SỞ GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT LÊ LỢI ĐỀ THI KTCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 -2017 – LẦN Mơn: Tốn – lớp 11 Đề thức ( Gồm có 01 trang ) (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể giao đề) Câu (3,0 điểm) ( ) Giải phương trình: sin x + cos x + + sin x − cos x =1 + Câu (3,0 điểm) ( x ẩn m tham số) Tìm tất Cho phương trình bậc hai x − 2mx + m − 2m + = giá trị thực m cho phương trình cho có hai nghiệm khơng âm x1 , x2 Tính P x1 + x2 tìm giá trị nhỏ P theo m giá trị biểu thức= Câu (4,0 điểm) Giải phương trình: x + + x + 4= x − x +  x + x3 y − xy + xy − y = Giải hệ phương trình:   x + y − xy (2 x − 1) = Câu (3,0 điểm): Có số tự nhiên có chữ số mà khơng có chữ số lặp lại lần Câu (3,0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(−1; −1) đường trịn (T) có phương trình 2 x + y − x − y − 12 = Gọi B, C hai điểm phân biệt thuộc (T) Viết phương trình đường thẳng BC biết I (1;1) tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Câu (4,0 điểm): Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh a Gọi M, N, P trung điểm đoạn thẳng AD, BB’, C’D’ Xác định thiết diện cắt mặt phẳng (MNP) với hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, tính theo a diện tích thiết diện -Hết Họ tên thí sinh SBD: (Cán coi thi khơng giải thích thêm, TS không dùng MTBT) ĐÁP ÁN ĐỀ THI KTCL ĐỘI TUYỂN HSG NĂM HỌC 2016 -2017 – LẦN Mơn: Tốn – lớp 11 SỞ GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT LÊ LỢI (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể giao đề) Câu Nội dung Ta có sin x + cos x + ( + ) sin x − cos x =1 + ( Điểm ) ⇔ 2sin x.cos x − cos x + (1 − 2sin x ) + + sin x − − =0 ⇔ cos x ( 2sin x − 1) − ( 2sin x − 1) ( ) ( ) sin x − = ⇔ ( 2sin x − 1) cos x − sin x + = ⇔ sin x =∨ sin x − cos x = π   x= + k 2π ⇔ +) sin x = (k ∈ ) 5π = + k 2π x  +) 1,0 1,0 1 π  sin x − cos x = ⇔ sin  x −  = 2 6  sin x − cos x =⇔  π π π   x − = + k 2π + k 2π x=  ⇔ ⇔ (k ∈ )   x − π = 5π + k 2π  x= π + k 2π  6 Vậy phương trình cho có họ nghiệm π 5π π x= π + k 2π ( k ∈  ) + k 2π , x =+ k 2π , x = + k 2π , x = 6 *) Phương trình x − 2mx + m − 2m + = (1) có hai nghiệm khơng âm 2 ∆=' m − m + 2m − ≥  ⇔  S = 2m ≥ ⇔ m ≥  P = m − 2m + ≥  *) Theo định lý Vi-ét ta có x1 + x2 = 2m; x1 x2 = m − 2m + Do x1 + x2 = ( x1 + x2 ) = x1 + x2 + x1 x2 = 2m + ( m − 1) Giải phương trình: 1,5 +3 Do m ≥ ⇒ x1 + x2 ≥ Dấu đẳng thức xảy m = 3.1 1,0 1,5 x + + x + 4= x − x + (1) 3x + − + *) Điều kiện: x ≥ − Khi (1) ⇔ ⇔ ( ) ( ) x + − = 3x − x 0,5 3x 5x x ( 3x −1) + = 3x + + x + + 0,5  x = 0(TM )   + = 3x −1 (*)  3x + + 5x + + + Với x=1: VT(*)= 2=VP(*) nên x=1 nghiệm (*) 3.2 + Nếu x>1 VT(*)