GIẢI TÍCH 12 – HKII ƠN THI THPT QUỐC GIA §1 NHẬP MƠN SỐ PHỨC I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Số phức khái niệm liên quan Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) Khi đó: • a phần thực, b phần ảo • Nếu a = z số ảo • i đơn vị ảo, i = −1 • Nếu b = z số thực Quan hệ tập hợp số: • Tập số phức kí hiệu C • Quan hệ tập hợp số: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C Hai số phức nhau: Cho z1 = a + bi z2 = c + di (a, b, c, d ∈ R) Khi đó: • z1 = z2 ⇔ a=c b=d • z1 = ⇔ a=0 b=0 Biểu diễn hình học số phức y Mỗi số phức z = a + bi biểu diễn điểm M (a, b) mặt phẳng tọa độ M b O a x Mô-đun số phức: # » • Độ dài véc-tơ OM gọi mơ-đun số phức z kí hiệu | z| • Từ định nghĩa, suy | z| = a2 + b2 hay |a + bi | = a2 + b Tính chất: z | z| = |z | z • | z| ≥ 0, ∀ z ∈ C; | z| = ⇔ z = • • z.z = | z| z • | z| − z Số phức liên hợp: Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) • Ta gọi a − bi số phức liên hợp z kí hiệu z ≤ z ± z ≤ | z| + z y b • Vậy, z = a − bi hay a + bi = a − bi O • Chú ý: z.z = | z|2 = a2 + b2 −b Ƅ Phùng V Hoàng Em z = a + bi a x z = a − bi 0972.657.617 GIẢI TÍCH 12 – HKII ƠN THI THPT QUỐC GIA Phép toán số phức Cộng, trừ hai số phức: Ta cộng (trừ) phần thực theo phần thực, phần ảo theo phần ảo • (a + bi ) + ( c + di ) = (a + c) + ( b + d ) i • (a + bi ) − ( c + di ) = (a − c) + ( b − d ) i Phép nhân hai số phức: Ta nhân phân phối, tương tự nhân hai đa thức Lưu ý: i = −1 (a + bi )( c + di ) = (ac − bd ) + (ad + bc) i Phép chia hai số phức: z1 , ta nhân thêm z2 Cho hai số phức z1 = a + bi z2 = c + di Thực phép chia z2 tử mẫu z1 z1 z2 (a + bi ) ( c − di ) (ac + bd ) − (ad − bc) i = = = = m + ni z2 z2 z2 c2 + d c2 + d z Số phức nghịch đảo z Lũy thừa đơn vị ảo: • i = −1 • i n = i n chia dư • i3 = − i • i n = −1 n chia dư • i n = n chia hết cho • i n = − i n chia dư 3 Phương trình bậc hai với hệ số thực Xét phương trình ax2 + bx + c = 0, với a, b, c ∈ R a = Đặt ∆ = b2 − 4ac, đó: Nếu ∆ ≥ phương trình có nghiệm x1,2 = −b ± ∆ 2a Nếu ∆ < phương trình có nghiệm x1,2 = − b ± i |∆| 2a Định lý Viet: x1 + x2 = − b c x1 x2 = a a II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ǥ Vấn đề Xác định đại lượng liên quan đến số phức Biến đổi số phức z dạng A + Bi Khi đó: • Phần thực A ; • Số phức liên hợp A + Bi = A − Bi ; • Phần ảo B; • Mơ - đun Ƅ Phùng V Hoàng Em A + B2 0972.657.617 GIẢI TÍCH 12 – HKII ƠN THI THPT QUỐC GIA Ví dụ Xác định phần thực phần ảo số phức z, biết: a) z = (2 + i ) + (5 − i ) b) z = (3 + i )2 c) z = (2 + i )(1 − i ) + 2i 1+ i Lời giải Ví dụ Tìm nghịch đảo số phức z = − i Lời giải 1+ i Ví dụ Tìm phần thực phần ảo số phức z = 1+ i Lời giải Ví dụ Cho z1 = + i z2 = − i Tính: a) z1 ; c) z1 + z1 z2 b) z2 ; Lời giải Ví dụ Tính mơ-đun số phức sau: a) z = (2 + i )( − i ) (1 − i )10 c) z = i 3+ i b) z = 2− i Lời giải Ƅ Phùng V Hoàng Em 0972.657.617 GIẢI TÍCH 12 – HKII ƠN THI THPT QUỐC GIA Ví dụ Cho số phức z thỏa z = Tính mơ-đun số phức w = (3 + i ) z Lời giải Ví dụ Cho số phức z = m + 3m + i , m số thực âm, thỏa mãn z = Tìm phần ảo z Lời giải ǥ Vấn đề Số phức • a + bi = c + di ⇔ a=c b=d • a + bi = ⇔ a=0 b=0 Ví dụ Tìm số thực x, y thỏa mãn x + yi = y + + (1 − x) i Tìm x, y Lời giải Ví dụ Cho số phức z = m2 − + (m − 2) i Tìm tất giá trị thực tham số m để z = Lời giải Ví dụ 10 Tìm mô-đun số phức z biết z + z = − i (*) Lời giải Ƅ Phùng V Hoàng Em 0972.657.617 GIẢI TÍCH 12 – HKII ƠN THI THPT QUỐC GIA ǥ Vấn đề Điểm biểu diễn số phức y Mỗi số phức z = a + bi biểu diễn điểm M (a, b) mặt phẳng tọa độ M b O a x Ví dụ 11 Gọi M điểm biểu diễn số phức z = i (1 + i )2 Tìm tọa độ điểm M Lời giải Ví dụ 12 (THPT Quốc Gia 2017) Cho số phức z = − i Tìm tọa độ điểm biểu diễn s� Ví dụ 12 Với hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = + i | z1 − z2 | = 2, tìm giá trị lớn K biểu thức P = | z1 | + | z2 | Lời giải Ví dụ 13 Xét số phức z thỏa mãn | z − − i | + | z − − i | = Gọi a, b giá trị lớn nhỏ | z − + i | Tính a + b Đáp số: a + b = + 10 Lời giải Ƅ Phùng V Hoàng Em 0972.657.617 GIẢI TÍCH 12 – HKII ÔN THI THPT QUỐC GIA BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Trong mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = − bi , với b ∈ R nằm đường có phương trình phương trình sau đây? A x = B y = C y = x D y = x + Câu Trong mặt phẳng tọa độ, cho số phức z = a + a2 i , với a ∈ R Khi điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường có phương trình phương trình sau đây? y2 x C Đường thẳng y = x2 D Parabol y = x2 A Parabol x = B Parabol y = Câu Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ biết | z +2 i | = A Đường tròn x2 + ( y − 2)2 = 25 B Đường tròn x2 + ( y + 2)2 = 25 C Đường tròn x2 + ( y + 2)2 = D Đường tròn ( x + 2)2 + y2 = 25 Câu Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn | z + − i | = A Đường tròn tâm I (2; −1), bán kính R = B Đường trịn tâm I (−2; 1), bán kính R = C Đường trịn tâm I (1; −2), bán kính R = D Đường trịn tâm I (−2; 1), bán kính R = Câu Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn | z − i | ≤ A Hình trịn tâm I (0; 1), bán kính R = B Hình trịn tâm I (0; 1), bán kính R = C Hình trịn tâm I (0; −1), bán kính R = D Hình trịn tâm I (1; 0), bán kính R = Câu Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện | z + − i | ≤ hình trịn có diện tích S A S = 4π B S = 4π2 C S = 2π D S = 2π Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |2 − i 2017 + z| = A đường tròn tâm I (2; −3), bán kính R = B đường trịn tâm I (−2; 3), bán kính R = C đường trịn tâm I (2; −3), bán kính R = 16 D đường trịn tâm I (−2; 3), bán kính R = 16 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện | zi − (2 + i )| = A Đường thẳng x + y − = B Đường thẳng x + y − = 2 C Đường tròn ( x − 1) + ( y + 2) = D Đường tròn ( x + 1)2 + ( y − 2)2 = Câu Cho số phức z thỏa mãn + i z + − i = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn Tìm tọa độ tâm I đường trịn A I 0; B I 0; − C I 3; D I − 3; Câu 10 Gọi (H ) hình gồm điểm M biểu diễn hình học số phức z thỏa mãn | z + 3|2 + | z − 3|2 = 50 Tính diện tích S hình ( H ) A S = 16π B S = 15π C S = 20π D S = 8π Ƅ Phùng V Hồng Em 0972.657.617 GIẢI TÍCH 12 – HKII ÔN THI THPT QUỐC GIA Câu 11 Cho số phức z có | z| = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (2 + i ) z − mặt phẳng tọa độ đường tròn Xác định tọa độ tâm đường trịn A I (5; 0) B I (3; 1) C I (0; 0) D I (−5; 0) Câu 12 Cho số phức z thay đổi thỏa mãn | z| = ω = (1 − i ).z + i Tập hợp biểu diễn số phức ω A đường tròn x2 + ( y + 3)2 = 20 B đường tròn x2 + ( y − 3)2 = 20 D đường tròn x2 + ( y − 3)2 = C đường tròn ( x − 30)2 + y2 = Câu 13 Cho số phức z thỏa mãn | z| = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (3 − i ) z − + i đường tròn tâm I , bán kính R Tìm tọa độ tâm I bán kính R đường trịn C I (1; 2), R = D I (−1; 2), R = A I (−1; 5), R = B I (1; −2), R = Câu 14 Cho số phức z thỏa mãn | z − 1| = w = + i z + Tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường trịn, tìm bán kính đường trịn A R = B R = C R = D R = Câu 15 Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho số phức z thỏa mãn z − i = Biết tập điểm biểu diễn số phức w = + i z + đường trịn Tính bán kính R đường trịn A R = B R = C R = D R = Câu 16 Cho số phức z w thỏa mãn | z| = 3, iw = (3 + i ) z − i Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn Tính bán kính r đường trịn A r = 15 B r = C r = 10 D r = Câu 17 Cho số phức z thỏa mãn (2 − i ) z − i − = Biết tập hợp điểm biểu diễn số z−i phức w = mặt phẳng tọa độ đường trịn Tìm bán kính R đường iz + trịn A R = B R = C R = D R = 2 Câu 18 Cho số phức z thỏa mãn | z + 2|+| z − 2| = Trong mặt phẳng phức tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z x2 y2 + = 16 12 C (C ) : ( x + 2)2 + ( y − 2)2 = 64 x2 y2 + = 12 16 D (C ) : ( x + 2)2 + ( y − 2)2 = A (E ) : B (E ) : Câu 19 Trên mặt phẳng toạ độ Ox y, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện | z − 2| + | z + 2| = 10 x2 y2 + = 25 x2 y2 D Elip + = 25 21 A Đường tròn ( x − 2)2 + ( y + 2)2 = 100 B Elip C Đường tròn ( x − 2)2 + ( y + 2)2 = 10 Câu 20 Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện | z + 3| = |2 i − z| A Đường thẳng y = x − C Đường thẳng y = − x + Ƅ Phùng V Hoàng Em B Đường thẳng y = − x − D Đường thẳng y = x + 0972.657.617 GIẢI TÍCH 12 – HKII ÔN THI THPT QUỐC GIA Câu 21 Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn | z| = | z − + i | A Đường thẳng x − = C Đường thẳng x − y − 25 = B Đường thẳng y − = D Đường thẳng x + y − 25 = Câu 22 Biết mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện | z − + i | = | z¯ + − i | đường thẳng Hãy xác định phương trình đường thẳng A x + y + = B x − y − = C x + y − = D x − y − = Câu 23 Hãy xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức cho số ảo z−i A Trục tung, bỏ điểm (0; 1) C Đường thẳng y = 1, bỏ điểm (0; 1) B Trục hoành, bỏ điểm (−1; 0) D Đường thẳng x = −1, bỏ điểm (−1; 0) Câu 24 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa | z − i | = |2 − i − z| A Đường trịn có phương trình x2 + y2 = B Đường thẳng có phương trình x − y − = C Đường thẳng có phương trình x + y + = D Elip có phương trình x2 + y2 = Câu 25 Gọi M ( x; y) điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức Tìm tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện ( z − 2)(2 + i ) số ảo A Đường thẳng x − y − = B Đường tròn ( x + 1)2 + y2 = C Đường tròn đơn vị x2 + y2 = D Đường thẳng x = Câu 26 Trong mặt phẳng hệ trục tọa độ Ox y tập T điểm biểu diễn số phức z thỏa | z| = 10 phần ảo z A T đường trịn tâm O bán kính R = 10 B T = {(8; 6), (−8; 6)} C T đường trịn tâm O bán kính R = D T = {(6; 8), (6; −8)} Câu 27 Gọi (H ) tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ Ox y biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: | z − z| = Hình (H ) có diện tích A 24π B 8π C 12π D 10π Câu 28 Tìm tất số phức z thỏa mãn | z + i | = điểm biểu diễn z mặt phẳng tọa độ thuộc đường thẳng d : x + y − = A z = −2 + i B z = + i C z = −2 − i D z = − i Câu 29 Trong mặt phẳng tọa độ Ox y, cho số phức z thỏa mãn | z − i | = | z + i | Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z A Một đường thẳng B Một đường tròn C Một hyperbol D Một elip Câu 30 Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện | z + 2| = | i − z| đường thẳng ∆ có phương trình A x + y + 13 = B x + y + = C −2 x + y − 13 = D x − y + = Ƅ Phùng V Hoàng Em 0972.657.617 GIẢI TÍCH 12 – HKII ƠN THI THPT QUỐC GIA Câu 31 Trong tất số phức có dạng z = m − + mi (m ∈ R), tìm phần thực số phức z có mơ-đun nhỏ A B C −1 D Câu 32 Trong số phức z thỏa mãn |2 z + z| = | z − i |, tìm số phức có phần thực khơng âm cho z−1 đạt giá trị lớn A z = i + i B z = C z = i + i + 8 D z = Câu 33 Trong số phức z thỏa mãn điều kiện ( z − 1)( z + i ) số thực Hãy tìm số phức z có mơ-đun nhỏ 4 4 A z = + i B z = − i C z = − + i D z = + i 5 5 5 5 Câu 34 Cho số phức z thỏa mãn | z − − i | = | z − + i | Đặt w = z + − i Tìm giá trị nhỏ |w| A 11 10 B C 10 Câu 35 Cho số phức z thỏa mãn z + 121 10 11 D 10 4i = Gọi M m giá trị lớn z nhỏ | z| Tính M + m A B C 13 D Câu 36 Cho số phức z = a + bi với | z| = b > cho (1 + i ) z3 − z5 lớn Đặt z4 = c + di , tính tổng c + d A 100 B 85 C 125 D 52 Câu 37 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn | z1 − z2 | = | z1 + z2 | = Tính giá trị lớn biểu thức T = | z1 | + | z2 | A T = B T = 10 C T = D T = 10 Câu 38 Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm I bán kính hình bên Tìm số phức z có mơ-đun nhỏ A B C D y O Câu 39 Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc đường tròn tâm I bán kính hình bên Tìm số phức z có mơ-đun lớn A B 2 C D I x y O I x Câu 40 Cho số phức z thay đổi thỏa mãn điều kiện | z − − i | = Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức | z + + i | Tính S = M + m2 A S = 36 B S = 18 C S = D S = 118 Ƅ Phùng V Hồng Em 0972.657.617 GIẢI TÍCH 12 – HKII ÔN THI THPT QUỐC GIA Câu 41 Cho số phức z thoả mãn điều kiện | z − + i | = Tìm mơ-đun lớn số phức w = z + + i A B 15 C D Câu 42 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện | z | A B 2 −2 − i z + = Tìm giá trị lớn − 2i C D Câu 43 Cho hai số phức z w, biết chúng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện (1 + i ) z +2 = 1− i w = iz Tìm giá trị lớn M = | z − w| A M = 3 B M = C M = D M = Câu 44 Cho số phức z thỏa mãn | z − − i | = Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ | z + + i | Tính S = M + m2 A 34 B 82 C 68 D 36 Câu 45 Cho số phức z thỏa mãn | z − 2| + | z + 2| = Đặt m = | z| M = max | z| Tính giá trị biểu thức T = M + 3m2 A T = 17 B T = 32 C T = 21 D T = 24 Câu 46 Cho số phức z thỏa mãn : | z + 4|+| z − 4| = 10 Gọi M, m theo thứ tự mô-đun lớn nhỏ số phức z Khi M + m A B 14 C 12 D 10 Câu 47 Trong số phức z thỏa mãn | z + i | + | z − i | = 10, gọi z1 , z2 số phức có mơ-đun lớn nhỏ Gọi M (a; b) trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm biểu diễn z1 , z2 Tính tổng T = |a| + |b| A T = B T = C T = D T = Câu 48 Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc đường thẳng hình bên Tìm mơ-đun nhỏ số phức z A 10 B C D 10 y d O x Câu 49 Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm đường thẳng x − y − = Giá trị | z| nhỏ bao nhiêu? A B C D Câu 50 Xét số phức z thỏa mãn | z − − i | = | z − i | Tìm giá trị nhỏ | z| A B 2 C 10 D Câu 51 Trên mặt phẳng tọa độ Ox y, cho đường thẳng d có phương trình x − y + 10 = hai điểm A , B điểm biểu diễn số phức z A = + i , zB = −4 + i Tìm số phức z cho điểm biểu diễn M thuộc đường thẳng d M A + MB bé A z = − i B z = −5 + i C z = −9 + i D z = −11 − i Ƅ Phùng V Hoàng Em 0972.657.617 ... đó: • Phần thực A ; • Số phức liên hợp A + Bi = A − Bi ; • Phần ảo B; • Mơ - đun Ƅ Phùng V Hoàng Em A + B2 0972.657.617 GIẢI TÍCH 12 – HKII ƠN THI THPT QUỐC GIA Ví dụ Xác định phần thực phần ảo... i )( − i ) (1 − i )10 c) z = i 3+ i b) z = 2− i Lời giải Ƅ Phùng V Hoàng Em 0972.657.617 GIẢI TÍCH 12 – HKII ƠN THI THPT QUỐC GIA Ví dụ Cho số phức... Ví dụ 10 Tìm mô-đun số phức z biết z + z = − i (*) Lời giải Ƅ Phùng V Hoàng Em 0972.657.617 GIẢI TÍCH 12 – HKII ƠN THI THPT QUỐC GIA ǥ Vấn đề Điểm biểu diễn