CHỦ ĐỀ MẶT CẦU – MẶT NÓN – MẶT TRỤ A KIẾN THỨC CƠ BẢN I MẶT NÓN 1/ Mặt nón tròn xoay Hình Hình Trong mặt phẳng ( P ) , cho đường thẳng d , ∆ cắt tại O và chúng tạo thành góc β với 00 < β < 900 Khi quay mp ( P ) xung quanh trục ∆ với góc β không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O (hình 1)  Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón  Đường thẳng ∆ gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc β gọi là góc ở đỉnh 2/ Hình nón tròn xoay Cho ∆OIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2)  Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón  Hình tròn tâm I , bán kính r = IM là đáy của hình nón 3/ Công thức diện tích và thể tích của hình nón Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh là l thì có:  Diện tích xung quanh: S xq = π r.l  Diện tích đáy (hình tròn): Sð = π r  Thể tích khối nón:= Vnon  Diện tích tồn phần hình nón: Stp  S xq  Sð 1 = Sð h π r h 3 4/ Tính chất:  TH1: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp( P ) qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: + Nếu mp( P ) cắt mặt nón theo đường sinh ⇒ Thiết diện là tam giác cân + Nếu mp( P ) tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón  TH2: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp (Q ) không qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: + Nếu mp(Q ) vuông góc với trục hình nón ⇒ giao tuyến là một đường tròn + Nếu mp(Q ) song song với đường sinh hình nón ⇒ giao tuyến là nhánh của hypebol + Nếu mp(Q ) song song với đường sinh hình nón ⇒ giao tuyến là đường parabol II MẶT TRỤ Trang 1/44 1/ Mặt trụ tròn xoay Trong mp ( P ) cho hai đường thẳng ∆ và l song song nhau, cách ∆ một khoảng r Khi quay mp ( P ) quanh trục cố định ∆ thì đường r l A thẳng l sinh một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ D  Đường thẳng ∆ được gọi là trụC  Đường thẳng l được gọi là đường sinh  Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ 2/ Hình trụ tròn xoay Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một B cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ABCD tạo thành một r hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ C  Đường thẳng AB được gọi là trụC  Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh  Độ dài đoạn thẳng AB = CD = h được gọi là chiều cao của hình trụ  Hình tròn tâm A , bán kính r = AD và hình tròn tâm B , bán kính r = BC được gọi là đáy của hình trụ  Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ 3/ Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r , đó:  Diện tích xung quanh của hình trụ: S xq = 2π rh  Diện tích toàn phần của hình trụ:  Thể tích khối trụ: Stp = S xq + 2.S Ðay = 2π rh + 2π r = V B= h π r h 4/ Tính chất:  Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) bởi một mp (α ) vuông góc với trục ∆ thì ta được đường tròn có tâm ∆ và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó  Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) bởi một mp (α ) không vuông góc với trục ∆ cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn 2r bằng , đó ϕ là góc giữa trục ∆ và mp (α ) với 00 < ϕ < 900 sin ϕ  Cho mp (α ) song song với trục ∆ của mặt trụ tròn xoay và cách ∆ một khoảng d + Nếu d < r thì mp (α ) cắt mặt trụ theo hai đường sinh ⇒ thiết diện là hình chữ nhật + Nếu d = r thì mp (α ) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh + Nếu d > r thì mp (α ) không cắt mặt trụ III MẶT CẦU 1/ Định nghĩa Trang 2/44 Tập hợp các điểm M không gian cách điểm O cố định một khoảng R gọi là mặt cầu tâm O , bán kính R , kí hiệu là: S ( O; R ) Khi = S ( O; R ) M | OM {= R} 2/ Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu Cho mặt cầu S ( O; R ) và một điểm A bất kì, đó:  Nếu OA = R ⇔ A ∈ S ( O; R ) Khi đó OA gọi là bán kính mặt cầu Nếu OA và OB là hai bán   kính cho OA = −OB thì đoạn thẳng AB gọi là đường kính của B mặt cầu O  Nếu OA < R ⇔ A nằm mặt cầu A A  Nếu OA > R ⇔ A nằm ngoài mặt cầu ⇒ Khối cầu S ( O; R ) là tập hợp tất cả các điểm M cho OM ≤ R 3/ Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu A Cho mặt cầu S ( O; R ) và một mp ( P ) Gọi d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến mp ( P ) và H là hình chiếu của O mp ( P ) ⇒ d = OH  Nếu d < R ⇔ mp ( P ) cắt mặt cầu S ( O; R ) theo giao tuyến là đường tròn nằm mp ( P ) có tâm là H và bán kính r = HM = R2 − d = R − OH (hình a)  Nếu d > R ⇔ mp ( P ) không cắt mặt cầu S ( O; R ) (hình b)  Nếu d= R ⇔ mp ( P ) có mợt điểm chung nhất Ta nói mặt cầu S ( O; R ) tiếp xúc mp ( P ) Do đó, điều kiện cần và đủ để mp ( P ) tiếp xúc với mặt cầu S ( O; R ) là d ( O , ( P ) ) = R (hình c) d Hình a Hình b d= Hình c 4/ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu Cho mặt cầu S ( O; R ) và một đường thẳng ∆ Gọi H là hình chiếu của O đường thẳng ∆ và d = OH là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến đường thẳng ∆ Khi đó: d d=  Nếu d > R ⇔ ∆ không cắt mặt cầu S ( O; R )  Nếu d < R ⇔ ∆ cắt mặt cầu S ( O; R ) tại hai điểm phân biệt  Nếu d= R ⇔ ∆ và mặt cầu tiếp xúc (tại một điểm nhất) Do đó: điều kiện cần và đủ để đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu là= d d (O, = ∆) R Định lí: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S ( O; R ) thì:  Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu S ( O; R )  Độ dài đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng Trang 3/44  Tập hợp các điểm này là một đường tròn nằm mặt cầu S ( O; R ) 5/ Diện tích và thể tích mặt cầu • Diện tích mặt cầu: SC = 4π R • Thể tích mặt cầu: VC = π R3 B KỸ NĂNG CƠ BẢN I Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện 1/ Các khái niệm bản  Trục của đa giác đáy: là đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy ⇒ Bất kì một điểm nào nằm trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó  Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó ⇒ Bất kì một điểm nào nằm đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng  Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó ⇒ Bất kì một điểm nào nằm mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng 2/ Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp  Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp Hay nói cách khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp  Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp 3/ Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện bản a/ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương - Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương) ⇒ Tâm là I , là trung điểm của AC ' - Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương) AC ' A B A ⇒ Bán kính: R = D C I I A’ B’ C’ C’ D’ b/ Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn ' ' ' ' n Xét hình lăng trụ đứng A1 A2 A3 An A A A A , đó có đáy A2 A1 A2 A3 An và A A A A nội tiếp đường tròn ( O ) và ( O ' ) Lúc đó, ' ' ' An A1 ' n mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có: - Tâm: I với I là trung điểm của OO ' O A3 I A’n A’1 - Bán kính: R= IA= IA2= = IAn' A’2 O’ A’3 c/ Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối đỉnh còn lại dưới góc vuông   - Hình chóp S ABC có SAC = SBC = 900 S S + Tâm: I là trung điểm của SC SC + Bán kính: = R = IA = IB = IC I I A C A Trang 4/44 - Hình chóp S ABCD có    SAC = SBC = SDC = 900 + Tâm: I là trung điểm của SC SC + Bán kính: = R = IA = IB = IC = ID d/ Hình chóp đều Cho hình chóp đều S ABC - Gọi O là tâm của đáy ⇒ SO là trục của đáy - Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên, S ∆ M chẳng hạn mp ( SAO ) , ta vẽ đường trung trực của cạnh SA là ∆ cắt SA tại M và cắt SO tại I ⇒ I là tâm của mặt cầu - Bán kính: SM SI Ta có: ∆SMI  ∆SOA ⇒ = ⇒ Bán kính là: SO SA SM SA SA2 = R IS = = = IA = IB = IC = SO SO e/ Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy I A D O B C Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SA ⊥ đáy ( ABC ) và đáy ABC nội tiếp được đường tròn tâm O Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC được xác định sau: - Từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với mp ( ABC ) tại O - Trong mp ( d , SA) , ta dựng đường trung trực ∆ của cạnh SA , cắt SA tại M , cắt d tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính = R IA = IB = IC = IS = - Tìm bán kính: Ta có: MIOB là hình chữ nhật Xét ∆MAI vuông tại M có: S d M I ∆  SA  R =AI = MI + MA = AO +     2 O A f/ Hình chóp kháC - Dựng trục ∆ của đáy C B - Dựng mặt phẳng trung trực (α ) của một cạnh bên bất kì - (α ) ∩ ∆ = I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp - Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp g/ Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy Do đó, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán O O O Trang 5/44 II KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP Cho hình chóp S A1 A2 An (thoả mãn điều kiện tồn mặt cầu ngoại tiếp) Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực theo hai bước: Bước 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Dựng ∆ : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực (α ) cạnh bên - Tâm O mặt cầu: ∆ ∩ mp(α ) ={O} Lúc : - Bán kính:= R SA =( SO ) Tuỳ vào trường hợp Lưu ý: Kỹ xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: đường thẳng qua tâm đường trịn ngoại tiếp đáy vng góc với mặt phẳng đáy Tính chất: ∀M ∈ ∆ : MA = MB = MC Suy ra: MA = MB = MC ⇔ M ∈ ∆ Các bước xác định trục: - Bước 1: Xác định tâm H đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy - Bước 2: Qua H dựng ∆ vng góc với mặt phẳng đáy VD: Một số trường hợp đặc biệt A Tam giác vuông B Tam giác C Tam∆ giác ∆ ∆ B H C B B C H A H S A C A M Lưu ý: Kỹ tam giác đồng dạng O I A Trang 6/44 ∆SMO đồng dạng với ∆SIA ⇒ SO SM = SA SI Nhận xét quan trọng: = MB = MC  MA ∃M , S :  ⇒ SM trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC = SB = SC  SA Ví dụ: Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Dạng 1: Chóp có điểm nhìn đoạn góc vng  SA ⊥ ( ABC ) Theo đề bài: Ví dụ: Cho S ABC :   ∆ABC ⊥ B  BC ⊥ AB ( gt )   BC ⊥ SA ( SA ⊥ ( ABC ) ) ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB Ta có B A nhìn SC góc vng ⇒ nên B A nằm mặt cầu có đường kính SC Gọi I trung điểm SC ⇒ I tâm MCNT khối chóp S ABC bán kính R = SI Dạng 2: Chóp có cạnh bên Ví dụ: Cho hình chóp tam giác S ABC + Vẽ SG ⊥ ( ABC ) G tâm đường trịn ngoại tiếp ∆ABC + Trên mặt phẳng ( SGC ) , vẽ đường trung trực SC , đường cắt SG I I tâm mặt cầu ngoại tiếp S ABC bán kính R = IS + Ta có ∆SGC  ∆SKI ( g − g ) ⇒ SG SC SC.SK SC = ⇒ R= = SG SK SI SG Dạng 3: Chóp có mặt bên vng góc với đáy Ví dụ: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A Mặt bên ( SAB ) ⊥ ( ABC ) ∆SAB Gọi H , M trung điểm AB, AC = MB = MC ) Ta có M tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC (do MA Dựng d1 trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ( d1 qua M song song SH ) Gọi G tâm đường tròn ngoại tiếp ∆SAB d trục đường tròn ngoại tiếp ∆SAB , d cắt d1 I ⇒ I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC ⇒ Bán kính R = SI Xét ∆SGI → SI= GI + SG Trang 7/44 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MẶT CẦU Câu Cho mặt cầu có diện tích S , thể tích khối cầu V Tính bán kính R mặt cầu Câu 3V 4V S V B R = C R = D R = 3V S 3S S Cho mặt cầu S (O; R ) điểm A cố định với OA = d Qua A , kẻ đường thẳng ∆ tiếp xúc với A R = mặt cầu S (O; R ) M Công thức sau dùng để tính độ dài đoạn thẳng AM ? A Câu 2R − d B d − R2 C R − 2d D d + R2 Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c Gọi ( S ) mặt cầu qua đỉnh hình hộp chữ nhật Tính diện tích hình cầu ( S ) theo a, b, c A π ( a + b2 + c ) B 2π ( a + b2 + c ) C 4π ( a + b2 + c ) D π ( a + b2 + c ) Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c Gọi ( S ) mặt cầu qua đỉnh hình Câu hộp chữ nhật Tâm mặt cầu ( S ) A đỉnh hình hộp chữ nhật B tâm mặt bên hình hộp chữ nhật C trung điểm cạnh hình hộp chữ nhật D tâm hình hộp chữ nhật Cho mặt cầu S (O; R ) đường thẳng ∆ Biết khoảng cách từ O tới ∆ d Đường thẳng Câu ∆ tiếp xúc với S (O; R ) thỏa mãn điều kiện điều kiện sau ? A d = R Câu B d > R C d < R D d ≠ R Cho đường tròn (C ) điểm A nằm ngồi mặt phẳng chứa (C ) Có tất mặt cầu chứa đường tròn (C ) qua A ? Câu A B C D vô số Cho hai điểm A, B phân biệt Tập hợp tâm mặt cầu qua A B Câu A mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB B đường thẳng trung trực AB C mặt phẳng song song với đường thẳng AB D trung điểm đoạn thẳng AB Cho mặt cầu S (O; R ) mặt phẳng (α ) Biết khoảng cách từ O tới (α ) d Nếu d < R giao tuyến mặt phẳng (α ) với mặt cầu S (O; R ) đường tròn có bán kính bao nhiêu? A Rd B R2 + d C R2 − d D R − 2d Câu Từ điểm M nằm mặt cầu S (O; R ) kẻ tiếp tuyến với mặt cầu? Câu 10 A Vô số B C D Một đường thẳng d thay đổi qua A tiếp xúc với mặt cầu S (O; R ) M Gọi H hình chiếu M lên đường thẳng OA M thuộc mặt phẳng mặt phẳng sau đây? A Mặt phẳng qua H vng góc với OA B Mặt phẳng trung trực OA C Mặt phẳng qua O vng góc với AM D Mặt phẳng qua A vng góc với OM Câu 11 Một đường thẳng thay đổi d qua A tiếp xúc với mặt cầu S (O; R ) M Gọi H hình chiếu M lên đường thẳng OA Độ dài đoạn thẳng MH tính theo R là: Trang 8/44 A R B R C 2R D 3R 22 ) Câu 12 Thể tích khối cầu 113 cm3 bán kính ? (lấy π ≈ 7 A cm B cm C cm D 3cm Câu 13 Khinh khí cầu nhà Mông–gôn–fie (Montgolfier) (người Pháp) phát minh khinh khí cầu dùng khí nóng Coi khinh khí cầu mặt cầu có đường kính 11m diện tích mặt khinh khí cầu bao nhiêu? (lấy π ≈ A 379, 94 (m ) 22 làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai) B 697,19 (m ) C 190,14 cm D 95, 07 (m ) Câu 14 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có độ dài cạnh 10 cm Gọi O tâm mặt cầu qua đỉnh hình lập phương Khi đó, diện tích S mặt cầu thể tích V hình cầu là: = = π (cm );V 125 (cm3 ) = = 3π (cm );V 500 (cm3 ) A S 150 B S 100 C S 300 D S 250 = = π (cm );V 500 (cm3 ) = = π (cm );V 500 (cm3 ) Câu 15 Cho đường tròn (C ) ngoại tiếp tam giác ABC có cạnh a , chiều cao AH Quay đường tròn (C ) xung quanh trục AH , ta mặt cầu Thể tích khối cầu tương ứng là: 4π a 3 4π a 4π a A B C D 27 54 Câu 16 Cho đường tròn (C ) ngoại tiếp tam giác ABC có cạnh a , chiều cao AH Quay π a3 đường tròn (C ) xung quanh trục AH , ta mặt cầu Thể tích khối cầu tương ứng là: A 4π a 3 27 B 4π a C π a3 54 D 4π a  = 300 Quay tam giác vuông quanh Câu 17 Cho tam giác ABC vng A có BC = 2a B trục AB , ta hình nón đỉnh B Gọi S1 diện tích tồn phần hình nón S2 diện tích mặt cầu có đường kính AB Khi đó, tỉ số A S1 = S2 B S1 = S2 S1 là: S2 C S1 = S2 D S1 = S2 MẶT NĨN Câu 18 Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a , diện tích xung quanh S1 mặt cầu có đường kính chiều cao hình nón, có diện tích S2 Khẳng định sau khẳng định ? A S2 = 3S1 B S1 = S2 C S2 = S1 D S1 = S2 Câu 19 Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a , tích V1 hình cầu có đường kính chiều cao hình nón, tích V2 Khi đó, tỉ số thể tích A V1 = V2 B V1 = V2 C V1 = V2 V1 bao nhiêu? V2 D V1 = V2 Trang 9/44 Câu 20 Tính diện tích xung quanh hình trụ biết hình trụ có bán kính đáy a đường cao a A 2π a C π a B 2π a D π a Câu 21 Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh góc vng a Tính diện tích xung quanh hình nón A Câu 22 π a2 B π a2 2 C π a 2π a 2 D Thiết diện qua trục hình nón đỉnh S tam giác vng cân SAB có cạnh cạnh huyền a Diện tích tồn phần Stp hình nón thể tích V khối nón tương ứng cho A Stp = π a (1 + 2) π a3 ;V = 12 π a3 C Stp =π a (1 + 2);V = Câu 23 B Stp = D Stp = π a2 ;V = π a3 π a ( − 1) π a3 ;V = 12 Cho hình nón trịn xoay có đỉnh S , O tâm đường trịn đáy, đường sinh a góc đường sinh mặt phẳng đáy 600 Diện tích xung quanh S xq hình nón thể tích V khối nón tương ứng là: A = S xq π= a ;V π a3 C S xq π= = a 2;V Câu 24 12 π a3 B S xq = π a2 = ;V D S xq π= a ;V = π a3 12 π a3 Một hình nón có đường kính đáy 2a , góc đỉnh 1200 Tính thể tích khối nón theo a A 3π a B π a C 3π a D π a 3 Câu 25 Trong không gian, cho tam giác ABC vuông A , AB = a AC = 3a Tính độ dài đường sinh l hình nón, nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AB A l = a B l = 2a C l = 3a D l = 2a MẶT TRỤ Câu 26 Cho hình trụ có bán kính đáy R , chiều cao h thể tích V1 ; hình nón có đáy trùng với đáy hình trụ, có đỉnh trùng với tâm đáy cịn lại hình trụ (hình vẽ bên dưới) tích V2 Khẳng định sau khẳng định ? h R A V2 = 3V1 B V1 = 2V2 C V1 = 3V2 D V2 = V1 Câu 27 Tính thể tích V khối trụ có bán kính đáy R , chiều cao h A V = π R h B V = π Rh C V = π Rh D V = 2π Rh Trang 10/44 Ta có ∆SMO ∽ ∆SHD ⇒ Với SH = SD − HD = 4a − SO SM SD.SM SD = ⇒ R = SO = = SD SH SH SH a a 7a ⇒ SH = = 2 SD 2a 14 = SH Vậy = R Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 1, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho 5π 15π 3π B V = C V = 18 27  Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm AB SM ⊥ AB (vì tam giác A V = SAB đều) Mặt khác ( SAB ) ⊥ ( ABC ) D V = 15π 54 S nên SM ⊥ ( ABC ) Tương tự: CM ⊥ ( SAB ) K Gọi G K tâm tam giác ABC O B SAB M Trong mặt phẳng ( SMC ) , kẻ đường thẳng Gx //SM kẻ A G C OG ⊥ ( SAB ) đường thẳng Ky //SM Gọi = O Gx ∩ Ky , ta có:  OK ⊥ ( ABC ) Suy OG , OK trục tam giác ABC SAB Do ta có: OA = OB = OC = OD = OS hay O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Tứ giác OKMN hình chữ nhật có MK = MG = OK = Mặt khác OS= OK + SK 2= SK = 3 Xét 3 + = 36 15 tam Suy bán kính mặt cầu cần tìm = R OS = giác nên OKMN hình vng Do SKO vng K có 15 Vậy thể tích khối cầu cần tìm là: 4  15  15π = = π R3 π. = V  3   54 Một hình lăng trụ tam giác có cạnh đáy a , cạnh bên 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Trang 28/44 A a 39 B a 12 C 2a D  Hướng dẫn giải: Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' Gọi G , G ' 4a A' C' G' tâm hai đáy ABC A ' B ' C ' Ta có GG ' trục tam B' giác ABC A ' B ' C ' 2a O Gọi O trung điểm GG ' O cách đỉnh hình lăng trụ nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Bán kính mặt cầu R = OA Xét tam OA = OAG giác vuông G, ta A C G a B có: 2a a2 2a Vậy bán kính mặt cầu cần tìm R = + a2 = 3 AG + GO = Cho hình trụ có bán kính đáy R , thiết diện qua trục hình vng Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ cho theo R B 2R A 4R C 2R D 8R  Hướng dẫn giải: Giả sử ABCD A ' B ' C ' D ' lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ C' D' BDD ' B ' thiết diện qua trục hình trụ O' B' A' BD = BB =' R cạnh đáy hình lăng trụ R Do thể tích khối 2R lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' R ) R (= = V C D 4R3 R O B A Cho hình trụ có bán kính đáy cm, mặt phẳng khơng vng góc với đáy cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB, A ' B ' mà = AB A= ' B ' cm (hình vẽ) Biết diện tích tứ giác ABB ' A ' 60 cm2 Tính chiều cao hình trụ cho A cm B cm C cm D cm  Hướng dẫn giải: Dựng đường sinh B ' C A ' D , ta có tứ giác A ' B ' CD hình chữ nhật nên CD A= ' B ' cm Vậy CD //AB CD = AB = cm Do tứ giác ABCD CD //A ' B ' và= hình bình hành nội tiếp nên hình chữ nhật Từ AB ⊥ BC , mặt khác AB ⊥ B 'C nên AB ⊥ ( BCB ') ⇒ AB ⊥ BB ' Vậy ABB ' C ' hình bình hành có góc vng nên hình chữ nhật Ta có S ABB ' A ' = AB.BB ' nên BB =' 60 = 10 cm Xét tam giác BB ' C B= ' C BB '2 − BC 2 vng C có BC = AC − AB = 64 − 36 = 28 B' A' mà 2cm nên C B ' C = 100 − 28 = 72 ⇒ B ' C = cm Vậy chiều cao hình trụ cm B cm D A Cho hình trụ trịn xoay có hai đáy hai hình trịn ( O; R ) ( O '; R ) Tồn dây cung AB thuộc đường tròn (O ) cho ∆O ' AB tam giác mặt phẳng (O ' AB ) hợp với mặt phẳng chứa Trang 29/44 đường trịn (O ) góc 600 Khi đó, diện tích xung quanh S xq hình trụ thể tích V khối trụ tương ứng là: A S xq = 4π R 2π R = ;V 7 B S xq = 3π R 2π R C S xq ;V = = 7 6π R 3π R = ;V 7 3π R π R3 D S xq = = ;V 7  Hướng dẫn giải: * Ta có: OO ' ⊥ ( OAB ) Gọi H là trung điểm ' = của AB thì OH ⊥ AB, O ' H ⊥ AB ⇒ OHO 600 * Giả sử OH = x Khi đó: 0< x< R và tan 600 x OO ' x= = * Xét ∆OAH , ta có: AH= R2 − x2 * Vì ∆O ' AB đều nên: O = = AH = R − x (1) ' A AB * Mặt khác, ∆AOO ' vuông tại O nên: AO '2 = OO '2 + R = 3x + R ( ) * Từ (1) , ( ) ⇒ ( R − x ) = 3x + R ⇒ x = ⇒ h= OO=' x 3= * 3R 3R Vậy, nếu kí hiệu S là diện tích xung quanh và V là thể tích của hình trụ thì, ta có: 6π R 3π R = ; V π= R2h 7 Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm đường tròn đáy = π Rh S 2= thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm đường tròn đáy thứ hai của hình trụ Mặt phẳng ( ABCD ) tạo với đáy hình trụ góc 450 Diện tích xung quanh S xq hình trụ và thể tích V của khối trụ là: A S xq = π a2 = ;V 3 2a B S xq = π a2 = ;V 3 2a 32 3a π a2 3 2a D S xq = = ;V = ;V 16 16  Hướng dẫn giải: * Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD Khi đó: OM ⊥ AB và O ' N ⊥ DC C S xq = π a2 Giả sử I là giao điểm của MN và OO ' Đặ t R OA = = , h OO ' * Trong ∆IOM vuông cân tại I nên: OM = OI = h ⇒= 2 a ⇔= h 2 IM 2 a * Ta có: R =OA2 + AM + MO Trang 30/44 2 a a 3a a a 2 =  + = + =  8 2   ⇒ S xq= 2π Rh= 2π a a π a2 3a a 2a = = ; V= π R h= π 16 2 Cho hình trụ có thiết diện qua trục hình vuông ABCD cạnh cm với AB đường kính đường  = 600 Khi đó, thể tích V trịn đáy tâm O Gọi M điểm thuộc cung  AB cho ABM khối tứ diện ACDM là: A V = (cm3 ) B V = (cm3 ) C V = (cm3 ) D V = 3(cm3 )  Hướng dẫn giải: Ta có: BM ⊥ AD, BM ⊥ AM ⇒ BM ⊥ ( ADM ) BC //AD ⇒ BC //( ADM ) ⇒ d [C , ( ADM )] = d [ B, ( ADM )] = BM = ⇒V 1 BM S∆ADM BM AM AD (1) = Vì ∆OBM ⇒ BM = ⇒ AM = AB − BM =3 (cm) = 3.3.2 3(cm3 ) Một hình nón có chiều cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm Một thiết diện qua đỉnh có khoảng cách = (1) ⇒ V từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện 12cm Tính diện tích thiết diện A 450 cm2 B 500 cm2 C 500 cm2 D 125 34 cm2  Hướng dẫn giải: Tính diện tích thiết diện S SAB 1 = AB.SI = IA.SI IA.SI 2 + Xét tam giác vng SOI , ta có: + Ta có = S∆SAB 1 1 1 = + ⇒ = + ⇒ OI = 15 (cm) 2 2 OH OI OS 12 OI 20 + Mặt khác, xét tam giác vuông SOI thì: OI OS = SI OH ⇒ SI= OI OS 20.15 = = 25 (cm) OH 12 Trang 31/44 + Trong tam giác vng AIO , ta có: IA = OA2 − OI = 252 − 152 = 20 (cm) + Từ suy ra: S= IA = = 500 (cm2) .SI 20.25 ∆SAB Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có cạnh a Hãy tính diện tích xung quanh S xq thể tích V khối nón có đỉnh tâm O hình vng ABCD đáy hình trịn nội tiếp hình vng A’B’C’D’ A S xq = C S xq = π a2 ;V = π a2 ;V =  Hướng dẫn giải: π a3 12 π a3 B S xq = π a2 ;V = D S xq π= = a 5;V a nón π a3 π a3 Khối nón có chiều cao a bán kính đáy r = Diện tích xung quanh khối π a2 a (đvdt) π rl = π a a +   = S xq = 2 1 a π a3 = Bh π= r h π = a (đvtt)  3 2 12 = V Thể tích khối nón là: Thiết diện qua trục hình nón đỉnh S tam giác vng cân có cạnh cạnh huyền a Kẻ dây cung BC đường trịn đáy hình nón, cho mp ( SBC ) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 600 Diện tích tam giác SBC tính theo a là: a2  Hướng dẫn giải: A B a2 C a2 D a2 + Do thiết diện qua trục tam giác ∆SAB vng cân đỉnh S , có cạnh huyền AB = a nên suy bán kính đáy hình nón r = cao hình nón= h SO = a ; đường sinh hình nón= l SA = SB = a ; đường a + Gọi I trung điểm BC OI ⊥ BC (1)  BC ⊥ OI Ta lại có:  ⇒ BC ⊥ ( SOI ) ⇒ BC ⊥ SI (2)  BC ⊥ SO Gọi (α ) mặt phẳng chứa đáy (α ) ∩ (SBC) = BC (3)  Từ (1), (2) (3) suy ( (α ), (SBC) = SI , OI = ) SIO = 600 ) ( Xét tam giác SOI vng O, ta có: a SO a = SI = =  3 sin SIO Trang 32/44 SIB Xét tam giác ⇒ BC = IB = vuông I , ta có: IB = a 6 a a −  =   2 SB − SI = 2a 1 a 2a a 2 Diện tích thiết diện SBC là: (đvdt) = S∆SBC = SI BC = 2 3 Cho hình nón trịn xoay có đỉnh S , O tâm đường tròn đáy, đường sinh a góc đường sinh mặt phẳng đáy 600 Gọi I điểm đường cao SO hình nón SI = Khi đó, diện tích thiết diện qua I vng góc với trục hình OI cho tỉ số nón là: A π a2 B π a2 C π a2 18 18  Hướng dẫn giải: Gọi A điểm thuộc đường trịn đáy hình nón Thiết diện qua I vng góc với trục hình nón hình trịn có bán kính D π a2 36 hình vẽ Gọi diện tích Std Theo giả thiết ta có đường sinh  = 600 SA = a góc đường sinh mặt phẳng đáy SAO có OA SA Trong tam giác vuông SAO= = cos 600 Ta có ∆SIB ∽ ∆SOA ⇒ a SI IB SI 1a a = ⇒ IB = = OA = SO OA SO a 2 π a2 ⇒= Std π= IB π  =  18   Cho hình nón đỉnh S với đáy đường trịn tâm O bán kính R Gọi I điểm nằm mặt phẳng đáy cho OI = R Giả sử A điểm nằm đường tròn (O; R ) cho OA ⊥ OI Biết tam giác SAI vuông cân S Khi đó, diện tích xung quanh S xq hình nón thể tích V khối nón là: A S xq π= = R 2;V π R3 π R3 = ;V  Hướng dẫn giải: + Xét tam giác AOI vuông O , có: C S xq = π R2 B S xq 2= = π R ;V D = S xq π= R ;V 2π R 2π R S IA2 = OA2 + OI = R + 3R = R ⇒ IA = R + Do tam giác SAI vuông cân S nên ta có: IA = SA ⇒ SA = IA R = = R 2 + Xét tam giác SOA vng O , ta có: O I A Trang 33/44 SO= SA2 − OA2= R − R 2= R + Diện tích xung quanh hình nón là: = π R 2 (đvdt) S xq π= Rl π R.R= 1 π R3 2 + Thể tích khối nón tương ứng là: (đvtt) = V = Bh π= Rh πR = R 3 3 Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy a , góc đỉnh 1200 Thiết diện qua đỉnh hình nón tam giác Diện tích lớn Smax thiết điện ? A Smax = 2a C Smax = 4a B Smax = a 2 D Smax = 9a  Hướng dẫn giải: Giả sử O tâm đáy AB đường kính đường trịn đáy hình nón Thiết diện qua đỉnh hình nón tam giác cân SAM Theo giả thiết hình nón có bán kính đáy  = 600 Xét tam giác SOA vuông O , ta có: = R OA = a cm ,  ASB = 1200 nên ASO sin 600 = OA OA ⇒ SA = = 2a SA sin 600 Diện tích thiết diện là: S∆SAM =  1=  2a sin ASM  2a.2a.sin ASM = SA.SM sin ASM 2  ≤ nên S Do < sin ASM ∆SAM lớn S  = hay tam giác ASM vng cân sin ASM đỉnh S (vì  ASB = 1200 > 900 nên tồn tam O B giác ASM thỏa mãn) A M Vậy diện tích thiết diện lớn là: Smax = 2a (đvtt) VẬN DỤNG CAO Bán kính r mặt cầu nội tiếp tứ diện cạnh a a a a B r = C r = 12  Hướng dẫn giải: Gọi O tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD cạnh a A r = Ta tính thể tích khối tứ diện VABCD = Mặt khác, ta VABCD = VO ABC + VO ACD + VO BCD + VO ABD a lại 12 D r = a A có: (*) Mỗi hình tứ diện đỉnh O có chiều cao r diện tích đáy O B a2 D C a3 a2 a = r ⇒= r 12 12 Chiều cao khối trụ tích lớn nội tiếp hình cầu có bán kính R Do đó, từ (*) ta suy ra: VABCD = Trang 34/44 A R B R C 4R D 2R  Hướng dẫn giải: Giả sử 2x chiều cao hình trụ (0 < x < R ) (xem hình vẽ) Bán kính khối trụ = r R − x Thể tích khối trụ là: x = V π ( R − x )2 x Xét hàm số V ( x= ) π ( R − x )2 x, < x < R Ta 2 V '( x ) = 2π ( R − 3x ) = ⇔ x = có R 3 R O x Bảng biến thiên: x R 3 V '( x ) + R − 4π R 3 V ( x) 0 Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn chiều cao khối trụ 2R ; 4π R 3 Cho hình nón có chiều cao h Tính chiều cao x khối trụ tích lớn nội tiếp hình nón Vmax = theo h A x = h B x = h C x = 2h D x = h O J B h x I R r A  Hướng dẫn giải: Gọi r, R theo thứ tự bán kính đáy hình nón khối trụ cần tìm O đỉnh hình nón, I tâm đáy hình nón, J tâm đáy hình trụ khác I OA đường sinh hình r h−x R nón, B điểm chung OA với khối trụ Ta có: = ⇒= r (h − x ) R h h Thể tích khối trụ là: = V π= xR π x Xét hàm số = V ( x) π x R2 (h − x )2 h R2 (h − x )2 , < x < h h2 Trang 35/44 Ta có V '( x ) = π R2 h ( h − x )( h − 3x ) = ⇔ x = hay x = h h Bảng biến thiên: h 0 x V '( x ) + h − 4π R h 27 V ( x) 0 Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn chiều cao khối trụ x = Vmax = h ; 4π R h 27 Cho hình nón đỉnh O , chiều cao h Một khối nón khác có đỉnh tâm đáy có đáy là thiết diện song song với đáy hình nón đỉnh O cho (hình vẽ) Tính chiều cao x khối nón để thể tích lớn nhất, biết < x < h O h x A x = h B x = h C x = 2h D x = h  Hướng dẫn giải: Từ hình vẽ ta có JB OJ h − x R(h − x ) = = ⇒ JB = IA OI h h Thể tích khối nón cần tìm là: V = Xét hàm số= V ( x) R2 π (h − x )2 x h O R2 π (h − x )2 x , < x < h h R2 h Ta có V '( x ) = π ( h − x )( h − 3x ) = ⇔ x = h hay x = h Bảng biến thiên: x h V '( x ) + B J h x I R A h − 4π R h 81 V ( x) 0 Trang 36/44 Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối nón cần tìm lớn chiều cao x = h ; 4π R h 81 Cho hình nón có bán kính đáy R , chiều cao 2R , ngoại tiếp hình cầu S (O; r ) Khi đó, thể Vmax = tích khối trụ ngoại tiếp hình cầu S (O; r ) A ( 16π R ) −1 4π R B 1+ C 16π R (1 + ) 4π R D −1  Hướng dẫn giải: Giả sử hình nón có đỉnh O đường kính đáy AB O Ta có OA = OB =R + (2 R ) = R 2R Tam giác OAB có diện tích S = R , O p R(1 + 5) Do bán kính khối cầu S (O; r ) chu vi là= = r A S 2R = p 1+ Thể tích khối trụ cần tìm là:= Vtru π= r h 2= π r3 16π R (1 + ) r R B Trong số hình trụ có diện tích tồn phần S bán kính R chiều cao h khối trụ tích lớn là: A R = S S = ;h 2π 2π B R = S ;h = 4π C R = 2S 2S = ;h 3π 3π D R = S S ;h = 6π 6π S 4π  Hướng dẫn giải: Gọi thể tích khối trụ V , diện tích tồn phần hình trụ S Ta có: S = S2 day + S xq = 2π R + 2π Rh Từ suy ra: S S V V V Cauchy V 2 2 = R + Rh ⇔ =R + =R + + 2π 2π 2π R 2π R ≥ 4π πR hay V2  S  S3 27 ≤   ⇔V ≤ 4π 54π  2π  Vậy Vmax = S3 π R h Rh V Dấu “=” xảy ⇔= hay h = R R2 = = 54π 2π R 2π R Khi = S 6π R ⇒ = R S S và= h 2= R 6π 6π BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ RÈN LUYỆN (CÓ HƯỚNG DẪN) Thiết diện qua trục hình nón trịn xoay tam giác vng cân có điện tích 2a Khi thể tích khối nón bằng: Trang 37/44 2π a A B π a3 2π a C 3 D 2π a 3 Hướng dẫn giải l = 2a ⇒ = l 2a Ta có: S= Dùng định lý Pitago cho tam giác thiết diện ta đường kính đường tròn đáy = d 2a ⇒= r a 1 2π a Bh= π r l − r 2= 3 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a Gọi S diện tích xung quanh hình trụ có hai Vậy V= đường trịn đáy ngoại tiếp hình vng ABDC A'B'C'D' Khi S bằng: B S = π a 2 A S = π a C S = π a2 D S = π a2 Hướng dẫn giải +) Đáy hình vng cạnh a ⇒ đường chéo AC = a ⇒ bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy r = a +) Đường sinh l cạnh hình lập phương ⇒ l = a π rl π a 2 ⇒ Chọn B S xq 2= +) Vậy = Một hình lập phương có diện tích mặt chéo a 2 Gọi V thể tích khối cầu S diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương nói Khi tích S V bằng: A S V = 3π a 3π a B S V = C S V = 3π a D S V = 6π a Hướng dẫn giải x ⇒ BD = x +) Đặt AB = +) Ta có: S BDD ' B ' = a 2 = x x ⇒ x = a ⇒ BD ' = a ⇒ R = +) Khi ta có: V = a π a3 = π R3 = S 4= π R 3π a 3 3π a +) Vậy SV = ⇒ Chọn A Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có= AB a= , BC a 3,= AA ' a Gọi V thể tích hình nón sinh quay tam giác AA'C quanh trục AA' Khi V bằng: A V = 2π a B V = π a3 C V = 4π a D V = 4π a 3 Hướng dẫn giải Ta có: r =AC = AB + BC =2a 4π a 1 Vậy: = V = Bh πr = AA ' 3 Trang 38/44 Một hình trụ có diện tích xung quanh 4π có thiết diện qua trục hình vng Khi thể tích khối trụ tương ứng bằng: B 4π A 2π C π D π Hướng dẫn giải +) Theo đề ta có: S xq = 4π ⇒ 2π rl = 4π ⇒ rl = (*) l +) Thiết diện qua trục hình vng ⇒ r = Thay vào (*) ta được: l = ⇒ r = 2 +) Vậy = V π r= l 2π ⇒ Chọn A Tỉ số thể tích khối lập phương khối cầu ngoại tiếp khối lập phương bằng: A B 3π C π D 3π 3π Hướng dẫn giải +) Thể tích khối lập phương V = a +) Đăt AB = a ⇒ AC = a ⇒ A ' C = a ⇒ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lập phương a π a3 3 (**) R= ⇒ VCâu = π R = Từ (*) (**) suy ra: Vlâp phuong = ⇒ Chọn D 3π VCAU Một hình nón có đường sinh hợp với đáy góc α độ dài đường sinh l Khi diện tích tồn phần hình nón bằng: A Stp = 2π l cos α cos2 C Stp = π l cos α cos2 α B Stp = 2π l cos α sin 2 α D Stp = α 2 α π l cos α cos2 2 Hướng dẫn giải r +) Ta có: = cos α ⇒= r l cos α l +) STP = S XQ + S Đ = π rl + π r = π l cos α + π l cos2 α = π l cos α (1 + cos α ) = 2π l cos α cos2 α +) Vậy chọn A Cho lăng trụ có tất cạnh A Gọi V thể tích hình trụ ngoại tiếp khối lăng trụ nói Khi V bằng: A V = π a3 3 B V = π a3 C V = 3π a 3 D V = π a3 Hướng dẫn giải +) Gọi I, G trung điểm BC trọng tâm tam giác ABC +) Tam giác ABC ⇒ AI = a a a ⇒ AG = = = r 3 +) l = a Trang 39/44 V π= r 2l +) Vậy= π a3 ⇒ Chọn B Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên a Khẳng định sau sai? A Khơng có mặt cầu ngoại tiếp S.ABC B Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có tâm trọng tâm tam giác ABC C Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có tâm trực tâm tam giác ABC D Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có bán kính R = a 3 Một hình nón có bán kính đường trịn đáy A Thiết diện qua trục hình nón tam giác có góc đỉnh 1200 Gọi V thể tích khối nón Khi V bằng: A V = π a3 B V = π a3 C V = π a3 D V = π a3 Hướng dẫn giải +) r=a +) Góc đỉnh= 1200 ⇒ h= a a = tan 60 π a3 1 = = πr h ⇒ Chọn C S Đ h 3 Trong khơng gian cho hình vng ABCD cạnh a Gọi I H trung điểm cạnh AB +) V = CD Khi quay hình vng xung quanh trục IH ta hình trụ trịn xoay.Khi thể tích khối trụ tương ứng bằng: A π a3 B π a3 C 12 4π a 3 D π a3 Hướng dẫn giải +) Ta= có: r a = l a 2 V B= h π r= l +)= π a3 Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC tam giác vng B với AB = 3a, BC = 4a, SA ⊥ ( ABC ) , cạnh bên SC tạo với đáy góc 600 Khi thể tích khối cầu ngoại tiếp S.ABC là: A V = π a3 B V = 50π a 3 C V = 5π a 3 D V = 500π a 3 Hướng dẫn giải +) Ta có: ∆SAC vng S(*)  BC ⊥ AB +)  ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông B(**)  BC ⊥ SA +) Từ (*) (**) ⇒ Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC trung điểm đoạn SC +) Ta có: AC = AB + BC = 5a Mà AC SC = cos 600 = ⇒ SC = AC = 10a ⇒ R = = 5a SC 2 Trang 40/44 = V +) Vậy 500π a = π R3 ⇒ Chọn D 3 Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A′B′C′D′ có cạnh đáy a , chiều cao 2a Biết O′ tâm A′B′C′D′ (C) đường tròn nội tiếp đáy ABCD Diện tích xung quanh hình nón có đỉnh O′ đáy (C) A S xq = 3π a 2 B S xq = 5π a 2 C S xq = π a2 D S xq = 2π a 2 Hướng dẫn giải +) ABCD.A'B'C'D' lăng trụ tứ giác ⇒ đáy ABCD hình vng Khi bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy r = AC a = 2 AA '2 + A ' O = +) Đường sinh l = O ' A = 4a + a 3a = 2 a 3a 3π a +) Vậy S= π= rl π = ⇒ Chọn A XQ 2 Một hình trụ có hai đáy hai đường trịn nội tiếp hai mặt hình lập phương có cạnh Thể tích khối trụ bằng: A π B π C π D π Hướng dẫn giải +) Ta có:Đường trịn đáy nội tiếp hình vng cạnh ⇒ bán kính r = +) Độ dài đường sinh = độ dài cạnh hình lập phương ⇒ l = π 1 +) Vậy V= π r = l π   = ⇒ Chọn A 2 Cho tứ diện S.ABC có đường thẳng SA, SB, SC vng góc với đơi một, SA = 3, SB = 4, SC = Diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABC bằng: A 25π B 50π C 75π D 100π Hướng dẫn giải +) Tam giác SBC vuông S nên từ trung điểm I cạnh BC ta vẽ đường thẳng (d) vuông góc với (SBC) (tức d // SA), d trục đường trịn ngoại tiếp tam giác SBC +) Trong mp xác định đường thẳng song song d SA ta dựng đường trung trực SA cắt d J Khi J tâm mặt cầu ngoại tiếp SABC ⇒ SJ bán kính BC + SA2  SA  +) SJ = SI +   = =   50 += S 4π= R 4π = 50π ⇒ Chọn B Thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ có chiều cao h bán kính đường trịn đáy R bằng: A 2R h B R h C 2R h R2h D Trang 41/44 Hướng dẫn giải +) Ta có: = VLTRU S = AB = OO ' AB h (*) ABCD AA ' = R +) Tính AB: Ta có tam giác OAB vng cân O nên= AB OA + Thay vào (*) ta được: V = R h Trang 42/44 ... không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ 3/ Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r ,... vuông góc với trục ∆ cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn 2r bằng , đó ϕ là góc giữa trục ∆ và mp (α ) với... của hình trụ  Hình tròn tâm A , bán kính r = AD và hình tròn tâm B , bán kính r = BC được gọi là đáy của hình trụ  Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần