Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p TR NG I H C S PH M HÀ N I KHOA TOÁN ***************** Tr n th ly M t s ph ng pháp gi i ph ng trình b c ba tốn ph thơng KHỐ LU N T T NGHI P Chun ngành : is Ng ih ng d n khoa h c Nguy n Th Bình Hà N I - 2008 -1- Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p L ic m n Trong th i gian h c t p t i khoa Toán - Tr 2, đ đ ng i h c S ph m Hà N i c s d y d ch b o t n tình c a th y giáo, cô giáo, em ti p thu c nhi u tri th c khoa h c, kinh nghi m ph ng pháp h c t p m i, b c đ u làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c Qua đây, em xin g i l i c m n sâu s c t i tồn th th y, khoa Toán - nh ng ng thành nh i ch m lo, dìu d t cho chúng em đ ngày hơm Nguy n Th Bình - ng c bi t, em xin chân thành c m i tr c ti p h c tr ng n giáo ng d n, ch b o đóng góp nhi u ý ki n quý báu th i gian em th c hi n khóa lu n Do trình đ c a b n thân cịn nhi u h n ch , m c dù c g ng h t s c nh ng lu n v n c a em v n không th tránh kh i nh ng thi u sót Vì v y em r t mong đ c s đóng góp ý ki n c a th y, khoa b n sinh viên Em xin chân thành c m n! Hà n i, tháng 05 n m 2008 Sinh viên Tr n Th Ly -2- Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p L i cam đoan Khóa lu n k t qu c a b n thân em trình h c t p, nghiên c u b c ph thơng q trình h c đ i h c Bên c nh em c ng đ s quan tâm, t o u ki n c a th y cô giáo t khoa toán, đ c bi t s h c i s c ng nh ng d n t n tình c a giáo Nguy n Th Bình Vì v y em xin kh ng đ nh k t qu c a đ tài: ”M t s ph ph ng pháp gi i ng trình b c ba tốn ph thơng” khơng có s trùng l p v i k t qu c a đ tài khác Hà n i, tháng 05 n m 2008 Sinh viên Tr n Th Ly -3- Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p M cl c L i c m n……………………………………………………………… L i cam đoan……………………………………………………………… M c l c…………………………………………………………………… M đ u…………………………………………………………………… Ch ng 1: M t s ki n th c liên quan…………………………………… 1.1 a th c…………………………………………………………… 1.2 Ph Ch ng trình m t n……………………………………………… ng 2: Các ph ng pháp gi i ph ng trình b c ba tốn ph thơng……………………………………………………………………… 2.1 Gi i ph ng trình b c ba b ng ph 2.2 Các ph ng pháp gi i khác c a ph 2.3 Gi i ph ng trình b c ba máy tính n t …………………… 37 2.4 Tính ch t nghi m c a ph Ch ng pháp Cacnado…………… 8 ng trình b c ba…………… 18 ng trình b c ba……………………… 39 ng 3: ng d ng h th c Vieta cho ph ng trình b c ba…………… 45 3.1 Ki n th c c b n…………………………………………………… 45 3.2 Các ng d ng ……………………………………………………… 45 K t lu n…………………………………………………………………… 59 Tài li u tham kh o………………………………………………………… 60 -4- Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p M đ u Trong nhà tr ng ph thơng mơn tốn gi m t v trí vơ quan tr ng Nó giúp h c sinh h c t t h u h t môn h c công c c a nhi u ngành khoa h c k thu t, có nhi u ng d ng to l n đ i s ng Mu n h c gi i nói chung h c gi i tốn nói riêng ph i luy n t p, th c hành nhi u Ngh a vi c n m rõ lý thuy t em ph i làm nhi u t p i v i h c sinh t p r t nhi u đa d ng nh ng th i gian h n h p đ ng th i em khó có u ki n ch n l c nh ng tốn hay có tác d ng thi t th c cho vi c h c t p rèn luy n t tốn h c c a Trong mơn tốn, ph đ i t đ ng nghiên c u ng trình gi v trí h t s c quan tr ng không nh ng i s mà cịn cơng c đ c l c c a gi i tích Nó c gi i thi u t nh ng n m đ u c a b c ph thông gi n a ph n em đ ph ng trình b c cao em đ b c ba, b c b n gi i đ vào ch c làm quen v i ph d ng đ n ng trình b c m t, b c hai c làm quen Ngày ph c b ng c n th c Xong ng trình ph thơng s ph c đ a m c gi i thi u, vi c áp d ng cách gi i th cho em d hi u d n m b t c m t v n đ V i nh ng lí thi t th c v i ni m đam mê c a b n thân s h ng d n nhi t tình c a giáo Nguy n Th Bình em m nh d n th c hi n lu n v n c a v i tiêu đ : ”M t s ph ng pháp gi i ph ng trình b c ba tốn ph thơng” tài c a em bao g m n i dung sau: Ch ng 1: M t s ki n th c liên quan Ch ng 2: Các ph Ch ng 3: ng d ng c a h th c Vieta cho ph ng pháp gi i ph ng trình b c ba tốn ph thơng -5- ng trình b c ba Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p Ch ng 1: m t s ki n th c liên quan 1.1 a th c 1.1.1 B c nghi m c a đa th c Cho đa th c f(x) = a0 + a1x + … + an-1xn-1 + anxn aixi - h ng t th i - h t a0 - h t t an  an h t cao nh t a th c khơng đa th c có t t c h t b ng không * B c c a đa th c B c c a đa th c khác 0: f(x) = a0 + a1x + …+ an-1xn-1 + anxn v i an  n i v i đa th c không ta b o khơng có b c * Nghi m c a m t đa th c Gi s c m t ph n t tùy ý c a vành A f(x) = a0 + a1x + … + an-1xn-1 + anxn (an  0) m t đa th c tùy ý c a vành A[x] +) Ph n t f(c) = a0 + a1c + … + an-1cn-1 + ancn  A có đ c b ng cách thay x b i c g i giá tr c a f(x) t i c +) N u f(c) = c m t nghi m c a f(x) Tìm nghi m c a f(x) A g i gi i ph ng trình i s b c n có d ng: a0 + a1x + … + an-1xn-1 + anxn = A +) Gi s A m t tr ng c  A, f(x)  A[x], c nghi m b i c p m n u ch n u f(x) chia h t cho (x - c)m f(x) không chia h t cho (x - c)m+1 N u m = ng i ta g i c nghi m đ n m = c nghi m kép -6- Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p Ng i ta coi m t đa th c có m t nghi m b i c p m nh m t đa th c có m nghi m trùng 1.1.2 M t s k t qu đ nh lí d ' Alembert: M i đa th c b c khác không v i h s ph c có nh t nghi m ph c nh lí Bezout: Gi s A m t tr ng, c  A, f(x)  A[x] D c a phép chia f(x) cho (x – c) f(c) Ch ng minh: N u ta chia f(x) cho (x – c) đ c d b ng không ho c m t đa th c b c rA khơng Vì b c (x - c) = V y d m t ph n t Ta có f(x) = (x - c).q(x) + r Thay x b ng c ta đ c f(c) = 0.q(c) + r = r V y r = f(c) H qu : Ph n t c nghi m c a f(x) A[x] ch f(x) chia h t cho (x - c) A[x] Công th c Vieta Cho f(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an  K[x] T n t i tr ng A  K, f(x) có n nghi m                  n 1    1, n n 1 n 2, ,  (-1) a a  (-1) n-1, n A tho mãn a a a  (-1) n n n 1 n a B đ : M i đa th c v i h s th c có b c l có nh t m t nghi m th c -7- Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p * Nghi m h u t Cho f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0  Z[x] N u phân s t i gi n p q p a nghi m c a f(x)  q an H qu V i s h u t nghi m c a đa th c: f(x) = xn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = s nguyên a0 Phân s t i gi n Tr p  q | f(  1) ng h p đ c bi t:   p  q | f(1) 1.2 Ph Ph p nghi m c a f(x)  p – mq f  m ,  m  Z q ng trình m t n ng trình đa th c m t n ph ng trình d ng: anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = (1) Trong đó: a i - h t , i  1,n x i - n, i  1,n + n = (1) có d ng a1x  a  + n = (1) có d ng a x  a1x  a  + n = (1) có d ng a 3x3  a x  a1x  a  -8- cc a Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p Ch ng 2: Các ph ng pháp gi I ph ng trình b c ba tốn ph thơng 2.1 Gi i ph Ph ng trình b c ba b ng ph ng trình hàm b c ba đ ph thông luy n thi đ i h c d bày công th c nghi m c a ph ng pháp Cacnado c nghiên c u k ch ng trình i góc đ gi i tích Tuy nhiên sách trình ng trình b c ba, m c s ch ng minh công th c Cacnado cho vi c gi i ph ng trình b c ba, cơng th c c ng r t có ích vi c ch ng minh tính ch t nghi m c a ph ng trình b c ba m c ti p theo Tr c tiên ta nh n xét r ng v i m i ph ng trình b c ba t ng quát a1x3  b1x  c1x  d1  ( a1  ) (*) u có th đ a v d ng: x  ax  bx  c  t xy a ph (1.1) ng trình (1.1) tr thành: a a a (y  )3  a(y  )  b(y  )  c  3 Khai tri n nhóm s h ng ta đ c: a2 2a ab y  (b  )y  (   c)  27 3  a2 p  b  t ta có ph 2a ab q   c  27 Dùng phép th Vieta y  z  (z  ng trình sau: y3  py  q  p vào ph 3z p p )  p(z  )  q  3z 3z -9- ng trình (1.2) ta đ c: (1.2) Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p p3 q0  z  27z 3 p3  qz   z  27 t t  z ta đ c ph t  qt  Ph ng trình p3 0 27 (1.3) ng trình (1.3) có nghi m (th c ho c ph c) q q p3 t1,2     27 q q p3 Suy z     27 Ta bi t r ng có giá tr (k c giá tr ph c) là: ek  cos 2k 2k  isin 3 v i k = 0,1,2 3 Ngh a e0  1; e1    i ; e2    i 2 2 Trong i đ n v o i2  1 hay i  1 D th y r ng: 3 e1e  (  i )(  i )  2 2 T ng quát t có giá tr là: t1 , t1e1 , t1e2 t1 giá tr th c c a Nh v y giá tr c a z ng v i giá tr c a t nh sau: Gi s z  t1 cho giá tr là: q q p3 ; z11  z10e1 ; z12  z10e2 z10     27 - 10 - t Tr n Th Ly - K30C Tốn Khố lu n t t nghi p Có ba nghi m phân bi t bi t r ng s nghi m s có hai nghi m đ i L i gi i: Gi s ph ng trình có ba nghi m x1, x , x x1  x3  x1  x  x3  m   x  m  V i x  m  thay vào (2) ta đ c: (m  1)3  (m  1)3  (m  1)  2m   m  V i m = thay vào (2) ta đ c:  x1  (2)  x  2x  x    (x  1)(x  x  2)    x   x  1 Ta có x1  x3  tho mãn u ki n V y v i m = tho mãn u ki n đ u 3.2.2 ng d ng Bài tốn 2: Tính giá tr c a bi u th c đ i x ng K gi a nghi m Ph ng pháp chung B c 1: Thi t l p h th c Vieta gi a nghi m c a ph B c 2: Bi u di n u ki n K thơng qua (I) Ví d 3: Gi s ph ng trình (I) ng trình 2x3  x  m  (3) có ba nghi m phân bi t x1, x , x Tính t ng A  x12  x 22  x 32 L i gi i:  x x x      Theo gi thi t ta có:  x1x  x x  x 3x1   m  x1 x x   - 48 - Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p A  x12  x 2  x 32  (x1  x  x )  2(x1x  x x  x 3x1 )  Chú ý 1: N u A  x1n  x 2n  x3n , n ฀ * vi c tính bi u th c A nh l i gi i c a ví d r t khó kh n Khi ta làm tốn theo b + B c 1: + B c 2: Chia g(x) cho f(x) ta đ t g(x)  x n , f (x)  ax  bx  cx  d c g(x) = f(x)h(x) + r(x)  g(xi n )  r(x i ) , i = 1, 2, (Vì x i nghi m c a ph + B c sau: ng trình f(x) = 0) c 3: Tính bi u th c A theo nh cách làm ví d 3.2.3 ng d ng Bài tốn 3: Tìm tham s m đ ph ng trình f(x, m) = có nghi m tho mãn K Ph Bài toán th ng đ hi n theo b B ng pháp chung c gi i b ng ph ng pháp u ki n c n đ , ta th c c sau: c 1: i u ki n c n Gi s ph ng trình có ba nghi m, ta có đ c h th c Vieta gi a nghi m B c 2: Bi u di n u ki n K thông qua ph ng trình f(x, m) = ta suy u ki n cho tham s B c 3: i u ki n đ Ví d 4: Xác đ nh m đ ph ng trình x3  3mx  3x  3m   (4) có ba nghi m phân bi t x1, x , x tho mãn x12  x 2  x 32  15 L i gi i: Cách 1: i u ki n c n: Gi s ph ng trình có ba nghi m phân bi t x1, x , x đó: - 49 - Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p  x1  x  x  3m   x1x  x x  x x1  3  x x x  3m   Khi đó: 15  x12  x 22  x32  (x1  x  x3 )2  2(x1x  x x  x 3x1)  9m2   m2   m  i u ki n đ : Vi t l i ph ng trình v d ng: x  (x  1)[x  (3m  1)x  3m  2]    g(x)  x  (3m  1)x  3m   (*) Ta ph i ch ng minh v i m  (*) có hai nghi m phân bi t khác 1, t c ch ng minh:  g  9m  6m    v i m     m  g(1)   V y v i m  tho mãn u ki n đ u Cách 2: Vi t l i ph ng trình v d ng x  (x  1)[x  (3m  1)x  3m  2]    g(x)  x  (3m  1)x  3m   (*) Tr c h t (4) có ba nghi m phân bi t  (*) có hai nghi m phân bi t x   g  9m  6m      m  (**) g(1)  m  V i u ki n (4) có ba nghi m phân bi t x1, x , x tho mãn:  x1  x  x  3m   x1x  x x  x x1  3  x x x  3m   - 50 - Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p Khi đó: 15  x12  x 22  x32  (x1  x  x3 )2  2(x1x  x x  x 3x1)  9m2   m   m  tho mãn (**) V y v i m  tho mãn u ki n d u 3.2.4 ng d ng Bài tốn 4: Cho ph ng trình ax3  bx  cx  d  (a  0) (5) có ba nghi m x1, x , x Tìm u ki n c n đ đ x1, x , x l p thành c p s c ng Ph ng pháp chung i u ki n c n: Gi s ph ng trình có ba nghi m phân bi t l p thành c p s c ng, đó: x1  x3  2x b b b Ta có: x1  x  x    3x    x   a a 3a V i x2   a( b thay vào (5) ta đ 3a c: b b b )  b( )  c( )  d   2b3  9abc  27a 2d  (6) 3a 3a 3a ó u ki n c n đ (5) có ba nghi m phân bi t l p thành c p s c ng i u ki n đ : T (6) suy ph ng trình có nghi m x   b Khi đó: 3a b b b 2b x  x  x    x1  x     x1  x    2x a 3a a 3a  x1,x ,x l p thành c p s c ng V y u ki n c n đ đ (5) có ba nghi m l p thành c p s c ng là: 2b3  9abc  27a 2d  - 51 - Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p Ví d 5: Xác đ nh m đ ph ng trình x3  3x  9x  m  (7) có ba nghi m phân bi t l p thành c p s c ng L i gi i: i u ki n c n: Gi s ph ng trình có ba nghi m phân bi t l p thành c p s c ng, đó: x1  x3  2x (*) x1  x  x3   3x   x  V i x  thay vào (7) ta đ c: 11 – m =  m  11 ó u ki n c n đ (7) có ba nghi m phân bi t l p thành c p s c ng i u ki n đ : V i m = 11  x1   12  (7)  x  3x  9x  11   (x  1)(x  2x  11)    x    x   12 Tho mãn (*) V y v i m = 11 tho mãn u ki n đ u Bài tốn 5: Cho ph ng trình ax3  bx  cx  d  (a  0) (8) có ba nghi m x1, x , x Tìm u ki n c n đ đ x1, x , x l p thành c p s nhân Ph ng pháp chung i u ki n c n: Gi s ph ng trình có ba nghi m phân bi t l p thành c p s nhân, đó: x1x  x 2 , x1  x  x   x1x  x x  x x  b a c a - 52 - Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p  x 1x  x x  x 2   x (x1  x  x )  V i x2   c a c c  x2   a b c thay vào (8) ta đ b c: c c c a( )3  b( )  c( )  d   ac3  b 3d (**) ó u ki n b b b c n đ (8) có ba nghi m l p thành c p s nhân i u ki n đ : T (**) suy ph c ng trình có nghi m x   Khi đó: b c b c x (x1  x  x )  ( )( )   x1x  x x  x 3x1  x1x  x 2 b a a  x1,x ,x l p thành c p s nhân V y u ki n c n đ đ (8) có ba nghi m l p thành c p s nhân ac3  b3d Ví d 6: Xác đ nh m đ ph ng trình x3  2x  (m  1)x  2(m  1)  (9) có ba nghi m phân bi t l p thành c p s nhân L i gi i: i u ki n c n: Gi s ph ng trình có ba nghi m l p thành c p s nhân, đó: x1x3  x 22 , x1  x  x3  2 - 53 - Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p x1 x  x x  x x  m   x1 x  x x  x 2  m   x (x1  x  x )  m   x2   V i x2   m 1 thay vào (9) ta đ m 1 c: m 1 m 1 m 1 )  2( )  (m  1)( )  2(m  1)  2  m  1  (m  1)(m  2m  15)   m    m  5 ( ó u ki n c n đ (9) có ba nghiêm l p thành c p s nhân i u ki n đ : + m = - x  không tho mãn (9)  x  2x    x    + m = (9)  x3  2x  4x    (x  2)(x  4)   x  2 không tho mãn + m = - (9)  x3  2x  4x    x  2(x  4)   x  không tho mãn V y không t n t i m tho mãn u ki n đ u 3.2.5 ng d ng ( ng d ng gi i h ph Bài toán 6: Gi i h ph ng trình) ng trình Ph ng pháp chung Chuy n h cho v d ng: - 54 - Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p x  y  z  A   xy  yz  zx  B  xyz  C  Khi x, y, z nghi m c a ph áp d ng ph ng trình u  Au  Bu  C  (10) ng pháp gi i bi t đ i v i ph Ví d 7: Gi i h ph ng trình b c ba đ gi i (10) ng trình  x  y  z     xy  yz  zx     xyz   (*) L i gi i Gi s x, y, z nghi m c a ph ph ng trình c a h (*) Theo h th c Vieta cho ng trình b c ba ta có x, y, z nghi m c a ph b c d X3  X  X   a a a  X3  0X  X  ( )   X3  X    4X3  3X  (1) t X  cos t, X  (1)  4cos3 t  3cos t   cos3t  Ta có 2    cos  cos(  2) 3 - 55 - ng trình: Tr n Th Ly - K30C Tốn Khố lu n t t nghi p T ta th y ph ng trình (1) có nghi m là:  5 7 X1  cos , X  cos , X  cos 9 V y h ph  5 7 ng trình (*) có h nghi m (cos ,cos ,cos ) (h nghi m 9 có th hốn v ) Chú ý 2: x  y  z  a  N u h cho có d ng  x  y  z  b (a, b, c  ฀ , n  3, n  ฀ ) ta th c x n  yn  z n  c  hi n toán theo b B c sau: c 1: T x  y2  z  b ta tính đ c xy + yz + zx = d x  y  z  a  t xyz = k suy  xy  yz  zx  d  xyz  k  B c 2: Xác đ nh k theo b B c 3: Gi i h ph c nh ý ng trình v i k tìm đ c 3.2.6 S d ng đ nh lí Viet cho m c c tr Cho hàm s y = f(x) = ax3  bx2  cx  d (a  0) Ta có: y'  f ' (x)  3ax2  2bx  c Hàm s y = f(x) có c c tr  y = f(x) có c c đ i, c c ti u  f ' (x)  có nghi m phân bi t  '  b2  3ac  Gi s x1,2 nghi m c a ph ng trình f ' (x)  - 56 - Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p b  b2  3ac  x1,2  3a Khi hàm s đ t c c tr t i x1,x2 Theo đ nh ngh a ta có c c tr c a hàm s  b  y1  f (x1 )  f (   b   y  f (x )  f ( Trong tr b2  3ac ) 3a b2  3ac ) 3a ng h p x1,x2 nghi m vơ t c c tr f (x1),f (x2 ) c n ph i tính theo thu t toán sau: B c 1: Th c hi n phép chia f(x) cho f ' (x) ta đ c: b b bc f (x)  ( x  )f ' (x)  (c  )x  (d  ) 9a 3a 9a T c là: f (x)  q(x)f ' (x)  r(x) b bc        y f (x ) r(x ) (c )x (d ) 1  f (x1 )  3a 9a nên  c 2: Do  ' f (x )   y  f (x )  r(x )  (c  b )x  (d  bc ) 2 2  3a 9a ' B Hay ph ng trình đ ng th ng qua m c c đ i, c c ti u có d ng: b bc y = f(x) t c y  (c  )x  (d  ) 3a 9a Ví d 8: Cho f (x)  x  (cosa  3sin a)x  8(1  cos 2a)x  a Ch ng minh r ng: Hàm s ln có c c đ i, c c ti u b Gi s hàm s đ t c c tr t i x1 , x Ch ng minh r ng: x12  x 2  18 L i gi i - 57 - Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p a Xét ph ng trình: f ' (x)  2x  2(cosa  3sin a)x  8(1  cos2a)  Ta có: '  (cosa  3sin a)  16(1  cos 2a) '  (cosa  3sin a)  32cos a  0, a cosa  cosa  N u  '  0, a   cosa  3sin a  sin a  Suy  cos a  sin a  (vô lí) T suy ra: '  0, a  f ' (x)  có nghi m phân bi t x1 , x hàm s đ t c c tr t i x1 , x  x  x  3sin a  cosa b Theo đ nh lí Vieta ta có   x1x  4(1  cos 2a)  x12  x 22  (x1  x )2  2x1x  (3sin a  cosa)2  8(1  cos2a)  (9sin a  6sin a cosa  cos a)  8(2cos a)  9sin a  6sin a cosa  17cos a Khi b t đ ng th c: x12  x 2  18  9sin a  6sina cosa  17cos a  18(sin a  cos a)   (3sin a  cosa)2 (*) B t đ ng th c (*) nên tốn đ c ch ng minh Ví d 9: Tìm m đ hàm s f (x)  x  mx  x  m  có kho ng cách gi a m c c đ i c c ti u nh nh t L i gi i - 58 - Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p Do f ' (x)  x  2mx   có nghi m phân bi t x1 , x hàm s đ t c c tr t i x1 , x v i m c c tr A(x1, y1 ), B(x , y2 ) Th c hi n phép chia 2 f (x) cho f ' (x) ta có: f (x)  (x  m)f ' (x)  (m  1)x  ( m  1) 3 f (x )  Do  ' nên  f (x )  ' 2       y f (x ) (m 1)x ( m  1) 1  3   y  f (x )   (m  1)x  ( m  1) 2  3 Ta có AB2  (x  x1 )2  (y2  y1)2 =(x -x1 )2 + (m2 +1)2 (x -x1)2   = (x +x1 )2 -4x 2x1  1+ (m2 +1)2      =  4m2 +4 1+ (m2 +1)2  ³4(1+ )    AB  13 V y AB  13 x y m=0 Bài t p đ ngh Bài 1: Gi i h ph Bài 2: Gi i h ph x  y  z  a  ng trình  x  y  z  a  x  y3  z  a   x  y  z  a(x  y)  a x  a  ng trình  x  y  z  b(x  y)  b x  b3 (a,b,c đôi m t  x  y  z  c(x  y)  c x  c3  khác nhau) - 59 - Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p Bài 3: Ch ng minh r ng: 2 sin  3 sin Bài 4: Tính giá tr bi u th c M  cos  6 sin 8 2 4 8  cos  cos 7 Bài 5: Tìm ph n nguyên c a S xác đ nh b i S  tg 3 2 3 2  tg  2(tg  tg ) 7 7 Bài 6: Tính giá tr bi u th c S  tg6100  tg6 500  tg6 700 Bài 7: Tìm m đ hàm s f (x)  x  mx  mx  t c c tr t i x1 , x th a mãn x1  x  Bài 8: Tìm m đ hàm s f (x)  x  3m x m có m c c đ i c c ti u n m v phía c a đ Bài 9: G i x1, x , x ba nghi m c a ph ng th ng y = x ng trình x  3x   Hãy tính A  x18  x 28  x 38 Bài 10: Gi i h ph  x sin   ysin 2  zsin 3  sin 4  ng trình  x sin   ysin 2  zsin 3  sin 4  x sin   ysin   zsin 3  sin   V i xsin .xsin   cos ,cos ,cos  đôi m t khác - 60 - Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p K t lu n Chúng ta bi t toán liên quan đ n ph ng trình b c ba, hàm b c ba nh ng toán r t đa d ng Tuy không ph i khó nh ng đ tìm nh ng l i gi i hay ng n g n đòi h i ng i làm tốn ph i có nh ng ki n th c th t ch c k n ng tính tốn thành th o Trong khố lu n em đ a nh ng ki n th c c b n v ph nh ng ng d ng c a ph tốn đ ng trình b c ba c ng nh hàm b c ba, ng trình b c ba tốn h c M c dù nh ng c đ a có r t nhi u ph ng pháp gi i nh ng khuân kh c a khoá lu n n ng l c c a b n thân cịn nhi u h n ch nên khố lu n c a em v n ch a nêu h t đ c đ y đ h th ng ph H n n a l n đ u tiên em đ ng pháp gi i chúng c làm quen v i nghiên c u khoa h c nên trình th c hi n đ tài em không tránh kh i nh ng thi u sót Em kính mong th y, giáo b n sinh viên đóng góp ý ki n đ khoá lu n c a em đ c hoàn thi n h n - 61 - Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p TÀI LI U THAM KH O 1- Nguy n V n M u (2001), Ph ph ng trình b t ng trình, Nxb Giáo d c 2- Lê H ng Ph ng pháp gi i ph c, Thi n Kh i, Lê Bích Ng c, Lê H u Trí (2002), ng pháp gi i tích, Nxb Giáo d c 3- TS T Duy Ph ng (2004), Ph ng trình b c ba h th c tam giác, Nxb Giáo d c 4- Tr n Ph ng (2002), Tuy n t p chuyên đ luy n thi đ i h c mơn Tốn hàm s , Nxb Hà N i 5- Báo toán h c tu i tr - 62 - ... ng pháp gi i khác c a ph ng trình b c ba Trong ch đ s quan tâm t i ph s d ng đ gi i ph S d ng ph (ph ng pháp ch y u đ c ng trình b c ba ng trình b c hai đ gi i bi n lu n ph ng trình b c ba ng pháp. .. a Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p Ch ng 2: Các ph ng pháp gi I ph ng trình b c ba tốn ph thơng 2.1 Gi i ph Ph ng trình b c ba b ng ph ng trình hàm b c ba đ ph thông luy n thi đ i... ng - 46 - ng trình b c ba ng trình b c ba đ c nêu Tr n Th Ly - K30C Toán Khoá lu n t t nghi p 3.2.1 ng d ng Bài toán 1: Gi i ph ng trình b c ba bi t tính ch t c a nghi m Ph B ng pháp chung c