Thông tin tài liệu
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VỊNG TRUONG Năm học : 2010 – 2011 Mơn : Tóan Thời gian : 150 phút ( khơng kể thời gian phát đề ) Ngày thi : 13 / 12 / 2008 Câu : ( điểm ) Phân tích biểu thức sau thừa số M = xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 ) Câu : ( điểm ) Định a b để đa thức A = x4 – x3 + ax2 + bx + bình phương đa thức khác Câu : ( điểm ) Cho biểu thức : P= x2 10 x : x x x x 3x x a) Rút gọn p b) Tính giá trị biểu thức p /x / = c) Với giá trị x p = d) Tìm giá trị ngun x để p có giá trị ngun Câu : ( điểm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh : abc + ( + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ Câu : ( 3điểm) Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB BC M N Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC 75 (cm) Câu : ( điểm ) Cho tam giác ABC M, N điểm chuyển động hai cạnh BC AC cho BM = CN xác định vị trí M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ - Hết -ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN Câu : ( điểm ) Ta có M = xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 ) = ( xyz + xy2 + yx2 ) + ( xyz + xz2 + zx2 ) + ( xyz + yz2 + y2Z ) ( ½ đ ) = xy ( x + y + z ) + xz ( x + y + z ) + yz ( x + y + z ) (½đ) = ( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) Vậy M = ( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) Câu : ( điểm ) Ta viết : A = x4 – 6x3 + ax2 + bx + = ( x2 – 3x + k )2 = x4 + 9x2 + k2 – 6x3 + 2kx2 – 6kx = x4 – 6x3 + ( + 2k )x2 – 6kx + k2 Đồng vế ta có : a = + 2k (1) b = - 6k (2) 1=k (3) (½đ) (½đ) ( 1/2đ ) ( 1/2 đ ) ( 1/2đ ) Từ (3) ta suy : k = ± ( 1/2 ñ ) Nếu k = - ; b = a = (½đ) Ta có : A = x4 – x3 + x2 + x + = ( x2 – x – )2 (½đ) Nếu k = ; b = - ; a = 11 (½đ) 2 Ta có : A = x – x + 11 x – 6x + = ( x – 3x + ) (½đ) Câu : ( điểm ) Vì a2 + b2 + c2 = nên - ≤ a , b , c ≤ a+1≥0; b+1≥0 ; c+1 ≥ (¼đ) Do : ( a + ) ( b + ) ( c + ) ≥ (¼đ) + a + b + c + ab + ac + bc + abc ≥ (1) ( 1/2 ñ ) Cộng vế (1) cho + a + b +c + ab + bc + ca Ta có : abc + ( + a + b + c + ab + bc + ac ) ≥ + a + b + c + ab + bc + ac ( 1/2 ñ ) Ta biết : + a + b + c + ab + bc + ac = 2 ( + a2 + b2 + c2+ 2a + 2b + 2c + ab + bc + ac ) = ( 1/2 ñ ) ( + a + b + c )2 ≥ ( a2 + b2 + c2 = ) ( 1/2 ñ ) Vậy abc + ( + a + b + c + ab + bc + ac ) ≥ Câu : ( 3điểm ) A M K G B C N GK BG ; BK BK AM CN GK MN // AC nên AB BC BK ta có : Do ( 1/2 đ ) (¼đ) (¼đ) Mà AM NC AB BC (¼đ) ( 3/4 đ ) AM + NC = 16 (cm) AB + BC = 75 – AC 16 AC = 27 (cm) 75 AC MN MN có : AC 27 MN 18 ( 3/4 ñ ) Do : Ta lại Câu : ( điểm ) ( 3/4đ ) (cm) A Q ( 1/2 ñ ) H p N B M C Gọi p Q chân đường vng góc kẻ từ M N xuống AB Ta có tam giác ANQ vng Q có góc A = 600 ANQ = 300 AQ = ( 1/2 ñ ) AN Tương tự tam giác MpB ta có pB = Do : AQ + pB = ( 1/2 ñ ) 1 AN BM 2 2 BM (AN + NC ) = AC Kẻ MH QN Tứ giác MpQH hình chữ nhật Ta có MN ≥ MH = AB – ( AQ + Bp ) = AB Vậy đọan MN có độ dài nhỏ 1 AC AB 2 AB Khi M,N trung điểm BC AC ( 1/2 ñ ) ( 1/2 ñ ) ( 1/4 ñ ) ( 1/2 ñ ) ( 1/4 đ ) ( 1/2 đ ) PHÒNG GIÁO DỤC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2004 – 2005 KHOÁ NGÀY 24 / / 2005 MÔN: TOÁN LỚP - THỜI GIAN: 150 Phút ( Không kể giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC: Bài 1: ( điểm) a) Rút gọn: A = - x 1 x x2 x x x 1 x2 x x x 1 (0 x 1 ) b) Cho: x = Tính giá trị biểu thức f(x) = x + 3x Bài 2: ( điểm) Giải hệ phương trình: 3 y z 10 x y z t 15 t x 14 z t x y 12 ( ) ( 2) (3) ( 4) Baøi 3: ( điểm) Cho phương trình: x2 – 2mx + 2m –1 = a) Chứng minh: Phương trình có hai nghiệm phân biệt với m x1 x b) Tính giá trị biểu thức: A = x x 2.(1 x x ) 2 c) Tìm giá trị lớn A Bài 4: ( điểm) Từ điểm A đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn Từ điểm M cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt hai tiếp tuyến hai điểm P Q Chứng minh chu vi tam giác APQ không đổi M di động cung nhỏ BC Bài 5: ( điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn H trực tâm tam giác Dựng hình bình hành BHCD gọi I giao điểm hai đường chéo 1) 2) 3) 4) Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC Chứng minh: BAˆ H OAˆ C AI cắt OH G Chứng minh: G trọng tâm tam giác ABC Gọi M, N theo thứ tự điểm đối xứng D qua AC, AB Chứng minh: N, H, M thẳng hàng ** PHÒNG GIÁO DỤC ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2004 - 2005 MÔN TOÁN - LỚP Bài 1: ( điểm) a) Rút gọn: A=1= x 1 x x2 x x x 1 x2 x x x 1 1 = 1 = 1 = 1 = 1 x 1 x x 1 x x 1 x x x x ( x 1).( x x x 1 x 1) x 1 x x x x 1 x 1 x ( x 1) x x 1 x ( x 1) x x 1 (0,5ñ) x ( x 1).( x x x 1) x 1 x x x 1 (1 x 0 = (do x 1 neân x ) x) (0,5ñ) (0,5ñ) (0,5ñ) (0,5ñ) b) Ta coù: x 2 3 2 = ( 2).( = 3x Vaäy: f(x) = – 3x + 3x = Baøi 2: ( điểm) Cộng (1), (2), (3) (4) vế theo vế ta được: 3( x + y + z + t) = 51 Suy ( x + y + z + t) = 17 (5) Lấy (5) trừ (1), (2), (3), (4) ta được: 2). 3 3 2 7 t 2 x y 3 z 5 (0,5đ) (1đ) (0,5đ) (0,5đ) (1,5đ) (1đ) (0.5đ) Vậy: Hệ phương trình có nghiệm: (2; 3; 5; 7) Bài 3: ( điểm) a) Ta có: ' m 2m (m 1) 0 m (0,75đ) ' Vậy: Phương trình có hai nghiệm phân bieät m 0 m 1 (0,75đ) Ta có: x1 x 2m (0,5ñ) 2 2 x1 x ( x1 x ) x1 x (2m) 2.(2m 1) 4m 4m (0,5ñ) 2.(2m 1) 4m Vaäy: A = 4m 4m 2(1 2m 1) 4m b) Ta coù: m ( m 2) m m 4m 4m ( 2m 1) 1 1 A= 4m 4m 4m 4m Suy ra: Amax 2m 0 m Lúc đó: Amax Bài 4: ( điểm) (0,5đ) 1 P O M Q C (0,5đ) (0,5đ) - Vẽ hình - Ghi giả thiết, kết luận B (0,5đ) A (0,5đ) Ta có: Chu vi CM: (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5ñ) (0,5ñ) APQ AP PQ QA = AP + PM + MQ + QA AP PB QC QA (do: PM = PB; QM = QC : tính chất hai tiếp tuyến) Do : Chu vi APQ AB AC Vậy: Chu vi tam giac APQ không đổi Bài 5: ( điểm) - Vẽ hình - Ghi gt, kl ñuùng (0,5ñ) A E F N H B M O K G C I D CM 1) Ta coù: DC // BH (do BHCD hình bình hành) Mà: BH AC (gt) Neân: DC AC Suy ra: ACˆ D 90 (0,5đ) Tương tự: ABˆ D 90 Suy ra: ACˆ D ABˆ D 180 (0,5ñ) Vậy: Tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn 2) Do ADC vuông C _ nên tâm O đường tròn ngoại tiếp ADC trung điểm AD (0,25đ) ˆ ˆ Ta có: OAC DBC (1) (cùng chắn cung DC đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDC) ˆ C BCˆ H (2) (so le trong) DB (0,5ñ) ˆ ˆ BCH BAH (3) (góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) Từ (1), (2), (3) OAˆ C BAˆ H (ñpcm) 3) Vì I trung điểm BC nên AI trung tuyến ABC (0,25đ) Trong AHD có HO AI hai trung tuyến – Nên G trọng tâm AHD (0,25đ) Suy ra: GA = 2GI Điều chứng tỏ G trọng tâm ABC (0,25đ) 4) Ta có: ˆ B AD ˆB AN ˆB ˆ B AC AD ra: ANˆ B ACˆ B (tính chất đối xứng) (cùng chắn cung AB) Suy Ta lại có: ACˆ B KHˆ E 180 (do tứ giác KHEC nội tiếp) Và: BHˆ A KHˆ E (đđ) Nên: ANˆ B AHˆ B ACˆ B KHˆ E 180 Do đó: tứ giác AHBN nội tiếp Suy ra: NHˆ B BAˆ N (cùng chắn cung BN) Ngoài ra: BAˆ N BAˆ D (do N đối xứng với D qua AB) Nên: NHˆ B BAˆ D Tương tự: Tứ giác AHCM nội tiếp Suy ra: MHˆ C MAˆ C (cùng chắn cung CE) Mà: MAˆ C DAˆ C (do M đối xứng với D qua AC) Neân: MHˆ C DAˆ C Suy ra: ( NHˆ B MHˆ C ) + BHˆ C BAˆ C FHˆ E 180 Vaäy: N, H, M thẳng hàng (0,5đ) (0,5đ) _ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Câu 1: (2,0điểm) A B 5 x 3 số Rút gọn biểu thức: (1,0 điểm) 29 12 2x2 y y xy y x , x 0, y 0, x y x y x xy y y Câu 2: (2,0điểm) Cho a, b, c > Chứng minh 3 3 (1,0 điểm) (1,0 điểm) a b b c c a a b c 2ab 2bc 2ca (a 1)(a 3)(a 4)(a 6) 10 0; a Câu : (2,0điểm) Cho biểu thức P x x x x xác định x để P đạt giá trị nhỏ (1,0 điểm) Giải phương trình: x x 6 x 30 x y 2y y 2 x Giải hệ phương trình: Câu 4: ( 2,0điểm) Cho đường thẳng (dm) : 2mx + (3m – 1)y – = (1,0 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) a Tìm đường thẳng ( d ) qua điểm A( - ; - ) xác định hệ số góc đường thẳng (1,0 điểm) b Tìm điểm cố định B (dm) với m (1,0 điểm) Câu 5: (2,0điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường trịn ( c ) đường kính AB, O tâm đường tròn ( c ) Từ C vẽ tiếp tuyến CT với đường tròn ( c ) khác CB, gọi T tiếp điểm, gọi E giao điểm AD OT a Đặt DE = x tính theo a, x cạnh tam giác OAE, sau tính x theo a (1,0 điểm) b Tính theo a diện tích tam giác OCE đường cao EH xuất phát từ E tam giác (1,0 điểm) HẾT ĐÁP ÁN Câu 1: (2,0điểm) Rút gọn biểu thức: (1,0điểm) A 5 3 29 12 (2 3) 5 3 ( 1) 1 5 5 3 2 5 2.2 5.3 32 (2 3) 5 6 5 ( 1) (1,0 điểm) Đáp số: A = (1,0 điểm) Xét: x x2 y y ( x )3 x y x y ( y )3 2( x )3 ( y )3 x x xy y ( x )3 ( y )3 y x ( x ) x y ( y ) 3( x ) 3x y x y x ( x )3 ( y )3 x y ( x y ) ( x ) x y ( y ) (0,5điểm) Xét: xy y y( x y) y x y ( x y )( x y ) x y B y 3( x y ) x 3 x y x y x y (0,5điểm) Đáp số : B = Câu 2: (2,0điểm) Cho a, b, c > Chứng minh (1,0 điểm) a3 b3 b3 c3 c a3 a b c 2ab 2bc 2ca Ta có: a 0; b : (a b)(a b) 0 (a b) (a ab b ) ab 0 (a b)(a ab b ) ab(a b) 0 a b ab(a b) 0 (0,5điểm) a b (a b) 2ab 3 b c (b c) c a (c a ) ; Tương tự ta có: 2bc 2ca a3 b3 b3 c c a a b b c c a 2ab 2bc 2ca 2 Cộng vế ba bất đẳng thức ta có: 3 3 3 a b b c c a a b c 2ab 2bc 2ca a b3 ab(a b) (0,5điểm) Đáp số: Vậy bất đẳng thức chứng minh (a 1)(a 3)(a 4)(a 6) 10 0; a Ta có: (a 1)(a 3)(a 4)(a 6) 10 (a 1)(a 6) (a 3)( a 4) 10 (a 7a 6)(a 7a 12) 10 ; Đặt t = a2 – 7a + 2 (t 3)(t 3) 10 t 9) 10 t 0; t (1,0 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) Đáp số: Bất đẳng thức chứng minh Câu : (2,0điểm) Cho biểu thức P x x x x xác định x để P đạt giá trị nhỏ (1,0 điểm) P x x ( x 1) x 1; x 1(*) x 1 x Nếu x 0 x 1 x 1 x 2 (0,5 điểm) P x 1 x 2 x đối chiếu điều kiện (*); x 2 ; ta có: P 2 x Nếu x 0 x 1 x 1 x 2 Ta có: P x x 2 ; đối chiếu (*) ta có x 2 P 2 Vậy ta có P x x 1 x x 2 P 2 x 2 (0,5 điểm) Đáp số: x 1; 2 giá trị nhỏ P Giải phương trình: x x 6 x 30 2 (0,5 điểm) x x 6 x 30 x x x 30 0 ( x x 16) ( x x 9) 0 ( x 4) 0 ( x 4) ( x 3) 0 ( x 3) 0 2 x 0 x 0 x 4 x 4 x 3 Đáp số: Vậy tập nghiệm phương trình S 4 x y 2y y 2 x Giải hệ phương trình: (0,5 điểm) x x y y 3 x y 2 y x y 1 x y 1 y x y 1 x 2 y 2 x 2 x y 1 y 1 Đáp số: Tập nghiệm hệ phương trình: S ; , ; 5 3 Câu 4: ( 2,0điểm) Cho đường thẳng (dm) : 2mx + (3m – 1)y – = a Tìm đường thẳng ( d ) qua điểm A( - ; - ) xác định hệ số góc đường thẳng (1,0 điểm) A (d m ) 2m( 1) (3m 1)( 3) 0 11m 0 m 11 3 33 Khi m đường thẳng (d ) : 3x 10 y 33 0 y x 11 10 10 Hệ số góc đường thẳng (d) k 10 33 Đáp số: Đường thẳng (d) cần tìm là: y x hệ số góc k 10 10 10 b Tìm điểm cố định B (dm) với m Giả sử B(x;y) điểm cố định họ (dm) với m (0,5 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) (1,0 điểm) 2mx (3m 1) y 0, m (2 x y ) m y 0, m 2 x y 0 y 0 x 9 y Đáp số: M(9; -6) Câu 5: (2,0điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường trịn ( c ) đường kính AB, O tâm đường tròn ( c ), Từ C vẽ tiếp tuyến CT với đường tròn ( c ) khác CB, gọi T tiếp điểm, gọi E giao điểm AD OT ... 1 (2008.20 09) 2 20082 20 092 2008.20 09 2008.20 09 20082 20 092 (2008.20 09) 2 (0,5) 1 =1+ 2008 20 09 1 1 1 S (1 ) (1 ) (1 ) 3 2008 20 09 1 1 1 2007 ... 2mx (3m 1) y 0, m (2 x y ) m y 0, m 2 x y 0 y 0 x ? ?9 y Đáp số: M (9; -6) Câu 5: (2,0điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường trịn ( c ) đường kính AB,... coù: DC // BH (do BHCD hình bình hành) Mà: BH AC (gt) Neân: DC AC Suy ra: ACˆ D ? ?90 (0,5đ) Tương tự: ABˆ D ? ?90 Suy ra: ACˆ D ABˆ D 180 (0,5đ) Vậy: Tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn 2) Do ADC
Ngày đăng: 11/10/2013, 05:11
Xem thêm: TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9, TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 9