Đề ôn thi HSG Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH Đề thức ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học: 2018 – 2019 Mơn: TỐN – Ngày thi: 18/03/2019 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Bài (5.0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức: A  x  y   x  y  , biết rằng: x  3  2  3  2 y  17  12  17 12 1 2) Cho hai số thực m , n khác thỏa mãn:   Chứng minh phương trình: m n 2  x  mx  n x  nx  m  ln có nghiệm Bài (5.0 điểm)  x  xy  y  1) Giải hệ phương trình:   x  y  x   2) Tìm nghiệm nguyên phương trình: xy  x  y   x  y  xy Bài (3.0 điểm) 1) Trong mặt phẳng cho 8073 điểm mà diện tích tam giác với đỉnh điểm cho không lớn Chứng minh số điểm cho tìm 2019 điểm nằm cạnh tam giác có diện tích khơng lớn 2) Cho a , b , c số thực không âm thỏa mãn: a  b  c  Chứng minh rằng: a b   b c   c a   Bài (7.0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC vuông cân A Gọi D trung điểm cạnh BC Lấy điểm M đoạn AD ( M không trùng với A ) Gọi N , P theo thứ tự hình chiếu vng góc M cạnh AB , AC H hình chiếu vng góc N lên đường thẳng PD a) Chứng minh rằng: AH  BH b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực AB I Chứng minh ba điểm H , N , I thẳng hàng Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O , đường cao AH Gọi M giao điểm AO HB MB AB   Dấu xảy ? BC Chứng minh HC MC AC  HẾT  Trường THCS Đào Duy Từ GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Năm học 2018 – 2019 Trang Đề ôn thi HSG Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951 ĐÁP ÁN THAM KHẢO 2018 – 2019 Bài (5.0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức: A  x  y   x  y  , biết rằng: x  3  2  3  2 y  17  12  17 12 1   Chứng minh phương trình: 2) Cho hai số thực m , n khác thỏa mãn: m n  x  mx  n x  nx  m  ln có nghiệm Giải   2   2    2  3.x   2   3x   17  12  17  22   17  12  y  17 12  34  y 1) ● Ta có x  3 3 y 3 ● Cộng vế theo vế, ta được: x  y  40  x  y  x  y   x  y   40  Vậy A  40 x  3  2  3  2 y  17  12  17 12 1 2) ● Từ    m  n  2m.n  m  n  m  n  m  n   m n  x  mx  n  2 2 Ta có:  x  mx  n  x  nx  m  1    x  nx  m  3 ● Giả sử hai phương trình 2 3 vô nghiệm: 2  m  n       m  n  4m  n   3  n  m   Nhận thấy   mâu thuẫn nên giả sử sai Suy hai phương trình: 2 3 có phương trình có nghiệm  Do phương trình 1 ln có nghiệm Bài (5.0 điểm)    x  xy  y  1 1) Giải hệ phương trình:  y  4x   x       2) Tìm nghiệm nguyên phương trình: xy  x  y   x  y  xy Giải 1) Điều kiện x  Ta có: 1   x  1 x  y 1   y   x (Do x   ) ● Thay y   x vào 2 , ta được:    x 1.    x 1  x 1 1   x 1  x 1   x 1  x 1 x 1  x 1   x 1    x 1    x  (Vì     x 1  x 1 1    x 1  0, x  ) Với x    y   x   Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là:   y  Trường THCS Đào Duy Từ GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Năm học 2018 – 2019 Trang Đề ôn thi HSG Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951 2) Ta có: 1  x  x 1  y  x 1  y  x 1    x 1 x  y  y    x 1   x 1  1  I Vì x , y   suy     II    x  y  y   x  y  y  1 x   x       x   y  x     y 1 ●  I    ●  II               y  y  1      y   y       2      Vậy phương trình cho có nghiệm ngun là: 0;1 2;1 Bài (3.0 điểm) 1) Trong mặt phẳng cho 8073 điểm mà diện tích tam giác với đỉnh điểm cho không lớn Chứng minh số điểm cho tìm 2019 điểm nằm cạnh tam giác có diện tích không lớn 2) Cho a , b , c số thực không âm thỏa mãn: a  b  c  Chứng minh rằng: a b   b c   c a   Giải 1) Gọi Ai A j hai điểm xa điểm thuộc tập hợp 8073 điểm cho ● Giả sử Am điểm cách xa đoạn thẳng Ai A j Khi đó: Tam giác Ai A j Am tam giác lớn có diện tích khơng lớn ● Ta vẽ đường thẳng qua điểm Ai , A j , Am song song với cạnh Ai A j Am Ta tam giác nhỏ tam giác lớn chứa tam giác nhỏ Và tam giác lớn có diện tích khơng q đơn vị Do đó, tam giác lớn chứa tất 8073 điểm cho Nhận thấy 8073 : 2018 dư Nên theo ngun lí Đirichlet, suy có tam giác có tam giác chứa 2019 8073 điểm cho 2) ● Ta có: P  2a b   2b c   2c a   2a b  1b  b  1  2b c  1c  c  1  2c a  1a  a  1 COSI  a b  2  b c  2  c a  2  ab  bc  ca   M  ● Khơng tính tổng qt, giả sử b  c  a thì: b a  c c  b    abc  b c  ab  bc  ab  bc  ca  abc  b c  ca Suy M  abc  b c  ca  abc  b c  ca  c a  b   4.c a b a b 2 a  b  c   a  b a  b   c    4  27  2  27 3 a  b  c  b   b c a  ● Do P  10  P  Dấu "  " xảy   c  2c  a  b   a    abc  abc  Vậy với a , b , c số thực không âm thỏa mãn: a  b  c  a b   b c   c a   Dấu "  " xảy a ; b ; c   0;1;2, 1;2;0, 2;0;1 Trường THCS Đào Duy Từ GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Năm học 2018 – 2019 Trang Đề ôn thi HSG Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951 Bài (7.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi D trung điểm cạnh BC Lấy điểm M đoạn AD ( M không trùng với A ) Gọi N , P theo thứ tự hình chiếu vng góc M cạnh AB , AC H hình chiếu vng góc N lên đường thẳng PD a) Chứng minh rằng: AH  BH b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực AB I Chứng minh ba điểm H , N , I thẳng hàng Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O , đường cao AH Gọi M giao điểm HB MB AB   AO BC Chứng minh  Dấu xảy ? HC MC AC Giải (Hướng dẫn giải) a) Dễ dàng chứng minh MNAP hình vng Ta có MNPH ANHP tứ giác nội tiếp nên   AHN   45 MHN   MPN   45 APN   NHM   90 hay AH  BH Do đó: AHN b) Vì ABI ABH tam giác vuông nên tứ   BAI   45 giác AHBI nội tiếp, suy BHI   45 N nằm đường thẳng Lại có MHN HI Hay H , N , I thẳng hàng (Hướng dẫn giải) Chứng minh tương đương: ● Kẻ phân giác góc BAC cắt BC I Suy IB AB  1 IC AC ● Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt AM D , cắt AI E cắt AH K HB AB MB AB IB AB  ;   Khi đó: 2 HC CK MC CD IC CE ● Từ 1 2 suy ra: AB AB AB 1      3 CK CD CE CK CD CE   BAE   CAE   ● Ta có CEA  ACE cân C , suy CA  CE 1 CK  CD     Do đó: 3  4  CK CD CA CK CD CA   CAD  , mà ● Sử dụng tính chất, góc nội tiếp hai góc phụ nhau, ta chứng minh được: BAH   AKC  (sltr)  BAH  AKC  DAC , suy CD.CK  CA  CA  CD.CK CK  CD Thay vào 4  ta được:   CK  CD  CK CD (luôn đúng) CK CD CK CD Dấu "  " xảy CK  CD , suy AH qua O   ABC cân A , AB  AC   Trong trình thực lời giải, Tơi khó tránh khỏi sai sót Mọi góp ý xin vui lòng gửi qua mail: lehongquocddt@gmail.com XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN ! Trường THCS Đào Duy Từ GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Năm học 2018 – 2019 Trang ...Đề ôn thi HSG Tel: 090 5.884 .95 1 – 092 9.484 .95 1 ĐÁP ÁN THAM KHẢO 2018 – 20 19 Bài (5.0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức: A  x  y   x ... THCS Đào Duy Từ GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Năm học 2018 – 20 19 Trang Đề ôn thi HSG Tel: 090 5.884 .95 1 – 092 9.484 .95 1 2) Ta có: 1  x  x 1  y  x 1  y  x 1    x 1... THCS Đào Duy Từ GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Năm học 2018 – 20 19 Trang Đề ôn thi HSG Tel: 090 5.884 .95 1 – 092 9.484 .95 1 Bài (7.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi D trung điểm