SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM 2019 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 180 phút (khơng kể thời gian phát đề) Ngày thi: 22/09/2019 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) x +1 có đồ thị ( C ) x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số y = f ( x ) Câu (4 điểm) Cho hàm = số y f= ( x) b) Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh đồ thị ( C ) cho AB ngắn Câu (6 điểm) a) Giải phương trình: ( sin x + cos x ) cos x + cos x − sin x = 2 xy − y − y + + xy x + = b) Giải hệ phương trình:  3  x − 2 x y= x + + c) Có 27 thẻ đánh số tự nhiên từ đến 27 (mỗi thẻ đánh số) Rút ngẫu nhiên ba thẻ Tính xác suất để rút ba thẻ mà tổng số ba thẻ chia hết cho Câu (4 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I ( −2; −1) , � = 90𝑜𝑜 , H ( −1; −3) hình chiếu vng góc A lên BC K ( −1; ) điểm thuộc 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 đường thẳng AC Tìm tọa độ đỉnh A, B, C Biết điểm A có hồnh độ dương b) Cho tam giác ABC ( AB < AC ) Đường phân giác góc A cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC điểm D Gọi E giao điểm đường trung trực đoạn thẳng AC đường phân giác ngồi góc A Gọi H giao điểm DE AC Đường thẳng qua H vng góc với DE cắt AE F Đường thẳng qua F vng góc với AE cắt AB K Chứng minh KH song song BC Câu (3 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật biết= AB a= , BC 2a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) a) Tính thể tích khối chóp S ACD b) Tính khoảng cách hai đường thẳng SC BD Câu (2 điểm) Cho a, b, c số thực không âm thỏa ( a + b )( b + c )( a + c ) > a ≥ max {b, c} Chứng minh rằng: a + ( b + c ) 15 a 11  b c  +  + >  + b+c  a+c a+b  a Câu (1 điểm) Cho dãy số ( un ) xác định 1; u= 2020; un += u= 2019un  2019  + 1 +  un −1 , ∀n ≥ n n −1   1 1 1 Tính lim  + + + +  n →+∞ u un   u2 u3 ………HẾT……… - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Giám thị coi thi khơng giải thích thêm LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài x +1 có đồ thị ( C ) x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số y = f ( x ) Cho hàm số y = f ( x ) = b) Tìm hai điểm A , B thuộc hai nhánh đồ thị ( C ) cho AB ngắn Lời giải x +1 x −1 +) Tập xác định: D = ℝ \ {1} a) y = f ( x ) = +) y′ = −2 ( x − 1) < , ∀x ≠ Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) (1; +∞ ) +) y′ không xác định x = +) lim y = nên y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số x →±∞ +) lim− y = −∞ ; lim+ y = +∞ nên x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số x →1 x →1 +) Đồ thị  x +1  x +1  b) Giả sử A  x1;  ; B  x2 ;  , với x1 < < x2 x2 −   x1 −   Đặt x1 = − a ; x2 = + b với a, b > ( x2 − x1 ) ( a + b) = ( x2 − x1 ) + = (a + b) + 2 ( x1 − 1) ( x2 − 1) ( ab ) AB ≥ 4ab 2   2  = ( a + b ) 1 +      ab     = 16 ab NHÓM HSG-DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN a = b a =  Vậy A − 2;1 − , B + 2;1 + Dấu " = " xảy  ⇔ b = 1 = ab ( ) ( ) Bài a) Giải phương trình ( sin x + cos x ) cos x + cos x − sin x = 2 xy − y − y + + xy x + = b) Giải hệ phương trình   x − 2 x y = x + + (1) ( 2) c) Có 27 thẻ đánh số tự nhiên từ đến 27 (mỗi thẻ đánh số) Rút ngẫu nhiên ba thẻ Tính xác suất để rút ba thẻ mà tổng số ba thẻ chia hết cho Lời giải a) ( sin x + cos x ) cos x + cos x − sin x = ⇔ sin x cos x + cos x ( cos x + ) − sin x = ⇔ sin x ( 2cos2 x − 1) + cos x ( cos x − ) = ⇔ cos x ( sin x + cos x − ) = π kπ  x= +  cos x = ⇔ ⇔ sin  x + π  = 2(PTVN) sin x + cos x − =    4  π kπ  Vậy nghiệm phương trình S =  + | k ∈ ℤ 4  b)ĐK: x ≥ 0; y ≥ Nhận thấy x = 0; y = nghiệm hệ phương trình ta xét x > 0, y > Ta có: ) ( xy − y − y + + xy x + = ⇔ xy + x + = y + y + ) ( ⇔ x + x2 + = 1 + 1+ y y ( ) Xét hàm số f ( t ) = t + + t , t > , f ′ ( t ) = + + t + Hàm ( f (t ) số ) 2x + 4x2 + = đồng biến t2 1+ t ( 0; +∞ ) >0 dó ta có 1 1 1 + 1+ ⇔ f (2x) = f   ⇔ 2x = ⇔ y = y y y 2x  y Thay vào phương trình ( ) ta có: NHĨM HSG-DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TỐN  x − = x + + ⇔ x − = x + − ⇔ ( x − )  x + x + −   x =  ⇔  x2 + x + − =0  x + + 23 x + +  3 ( + Vói x = ⇒ y = + Với x + x + − ⇔ ( x + 1) + − thoả mãn yêu cầu ( x+6 ) ) x+6 ) =0 + 23 x + + ( ( )  =0  x + + 23 x + +   + 23 x + + = ⇔ ( x + 1) ( + ( 3 ) x + + 1) x + +1 + +3 = ( *) Phương trình (*) vơ nghiệm x =  Vậy hệ có nghiệm   y = c) Gọi Ω không gian mẫu phép thử: “Rút thẻ 27 thẻ” Khi đó, n ( Ω ) = C273 = 2925 Gọi biến cố A : “Rút thẻ 27 thẻ mà tổng số ba thẻ chia hết cho 3” Xét tập hợp: Tập B : “Các thẻ có số chia hết cho 3” ⇒ B = {3; 6;9;12 ;15;18; 21; 24 ; 27} Tập C : “Các thẻ có số chia cho dư 1” ⇒ C = {1; 4; ;10 ;13;16;19 ; 22 ; 25} Tập D : “Các thẻ có số chia cho dư 2” ⇒ D = {2 ;5;8;11;14;17 ; 20 ; 23; 26} (Nhận xét: Ba tập hợp B, C, D đôi rời với n ( B ) = n ( C ) = n ( D ) = ; 27 thẻ liệt kê tập trên, thẻ liệt kê lần) Theo tính chất đồng dư phép chia hết cho 3, biến cố A xảy khả sau xảy ra: KN1 thẻ rút nằm tập B , n1 ( A ) = C93 = 84 KN2 thẻ rút nằm tập C , n2 ( A ) = C93 = 84 KN3 thẻ rút nằm tập D , n3 ( A ) = C93 = 84 KN4 thẻ rút có thẻ tập B , thẻ tập C , thẻ tập D , n4 ( A ) = C91C91C91 = 729 Do đó, n ( A ) = n1 ( A ) + n2 ( A ) + n3 ( A ) + n4 ( A ) = 981 NHÓM HSG-DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Vậy xác suất biến cố A là: P ( A ) = n ( A ) 981 109 = = n (ω ) 2925 325 Bài a) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I ( −2; −1) Góc AIB 90o , H ( −1; −3) hình chiếu vng góc A lên BC K ( −1; ) thuộc đường thẳng AC Tìm toạ độ A, B, C biết A có hồnh độ dương b) Cho tam giác ABC ( AB < AC ) Đường phân giác góc A cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC D Gọi E giao điểm đường trung trực đoạn thẳng AC đường phân giác ngồi góc A , H = DE ∩ AC Đường thẳng qua H vuông góc với DE cắt AE F Đường thẳng qua F vng góc với AE cắt AB K Chứng minh KH //BC Lời giải a) Ta có AIB = 900 nên ACH = 450 suy tam giác AHC vuông cân H Mặt khác IA = IC nên HI ⊥ AC Phương trình đường thẳng AC qua K ( − 1;2 ) vng góc với HI có phương trình −x + y − = Gọi A ( 2a − 5; a ) ∈ AC Ta có AC = AH ⇒ AH = ⇔ ( − 2a ) AC = HK = HK = 2d ( H ; AC ) = 10  a = −1 ⇒ A ( −5; −1) ( l ( + ( −3 − a ) = 10 ⇔   a = ⇒ A (1;3) )) Vậy A (1;3 ) Phương trình đường thẳng BC qua H ( −1; −3) vng góc với AH có phương trình x + y + 10 = Gọi B ( 3b − 10; b ) ∈ BC , ta có IB = ( 3b − 8; b + 1) ; IA = ( 3;4 ) NHĨM HSG-DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TỐN Vì tam giác AIB vuông I nên IB IA = ⇔ ( 3b − ) + ( b + 1) = ⇔ b = 20  20  ⇒ B  10;  3  Vì C = AC ∩ BC nên tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình  x + y + 10 =  x = −7 ⇔ ⇒ C ( −7; −1)   − x + y − =  y = −1 b) Ta có H = DE ∩ AC E A F I N M O K B H P C D Gọi M, N, P trung điểm AB, AC BC Khi đó, ta có: MN PC BAC EN BAC NM NE = = cos PCD = cos ; = cos NEC = cos NEA = cos ⇒ = DC DC EC CD CE Lại có: MNE = 90° + ANM = 90° + ACB; DCE = ACB + BCD + NCE = ACB + NEC + NCE = ACB + 90° Suy MNE = DCE ⇒ ∆MNE ∼ ∆DCE ( c.g.c ) ⇒ MEN = DEC ⇒ MEN + OEH = DEC + OEH NHĨM HSG-DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TỐN ⇔ MEH = OEC = BAC = MAD ⇒ DMAE tứ giác nội tiếp suy DM ⊥ ME (2) Giả sử ME ∩ AD = I , ta chứng minh F , I , H ; F , M , D BAC = IAH ⇒ IAEH tứ giác nội tiếp suy IH ⊥ DE ⇒ I , F , H (do FH vng góc với DE) (1) Từ (1) kết hợp với DI ⊥ FE ⇒ I trực tâm tam giác FDE suy FD ⊥ IE (3) Có: IEH = Từ (2) (3) suy F , M , D FA AM = ⇔ AB AH = AE AF HA AE FA AK ∆FAK ∼ ∆NAE ( g g ) ⇒ = ⇔ AC AK = AE AF NA AE AH AC Suy AB AH = AK AC ⇔ = ⇒ KH // BC AK AB Dễ thấy ∆FAM ∼ ∆HAE ( g g ) ⇒ Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật biết AB = a , BC = 2a , tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) a) Tính thể tích khối chóp S ACD b) Tính khoảng cách hai đường thẳng SC BD Lời giải a) Tính thể tích khối chóp S ACD Vì ABCD hình chữ nhật nên AB = CD = a , BC = AD = 2a Gọi H trung điểm AB Vì tam giác SAB nên SH ⊥ AB SH = a ( SAB ) ⊥ ( ABCD )  Khi ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD )   SH ⊂ ( SAB ) , SH ⊥ AB a a3 1 = Ta có VS ACD = S ∆ACD SH = AD.CD.SH = 2a.a 6 3 NHĨM HSG-DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TỐN b) Tính khoảng cách hai đường thẳng SC BD Từ C kẻ đường thẳng song song với BD cắt AB điểm E  BD //CE Ta có  ⇒ BECD hình bình hành ⇒ BE = CD = a  BE //CD Suy BE = HE Khi d ( BD, SC ) = d ( BD, ( SCE ) ) = d ( B, ( SCE ) ) = d ( H , ( SCE ) ) (*) Kẻ HI ⊥ CE ( I ∈ CE ) , mà CE ⊥ SH ⇒ CE ⊥ ( SHI ) ⇒ ( SCE ) ⊥ ( SHI ) ( SCE ) ⊥ ( SHI )  Do ( SCE ) ∩ ( SHI ) = SI ⇒ HK ⊥ ( SCE )   HK ⊥ SI ( K ∈ SI ) Suy HK = d ( H , ( SCE ) ) Kẻ BJ ⊥ CE ( J ∈ CE ) ⇒ BJ //HI ⇒ HI = Xét tam giác BCE vuông B có BJ = ⇒ HI = BJ BE.BC BE + BC = 2a = 3a 17 17 3a Xét tam giác SHI vng H có HK = SH HI SH + HI 2 3a 17 2a 17 = Từ (*) ⇒ d ( BD, SC ) = 17 17 Bài Cho a, b, c số thực không âm thoả ( a + b )( b + c )( a + c ) > a ≥ max {b, c} Chứng minh rằng: a + ( b + c ) 15 a b c  11  +  + >  + b+c  a+c a+b  a Lời giải Đặt x = a + (b + c) a 11  b c  b c +  + , y = P = +2 b+c  a+c a+b  a a a Từ a ≥ max {b, c} suy x ≤ 1, y ≤ 1 11  x +  + x + y  y +1 Do ≤ x, y ≤ nên Khi P = y   + 1+ 7( x + y) x +1  x (1 − y ) ≥ ⇔ x ≥ xy ⇔ x + y ≥ y + xy ⇒ ⇒ y y y2 ≥ ⇒ ≥ ⇒ x +1 x + y x +1 x + y NHÓM HSG-DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN 1 ≤ x + y y ( x + 1) y ≥ x +1 y x+ y Tương tự, ta có x ≥ y +1 x x+ y Khi P≥ 11  x +  + x+ y  x+ y y   + 1+ 7(x + y) = x+ y  11 + x + y + 1+ 7( x + y) x+ y Đặt t = x + y , ( < t ≤ ) ta 11 P ≥ + t + + 7t = f ( t ) t 11 14t f ′ (t ) = − + + = ⇔ t = (thoả) t + 7t   15 Suy P ≥ f   =  3 x = b =   Dấu “=” xảy t = ⇔ b + c = a ⇔ a = b = c = (vô lý)    y = c = a Vậy P > 15 Bài Cho dãy số ( un ) xác định u1 = 1; u2 = 2020; un+1 = 1 1 Tính lim  + + + + n →+∞ u un  u2 u3 2019un  2019  + 1 +  un −1 , n ≥ n n −1      Lời giải 2019un  2019   un un−1  + 1 + Ta có un+1 =  un−1 = 2019  +  + un −1 n n −1    n n −1  n u  u  u u u = 2019  n + n −1  + 2019  n−2 + n −3  + un −3 = = 2019∑ i + u1  n n −1   n −2 n −3 i =1 i  n +1 u Suy un+ = 2019  ∑ i  i =1 i un +1   + u1 = 2019 n + + un +1  Vậy un+1 = 2019un  n + 2019  un +1 n + 2019 + un = un  = , ∀n ∈ ℕ ⇒ n n un n   Do un = ( 2019 + 1)( 2019 + ) ( 2019 + n − 1) ( n − 1)! Vậy = 1+ 1+ n ( k − 1)! 1 1 + + + + = + +∑ u1 u2 u3 un 2020 k =3 ( 2019 + 1)( 2019 + ) ( 2019 + k − )  ( k −1)!  2!  n  k! − −   ∑  + 2018  2020  2018 k =3  ( 2019 +1)( 2019 + 2) ( 2019 + k − 2) ( 2019 +1)( 2019 + 2) ( 2019 + k −1)  n! − 2018 2018.2020.2021 ( 2019 + n − 1) NHÓM HSG-DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN n! =0 x →∞ 2018.2020.2021 ( 2019 + n − 1) Do lim 1 1 Nên lim  + + + + n →+∞ u un  u2 u3  2019 =  2018 HẾT NHÓM HSG-DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN 10 ... ( 2019 + k − )  ( k −1)!  2!  n  k! − −   ∑  + 2018  2020  2018 k =3  ( 2019 +1)( 2019 + 2) ( 2019 + k − 2) ( 2019 +1)( 2019 + 2) ( 2019 + k −1)  n! − 2018 2018.2020.2021 ( 2019. .. −1  + 2019  n−2 + n −3  + un −3 = = 2019? ?? i + u1  n n −1   n −2 n −3 i =1 i  n +1 u Suy un+ = 2019  ∑ i  i =1 i un +1   + u1 = 2019 n + + un +1  Vậy un+1 = 2019un  n + 2019 ... +1 n + 2019 + un = un  = , ∀n ∈ ℕ ⇒ n n un n   Do un = ( 2019 + 1)( 2019 + ) ( 2019 + n − 1) ( n − 1)! Vậy = 1+ 1+ n ( k − 1)! 1 1 + + + + = + +∑ u1 u2 u3 un 2020 k =3 ( 2019 + 1)( 2019