Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong TOAÙN 11 GIỚI HẠN §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ §3 HÀM SỐ LIÊN TỤC LỜI NĨI ĐẦU Quý đọc giả, quý thầy cô em học sinh thân mến! Nhằm giúp em học sinh có tài liệu tự học mơn Tốn, tơi biên soạn giải toán trọng tâm lớp 11 Nội dung tài liệu bám sát chương trình chuẩn chương trình nâng cao mơn Tốn Bộ Giáo dục Đào tạo quy định NỘI DUNG Tóm tắt lý thuyết cần nắm học Bài tập có hướng dẫn giải tập tự luyện Phần tập trắc nghiệm đủ dạng có đáp án Cuốn tài liệu xây dựng cịn có khiếm khuyết Rất mong nhận góp ý, đóng góp quý đồng nghiệp em học sinh để lần sau tập hoàn chỉnh Mọi góp ý xin gọi số 01655.334.679 – 0916 620 899 Email: lsp02071980@gmail.com Chân thành cảm ơn Lư Sĩ Pháp GV_ Trường THPT Tuy Phong MỤC LỤC PHẦN I LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TỰ LUẬN §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 01 - 14 §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 15 – 31 §3 HÀM SỐ LIÊN TỤC 32 – 40 ÔN TẬP CHƯƠNG IV 41 – 49 PHẦN II TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 50 – 54 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 55 – 59 HÀM SỐ LIÊN TỤC 60 – 62 ÔN TẬP CHƯƠNG IV GIỚI HẠN 63 – 72 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 73 – 74 Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp CHƯƠNG IV GIỚI HẠN PHẦN I LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TỰ LUẬN §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A KIẾN THỨC CẤN NẮM Giới hạn hữu hạn dãy số lim un = un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở n →+∞ lim = a ⇔ lim (vn − a) = n →+∞ n →+∞ ( ) Dãy số (un) có giới hạn dãy số un có giới hạn Giới hạn vô cực lim un = +∞ un lớn số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng n →+∞ trở Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ n → +∞ Dãy số ( un ) gọi có giới hạn −∞ n → +∞ lim(−un ) = +∞ Nhận xét: lim un = +∞ ⇔ lim (−un ) = −∞ ; lim un = −∞ ⇔ lim (−un ) = +∞ n →+∞ n →+∞ n →+∞ n →+∞ Lưu ý: Thay cho viết lim un = L , lim un = ±∞ , ta viết lim un = a, lim un = ±∞ n →+∞ n →+∞ Các giới hạn đặc biệt 1 a) lim = ; lim k = ; n n n b) lim q = , q < ; c) lim c = c ; lim lim nk = +∞ , với k nguyên dương lim qn = +∞ q > c = 0, nk lim(c un) = climun, với c số, k ∈ ℕ* n = q > qn Định lí giới hạn hữu hạn Định lí Nếu lim un = L lim = M , thì: d) lim lim(un + ) = lim un + lim = L + M lim(un − ) = lim un − lim = L − M lim un = lim un lim = L M lim(c.un ) = c.L ( với c số) lim un L = (nếu M ≠ ) M Định lí Giả sử lim un = L Nếu un ≥ với n L ≥ lim un = L lim un = L lim un = L Nếu lim un = +∞ lim =0 un Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực BT ĐS> 11 Chương IV Giới hạn Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp a) Quy tắc Nếu lim un = ±∞ lim = ±∞ lim ( un ) cho bảng: lim un lim ( un ) lim +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ b) Quy tắc Nếu lim un = ±∞ lim = L ≠ lim ( un ) cho bảng: lim un Dấu L lim ( un ) +∞ +∞ −∞ −∞ + − + − +∞ −∞ −∞ +∞ u  c) Quy tắc Nếu lim un = L ≠ lim = > < lim  n  cho   bảng: Dấu L Dấu u  lim  n    + +∞ − −∞ + −∞ − +∞ u Chú ý Nếu lim un = L > 0, lim = ±∞ lim n = Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Cấp số nhân lùi vơ hạn cấp số nhân có cơng bội q thỏa mãn q < + + − − Cơng thức tính tổng S cấp số nhân lùi vô hạn (un) u u S = u1 + u2 + u3 + + un + = ; q < hay S = u1 + u1q + u1q2 + + u1qn −1 + = ; q < 1− q 1− q Định lí kẹp giới hạn dãy số Cho ba dãy số (un), (vn) ,(wn) số thực L Nếu un ≤ ≤ wn với n lim un = lim wn = L dãy số (vn) có giới hạn lim = L Lưu ý a) Dãy số tăng bị chặn có giới hạn b) Dãy số giảm bị chặn có giới hạn c) Nếu limun = a limun + = a n  1 d) Số e: e = lim  +  n →+∞  n Phương pháp tìm giới hạn dãy số - Vận dụng nội dung định nghĩa - Tìm giới hạn dãy số ta thường đưa giới hạn dạng đặc biệt áp dụng định lí giới hạn định lí giới hạn vơ cực: + Nếu biểu thức có dạng phân thức mà mẫu tử chứa lũy thừa n, chia tử mẫu cho nk, với k số mũ cao + Nếu biểu thức có chứa n dấu căn, nhân tử số mẫu số với biểu thức liên hợp 10 Phương pháp tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn BT ĐS> 11 Chương IV Giới hạn Toán 11 - GV Lư Sĩ Pháp Nhận dạng xem dãy số cho có phải cấp số nhân lùi vô hạn không Sau áp dụng cơng thức tính tổng biết Cách tìm cấp số nhân lùi vơ hạn biết số điều kiện: Dùng cơng thức tính tổng để tìm cơng bội số hạng đầu Cách viết số thập phân vơ hạn tuần hồn dạng phân số hữu tỉ: Khai triển số cho dạng tổng số nhân lùi vơ hạn tính tổng B BÀI TẬP n +1 với n Chứng minh lim un = n2 HD Giải 1 + n +1 n +1 n n = Do đó, v nhỏ số dương bé tùy Đặt = Ta có lim = lim = lim n n n ý kể từ số hạng trở (1) Mặt khác, theo giả thiết ta có un ≤ ≤ (2) Bài 1.1 Biết dãy số (un) thỏa mãn un ≤ Từ (1) (2) suy un nhỏ số dương bé tùy ý kể từ số hạng trở đi, nghĩa lim un = Bài 1.2 Bằng định nghĩa tính giới hạn lim 3n + − sin π n HD Giải  π π n 3n + − sin sin  n = lim  +   − n  Ta có lim   3n 3n        sin n π n n ≤ = lim = lim   = nên nhỏ số dương bé   n 3n 3n 3n 3n 3 Mặt khác, ta lại có tùy ý kể từ số hạng trở sin Từ suy π n π n nhỏ số dương bé tùy ý kể từ số hạng trở  π n sin     n = lim  + n Nghĩa lim n n = Vậy lim   − n  =1 n 3        Bài 1.3 Cho biết dãy số (un) thỏa mãn un > n2 với n Chứng minh lim un = +∞ sin 3n + − sin π HD Giải Vì lim n = +∞ (giới hạn đặt biệt), nên n lớn số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng trở Mặt khác, theo giả thiết un > n2 với n, nên un lớn số dương tùy ý, kể từ số hạng trở Vậy lim un = +∞ BT ĐS> 11 Chương IV Giới hạn Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp Bài 1.4 Biết dãy số (un) thỏa mãn un − < Ta có lim với n Chứng minh lim un = n3 HD Giải 1 = nên nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Mặt n n khác, ta có un − < 1 = với n n n Từ suy un − nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở đi, nghĩ lim(un – 1) = Do limun = Bài 1.5 Cho dãy số (un) xác định un = 2n + n+2 100 b) Chứng minh với n > 2007 số hạng dãy số (un) nằm khoảng (1,998; 2,001) HD Giải 2n + −3 3 a) Ta có un − = −2 = = Khi un − < ⇔ < ⇔ n > 298 100 n+2 n+2 n+2 n + 100 a) Tìm số n cho un − < 3 < n + 2009 3 ⇔ un − < ⇔ 2− < un < + ⇔ 1,998 < un < 2, 001 2009 2009 2009 Bài 1.6 Tính giới hạn sau 6n − 4n2 − n − 3n + n − 2n3 − 2n + a) lim b) lim c) lim d) lim 3n + + 2n 2n + 1 − n3 HD Giải  1 1 n6 −  4− − − n 6n − 4n − n − n n =2 n =2 a) lim = lim  = lim b) lim = lim 2 3n +  2 + 2n 3+ +2 n3+  n n2 n  b) Khi n > 2007 ⇔ n + > 2009 ⇔ 3n2 + n − c) lim = 2n + 2n3 − 2n + d) lim = lim − 4n3 Bài 1.7 Tính giới hạn sau:  n + cos n  3n + 5.4 n (−2)n + 3n a) lim n b) lim c) lim  + n  n n +1 n +1 +2 (−2) + 3   n HD Giải n    n 3 n    + 5   +5    3n + 5.4 n   4 a) lim n = lim = lim =5 n n   n  +2   1+   4n  +     4  2   BT ĐS> 11 + n n3 = − 1 −4 n 2−  (−1)n  d) lim  + n    Chương IV Giới hạn Toán 11 b) lim GV Lư Sĩ Pháp (−2)n + 3n = n +1 n +1 (−2) +  n + cos n  n +1 cos n c) lim  + n  = lim + lim n = n   n n   1 (−1)n  d) lim  + n  = lim + lim  −  =   2  Bài 1.8 Tính giới hạn 3n2 + + n − 2n a) lim b) lim (n + 1)(3 − 2n)2 9n − n + c) lim 4n − n3 + HD Giải d) lim 4n + + n 2n + 1 1 +n 3+ + n n n n = lim =0 1 − 2n −2 n2 4− − + (n + 1)(3 − 2n)2 4n3 − 8n2 − 3n + n n n =4 b) lim = lim = lim 3 n +1 n +1 1+ n 3n2 + + n a) lim = lim − 2n n 3+ 1 + 9n − n + 9n 9n c) lim = lim = 4n − 4n − 4 + +1 4n + + n n d) lim = lim = 2n + 2+ n Bài 1.9 Tính giới hạn sau 3n − ( c) lim ( a) lim a) lim ( = lim b) lim ( ) n + n +1 − n ) n + n − n2 − n2 + n − 2 n + n + n2 − = lim ( n − n − n ) = lim BT ĐS> 11  n   ( d) lim n ( n − ) = lim n +1 b) lim n2 − n − n ( n2 − − n + HD Giải n + n − n −1 2 )( ) n2 + n + n2 − ) ) n2 + n + n2 −  1 n 1 +   n = 1  1+ + 1−  n n  n2 − n − n )( n2 − n + n n2 − n + n ) = lim −n   n  − + 1   n   =− Chương IV Giới hạn Toán 11 c) lim GV Lư Sĩ Pháp ) ( n + n +1− n n + n + − n = lim d ) lim n ( ) = lim n ( (  n   Bài 1.10 Tính giới hạn sau: a) lim n + n +1 + n n − − n + = lim 2 n2 + n + − n + a) +∞ ) 3n + − 2n + 1 n + 2n − n HD Giải c) n2 + 3n − n + ( ) d) lim +1 n =1 1+ n + 2n + n d) lim = lim = lim n + 2n − n n + 2n − n Bài 1.11 Tính giới hạn sau c) lim n )( b) lim ( n − + n2 + 1 + +1 n2 n n2 − + n2 + −3n =− 2  1− + 1+  n n  b) a) lim 1+ n2 − − n2 + n2 = = lim n2 + − n + 3n + c) lim 1+ n −1 − n ) b) lim ) ( )( ( ) 4n + − 2n + d) lim HD Giải n − 2n − n n2 + 2n − n )  n2 + 3n − n  n2 + 3n + n   a) lim n + 3n − n + = lim  + 2 n + 3n + n               3n  = lim  +  = lim + 2 =    n  + + 1  1+ +1        n n         3 n − 2n − n  n3 − 2n + n n3 − 2n + n    b) lim n3 − 2n2 − n = lim n3 − 2n + n n3 − 2n + n ) ( ) ( = lim ) ( ( −2 n n − 4n + 4n + n n3 − 2n + n BT ĐS> 11 ( ) ) −2 = lim 1− 4 + + 1− +1 n n n =− Chương IV Giới hạn Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp §3 HÀM SỐ LIÊN TỤC Câu 1: Trong khẳng định đây, khẳng định sai ? A Hàm số đa thức liên tục toàn tập số thực ℝ B Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục điểm x , cịn hàm số y = g( x ) khơng liên tục x y = f ( x ) + g( x ) hàm số không liên tục x C Nếu hàm số y = f ( x ) y = g( x ) liên tục điểm x hàm số y = f ( x ) − g( x ) liên tục x D Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục điểm x , hàm số y = g( x ) khơng liên tục x y = f ( x ) + g( x ) hàm số liên tục x  x3 +  x − x − x ≠ −1, x ≠  x = −1 Khẳng định đúng? Câu 2: Cho hàm số y = f ( x) = −1 2 x =   A Hàm số gián đoạn x = −1; x = B Hàm số gián đoạn x = C Hàm số liên tục khoảng ( −2;3) D Hàm số liên tục ℝ  − với x >  Câu 3: Cho hàm số f ( x ) =  x − x − Với giá trị tham số m hàm số mx + với x ≤  f ( x ) liên tục x = A m = −3 B m = −1 C m = D m = −2 Câu 4: Trong khẳng định đây, khẳng định sai ? A Hàm số y = tan x liên tục ℝ B Hàm số y = x + sin x liên tục ℝ x + 3x + liên tục khoảng ( −∞; −2 ) ( −2; +∞ ) x+2 D Phương trình x − 3x + x − = có ba nghiệm nằm khoảng ( −2;5 ) C Hàm số y =  x + x + a x >  Câu 5: Cho f ( x) = 2a + x = liên tục x = với a, b ∈ ℚ Tính S = a + b bx − x <  A S = 17 B S = 14 C S = 15 D S = 16 ax − b với x ≤  Câu 6: Tìm giá trị a b để hàm số f ( x ) = 3 x với < x < liên tục x = gián bx − a với x ≥  đoạn x = a = b − b = a + a = b + b = a + A  B  C  D  b ≠ a ≠ b ≠ b ≠  cos x − cos x ;  Câu 7: Cho hàm số f ( x) =  x2 m; điểm x = 0? A m = BT ĐS> 11 B m = x≠0 Với giá trị m hàm số f ( x ) liên tục x=0 C m = 60 D m = Chương IV Giới hạn Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp  x2 − x − x ≠  Câu 8: Tim tham số thực m để hàm số f ( x ) =  x − x − liên tục x = 2  x m + m + x x =  A m = B m ≠ ± C m ∈∅ D m = − Câu 9: Cho hàm số f ( x ) xác định đoạn [ a; b] Trong mệnh đề đây, mệnh đề ? A Nếu hàm số f ( x ) liên tục, tăng đoạn [ a; b] f ( a ) f (b) > phương trình f ( x ) = khơng thể có nghiệm khoảng ( a; b ) B Nếu hàm số f ( x ) liên tục đoạn [ a; b] f ( a ) f (b) > phương trình f ( x ) = khơng thể có nghiệm khoảng ( a; b ) C Nếu f ( a ) f (b) < phương trình f ( x ) = có nghiệm khoảng ( a; b ) D Nếu phương trình f ( x ) = có nghiệm khoảng ( a; b ) hàm số f ( x ) phải liên tục khoảng ( a; b )  x − 3x + với x <  Câu 10: Tìm giá trị tham số m để hàm số f ( x ) =  x − x liên tục ℝ mx + m + với x ≥  A m = −1 B m = C m = − D m =  1 +  Câu 11: Tìm giá trị tham số m để hàm số f ( x ) =  x − x + x − x + m x − 3mx −  x > vaø x ≠ x ≤ liên tục x0 = A m = ± 21 3 B m = C m = ± 21 D m = ± 21 a x x ≤ Câu 12: Tìm số thực a cho hàm số f ( x ) =  liên tục ℝ (1 − a) x neáu x > 1 A a = −1, a = B a = −1, a = C a = 1, a = D a = −1, a = 2 ax x ≤ Câu 13: Cho hàm số y = f ( x) =  Tìm giá trị a để hàm số liên tục ℝ  x + x − x > A a = B a = C a = D a = 4  x −1  Câu 14: Tìm m để hàm số f ( x ) =  x −  m2 x  1 A m ≠ ± B m = ± 2 với x ≠ liên tục x = với x = 1 C m = D m = −  x2 − x − với x ≠  Câu 15: Tìm giá trị m để hàm số f ( x ) =  x − liên tục x = m với x =  A m = B m = C m = D m = BT ĐS> 11 61 Chương IV Giới hạn Tốn 11 Câu 16: Cho phương trình x − x + x + = GV Lư Sĩ Pháp (1) Trong mệnh đề đây, mệnh đề ? A Phương trình (1) khơng có nghiệm khoảng ( −2;0 ) B Phương trình (1) có nghiệm khoảng ( −2;1) C Phương trình (1) khơng có nghiệm khoảng ( −1;1) D Phương trình (1) có hai nghiệm khoảng ( 0; ) BT ĐS> 11 62 Chương IV Giới hạn Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp ÔN TẬP CHƯƠNG IV GIỚI HẠN ) ( x2 − x 1+ 2x −1 ; A = lim ; N = lim x + x − x ; O = lim x →1 x →0 x →−∞ x x →+∞ x x −1 Tìm từ mã hóa chuổi số 30213? A CONAC B CANOC C CANON D CONAN Câu 1: Cho C = lim Câu 2: Biết un − ≤ Tìm lim un 3n B lim un = C lim un = Câu 3: Trong bốn giới hạn đây, giới hạn ? 2x + x −1 A lim B lim x + − x C lim x →1 x − x →−2 x + 10 x →+∞ A lim un = ( Câu 4: Tính I = lim − n ( −1) D lim x →1 x2 −1 x − 3x + n + 2n B I = A I = ) D lim un = +∞ C I = D I = −2  3− x neáu x ≠  Câu 5: Cho hàm số f ( x ) =  x + − Tìm tham số m để hàm số cho liên tục x = m neáu x =  A m = −4 B m = C m = −1 D m = Câu 6: Tính I = lim x →1 4x5 + 9x + 3x + x3 + B I = A I = C I = D I = 1 ( −1) n Câu 7: Cho cấp số nhân vô hạn − , , − , , n , Tính tổng S cấp số cho 1 A S = − B S = C S = −1 D S = − Câu 8: Trong bốn giới hạn đây, giới hạn −1? 2n + n2 + n n − n3 n3 A lim B lim C lim D lim − 3n −2 n − n 2n + n +3 1 (−1)n Câu 9: Tính tổng S cấp số nhân vô hạn − , , − , n , 1 A S = − B S = − C S = Câu 10: Tính M = lim A M = ( ) D S = −1 + n3 − n B M = +∞ C M = D M =    3n   Câu 11: Tính N = lim   +   π  4n     n A N = +∞ BT ĐS> 11 B N = C N = 63 π D N = Chương IV Giới hạn Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp Câu 12: Biết lim x →3 A P = x − 5x − x − ax + bx + , với a, b, c, d ∈ ℤ Tính P = abcd = lim x − 13 x + x − x →3 cx + dx + B P = −8 C P = −2 D P = ( ) Câu 13: Tính Q = lim 5n − cos n π B Q = A Q = −1 32 n +1 + 2(−5)n Câu 14: Tính M = lim n →+∞ 6n − − A M = B M =  4n − n + 8n3 + n2 Câu 15: Tính K = lim   2n +  A K = B K = Câu 16: Biết lim x →1 A ab = C Q = D Q = +∞ C M = 102 D M = 108 C K = D K =     x+3 −2 a = với a, b ∈ ℤ Mệnh đề ? x −1 b B a + 3b = C a + b = D b − 2a = ( ) Câu 17: Tính P = lim (0.99)n cos n 11 B P = C P = 10 10 Câu 18: Trong bốn giới hạn đây, giới hạn có giới hạn +∞ ? n2 − n + n2 − 3n + 2n2 − 3n A lim B lim C lim 2n − n2 + n n3 + 3n A P = D P = D lim n3 + 2n − n − 2n3 2− x −3 x →7 x − 49 Câu 19: Tính K = lim A K = B K = −56 C K = −  ( x + )3 −  Câu 20: Cho hàm số: y = f ( x ) =  x + x   x − x + 12 A lim ( x + 2) −8 = 12 x2 + x C f ( ) = lim f ( x ) 56 D K = +∞ neáu x ≠ 0, x ≠ −1 Khẳng định sai ? neáu x = B Hàm số gián đoạn x = x →0 D Hàm số liên tục x = x →0 ( ) ( x + 2) ax + bx + c x3 + Câu 21: Biết lim , với a, b, c, d ∈ ℤ Tính S = a + b + c + d = lim x →−2 x + 11x + 18 x →−2 ( x + 2)( x + d ) A S = −2 B S = C S = D S = 12 Câu 22: Tính P = lim x →2 A P = 24 BT ĐS> 11 10 − x − x −2 B P = 12 C P = 64 D P = − 12 Chương IV Giới hạn Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp  x2 với x < 1, x ≠  x  Câu 23: Cho hàm số f ( x ) = 0 với x = Trong mệnh đề đây, mệnh đề ?   x với x ≥  A Hàm số liên tục điểm trừ điểm x thuộc đoạn [0;1] B Hàm số liên tục điểm trừ điểm x = C Hàm số liên tục điểm trừ điểm x = D Hàm số liên tục điểm thuộc ℝ a − x2 Tính lim f ( x ) x →−∞ x B lim f ( x ) = C lim f ( x ) = +∞ Câu 24: Cho hàm số f ( x) = A lim f ( x ) = +∞ x →−∞ x →−∞ x →−∞ Câu 25: Trong bốn giới hạn đây, giới hạn +∞ ? n3 + 2n − n − 3n + 2n − 3n A lim B C lim lim n − 2n3 n2 + n n3 + 3n ( − 3n ) ( n + 1) Câu 26: Tính M = lim 27 x →−∞ D lim n2 − n + 2n − − 4n A M = − D lim f ( x ) = −1 B M = − C M = 27 D M = n−2 n 2n Câu 27: Tính K = lim A K = − B K = −1 D K = C K = 1+ x − 1+ x a = với a, b ∈ ℤ Mệnh đề sai ? Câu 28: Biết lim x →0 x b A b − a = B ab + = C 2a + b = D 2a + 3b =    − 4n  Câu 29: Tính H = lim  n −    n   2n   A H = B H = − x3 + 3x − x − x3 − x − 15 B J = 11 Câu 30: Tính J = lim x →2 A J = 11 15 Câu 31: Tính J = lim A J = n sin n − 3n n2 B J = −3 Câu 32: Tính M = lim− x →3 A M = BT ĐS> 11 x −3 − 6x − x2 C H = −2 D H = +∞ C J = 15 D J = C J = D J = 15 10 B M = −∞ C M = − 65 D M = Chương IV Giới hạn Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp x − + x − 3x + Câu 33: Tính J = lim 2017 − x x →−∞ +5 A J = B J = Câu 34: Tính L = lim −5 C J = D J = n! 1 C L = D L = 1000 10 Câu 35: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111 biểu diễn phân số đây? 46 43 47 A B C D 90 11 90 90 Câu 36: Cho phương trình = (1) Trong mệnh đề đây, mệnh đề sai ? x A Hàm số f ( x ) = liên tục khoảng ( −∞; ) ( 0; +∞ ) x B Phương trình (1) khơng có nghiệm khoảng ( −1;1) C Phương trình (1) vơ nghiệm D Phương trình (1) có nghiệm khoảng ( −1;1) A L = B L = Câu 37: Tính H = lim x →+∞ A H = ) ( 3x + x + − x B H = C H =  2sin n2  Câu 38: Tính G = lim  10 −  n   A G = 10 B G = +∞ C G = Câu 39: Trong bốn giới hạn đây, giới hạn −1 ? 2x2 + x −1 x3 − x2 + 2x + A lim B C lim lim 2 x →+∞ x + x x →+∞ x − x x →−∞ x − x x +2 −2 D H = D G = x2 −1 x →−∞ x + D lim a với a, b ∈ ℤ Mệnh đề ? x →2 x + −3 b A 2a − b = B a + b = C ab + = D b − a = Câu 41: Trong khẳng định đây, khẳng định sai ? x − 3x + A Hàm số y = liên tục khoảng ( −∞;1) (1; +∞ ) x −1 B Hàm số y = x + cos x liên tục ℝ C Hàm số y = cot x liên tục ℝ Câu 40: Biết lim = D Phương trình x − 3x + x − = có nghiệm khoảng (−1;3) Câu 42: Tính L = lim n →+∞ A L = 16 Câu 43: Tính P = lim BT ĐS> 11 ( (2 ( n + − 32 n −3 n +1 )( −1 − B L = ) ) n−2 ) C L = 24 D L = 36 n − n3 + n 66 Chương IV Giới hạn Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp B P = C P = Câu 44: Trong khẳng định đây, khẳng định sai ? u1 − q n A Tổng cấp số nhân lùi vô hạn S = , q < 1− q u B Tổng cấp số nhân lùi vô hạn S = , q < 1− q A P = −3 ( D P = ) C lim  f ( x ) + g( x ) = lim f ( x ) + lim g( x ) x → x0 x → x0 x → x0 D Hàm số đa thức liên tục toàn tập số thực ℝ Câu 45: Đồn trường tổ chức trị chơi lớn, tên đồng chí trạm trưởng mã hóa số 1234 Biết chữ số số giá trị biểu thức A, O, H , T , N ,U với: 3n + x4 + 2x2 + x −1 A = lim O = lim H = lim+ x →− x →2 x + n−2 x −1  4n + cos n  x + 4x + x − T = lim N = lim  + n  U = lim x →−∞ x →+∞   n x2 + x +1 − x x3 + ( ) Hãy cho biết tên đồng chí trạm trưởng này, bẳng cách thay chữ số chữ kí hiệu biểu thức tương ứng A HUAN B TOAN C THOA D TUAN x2 − 2x + − x2 + 2x − Câu 46: Tính N = lim x →3 x2 − 4x + A N = −3 B N = C N = D N = − x + 3 x + − Câu 47: Tính M = lim x →0 x A M = +∞ B M = C M = −4 D M = C J = D J = Câu 48: Tính J = lim x →+∞ A J = ( Câu 49: Tính I = lim ) 3x + x + − x B J = 2n n n + 2n − B I = C I = D I = Câu 50: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2, 780780780 dạng phân số ? 999 926 278 278 A B C D 10000 333 333 333 A I = Câu 51: Tính L = lim n n +1 + n C L = Câu 52: Trong bốn giới hạn đây, giới hạn không tồn ? A L = BT ĐS> 11 B L = −2 67 D L = Chương IV Giới hạn Toán 11 A lim x →0 GV Lư Sĩ Pháp x x +1 B lim x →−1 x ( x + 1) C lim cos x x →+∞  ( x + 3)3 − 27   + m  = 27 Tìm m Câu 53: Biết lim x →0   x   A m = B m = C m = −9 − x − x2 + x2 − B I = 48 Câu 54: Tính I = lim x →2 A I = −7 C I = − 48 D m = 27 D I = − 48 x2 +1 −1 = a, với a ∈ ℤ Tính S = a + x →0 a − x + 16 17 A S = −4 B S = C S = − Câu 55: Biết lim 2x +1 x →−∞ x + D lim Câu 56: Tính K = lim n →+∞ A K = 24 (2 ( n + − 32 n −3 n +1 )( ) − − n −2 B K = −24 ) D S = − Câu 57: Cho phương trình x + x − x − = C K = 42 D K = −42 (1) Trong mệnh đề đây, mệnh đề sai ? A Phương trình (1) khơng có nghiệm khoảng ( −2;0 ) B Phương trình (1) có nghiệm khoảng ( −4;0 ) C Hàm số f ( x ) = x + x − x − liên tục ℝ D Phương trình (1) nghiệm khoảng (1;3) Câu 58: Tính J = lim A J = − n2 + n − − 4n2 − n+3 B J = −1  1 Câu 59: Tính K = lim  n +  n  A K = B K = +∞ Câu 60: Biết lim x →1 A a.b = −84 x + − 8x + A H = −1 Câu 62: Tính L = lim BT ĐS> 11 D J = −2 C K = D K = a với a, b ∈ ℤ Mệnh đề ? − x − 7x − b B 2a − b = C a − 2b = 17 D a + b = 20 Câu 61: Tính H = lim A L = − C J = = 3n − n 2.4 n + n B H = −2 C H = − D H = C L = −3 D L = 2n − 3n3 + n3 + n B L = 68 Chương IV Giới hạn Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp x +1 Câu 63: Biết lim x →−1 = a Tính H = Pa + Aaa + Caa x + + 3x A H = 105 B H = C H = D H = 55 Câu 64: Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn 2, 780780780 dạng phân số ? 96 999 278 926 A B C D 33 10000 333 333 Câu 65: Cho phương trình −4 x + x − = (1) Trong mệnh đề đây, mệnh đề sai ? A Phương trình (1) có nghiệm khoảng ( −2; )  1 B Phương trình (1) có hai nghiệm khoảng  −3;  2  C Phương trình (1) khơng có nghiệm khoảng ( −∞;1) D Hàm số f ( x ) = x + x − liên tục ℝ Câu 66: Tính L = lim x →0 A L = Câu 67: Tính P = lim− x →3 A P = − 1+ x − 1+ x x B L = −3 x −3 − 6x − x C L = D L = C P = D P = −∞ B P = Câu 68: Tính tổng S = + 0,9 + (0,9)2 + (0,9)3 + + (0,9)n −1 + B S = 11 C S = 10 10 Câu 69: Trong bốn giới hạn đây, giới hạn 0? 2n + 2n + A lim B lim 3.2n − 3n − 2n D S = A S = ( 2n + 1)( n − 3) D lim − n3 C lim n + 2n n − 2n3 1 (−1)n Câu 70: Tính tổng S cấp số nhân vô hạn − , , − , n , 1 A S = − B S = −1 C S = − ( )  n  (−1) Câu 71: Biết lim  + 3.2 n +1 2  D S =   a 2  = , với a, b ∈ ℤ Tính S = a − b b   A S = −1 B S = C S = D S = −3 Câu 72: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,313131…dưới dạng phân số ? 31 100 13 32 A B C D 99 99 99 99 Câu 73: Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn 2,131131131 dạng phân số ? 2129 212 219 129 A B C D 999 999 999 999 BT ĐS> 11 n 69 Chương IV Giới hạn Toán 11 Câu 74: K = lim GV Lư Sĩ Pháp 3n3 − 5n + n2 + A K = B K = D K = C K = +∞ −x2 − x + a = với a, b ∈ ℤ Mệnh đề ? Câu 75: Biết lim x →−3 b x + 3x A ab − = B 3a + b = 10 C a + b = D a − 2b = −1 Câu 76: Tính F = lim A F = ( ) n + 2n − n B F = −1   Câu 77: Tính L = lim  −  x →1 − x − x3   A L = − B L = −1 C F = D F = C L = D L =  1  Câu 78: Tính N = lim+  −  x →2  x −4 x−2 D N = 32 Câu 79: Trong khẳng định đây, khẳng định sai ? x + 3x + A Hàm số y = liên tục khoảng ( −∞; −2 ) ( −2; +∞ ) x+2 B Hàm số y = x + sin x liên tục ℝ C Hàm số y = tan x liên tục ℝ A N = B N = −∞ C N = D Phương trình x − 3x + x − = có ba nghiệm nằm khoảng ( −2;5 )  m( x − 1)  m −1  Câu 80: Cho hàm số f ( x) =   x −9  − x + tục x = A m = −18 B m = − 13 x = Với giá trị tham số m hàm số f ( x ) liên x ≠ C m = ) ( 13 D m = 18 Câu 81: Tính N = lim n n − n + A N = B N = −∞ C N = Câu 82: Trong hàm số sau đây, hàm số liên tục x =  x − 5x + x >  A f ( x ) =  x − B f ( x ) = − x 3 x + x ≤   x − 3x + x ≠  C f ( x ) =  x − − x x =  Câu 83: Tính K = lim x →4 A K = BT ĐS> 11 − x −1 x−2 −2 D f ( x ) = D N = 2x − x − 6x + B K = C K = 70 D K = −1 Chương IV Giới hạn Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp n2 + + n Câu 84: Tính T = lim A T = n3 + n − n B T = +∞ ( ) C T = D T = C L = D L = +∞ Câu 85: Tính L = lim n − 2n + A L = B L = −∞  x − + x2 + x  Câu 86: Biết lim  + 2m  = 10 Tìm m x →−∞    8x − 4x − x +  A m = B m = C m = 10 ( ) D m = Câu 87: Tính Q = lim x + − x + x x →+∞ A Q = −∞ B Q = +∞ C Q = −1 D Q =  ( x + 3)3 − 27   + m  = 29 Tìm m Câu 88: Biết lim x →0   x   A m = B m = 27 C m = −9 D m =  n − n 2n cos n   + Câu 89: Tính Q = lim  n  2n −    1 C Q = D Q = − 2 Câu 90: Đồn trường tổ chức trị chơi lớn, tên đồng chí trạm trưởng mã hóa số 1234 Biết chữ số số giá trị biểu thức A, O, H , T , N ,U với: 3n + x4 + 2x2 + x −1 A = lim O = lim H = lim+ x →−1 x →2 x + n−2 x −1  4n + cos n  x + 4x + x − T = lim N = lim  + n  U = lim x →−∞ x →+∞   n x + x +1 − x x3 + A Q = B Q = ( ) Hãy cho biết tên đồng chí trạm trưởng này, cách thay chữ số chữ kí hiệu biểu thức tương ứng A TOAN B TUAN C THOA D HUAN  − 5x −1 x >  Câu 91: Tìm tham số m để hàm số: y = f ( x) =  x − x + liên tục x0 = (m − 2) x − mx + 10 x ≤  103 103 A m = − B m = − C m = D m = 18 108 108 18 Câu 92: Hàm số sau liên tục x0 = ? x2 − 2x − A f ( x) = x −1 C f ( x ) = x − 2 x − x ≥ B f ( x ) =   x − x + x − x <  x2 − x + x ≠  D f ( x ) =  x −1  −7 x =  Câu 93: Trong khẳng định đây, khẳng định sai ? BT ĐS> 11 71 Chương IV Giới hạn Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp A lim  f ( x ) + g( x ) = lim f ( x ) + lim g( x ) x → x0 x → x0 x → x0 B Hàm số đa thức liên tục toàn tập số thực ℝ u C Tổng cấp số nhân lùi vô hạn S = , q < 1− q D lim ax k = +∞, a < x →−∞ + 5x + x − a = , với a, b ∈ ℤ Mệnh đề ? x →0 x b A a − b = B 2a + b = 16 C ab + = 12 D 2a + 3b = 30 Câu 95: Tên học sinh mã hóa số 5301 Biết chữ số số giá trị biểu thức A, H, N O với 3n − n −2 3n − 5.4 n A = lim H = lim n + 2n − n ; N = lim ; ; O = lim n+2 3n + − 4n Hãy cho biết tên học sinh này, cách thay chữ số chữ kí hiệu tương ứng A OANH B NHOA C HOAN D HANO Câu 96: Trong bốn giới hạn đây, giới hạn 0? Câu 94: Biết lim ( ( 2n + 1)( n − 3) B lim − x3 A lim x →+∞ x + x 2x + C lim− x →1 x −1 n − 2n3 2n + D lim 3.2n − 3n ( −1) Câu 97: Tính E = lim BT ĐS> 11 n 2n + A E = ) B E = − C E = 72 D E = Chương IV Giới hạn Toán 11 GV Lư Sĩ Pháp PHIẾU ĐÁP ÁN CHƯƠNG IV GIỚI HẠN §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 10 21 22 23 24 25 26 27 28 29 41 42 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 33 34 35 36 37 38 39 40 13 14 15 16 17 18 19 20 33 34 35 36 37 38 39 40 A B C D 30 31 32 A B C D 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 A B C D §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 41 42 10 11 12 A B C D 30 31 32 A B C D 43 44 45 46 A B C D BT ĐS> 11 73 Chương IV Giới hạn Tốn 11 GV Lư Sĩ Pháp §3 HÀM SỐ LIÊN TỤC 10 11 12 13 14 15 16 A B C D ÔN TẬP CHƯƠNG IV GIỚI HẠN 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 A B C D A B C D A B C D A B C D 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 A B C D BT ĐS> 11 74 Chương IV Giới hạn