ Λ theo biểu thức: Λ = − / L2 Nhiệm vụ đề tài * Tìm hiểu lý thuyết chung hố đen đặc trưng Từ viết tổng quan * Thiết lập cơng thức giải tích cho đại lượng nhiệt động phương trình chuyển động trường Trên sở tiến hành tính số để khảo sát tính chất nhiệt động quan trọng hố đen tích điện RN Phương pháp nghiên cứu đề tài Sử dụng phương pháp sử dụng rộng rãi lý thuyết trường: phương pháp biến phân để thu phương trình Lagrang từ nguyên lý tác dụng tối thiểu, phương pháp giải phương trình vi phân đạo hàm riêng với điều kiện biên, phương pháp tính số máy tính điện tử… 10 φh ( z ) = φ ( z H ) + φ ' ( z ) |z = z H (z − z H ) + φ '' ( z ) |z = z H (z − z H ) + (2.33) ψ h ( z ) = ψ ( z H ) + ψ ' ( z ) |z = z H (z − z H ) + ψ '' ( z ) |z = z H (z − z H ) + (2.34) f h ( z ) = f ( z H ) + f ' ( z ) |z = z H (z − z H ) + f '' ( z ) |z = zH (z − z H ) + (2.35) Sử dụng điều kiện biên (2.31) với f ( z H ) = viết lại (2.30) sau φ′′ ( z H ) 2Q 2ψ ( z H )   = φ ' ( z ) |z =z H (z − z H ) + φ '' ( z ) |z =zH (z − z H )   z H f ' ( z ) |z =zH (z − z H )   → φ′′ ( z H ) 2Q 2ψ ( z H ) = φ '( zH ) ; z Hf ' ( z H ) (2.36) (chú ý ϕ(rH) = 0; f(rH) = 0) ψ ''(z H ) = − Q 2φ '2 (z H ) f ''(z H ) m 2ψ '(z H ) ψ (z ) − ψ '(z ) − ψ '(z ) − ψ ''(z ) + H H H H z 4H f '2 (z H ) zH f '(z H ) z H4 f '(z H )   Q 2φ '2 (z H ) f ''(z H ) m2 ⇒ ψ ''(z H ) = − ψ (z H ) −  + − ÷ψ '(z H ) 2z H f ' (z H ) z 2f '(z ) 2z f '(z )  H H H H  (2.37) Thay (2.36) (2.37) vào (2.33) (2.34) có   Q 2ψ ( z H ) φh ( z ) = φ ' ( z H ) (z − z H ) + (z − z H )  + zHf '( z H )   (2.38)   Q 2φ '2 (z H ) ψ h ( z ) = ψ ( z H ) 1 − (z − z H )  +  4z H f ' (z H )      f ''(z H ) m2 + ψ ' ( z H ) (z − z H ) −  + − ÷(z − z H )  +  z H 4f '(z H ) 4z H f '(z H )    (2.39) 42 Mặt khác cách nhân phương trình thứ hai (2.30) với F(z H) dùng điều kiện F(zH) = thu điều kiện biên cho ψ’ m2 = ψ ( zH ) zH f '( zH ) ψ '( zH ) (2.40) Nhờ (2.40) viết lại (2.39)  m2 ψ h ( z ) = ψ ( z H ) 1 + (z − z H )  z H f ' ( z H )   Q2φ '2 (z H )  m2  f ''(z H ) m2 2 − + −  + ÷ (z − z H )  +   4z H f ' (z H ) z H f ' ( z H )  z H 4f '(z H ) 4z Hf '(z H )   (2.41) Tiến hành [4] đưa vào tham số λ theo biểu thức z = z H/λ, λ ∈ [ 1, ∞ ] sử dụng điều kiện làm khớp φh ( ) =φ ( ); ( ) =φ ( ) (2.42) ( ) =ψ ( ) (2.43)  λφ '(z H )  2µ − + ( λ + 1)  λ z Hφ '(z H ) ÷ (2.44) zH λ ψh zH λ b ( ) =ψ ( ); zH λ b zH λ φ'h ψ 'h zH λ zH λ zH λ ' b ' b zH λ Khi điều kiện (2.42) cho: ρ ( zH ) = ψ ( zH ) λ z 3H f ' ( z H )   λz3H f ' ( z H )  µ ρ  = 2 1 + ÷= 1 + ÷ z H φ '(z H )  ( λ − 1)  φ '(z H )  Q ( λ − 1)  (2.45) Còn điều kiện (2.43) cho ψ +/− ( zH ) ψ ( zH ) = + ∆ ( λ − 1) ∆  m2   λ   − −  ÷  ÷   2z H f '(z H )  λ    z H  43 (2.46) φ '2 ( z H ) =  m − 4m z3H f '(z H ) − m z H4 f ''(z H ) +  Q zH ( ) 4λz 3H f '(z H ) λ ∆ z 3H f '(z H ) − m ( + ∆ ( λ − 1) )   + ( + ∆ ( λ − 1) ) ( λ − 1)  (2.47) Các phương trình (2.44) - (2.47) xác định phụ thuộc ϕ ψ vào bán kính chân trời vào nhiệt độ (theo (2.8)) Giải phương trình thu thông tin trường vật chất xung quanh hố đen II.3 KẾT LUẬN CỦA CHƯƠNG II Các kết thu chương Dựa vào metric hố đen thu biểu thức đại lượng nhiệt động bán kính chân trời, thể tích, áp suất, entropy, nhiệt dung riềng… Sử dụng phương trình Lagrang rút phương trình chuyển động trường điện từ trương vật chất Từ áp dụng phương pháp làm khớp thu biểu thức nghiệm phương trình Các biểu thức thu chương dùng để khảo sát chi tiết tính chất hố đen nhờ tính số chương 44 CHƯƠNG III CÁC TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA HỐ ĐEN REISSNERNORDSTRÖM Những biểu thức thu chương II cho đại lượng nhiệt động nghiệm phương trình chuyển động chứa đựng thơng tin cần thiết hố đen Tuy nhiên, chúng chưa có ý nghĩa vật lý rõ ràng có dạng phương trình giải tích Trong chương này, dựa biểu thức thu nói trên, thực tính số để có hiểu biết rõ ràng tính chất vật lý hố đen quan điểm hệ nhiệt động Trước hết nghiên cứu phương trình trạng thái sau khảo sát nhiệt dung riêng lượng tự Trên sở rút nhận xét quan trọng trình nhiệt động diễn III.1 PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI Như biết, phương trình trạng thái hệ nhiệt động phương trình liên hệ áp suất, thể tích nhiệt độ Đối với hố đen RN mà ta xét, phương trình tìm sau Trước hết, tổng quát 45 chuyển sang sử dụng đại lượng không thứ nguyên cách đưa vào đại lượng tới hạn PC = k2 π Q3 k 3/2 ; V = ; T = C C 96πQ k 3/2 πQ (3.1) Tiếp đó, dựa vào biểu thức (2.6), (2.8) (2.9) tính P / PC = − 6(V/ VC )3/2 + 8(T / TC )(V/ VC ) ; 3(V/ VC ) 4/3 (3.2) Dựa vào biểu thức vừa nhận được, vẽ phụ thuộc áp suất vào thể tích ứng với vài giá trị xác định nhiệt độ hình 3.1 Dạng đường đẳng nhiệt cho thấy chúng giống với đường đẳng Hình 3.1 Sự phụ thuộc áp suất ứng với nhiệt độ T= 0,9TC, T= 1,0 T= 1,2TC, 46 nhiệt khí thực Van de Walls Chúng ta thấy rằng, với nhiệt độ nhỏ nhiệt độ TC đường cong áp suất có cực tiểu Điều có nghĩa hệ hai pha khác tùy thuộc vào thể tích thay đổi thể tích hệ xảy chuyển pha kiểu “khí-lỏng” Ngược lại, với nhiệt độ lớn T C khơng có chuyển pha hệ ln ln pha “khí” Ngồi ra, T = T C đường đẳng nhiệt có điểm uốn Như T C nhiệt độ tới hạn Cần nhấn mạnh rằng, dùng thuật ngữ “khi”, “lỏng” có tính quy ước tương tự dạng đường đẳng nhiệt so với khí thực Van de Walls Để làm rõ chất môi trường quanh hố đen cịn cần phải có nghiên cứu đầy đủ Tiếp theo, khảo sát phụ thuộc nhiệt độ vào bán kính chân trời (thực chất vào thể tích hố đen) Dựa vào (2.8) (2.9) tính T / TC = −1 + 6(rh / rC ) + 3(P/ PC )(rh / rC ) ; 8(rh / rC )3 (3.3) ; k (3.4) Trong rC = Q Sử dụng (3.3) vẽ đồ thị (T/T C) = f(rh/rC) số giá trị cho trước áp suất hình 3.2 47 Hình 3.2 Sự phụ thuộc nhiệt độ vào bán kính chân trời Mặt khác, cách sử dụng biểu thức entropy ς = π rh2 , biểu diễn nhiệt độ dạng −1 + 6(ς / ςC ) + 3(P/ PC )(ς / ς C ) T / TC = 8(ς / ςC )3 từ vẽ phụ thuộc nhiệt độ vào entropy hình 3.3 48 (3.5) Hình 3.3 Sự phụ thuộc nhiệt độ vào entropy Như thấy rõ từ hình 3.2 3.3 đường đẳng áp ứng với P = P C có điểm uốn ngăn cách đường ứng P > PC khơng có điểm uốn với đường P < P C có điểm uốn Điều có nghĩa P < PC (tương ứng T < TC) hệ tồn hai pha P > P C (tương ứng T > T C) hệ tồn pha Kết khẳng định lần nhận xét rút từ hình 3.1 P C áp suất tới hạn tương ứng với nhiệt độ tới hạn T C Những kết hoàn toàn phù hợp với nhận xét [4] III.2 CẤU TRÚC PHA CỦA HỐ ĐEN Như nhận xét III.1 T < T C (hoặc P < PC) hệ xảy q trình chuyển pha thay đổi thơng số nhiệt động Từ câu hỏi xuất chuyển pha hệ thuộc loại hay loại hai? Để trả lời cho câu hỏi khảo sát nhiệt dung riêng đẳng áp Bằng cách đưa vào nhiệt dung riêng đẳng áp tới hạn 49 CPC = 4πQ k (3.6) dựa vào (2.11) tìm CP / C PC 6(rh / rC )5 (T / TC ) = − 3(rh / rC ) + 2(rh / rC ) (T / TC ) (3.7) Hình 3.4 Sự phụ thuộc nhiệt dung riêng đẳng áp vào bán kính chân trời vài giá trị nhiệt độ Sử dụng (3.7) vẽ phụ thuộc nhiệt dung riêng đẳng áp vào bán kính chân trời số giá trị nhiệt độ xác định hình 3.4 Hồn tồn tương tự, ta viết CP hàm rh áp suất P dạng CP / C PC 3(P / PC )(rh / rC ) + 6(rh / rC ) − = (rh / rC ) (P / PC )(rh / rC ) − 2(rh / rC ) + 50 (3.8) Dựa vào (3.8) vẽ phụ thuộc nhiệt dung riêng đẳng áp vào bán kính chân trời vài giá trị áp suất hình 3.5 Hình 3.5 Sự phụ thuộc nhiệt dung riêng đẳng áp vào bán kính chân trời vài giá trị áp suất Như thấy rõ hình 3.4 3.5, T < T C P < PC nhiệt dung riêng biến thiên có bước nhảy lân cận giá trị tới hạn bán kính chân trời r C Đó dấu hiệu chuyển pha loại Ngược lại với T > T C P > PC nhiệt dung riêng biến thiên liên tục khơng có chuyển pha hệ Để khẳng định kết luận lần nữa, khảo sát lượng tự xác định (2.12) Dựa vào (2.8) (2.9) tính + 3(rh / rC ) − (T / TC )(rh / rC ) G / GC = 3(rh / rC ) 51 (3.9) P / PC = − 6(rh / rC ) + 8(T / TC )(rh / rC ) 3(rh / rC ) (3.10) Trong GC = Q 2k (3.11) Hình 3.6 Sự phụ thuộc nhiệt độ lượng tự vài giá trị áp suất Sử dụng (3.9) (3.10) vẽ phụ thuộc lượng tự G vào áp suất nhiệt độ Các kết cho hình 3.6 3,7 Các đường cong biểu diễn lượng tự có đoạn kì dị T < TC P < PC lần cho phép khẳng định chuyển pha loại Kết phù hợp với [4] [5] 52 Hình 3.7 Sự phụ thuộc lượng tự vào áp suất vài giá trị nhiệt độ III.3 KẾT LUẬN CỦA CHƯƠNG III Trong chương này, dựa vào biểu thức giả tích thu chương II, chúng tơi tiến hành tính số đến kết luận sau: Các đường đẳng nhiệt có dạng giống với khí thực Van de Walls Điều chứng tỏ với nhiệt độ nhỏ nhiệt độ tới hạn T C vật chất bên hố đen hệ hai pha khác “khí” “lỏng” thay đổi thể tích hệ xảy chuyển pha kiểu “khí-lỏng” Ngược lại, với nhiệt độ lớn TC khơng có chuyển pha hệ ln ln pha “khí” Sự biến thiên có bước nhảy nhiệt dung riêng đẳng áp tồn đoạn kì dị lượng tự cho phép kết luận chuyển pha hệ loại 53 Những kết luận mà thu chương quan trọng góp phần làm sáng tỏ tính chất hố đen mà, nói, xem thực thể bí ẩn vũ trụ Dĩ nhiên kết bước đầu để có hiểu biết đầu đủ cần thực tính số cách tồn diện 54 KẾT LUẬN Sau năm học tập nghiên cứu, nhờ giúp đỡ thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Lê Viết Hòa nỗ lực phấn đấu thân, đến tơi hồn thành nhiệm vụ đề bắt tay vào thực đề tài Những kết đạt là: Đã tìm hiểu cách tổng quan đặc trưng phương pháp để nghiên cứu tính chất hố đen Dựa vào metric hố đen tích điện RN tìm biểu thức giải tích cho đại lượng nhiệt động áp suất, thể tích, entropy…Dựa vào phương trình Lagrang tìm phương trình chuyển động trường vật chất sở sử dụng phương pháp làm khớp tìm nghiệm phương trình Tiến hành tính số chứng tỏ với nhiệt độ nhỏ nhiệt độ tới hạn TC vật chất bên hố đen hai pha khác “khí” “lỏng” thay đổi thể tích hệ xảy chuyển pha kiểu “khí-lỏng” Ngược lại, với nhiệt độ lớn T C khơng có chuyển pha hệ luôn pha “khí” Hơn biến thiên có bước nhảy nhiệt dung riêng đẳng áp tồn đoạn kì dị đường cong lượng tự chứng tỏ chuyển pha hệ loại Do hạn chế thời gian nên kết thu bước đầu có đóng góp quan trọng vào hiểu biết sâu hố đen Để có hiểu biết đầy đủ hố cần phải tiến hành tính số tồn diện để khảo sát vai trị độ cong khơng gian k, tính chất trường vật chất, đặc biệt cấu trúc nội hố đen Đó bước nghiên cứu tương lai 55 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Makoto Natsuume, AdS/CFT Duality User Guide, Volume 903, Springer [2] Steven S Gubser, Breaking an Abelian gauge symmetry near a black hole horizon, arXiv: 0801.2977v1 [hep-th] 18 Jan 2008 [3] David Kubizňák, Robert B Mann (2012), P-V criticality of charged AdS black holes, arXiv:1205.0559v2 [4] Debabrata Ghorai, Sunandan Gangopadhyay, Holographic free energy and thermodynamic geometry, Eur Phys J C (2016) 76:702 [5] S.Q Lan, Phase Transition of RN-AdS Black Hole with Fixed Electric Charge and Topological Charge, Advances in High Energy Physics (2018) 4350287 56 ... từ ? ?hố đen? ?? chủ yếu để hố đen với chân trời phẳng mà thường gọi màng đen (black brane) I.3.3 Hố đen mang điện Hố đen mang điện tích Q Một hố đen mang điện biết hố đen Reissner-Nordström (hố đen. .. trình nhiệt động trường hấp dẫn cực mạnh hố đen? ?? Mục đích đề tài Luận văn thực với mục đích sau: Tìm hiểu đặc tính hố đen phương pháp lý thuyết áp dụng để nghiên cứu hố đen Nghiên cứu số tính chất. .. gia tăng mạnh mẽ nghiên cứu hố đen Các nghiên cứu gần cho thấy hố đen có tính chất giống hệ nhiệt động thông thường điều cho phép mô tả tính chất vài biến số vĩ mô áp suất, nhiệt độ, entropy