Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu gồm 163 trang tuyển chọn và phân dạng các bài tập trắc nghiệm tích phân có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh học tốt chương trình Giải tích 12 chương 3 và ôn thi THPT Quốc gia môn Toán.
TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Định nghĩa Cho f hàm số liên tục đoạn [a; b] Giả sử F nguyên hàm f [a; b] Hiệu số F (b) − F (a ) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn [a; b] hàm số f ( x), b kí hiệu ∫ f ( x)dx a Ta dùng kí F (= x) a F (b) − F (a ) b hiệu để hiệu F (b) − F (a ) số Vậy b )dx ∫ f ( x= F (= x) a F (b) − F (a ) b a Nhận xét: Tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu b ∫ f ( x)dx b hay a ∫ f (t )dt Tích phân a phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số f liên tục không âm đoạn [a; b] tích phân b ∫ f ( x)dx diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , trục Ox hai đường a b thẳng= x a= , x b Vậy S = ∫ f ( x)dx a 2.Tính chất tích phân b a ∫ f ( x)dx = ∫ a a a f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx b b c c b a b b a a ∫ k f ( x)dx ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ( a < b < c )4.= ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = a b b a a b k ∫ f ( x)dx (k ∈ ) a ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx B BÀI TẬP ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ BẢNG NGUYÊN HÀM Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) liên tục [ a; b ] số thực k tùy ý Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A B b a a b ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx b b a a ∫ xf ( x ) dx = x ∫ f ( x ) dx a C ∫ kf ( x ) dx = a b D ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = a Câu 2: b ∫ a Khẳng định sau sai? https://toanmath.com/ b f ( x ) dx + ∫ g ( x ) d x a A C Câu 3: b b b a a a ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx b a a b ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx b f ( x ) dx B ∫= a D b c c a ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx b b a a ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt Cho hai hàm số f ( x ) g ( x ) liên tục K , a, b ∈ K Khẳng định sau khẳng định sai? b A ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = a C b b b a a a f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx B ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx ∫ a b b b a a a ∫ f ( x ) g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx b ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = a Câu 4: b b ∫ a D b f ( x ) dx − ∫ g ( x ) d x a Cho hai số thực a , b tùy ý, F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) tập Mệnh đề đúng? b A ) dx ∫ f ( x= f (b) − f ( a ) b B a b C ) dx ∫ f ( x= F (b) − F ( a ) a F ( a ) − F (b) b D ) dx ∫ f ( x= F (b) + F ( a ) a a Câu 5: ) dx ∫ f ( x= Cho f ( x ) hàm số liên tục đoạn [ a; b ] c ∈ [ a; b ] Tìm mệnh đề mệnh đề sau A C c b a a c b b c c a c ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ∫ a Câu 6: D c b a a c b a b c c ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ∫ a f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx Cho hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng K a, b, c ∈ K Mệnh đề sau sai? b A ∫ a b C ∫ a Câu 7: f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx B b b c f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx c b B a a a f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx ∫ b f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt a a D b ∫ f ( x ) dx = a Cho hàm số f ( t ) liên tục K a, b ∈ K , F ( t ) nguyên hàm f ( t ) K Chọn khẳng định sai khẳng định sau b A F ( a ) − F ( b ) = ∫ f ( t ) dt b B a b C ∫ a https://toanmath.com/ b a a b f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt a ∫ f ( t ) dt = F ( t ) b D ∫ a b f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt a Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] Mệnh đề sai? b A ∫ a b B ∫ a b f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt a a f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx b b dx k ( a − b ) , ∀k ∈ C ∫ k= a b f ( x ) dx D ∫= a Câu 9: c b a c ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx , ∀c ∈ ( a; b ) Giả sử f hàm số liên tục khoảng K a, b, c ba số khoảng K Khẳng định sau sai? a A ∫ f ( x ) dx = B a C b a a b ∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx c b b b b a c a a a ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx= ∫ f ( x ) dx, c ∈ ( a; b ) D ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] Mệnh đề sai? A b a a b ∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx b c b a a c f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx , ∫= B ∀c ∈ b C ∫ a b f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt D a a ∫ f ( x ) dx = a Câu 11: Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) Khi hiệu số F ( ) − F (1) A ∫ f ( x ) dx B ∫ − F ( x ) dx C ∫ − F ( x ) dx D ∫ − f ( x ) dx Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [ a; b ] , có đồ thị y = f ′ ( x ) hình vẽ sau: Mệnh đề đúng? b A ∫ f ′ ( x ) dx diện tích hình thang ABMN B a https://toanmath.com/ b ∫ f ′ ( x ) dx a dộ dài đoạn BP b b C ∫ f ′ ( x ) dx dộ dài đoạn MN D a Câu 13: Cho hai tích phân f ( x ) dx = m ∫ −a là: A m − n định a dộ dài đoạn cong AB ∫ −a ∫ f ( x ) − g ( x )dx −a C m + n b = f ( x ) dx m I ∫= a là: A m + n định a g ( x ) dx = n Giá trị tích phân B n − m Câu 14: Cho tích= phân I1 ∫ f ′ ( x ) dx a a B m − n D Không thể xác a b c c f ( x ) dx n Tích phân I = ∫ f ( x )dx có giá trị ∫= C −m − n D Không thể xác b Câu 15: Tích phân ∫ f ( x )dx phân tích thành: a A C b a c c b a c c ∫ f ( x ) + ∫ − f ( x )dx ∫ f ( x ) + ∫ f ( x )dx B a ∫ f ( x ) − ∫ − f ( x )dx c c b a c c D − ∫ f ( x ) + ∫ f ( x )dx f ( x ) dx = Tính tích= phân I ∫ Câu 16: Cho b ∫ 2 f ( x ) − 1 dx −2 −2 A −9 B −3 C D Câu 17: Cho hàm f ( x ) có đạo hàm liên tục [ 2;3] đồng thời f ( ) = , f ( 3) = Tính ∫ f ′ ( x ) dx A −3 ∫ Câu 18: Cho b a B C 10 D f ′ ( x ) dx = f ( b ) = Khi f ( a ) A 12 B C D −2 Câu 19: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ a ; b ] f ( a ) = −2 , f ( b ) = −4 Tính T T b T = ∫ f ′ ( x ) dx a A T = −6 B T = C T = D T = −2 Câu 20: Cho hàm số f ( x ) liên tục [ 0;1] f (1) − f ( ) = Tính tích phân ∫ f ′ ( x ) dx A I = −1 https://toanmath.com/ B I = C I = D I = Câu 21: Cho hàm số y = f ( x) thoả mãn điều kiện f (1) = 12 , f ′ ( x) liên tục ∫ f ′ ( x)dx = 17 Khi f (4) A C 19 B 29 D Câu 22: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ −1;3] thỏa mãn f ( −1) = ; f ( 3) = Giá trị I = ∫ f ′ ( x ) dx −1 B I = A I = 20 C I = 10 D I = 15 a b Câu 23: Cho hàm số f ( x ) = + + , với a , b số hữu tỉ thỏa điều kiện x x Tính T= a + b A T = −1 B T = B I = log 4581 5000 22018 ∫ Câu 25: Tính tích phân I = 1 − 3ln 2 D T = C T = −2 ∫ x + + C I = ln D I = − 21 100 dx x = A I 2018.ln − Câu 26: = Tính I ∫ f ( x ) dx= dx x+2 Câu 24: Tính tích phân I = ∫ A I = B I = 22018 C I = 2018.ln C I = 2018 C + ln D + ln x dx B + ln A + ln I = Tính tích phân Câu 27: ∫ x (1 + x ) dx 2018 = I A 1 + 2018 2019 = I B 1 + 2020 2021 = I C 1 1 = + + I D 2019 2020 2017 2018 3 x ≤ x ≤ = y f= Câu 28: Cho hàm số Tính tích phân ( x) 4 − x ≤ x ≤ A B C ∫ f ( x ) dx ≤ x ≤ = y f= Câu 29: Cho hàm số Tính tích phân ( x ) x + 2 x − ≤ x ≤ A + ln B + ln C + ln https://toanmath.com/ D ∫ f ( x ) dx D + ln 3 x ≤ x ≤ = y f= Câu 30: Cho hàm số Tính ( x) 4 − x ≤ x ≤ A B C ∫ f ( x )dx D 6 x x ≤ = = y f x Câu 31: Cho hàm số I = ∫ f ( x )dx Hỏi có tất số ( ) a − a x x ≥ −1 nguyên a để I + 22 ≥ ? A B C D b Câu 32: Biết Khẳng định sau đúng? ∫ ( x − 1) dx = a A b − a = I = Câu 33: Đặt B a − b = a − b − C b − a = b − a + D a − b = ∫ ( 2mx + 1) dx ( m tham số thực) Tìm m để I = A m = −1 Câu 34: Cho B m = −2 C m = 3 2 D m = ∫ f ( x)dx = a , ∫ f ( x)dx = b Khi ∫ f ( x)dx bằng: A −a − b B b − a Câu 35: Giá trị b để C a + b D a − b C b = b = D b = b = b 0? ∫ ( x − ) dx = A b = b = B b = b = a Câu 36: Có giá trị thực AD để có a−4 ∫ ( x + 5) dx = B A C D Vô số m Câu 37: Xác định số thực dương m để tích phân ∫ ( x − x ) dx có giá trị lớn A m = C m = B m = D m = Câu 38: Cho a số thực thỏa mãn a < Giá trị biểu thức + a ∫ ( x + 1) dx = a A B C D C I = D I = C I = D I = Câu 39: Tích phân I = ∫ x.dx có giá trị là: A I = B I =2 Câu 40: Tích phân I= ∫ (x + x + ) dx có giá trị là: −1 A I = https://toanmath.com/ B I = −1 Câu 41: Cho gá trị tích phân I1 =∫ ( x + x )dx =a , I = ∫ ( x + x )dx =b Giá trị −1 A P = − 65 B P = Câu 42: Tích phân I= ∫ (x −2 12 65 C P = − 12 65 D P = 65 a là: b + ax + )dx có giá trị là: −1 A I= a − B I= = I Câu 43: Tích phân ∫ ( ax a − C I= a + D I= a + C I= a b + 2 D I= a b + + bx )dx có giá trị là: A I= a b + B I= a b + 3 + x dx có giá trị là: 1 A I =− − + a B I =− − + a a a a I = Câu 44: Tích phân ∫ x C I =− − + a a D I =− − + a a = I Câu 45: Tích phân ∫x − x dx có giá trị là: −1 A I = B I = C I = − D I = − C I = − D I = − D I = − 17 I Câu 46: Tích phân = ∫x + x − x − 1dx có giá trị là: −1 A I = B I = −1 Câu 47: Tích phân I = ∫ x3 − 3x + x −1 −2 A I = − ∫ −2 −1 B I = −2 ln ∫ 2ax −2 15a − + ln A I = 16 https://toanmath.com/ 17 C I = x2 − x − dx có giá trị là: x −1 A I = − ln Câu 49: Tích phân = I dx có giá trị là: B I = Câu 48: Tích phân I = 1 + dx có giá trị là: x 15a I − ln B.= 16 C I = + ln I C.= 15a + ln 16 D I = − 3ln 15a − − ln D I = 16 = I1 Câu 50: Biết tích phân xdx ∫= I2 a Giá trị của= 17 B I = b = I Câu 51: Cho tích phân ∫(x 2 + x )dx là: a A I = ∫(x 19 C I = 16 D I = 13 + 1) dx Khẳng định không đúng? a b A I = b I B.= b + b − a3 − a 3 D Chỉ có A C a C I= b 2 ∫ ( x + 1) dx = ∫ x dx + ∫ dx a (x + x) b a a với a = Câu 52: Số nghiệm nguyên âm phương trình: x3 − ax + = 3e ∫ x dx là: A B C D , với a = ∫ xdx , a b số hữu tỉ Câu 53: Số nghiệm dương phương trình: x + ax + = là: A B C D k Câu 54: Tìm tất giá trị thực tham số k để có lim ∫ ( x − 1) dx = x →0 k = A k = k = B k = −2 k = −1 C k = −2 x +1 −1 \ x k = −1 D k = Câu 55: Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = + x − − x tập thỏa mãn F (1) = Tính tổng F ( ) + F ( ) + F ( −3) A B 12 C 14 Câu 56: Có giá trị nguyên dương n thỏa mãn ∫ (1 − n D 10 + x + x + x + + nx n −1 ) dx = −2 ? A B C D Câu 57: Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ https://toanmath.com/ Biết diện tích hình phẳng giới hạn trục Ox đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) đoạn [ −2;1] [1; 4] 12 Cho f (1) = Giá trị biểu thức f ( −2 ) + f ( ) B A 21 C 2 J ∫ ( x − x − m ) dx và= I Câu 58: Cho= ∫(x − 2mx ) dx Tìm điều kiện m để I ≤ J B m ≥ A m ≥ C m ≥ f ( x ) = ax + bx + c thỏa mãn Câu 59: Biết hàm số D ∫ ∫ f ( x ) dx = B P = − TÍCH PHÂN HỮU TỈ ∫ f ( x ) dx = −2 13 (với a , b , c ∈ ) Tính giá trị biểu thức P = a + b + c A P = − Câu 60: Biết f ( x ) dx = − , D m ≥ x −5 ∫ x + dx= C P = D P = a + ln b với a , b số thực Mệnh đề đúng? A ab = 81 B a + b = 24 Câu 61: Tích= phân I 2ax dx ∫= x +1 C ab = D a + b = 10 ln Giá trị a là: A a = ln − ln B a = ln − ln C a = ln + ln D a = ln + ln 1 Câu 62: Cho I = ( a b ) ln + b ln Giá trị a + b là: ∫0 + x − x dx =− A B C D Câu 63: Biết x2 S 2a + b , giá trị S thuộc khoảng sau đây? a + ln b ( a, b ∈ ) Gọi = ∫0 x + dx = B ( 6;8 ) A ( 8;10 ) = I Câu 64: Tích phân ∫ x + D ( 2; ) x dx có giá trị là: x +1 10 A I = + ln − ln 10 I = + ln + ln https://toanmath.com/ C ( 4; ) 10 10 B I = − ln + ln C I = − ln − ln D 3 Câu 65: Nhận xét: Khơng thể dùng máy tính để tính kết mà ta dùng để kiểm = I + x dx có giá trị là: ∫ tra mà Tích phân x 1 A I = B I = = I Câu 66: Tích phân ax ∫ x + − 2ax dx C I = D I = 11 có giá trị là: A I = −a ln B I = −2 ln a a Câu 67: Tích phân= I C I = ln D I = a ln x ∫ x + a dx ,với a ≠ có giá trị là: = A I a ln a + a2 + 2a = I a ln a + B a2 + 2a = C I a ln a + a2 −1 2a = I a ln a + D a2 −1 2a a2 x2 + 2x dx có giá trị nhỏ số thực dương a có giá trị là: ax Câu 68: Tích phân I = ∫ A B = I Câu 69: Tích phân ∫ ax I A.= = I Câu 70: Tích phân ∫ ax I 3a − b ln B = + −1 A I = −b ln Câu 71: Tích phân I = ∫ e D I C.= a + b ln I 3a + b ln D = C I= a + b ln D I = b ln b dx có giá trị là: x+2 B I= e2 C b + dx có giá trị là: x a − b ln a − b ln x +1 dx có giá trị là: x2 1 A I =1 − + e e 1 B I =1 − − e e Câu 72: Giá trị tích = phân I x dx ∫= x +1 1 C I =1 + + e e 1 D I =1 + − e e P 2a − có giá trị là: a Biểu thức = A P = − ln B P= − ln e2 = Câu 73: Giá trị tích phân I 1 e + e2 + e4 A P = 2 https://toanmath.com/ C P = − ln D P= − ln + x + x2 = ∫e x dx a Biểu thức P= a − có giá trị là: 1 B P =−e + e + e 2 A B C Hướng dẫn giải D Chọn D = x u x= du dx Ta có: I = ∫ x.e dx Đặt ⇒ x x dv e= dx v 2.e = a ⇒ I= x.e x a a x x a a a − ∫ e dx= 2ae − 4.e = ( a − ) e + 0 a Theo đề ta có: I = ⇔ ( a − ) e + = ⇔ a = Câu 28 Cho tích phân I =∫ ( x + 1) ( e x − 3) dx Kết tích phân dạng I = e − a Đáp án sau đúng? A a = B a = C a = Hướng dẫn giải Chọn A du = dx u= x + ⇒ x x x dv =( e − 3) dx v =∫ ( e − 3) dx =( e − x ) ⇒I= D a = ( x + 1) ( e x − 3x ) − ∫0 ( e x − 3x ) dx 1 = e ( x + 1) ( e − 3x ) − e x − x =− 0 x 1 15 1 2x = A ab ( a + b ) Câu 29 Tính tích phân I = e Tính ∫0 ( a − x ) ( b + e ) dx =+ 12 4 Chọn đáp án đúng: A 27 B 30 C 16 D 45 Hướng dẫn giải Chọn D Đặt du = −dx u= a − x ⇒ 2x v bx + e x dv= ( b + e ) dx = b 1 1 1 1 1 I = ( a − x ) bx + e x 10 = ab − b − a + − + ( a − 1) + e = + e 2 2 4 2 4 4 b 1 ab − b − a + − = 2 4 a = 45 ⇒ ⇒ A= 1 b = ( a − 1) + = 4 e ∫ ( mx + 1) e dx = x Câu 30 Tìm m để A Chọn D https://toanmath.com/ ? B -1 Hướng dẫn giải C D Ta có 1 ∫ ( mx + 1) e dx =∫ ( mx + 1) dx(e ) =( mx + 1) e x x 0 x 1 − m ∫ e d ( mx + 1) =( mx + 1) e x x 0 − m ∫ e x dx = ( mx + 1) e − me = ( m + 1) e − − me + m = e + m − 0 x x m Câu 31 Cho I = ∫ ( x − 1) e 2x dx Tập hợp tất giá trị tham số m để I < m khoảng ( a; b ) Tính P= a − 3b A P = −3 B P = −2 D P = −1 C P = −4 Hướng dẫn giải Chọn A m = I ∫ ( x − 1) e 2x dx du = 2dx u 2x −1 = Đặt ⇒ e2 x 2x = v x d e d v = m ( x − 1) e2 x m − m e2 x dx= 2x − = I= x x e d ( ) ∫0 ∫0 I < m ⇔ me 2m −e 2m + < m ⇔ ( m − 1) ( e 2m ( 2m − 1) e2 m + − e2 x 2 m = me m − e m + − 1) < ⇔ < m < Suy a =0, b =⇒ a − 3b =−3 Câu 32 Biết tích phân ∫ ( x + 1) e x = dx 2x +1 A T = ae + b Tính T= a − b C T = B T = Hướng dẫn giải D T = Chọn B 4 x +1 x 2x + x 1 ex x = e dx e dx x e dx dx = + + ∫ ∫0 x + ∫ ∫ 2x +1 20 2x +1 x e Xét I1 = ∫ dx x + Ta có I = du = e x dx u = e x + x )2 dx ( Đặt dx ⇒= v = = dv = ∫ 2x +1 2x +1 2x +1 Do = I1 e x + − ∫ e x x + 1dx x 0 3e − −1 Khi đó= ⇒T = − = ,b a = 4 2 12 c x+ a d Câu 33 Cho tích phân I= ∫ 1 + x − e x dx= e , a , b , c , d số nguyên dương x b Suy I = 12 a c phân số , phân số tối giản Tính bc − ad b d https://toanmath.com/ A 24 B C 12 D Hướng dẫn giải Chọn A x + 1x - Ta có: I= ∫ 1 + x − e d= x x 12 12 12 - Tính J = ∫ e x+ x 12 ∫e x+ 12 x x + 1x dx + ∫ x − e dx= J + K x 12 12 dx 12 x + 1x x+ x du= 1 − e dx Đặt u = e ⇒ x v = x dv = dx x+ = ⇒ J x.e x ⇒I = J +K = 12 12 145 12 145 143 145 x+ 12 e 12 − K −K − ∫ x − e x dx =12.e 12 − e= 12 12 x 12 145 12 143 e 12 a dc a c - Theo giả thiết: I = e với a , b , c , d số nguyên dương , phân số b b d c 145 a 143 ⇒a= 143 , b = 12 , c = 145 , d = 12 tối giản nên = = d 12 b 12 24 Vậy bc − ad = DẠNG e a.e + b Câu 34 Cho I = ∫ x ln xdx = với a , b , c ∈ Tính T = a + b + c c A B C D Hướng dẫn giải Chọn D d u = dx u = ln x x Ta có: nên dv = xdx v = x a = e e e x2 e2 + I = ∫ x= ln xdx ⇒ b = ln x − ∫ xdx = 21 c = Vậy T = a + b + c = Câu 35 Kết phép tính tích phân ∫ ln ( x + 1) dx biểu diễn dạng a.ln + b , giá trị tích ab A B Hướng dẫn giải Chọn D https://toanmath.com/ C D − 2 = dx u ln ( x + 1) du = Đặt ⇒ 2x +1 dv = dx v = x 2x dx = ln − ∫ 1 − dx 2x +1 2x +1 0 1 Ta có I = ∫ ln ( x + 1) dx = x ln ( x + 1) − ∫ 1 = ln − x − ln x + = ln − 0 3 Khi a = ; b = −1 Vậy ab3 = − 2 b a, b ∈ ) a + 3) ( ( Tính Câu 36 Cho ∫ ln ( x + 1) dx = a + ln b , A 25 B C 16 D Hướng dẫn giải: Chọn C = dx u ln ( x + 1) du = Đặt ⇒ x +1 dv = dx v= x + 1 = I 1 dx ( x + 1) ln ( x + 1) − ∫ ( x + 1) dx = ∫ ln ( x + 1)= x +1 0 ln − = x ln = − −1 + ln 16 ⇒a= −1, b = ⇒ ( a + 3) = b Câu 37 Biết tích phân a ln + b với a , b ∈ Z Tổng 2a + b ∫ ( x − 1) ln xdx = A C A (1; − 2;1) B D 13 Hướng dẫn giải Chọn C u = ln x ⇒ du = dx Đặt x = dv ( x − 1) dx Ta có x ( x − 1) ln x − ∫ ( x − 1) dx= ln − ( x − x ) = ln − ∫ ( x − 1) ln xdx= 2 1 10 Vậy 2a + b = 3 + ln x a + ln b − ln c Câu 38 Biết ∫ với a , b , c số nguyên dương Giá trị biểu thức dx = ( x + 1) P = a + b + c bằng? A 46 B 35 D 48 C 11 Hướng dẫn giải Chọn A + ln x − ∫ ( + ln x ) d − +∫ d ( + ln x ) = ∫1 ( x + 1)2 dx = x +1 1 x +1 x +1 Ta có + ln x 3 + ln 3 1 − ln − ln x 1 + +∫ = dx + ∫ − dx + ln = x +1 x x x +1 x +1 1 = − https://toanmath.com/ 3 − ln 3 − ln 3 − ln + ln − ln = + ln − ln + ln= + ln − ln 4 4 a = 3 + 3ln − ln + ln 27 − ln16 = = ⇒ b = 27 ⇒ P = 46 4 c = 16 = ∫ ( x − 1) ln xdx =a ln + b, ( a; b ∈ ) Khi a + b ? Câu 39 Giả sử Hướng dẫn giải Chọn D B A C D u = ln x du = dx Đặt ⇒ x dv ( x − 1) dx = v x −x = Ta có ∫ ( x − 1) ln xdx = ( x 2 − x ) ln x − ∫ ( x − 1) dx 1 x2 = ln − − x = ln − 1 Khi a = 2; b = − Vậy a + b = 2 ∫ (x = I Câu 40 Tính tích phân A I = 2 ln + Chọn B Cách = 1: I ∫ (x − 1) ln x dx B I = ln + C I = Hướng dẫn giải 2 ln − D I = ln − − 1) ln x dx dx du = u ln x = x Đặt ⇒ v ( x − 1) dx x d= v = −x 2 2 x3 x2 x3 x3 ln + − − − = − + x x x x x ln d ln Do I = − x = ∫ 3 9 1 1 Cách 2: 2 x3 x3 x3 − = − = − − − x x x x x x x x ln d ln d ln ( ) ∫1 ∫1 ∫1 d ( ln x ) 2 2 x2 2 x3 + ln = ln − ∫ − 1 dx = − − x = 3 9 1 1 a Câu 41 Tích phân I = ∫ x ln xdx có giá trị là: https://toanmath.com/ a ln a − a a ln a − a = B I + − 4 a ln a − a a ln a − a = + − C I = D I 4 Hướng dẫn giải A I = a Tích phân I = ∫ x ln xdx có giá trị là: 1 du = dx u = ln x x Đặt ⇒ dv = xdx v = x a a a a a ln a − a x2 x2 x2 x = ⇒ I ln x = − ∫ dx ln x −= + 1 1 1 Chọn C Câu 42 Kết tích phân ∫ ( x + ln ( x + 1) )dx = 3ln + b Giá trị + b là: B A C Hướng dẫn giải D Chọn C I= A B ∫ ( x + ln ( x + 1) ) dx =+ Tính= A Tính = B 2 2 = x= ∫ xdx ∫ ( ln ( x + 1) )dx dx = u ln ( x + 1) du = Xem: ta chọn x +1 dv = dx v= x + Dùng cơng thức tích phân phần 2 x +1 2 B= ∫ ( ln ( x + 1) ) dx= ( x + 1) ln ( x + 1) − ∫ dx= 3ln − x = 3ln − 0 x +1 Vậy: I = ∫ ( x + ln ( x + 1) )dx = 3ln + 2 Câu 43 Tính tích phân I = ln a + b Tính sin ∫ (4 x + 3).ln xdx = A B -1 C Hướng dẫn giải ( a + b)π : D Chọn B u = ln x du = dx Đặt Khi ⇒ x dv ( x + 3) dx = = v x + x 2 2 x + 3x 2 I ( x + x ) ln x − ∫ dx ( 2.2 + 3.2 ) ln − ( 2.1 + 3.1) ln 1− ∫ ( x + 3) dx = = 1 x = 14 ln − − ( x + x ) = 14 ln − − ( 22 + 3.2 ) − (12 + 3.1) = 14 ln − (10 − ) = 14 ln − https://toanmath.com/ ∫ 3x Câu 44 Cho tích phân = I = I b ln a − c với a,b,c − x + ln(2 x + 1) dx Xác định a biết số hữu tỉ A a=3 C a = B a=-3 Hướng dẫn giải 3 D a = − Chọn A I = ∫ 3 x − x + ln(2 x + 1) dx = 1 0 ∫ 3x − x dx + ∫ ln(2 x + 1) dx = I1 + I u ln(2 x + 1) = dv = dx Giải I phương pháp phần ln − ⇒= a = I Câu 45 Cho = I + ln x ∫ ( x + 1) = 4a + 2b dx = a (ln + 1) + ln b với a,b∈R Tính giá trị biểu thức T A B C Hướng dẫn giải D Chọn A Ở toán máy tính dường khơng giúp nhiều việc giải toán, toán sử dụng phương pháp tích phân thành phần mức độ vận dung Đặt dx u= + ln x u= x dx ⇔ = v −1 x = v += ( x + 1) x +1 x +1 b b Áp dụng cơng thức tính tích phân thành phần ∫ udv = uv a − ∫ vdu ta b a = I a dx (3 + ln x) x (3 + ln x) x − ∫= − ln( x + 1) x +1 1 x +1 x +1 3 ( + ln 3) I = − − ( ln − ln ) 2 3 1 = (ln + 1) − ln= (ln + 1) + ln 4 2 Vậy a = ; b = ⇒ T = 4a + 2b = + = 4 v Nhận xét: Điểm mấu chốt để xử lí nhanh tốn nằm việc đặt = I thí sinh chọn đáp án B làm đến= −1 x += Một số x +1 x +1 (ln + 1) − ln không để ý dấu nên suy = ; b dẫn đến kết sai π 3 ln ( sin x ) = dx a ln − bπ Tính Câu 46 Cho tích phân I ∫π3 = = A log a + log b cos x = a https://toanmath.com/ Chọn đáp án đúng: A − C − Hướng dẫn giải B D Chọn C = u ln ( sin x ) ⇒= du Đặt dv = cosx dx sin x dx chọn v = tan x cos x π π ln ( sin x ) tan ln sin dx x x x = − ( ) ∫ π ∫ dx π cos x π π Vậy I = 6 e ln x dx a e + b với a, b ∈ Tính P = a.b = x A P = B P = −8 C P = −4 Hướng dẫn giải Chọn B dx u = ln x du = x Đặt dx → dv = x dv = x Câu 47 Biết ∫ D P = e e e a = −2 ln x dx dx x ln x − ∫= x ln x − = x −2 e + ⇒ ∫1 x= 1 = b x Vậy P = ab = −8 e e Suy Câu 48 Biết ∫ x ln ( x + 1) dx = a.ln b , với a, b ∈ * , b số nguyên tố Tính 6a + 7b A 33 B 25 C 42 Hướng dẫn giải D 39 Chọn D = u ln ( x + 1) dx du = Xét I ∫ x ln ( x + 1) dx = Đặt = ⇔ x +1 dv = xdx = v x2 −1 2 x2 x2 −1 Ta có I = ( x − 1) ln ( x + 1) − ∫ dx = 3ln − ∫ ( x − 1) dx = 3ln − − x = 3ln x +1 0 0 39 Vậy a = , b = ⇒ 6a + 7b = 1 a ln − bc ln + c d x = Câu 49 Cho ∫ x ln ( x + ) + với a , b , c ∈ Tính T = a + b + c x + A T = 13 2 B T = 15 C T = 17 Hướng dẫn giải Chọn A du = = u ln ( x + ) x+2 ⇒ Đặt dv = xdx v = x − 1 1 x2 − x−2 x x ln x + + d x = ln x + − d x + dx ( ) ( ) ∫0 ∫ ∫ x + 2 + 2 x 0 https://toanmath.com/ D T = 11 1 −3 −3 x2 ln + ln + + − ( ln − ln ) = ln + ln − − x + ( x − ln ( x + ) ) = 2 0 −14 ln + 16 ln + Suy ra: = a = b = c = Vậy T = a + b + c = 13 ( ) S a.b + c Câu 50 Biết ∫ ln x3 − x + dx= a ln + b ln + c , với a, b, c ∈ Tính = A S = 60 B S = −23 C S = 12 Hướng dẫn giải D S = −2 Chọn B ( ) ( dx x.ln x3 − x + Ta có ∫ ln x3 − x + = = 3ln 20 − ln − ∫ x ( x − 3) ) − ∫ xd ln ( x 3 − 3x + ) dx ( x − 1) ( x + ) 3 x ( x + 1) ( x − 1)( x + ) + = 3ln 20 − ln − ∫ dx = 3ln + ln − ∫ dx x − 1)( x + ) ( x − 1)( x + ) ( 2 3 = 3ln + ln − ( x ) − 2∫ − dx = 3ln + ln − − ln x − + ln x + 2 x −1 x + 2 = 5ln − ln − Suy a = 5; b = −4; c = −3 Do S =ab + c =−23 −7 Câu 51 Cho biết tích phân I =∫ ( x + ) ln ( x + 1) dx =a ln + a , b số nguyên b dương Tìm mệnh đề mệnh đề sau: B a < b C a > b D a= b + A a = b Hướng dẫn giải Chọn A du = x + dx = u ln ( x + 1) ⇒ Đặt x2 v ( x + ) dx d= = v + 2x 1 x x2 + x I = + x ln ( x + 1) − ∫ d= x ln − ∫ x + − dx x +1 2 0 x +1 −7 x2 = ln − + x − 3ln ( x + 1= ) ln + 2 0 Suy a = , b = Vậy a = b x + ln x a = I ∫ = dx ln − b c ( x + 1) Câu 52 Cho với a , b , m số nguyên dương phân số tối giản a+b S= c Tính giá trị biểu thức T https://toanmath.com/ A S = T T B S = 17T 17T C S = T T Hướng dẫn giải D S = T T Chọn B T I =∫ Tính x + ln x ( x + 1) dx T 1 + x dx = du u x + ln x = x ⇒ dx = dv − = v ( x + 1)2 x + Đặt T x + ln x 1+ x 1 1 = − + + I= x x x x d ln d ( ) = − + ln + + dx ( ) ∫1 ( x + 1)2 ∫ ∫ x +1 x x +1 x 1 Khi 1 = − ( + ln ) + + ln x = ln − 3 a+b S ⇒= = a 2;= b 3;= c c Vậy= 2 T T Câu 53 Cho a > b > −1 Tích phân = I b ∫ ln ( x + 1) dx biểu thức sau đây? a ( x + 1) ln ( x + 1) a − a + b b A I = B I = b C I = ( x + 1) a b D I= x ln ( x + 1) a + ∫ b a ( x + 1) ln ( x + 1) a − b + a b x dx x +1 Hướng dẫn giải Chọn B = dx u ln ( x + 1) du = Đặt ⇒ x +1 dv = dx v= x + Do = I b a a = b ∫ ln ( x + 1) dx =( x + 1) ln ( x + 1) − ∫ dx =( x + 1) ln ( x + 1) b b a −xa b a ( x + 1) ln ( x + 1) a − b + a b e2 Câu 54 Biết ae + be+c , a , b , c số nguyên Giá trị − d x = ∫e ln x ln x a + b + c A B C Hướng dẫn giải Chọn A e2 Xét tích phân: ∫ ln x dx e Đặt= u 1 ⇒ ; du = − dx dv = dx chọn v = x ln x x ln x e2 e2 e2 e x 1 −e + 2e Khi ∫ = dx + ∫ dx ⇔ ∫ − d x = ln x ln x e e ln x ln x ln x e e https://toanmath.com/ D a = −1 Do b = c = Vậy a + b + c = Câu 55 Biết ∫ x ln ( x + 16 ) dx = a ln + b ln + biểu thức T = a + b + c A T = B T = −16 c a, b, c số nguyên Tính giá trị C T = −2 Hướng dẫn giải D T = 16 Chọn B 2x u = d dx = u ln ( x + 16 ) x + 16 Đặt ⇒ x + 16 dv = xdx v = 3 3 x + 16 x + 16 x2 2 Ta có: ∫ x ln ( x + 16 = x x d ln 16 x + − ) dx ln ( x + 16 ) −= ( ) ∫0 2 0 25 9 −16 ln 25 − 8ln16 −= 25ln − 32 ln − Do a = 25, b = −32, c = −9 ⇒ T = 2 2 2018 Câu 56 Tính tích phân I ∫ 2019 log x + = x dx ln 1 A I = 22017 B I = 22019 C I = 22018 D I = 22020 Hướng dẫn giải Chọn B 2 1 2018 2018 2018 I2 dx 2019 I1 + = I ∫ 2019 log = x= x+ x dx 2019 ∫ x log xdx + ∫ ln ln ln 1 = 22019 − x 2019 = Trong= I ∫= x dx 2019 2019 1 2018 d dx u = u = log x x.ln 2018 I1 = ∫ x log xdx Đặt ⇒ 2019 2018 x d v = x d x v = 2019 2 x 2019 22019 − 22019 22019 − 22019 = − = − Khi I1 = log x − I2 2019 20192.ln 2019 2019.ln 2019 2019 2019.ln Vậy I = 22019 3 + ln x Câu 57 Biết I = ∫ dx =a (1 + ln 3) − b ln , ( a, b ∈ ) Khi a + b ( x + 1) A a + b = 16 Chọn C https://toanmath.com/ 16 25 B a + b = C a + b = 16 Hướng dẫn giải D a + b = u= + ln x du = dx x dx ⇔ Đặt: dv = v = − ( x + 1) x +1 3 + ln 3 + ln x 1 − + + ∫ − I= − +∫ dx = dx x x +1 x + 1 x ( x + 1) Khi = đó: 3 − ln + ( ln x − ln x + ) 25 3 − ln a = 2 = + ln − ln + ln = (1 + ln 3) − ln ⇒ ⇒ a +b = 16 4 b = ln x b b = dx a ln + (với a số hữu tỉ, b , c số nguyên dương phân số x c c tối giản) Tính giá trị S = 2a + 3b + c A S = B S = −6 C S = D S = Hướng dẫn giải Chọn A = u d dx u = ln x x Đặt ⇒ 1 d v = d x v = − x2 x Khi đó, ta có: 2 2 1 ln x ln x 1 = − ln + − ln − = − + ∫ dx = ∫1 x dx = 2 x1 x 1x Từ giả thiết suy a = − , b = , c = Vậy giá trị S = Câu 58 Biết ∫ Câu 59 Biết ∫ ln ( x + 1) dx = a ln + b ln + c với a , b , c số nguyên Tính S = a + b + c A S = B S = C S = Hướng dẫn giải Chọn A = u ln ( x + 1) dx du = Đặt ⇒ x +1 dv = dx v = x 2 x Khi đó, ta có: ∫ ln ( x + 1) dx= x ln ( x + 1) − ∫ dx 1 x +1 = ln − ln − ∫ 1 − dx= ln − ln − ( x − ln x + ) x +1 1 = ln − ln − ( − ln − + ln ) = 3ln − ln − Suy S = a + b + c = − − = Câu 60 Tính tích phân I = ∫ ( x + 1) ln ( x − 3) dx ? https://toanmath.com/ D S = −2 B 10 ln + A 10 ln 19 19 C − 10 ln 4 Hướng dẫn giải D 10 ln − 19 Chọn D du = dx = u ln ( x − 3) x −3 Đặt ⇒ dv= x + v = x +x 2 5 5 2x +x 1 35 x2 − + x −3+3 I = x + x ln ( x − 3) − ∫ dx = ln − ∫ dx − ∫ dx − x 2 x −3 x −3 4 = 35 19 19 ln − + + ln − (1 + 3ln ) 10 ln − = 22 Câu 61 Biết ∫ x ln x dx = m ln + n ln + p , m , n , p ∈ Khi số m A B 18 C D Hướng dẫn giải Chọn A 27 du = dx u = ln x Đặt ⇔ x2 = d v x d x v = 3 x3 x2 x2 ln x − ∫ dx = ln − ln − ⇒ ∫ x ln x dx = 2 2 Vậy m = Câu 62 Biết m = 19 ⇒ n = −2 = ln − ln − 19 p = − ∫ x ln ( x + ) dx = a ln + b ln + c , a , b , c số nguyên Giá trị biểu thức T = a + b + c A T = 10 B T = C T = Hướng dẫn giải D T = 11 Chọn C 2x du = dx u ln ( x + ) x + 9) = ( Đặt ⇔ x2 + dv = xdx v = 2 x2 + x2 + x Suy ∫ x ln ( x = + ) dx ln ( x + ) − ∫ dx = 25ln − ln − 2 x2 + 0 Do a = 25 , b = −9 , c = −8 nên T = https://toanmath.com/ ∫ ln ( ) Câu 63 Tích phân= I A I= − + ln ( C I =− + + ln + x − x dx có giá trị là: ) −1 ( ∫ ln ( B I= ) −1 ( D I =− + − ln ) −1 ( ) −1 Hướng dẫn giải ) Tích phân= I − − ln + x − x dx có giá trị là: ( ) ( ( )) −1 = dx u ln + x − x du = ⇒ Đặt + x2 dv = dx v = x 1 x = ⇒I x.ln x + − x +∫ dx x +1 x Xét I1 = ∫ dx x2 + Đặt t = x + ⇒ dt = xdx x = ⇒ t = Đổi cận x =1 ⇒ t = 2 ⇒ I1 = 1 dt = ∫1 t ( ( ⇒ I = I1 + x.ln ( t) = −1 x2 + − x )) = − + ln ( ) −1 Chọn A 1 Câu 64 Cho tích phân I = ae + b , a b số hữu tỉ Giá trị 2a − 3b là: ∫1 x + x ln xdx = 13 13 13 13 A B C − D − 4 Hướng dẫn giải e 1 Cho tích phân I = ae + b Giá trị 2a − 3b là: ∫1 x + x ln xdx = Ta có: e e e e e x2 1 x e2 I =∫ x + ln xdx =∫ x ln xdx + ∫ ln xdx = ln x − ∫ dx + ∫ dt = + , với t = ln x x x 4 1 1 1 13 ⇒ a = , b = ⇒ 2a − 3b = − 4 Chọn C π /4 ln(sin x + cos x) Câu 65 Tính tích phân ∫ dx , ta kết cos x e A − π + ln B π − ln C − π + ln D − Hướng dẫn giải Chọn C Trắc nghiệm bấm máy tính tích phân trừ cho đáp án ta đáp án https://toanmath.com/ π − ln C π /4 Tự luận: ∫ π /4 ln(sin x + cos x) = dx cos x π /4 ln(cos x) = ∫0 cos2 x dx + π /4 ∫ ∫ ln ( cos x.(1 + tan x) ) = dx cos x π /4 ln(cos x) ln(1 + tan x) + dx cos x cos x ∫ ln(1 + tan x) dx = I+J cos x sin x − ln cos x ⇒ du = dx u = x cos Đặt = dv = dx , v tan x cos x π /4 π /4 π π π π ln(cos x) + + ( − x + tan x ) =− I =∫ d x tan x ln(cos x ) tan x d x tan x ln cos x ln = = − +1 ∫ 0 cos x 0 π /4 J= ∫ ln(1 + tan x) dx Đặt t =1 + tan x ⇒ dt = dx cos x cos x Đổi cận: x = ⇒ t = 1, x = π ⇒t = u = lnt ⇒ du = dt J = ∫ ln t dt Đặt J t ⇒= = t , v t dv d= π /4 Vậy ∫ ∫ ln t d=t ( t ln t − t )= 2 ln − 1 ln(sin x + cos x) π dx = − + ln 2 cos x 4 ln x + = dx a ln 2 + b ln , với a, b số hữu tỷ Khi tổng 4a + b x B C D A Hướng dẫn giải 2 2 2 ln x + 1 ln x 2 ∫1 x dx = ∫1 x + x dx = 4∫1 ln xd ( ln x ) + ∫1 x dx = ln x + ln x = ln + ln Chọn D Câu 66 Giả sử ∫ 21000 Câu 67 Tính tích phân I = ln x ∫ ( x + 1) dx ln 21000 A I = − + 1000 ln 1000 1+ + 21000 ln 21000 C I = − 1000 ln 1000 1+ + 21000 21000 1000 ln 21001 B I = − + ln + 21000 + 21000 1000 ln 21000 D I = − ln + 21000 + 21000 Hướng dẫn giải 21000 1000 ln x ln x dx = − ln xd = − + Ta có I = ∫1 ( x + 1)2 ∫1 x +1 x +1 ln 21000 = − + + 21000 21000 ∫ 1 1000 ln dx = − + x +1 x + 21000 1000 ln = − + ( ln x − ln x + ) + 21000 Chọn B https://toanmath.com/ 21000 21000 ∫ 21000 d ( ln x ) x +1 ∫ 1 1 − dx x x +1 1000 ln x = − + ln 1000 1+ x +1 21000 1000 ln 21001 = − + ln + 21000 + 21000 ... Cho tích= phân I1 ∫ f ′ ( x ) dx a a B m − n D Không thể xác a b c c f ( x ) dx n Tích phân I = ∫ f ( x )dx có giá trị ∫= C −m − n D Khơng thể xác b Câu 15: Tích phân ∫ f ( x )dx phân tích. .. I = Câu 39: Tích phân I = ∫ x.dx có giá trị là: A I = B I =2 Câu 40: Tích phân I= ∫ (x + x + ) dx có giá trị là: −1 A I = https://toanmath.com/ B I = −1 Câu 41: Cho gá trị tích phân I1 =∫ (... dx có giá trị là: ∫ tra mà Tích phân x 1 A I = B I = = I Câu 66: Tích phân ax ∫ x + − 2ax dx C I = D I = 11 có giá trị là: A I = −a ln B I = −2 ln a a Câu 67: Tích phân=