NHĨM TỐN VD – VDC SỞ GD&ĐT BẾN TRE ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN: TỐN – Hệ : THPT Thời gian: 180 phút Ngày thi : 27/02/2019 Họ tên: SBD:     2.sin  x    6.sin  x    4 4    y   x   x y   b) Giải hệ phương trình:  với x, y  x  y    y  3  x  y  3x   x 1 c) Cho hàm số y  có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến  d  đồ thị  C  biết 2x 1  d  cắt trục Ox , Oy A , B cho AB  10.OA (với O gốc tọa độ) a) Giải phương trình:     NHĨM TỐN VD – VDC Câu (8 điểm) Câu (4 điểm) a) Bạn An có đồng xu mà tung có xác suất xuất mặt ngửa bạn Bình có đồng xu Hai bạn An Bình chơi trị chơi tung đồng xu đến có người mặt ngửa mặt ngửa trước thắng Các lần tung p p q số độc lập với bạn An chơi trước Xác suất bạn An thắng q nguyên tố nhau, tìm q  p mà tung có xác suất xuất mặt ngửa dương thỏa: Cn1  2Cn2  3Cn3    n 1 Cnn1  nCnn  64n Câu (4 điểm) a) Trong không gian cho điểm A, B, C, D thỏa mãn AB  3, BC  7, CD  11, DA  Tính AC.BD b) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a2  b2  c2  3b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P    2  a  1  b    c  3 Câu (4 điểm) Cho hình chóp S ABC , có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , SA  2a tam giác ABC vuông C với AB  2a BAC  30 Gọi M điểm di động cạnh AC , đặt AM  x,   x  a  Tính khoảng cách từ S đến BM theo a x Tìm giá trị x để khoảng cách lớn - HẾT https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHÓM TỐN VD – VDC n   b) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhi thức  x   biết n số ngun x  NHĨM TỐN VD – VDC SỞ GD&ĐT BẾN TRE HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐỀ CHÍNH THỨC CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2018 - 2019 Câu (8 điểm)     Lời giải     2.sin  x    6.sin  x     sin x  cos x   sin x  cos x    4 4   a) Ta có:  NHĨM TỐN VD – VDC     2.sin  x    6.sin  x    4 4    y   x   x y   với x, y  b) Giải hệ phương trình:  x  y   y   x  y  x     x 1 c) Cho hàm số y  có đồ thị  C  Viết phương trình tiếp tuyến  d  đồ thị  C  biết 2x 1  d  cắt trục Ox , Oy A , B cho AB  10.OA (với O gốc tọa độ) a) Giải phương trình:    sin x  cos x    sin x  cos x    sin x  cos x     sin x  cos x  2sin x     x   k     sin  x      x  x  sin cos  4       x   k 2    2sin x    sin x    x  2  k 2    k , x    k 2 , x  2  k 2 , với k   y   x   x y  1  b) Giải hệ phương trình:  x  y    y  3  x  y  3x      x  1  * Điều kiện:  y   x  y  3x   a  x     x  a2   - Đặt   y  b b  y      Khi 1 trở thành:  b2  2 a  b  a2  2   ab b  a   b  a         b  a  ab     a  b  ab     x2  y  y  x2 - Thay vào phương trình   ta phương trình: x     x     x  1  x  x    x  1     x  1     x  1   x  1 - Nếu x   3 vơ nghiệm 1 https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc   3 Trang NHĨM TỐN VD – VDC Vậy phương trình có họ nghiệm là: x  NHĨM TOÁN VD – VDC   - Với x  , xét hàm số: f  t   t   t 0;   Có: f   t     t  t2 1 t  0, t  0;   , hàm số f  t  đồng biến 0;   x  x   f  x  1  x   x   x  3x     x  (do x  ) x  Vậy hệ có nghiệm  x; y    3;5   3  f Ta có: y   1  \  2 3  x  1 - Giả sử tiếp tuyến  d   C  cắt Ox , Oy A B thỏa mãn AB  10.OA Khi tam giác OAB vng O có AB  10.OA  OB  3.OA OB  tan OAB    k  3 , với k hệ số góc tiếp tuyến  d  OA 2 x 1  x  3  y  3   3   x  1      x  1  x   1  x  NHĨM TỐN VD – VDC c) TXĐ:   M 1;  tiếp điểm   M  0; 1 Vậy có tiếp tuyến  d  thỏa mãn yêu cầu toán : y  3x  y  3x 1 Câu (4 điểm) bạn Bình có đồng xu Hai bạn An Bình chơi trị chơi tung đồng xu đến có người mặt ngửa mặt ngửa trước thắng Các lần tung p độc lập với bạn An chơi trước Xác suất bạn An thắng p q số q nguyên tố nhau, tìm q  p mà tung có xác suất xuất mặt ngửa n   b) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhi thức  x   biết n số nguyên x  dương thỏa: Cn1  2Cn2  3Cn3    n 1 Cnn1  nCnn  64n Lời giải a) Giả sử lần gieo thứ n bạn An thắng cuộc, n  lần gieo trước bạn An gieo mặt sấp bạn Bình gieo n  lần có kết mặt sấp n 1  2 13 Xác suất để có điều lần gieo thứ n      3 3 5 Do đó, điều kiện thuận lợi để bạn An thắng n  1 p 1 2 2 2  1               q      5   https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc n 1 1 2    3  n 1 Trang NHĨM TỐN VD – VDC a) Bạn An có đồng xu mà tung có xác suất xuất mặt ngửa NHĨM TỐN VD – VDC Suy q  p    n b) Ta xét khai triển 1  x    Cnk x k Lấy đạo hàm vế ta được: n 1  x  n n 1 k 0 n   kCnk x k 1 k 1 Chọn x   Cn1  2Cn2  3Cn3    n  1 Cnn1  nCnn  n.2n1 NHĨM TỐN VD – VDC Do Cn1  2Cn2  3Cn3    n  1 Cnn1  nCnn  64n  n2n1  64n  n  Tiếp tục khai triển 7   x   C7k    x  k 0   x k     2 x 7k 1    k 0   7k k C x x Do để tìm số hạng chứa x ta cần tìm k để 1 Vậy hệ số số hạng chứa x   2 5 C75  k k 7 1    k 0   7k k C x 3k 7 3k    k 5 21 Câu (4 điểm) a) Trong không gian cho điểm A, B, C, D thỏa mãn AB  3, BC  7, CD  11, DA  Tính AC.BD b) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a2  b2  c2  3b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P    2  a  1  b    c  3 Lời giải a) Ta có AB  BC  CD  DA  AB  BC AB  BC  CD  DA CD  DA  Do AC.BD   2      49  121  81  b) Cách 1: Áp dụng BĐT A-G: a   2a; b   4b; c   2c suy 2a  4b  2c   a  b2  c  2a  b  2c  1 Dấu "  " xảy a  c   b   1 2 Ta lại có với x, y số thực dương:  x  y         , dấu "  " xảy y  x y  x  y x x  y Do 1 8 64 256 P       2 2 2  a  1  b  1  c  3  a  b    c  3  a  b  c    2a  b  2c  10        2 2      a  c  Kết hợp 1 suy P  Vậy P    b  Cách 2: Ta có: a2  b2  c2  3b   b2  3b  a2  c2    b  https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC      AB  BC  AC   CD  DA  CA  AC  AB  BC  CD  DA   AC.DB NHĨM TỐN VD – VDC Ta có  a  1   c  3   a  1   c  3 Lại có 4a   a  1 6c   c  1   a  1   c  3  18 1 2a  4a  c  6c  11 2  2a2  4a  c2  6c  11  2a2   a2  1  c2   c2  1  11 Từ 1   ta có  a  1   c  3  2a  2c   3 Lại có từ giả thiết a2  b2  c2  3b   a2  b2  c2  3b  a2  c2  b2   3b  b2   4b  a2  c2  4b  3b   a2  c2   b  2a2  2c2   2b   Từ  3   ta có P  a  1   a  1 b  2 Xét hàm số f  b    b  2 2   c  3  c  3    mà 16  2b b  2  16  2b NHĨM TỐN VD – VDC  2a2  4a  c2  6c  11  4a2  4c2  16   với  b  16  2b a  c  Ta có f  b   b   P  f  b   f  b   P    b 0;3 b 0;3 b  Câu (4 điểm) Cho hình chóp S ABC , có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , SA  2a tam giác ABC vuông C với AB  2a BAC  30 Gọi M điểm di động cạnh AC , đặt AM  x, cách lớn Lời giải Cách https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang NHĨM TỐN VD – VDC   x  a  Tính khoảng cách từ S đến BM theo a x Tìm giá trị x để khoảng NHĨM TỐN VD – VDC Gọi H hình chiếu vng góc S BM Suy BM   SAH  Ta có MAH MBC  AH  BC AM a.x  BM 4a  x  xa x  xa  16a x  xa  4a hình  SH  SA2  AH  a Ta có SM  SA2  AM  4a  x , SB  SA2  AB  2a 2, BM  BA2  AM  AB.AM cos BAM  4a2  x2  xa 3, p  SM  SB  BM Diện tích tam giác SBM SSBM  p  p  SB  p  MB  p  SM   a x  xa  16a 2 Gọi H hình chiếu vng góc S BM Ta có S SBM   SH  SH BM 2 S SBM x  xa  16a x  xa  16a  d S , BM  SH a  a   BM x  xa  4a x  xa  4a NHĨM TỐN VD – VDC Cách Cách Ta có BC  a, AC  a    Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho C  0;0;0  , B  a;0;0  , A 0; a 3;0 , S 0; a 3; 2a  Do H thuộc AC , AM  x nên M 0; a  x;0     MB, BS    2ax  2a 3; 2a ; xa       Ta có MB  a; x  a 3;0 , BS  a; a 3; 2a NHĨM TỐN VD – VDC 2 Khoảng cách từ S đến BM d  S , BM    MB, BS  x  xa  16a   a x  xa  4a MB * Tìm giá trị x để khoảng cách lớn x  xa  16a 0 xa Xét hàm số f  x   x  xa  4a  f  x   2a x  xa x  xa  4a   x  , f  x    Có f    4, f  x  3a  0; a        - HẾT - https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang ...NHĨM TỐN VD – VDC SỞ GD& ĐT BẾN TRE HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐỀ CHÍNH THỨC CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2018 - 2019 Câu (8 điểm)     Lời giải     2.sin...  CD  DA  AB  BC AB  BC  CD  DA CD  DA  Do AC.BD   2      49  121  81  b) Cách 1: Áp dụng BĐT A-G: a   2a; b   4b; c   2c suy 2a  4b  2c   a  b2  c  2a  b ...  1  c2   c2  1  11 Từ 1   ta có  a  1   c  3  2a  2c   3 Lại có từ giả thi? ??t a2  b2  c2  3b   a2  b2  c2  3b  a2  c2  b2   3b  b2   4b  a2  c2  4b 