L i c m n! Em xin chân thành c m n th y giáo khoa tốn giúp đ em th i gian v a qua c bi t em xin đ c bày t lòng bi t n chân thành xâu s c nh t t i th y giáo, Ti n s Bùi Kiên C h ng t n tình ng d n, nghiêm kh c đ em hoàn thành t t khoá lu n su t trình h c t p Cu i em xin c m n gia đình, b n bè t o u ki n, đóng góp nh ng ý ki n h u ích đ em hồn thành t t lu n v n Phúc Yên, ngày 09 tháng n m 2007 Tác gi Mai Th Thu Trang Khoá lu n t t nghi p M cl c Trang M c l c M đ u Lý ch n đ tài M c đích nghiên c u 3 Nhi m v nghiên c u Ph ng pháp nghiên c u C u trúc lu n v n Kí hi u Ch ng Các ki n th c chu n b 1.1 Không gian đ nh chu n, không gian banach Không gian đ nh chu n, không gian Banach Tốn t n tính Không gian liên h p 1.2 Không gian Hilbert 1.3 Không gian Lp    , 1  p    11 Không gian L1    11 Không gian L p    (  p   ) 12 Không gian L    13 Tích ch p 13   Không gian Schwartz S ฀  18 S h i t không gian S ฀  21 1.4 Không gian Schwartz - S ฀ n 18 n n 1.5 o hàm suy r ng ( h.s.r) 23 o hàm suy r ng 23 Tính ch t c a đ o hàm suy r ng 23 Ch ng bi n đ i Fourier Mai Th Thu Trang Khoá lu n t t nghi p 2.1 Phép bi n đ i Fourier L1 ( ฀ ) 27 n nh ngh a ví d 27 Các tính ch t 28   33 2.2 Phép bi n đ i Fourier S ฀ n nh ngh a ví d 33 Các tính ch t 34 Bi n đ i Fourier ng c 38   43 2.3 Bi n đ i Fourier không gian L2 ฀ n nh ngh a 43 Các tính ch t 43 Ch ng Không gian hàm suy r ng 3.1 nh ngh a ví d 46 3.2 Tốn t khơng gian 50 hàm suy r ng 50 3.3 Giá c a hàm suy r ng 53   55 3.4 Bi n đ i Fourier S ฀ n Ch ng Toán t gi vi phân 4.1 Bi u tr ng 60 4.2 Toán t gi vi phân 65 nh ngh a ví d 65 Các tính ch t 66 4.3 Nhân Schwartz tích phân đ ng 70 Nhân Schwartz 70 Tích phân đ ng 72 Ch ng nghi m c a ph ng trình đ o hàm riêng Ph ng trình đ o hàm riêng v i h s h ng 78 Ph ng trình khơng d ng v i h s h ng 82 Ph ng trình đ o hàm riêng (gi ) eliptic 84 K t lu n 89 Tài li u tham kh o 90 Mai Th Thu Trang Khoá lu n t t nghi p M đ u Lý ch n đ tài Lý thuy t hàm suy r ng xây d ng khơng gian hàm có nhi u ng ng trình đ o hàm riêng, ph c v d ng l n v t lý lý thuy t ph cho vi c nghiên c u tính kì d c a hàm hàm suy r ng gi i tích vi đ a ph ng Chính th vi c nghiên c u không gian hàm c n thi t đ i v i m i sinh viên Trong trình h c t p em ti p thu đ c m t s ki n th c: m đ u chu i Fourier, đ ng th c Parseval gi i tích, ti p đ n tích phân Lebegeus, ph ng trinh đ o hàm riêng, gi i tích hàm….Chính nh ng ki n th c t o u ki n, đ ng l c thơi thúc em tìm hi u quy t đ nh ch n đ tài: “Bi n đ i Fourier, hàm suy r ng gi i tích vi đ a ph ng” M c đích nghiên c u - Rèn luy n tính nghiêm túc, t logic, t có ph ng pháp nghiên c u khoa h c thích h p thích h p đ n - Kh c sâu tìm hi u nh ng ki n th c v bi n đ i Fourier hàm suy r ng Nhi m v nghiên c u - Nghiên c u v phép bi n đ i Fourier m t s không gian hàm: không gian L1  ฀ n  ,S  ฀ n  ,L2  ฀ n  không gian hàm suy r ng S  ฀ n  - Nghiên c u v không gian hàm suy r ng - B Ph c đ u làm quen tìm hi u v gi i tích vi ph ng pháp nghiên c u - Ph ng pháp nghiên c u lý lu n - Ph ng pháp phân tích đánh giá t ng h p - Ph ng pháp phân nhóm h c t p Mai Th Thu Trang ng Khoá lu n t t nghi p C u trúc lu n v n Ch ng Các ki n th c chu n b : trình bày v khơng gian hàm tích ch p, dùng tích ch p đ ch ng minh tính trù m t c a S  ฀ n  Lp  ฀ n  ,1  p   Ch ng Bi n đ i Fourier m t s không gian hàm L1  ฀ n  , S  ฀ n  , L2  ฀ n  Ch ng Không gian hàm suy r ng: đ nh ngh a, đ o hàm c a hàm suy r ng, bi n đ i Fourier c a hàm suy r ng Ch ng Toán t gi vi phân Ch ng Nghi m c a ph hàm riêng v i h s h ng, ph ng trình đ o hàm riêng: ph ng trình đ o ng trình khơng d ng v i h s h ng, ph trình gi eliptic Mai Th Thu Trang ng Khoá lu n t t nghi p kí hi u  supp f kí hi u c a hàm liên t c f , ngh a bao đóng c a t p h p x : f  x  0  M t đa ch s  m t b n s nguyên không âm   1 , , , n   N u  , đa ch s   1      n  !  1 ! ! n !     1  1 ,  2 , , n  n   ฀ n kí hi u c a khơng gian Euclied n chi u x   x1 ,x2 , ,xn  , y   y1 , y2 , , yn  ,   1 ,2 , ,n  ph n t ฀ n  N u x ฀ n  m t da ch s thì: x  x11 x22 xnn ,  xk   , xk x  x11 x22 xnn Dx   i  x , i  1  Dxk  i xk ,  C   ฀ n  không gian n tính c a t t c hàm kh vi vô h n ฀ n  C0  ฀ n  khơng gian n tính c a t t c hàm kh vi vô h n ฀ n v i giá compact  Công th c Leibnitz   D  uv     D  uD  v        ! Trong u,v : ฀ n  ฀ hàm tr n        !     !      i  i ,i  1,n Mai Th Thu Trang Khoá lu n t t nghi p Ch ng Các ki n th c chu n b 1.1 Không gian đ nh chu n, không gian banach Không gian đ nh chu n, không gian Banach nh ngh a 1.1 Ta g i không gian đ nh chu n (hay khơng gian n tính) khơng gian n tính X tr ng k ( k  ฀ ho c k  ฀ ) v i m t ánh x t X vào t p s th c ฀ kí hi u  đ c chu n, tho mãn tiên đ sau: 1) x  X, x  0, x   x   , (  ph n t không c a X) 2) x  X,  k,  x   x 3) x, y  X, x  y  x  y S x g i chu n c a vector x Khơng gian đ nh chu n đ c kí hi u X Các tiên đ 1),2),3) g i tiên đ chu n nh ngh a 1.2 Dãy m  xn  c a không gian đ nh chu n X g i h i t xn  x  t i m x , n u lim n kí hi u: lim xn  x hay xn  x n   n nh ngh a 1.3 Dãy m  xn  c a không gian đ nh chu n X g i dãy c xn  xm  b n n u lim n m nh ngh a 1.4 Không gian đ nh chu n X g i không gian Banach n u m i dãy c b n X đ u h i t Mai Th Thu Trang Khoá lu n t t nghi p Toán t n tính nh ngh a 1.5 Cho hai khơng gian n tính X Y tr ng k ánh x A t không gian X vào không gian Y g i n tính n u A tho mãn u ki n: 1) x, x  X ta có A x  x  Ax  Ax 2) x  X,   X A x   Ax Ta th ng g i ánh x n tính tốn t n tính Khi A ch tho mãn 1) A g i ánh x c ng tính Khi A ch tho mãn 2) A g i toán t thu n nh t Khi Y  k A đ c g i phi m hàm n tính nh ngh a 1.6 Cho X Y hai không gian đ nh chu n Tốn t n tính A t khơng gian X vào không gian Y g i b ch n n u t n t i h ng s c  cho: Ax  c x ,x  X (1.1) nh ngh a 1.7 Cho A tốn t n tính b ch n t khơng gian đ nh chu n X vào không gian đ nh chu n Y h ng s c  nh nh t tho mãn h th c (1.1) g i chu n c a toán t A ta kí hi u A nh lý 1.8 Cho A m t tốn t n tính ánh x không gian đ nh chu n X vào khơng gian đ nh chu n Y m nh đ sau t ng đ ng 1) A liên t c 2) A liên t c t i m x0 X 3) A b ch n nh lý 1.9 Cho toán t n tính A t khơng gian đ nh chu n X vào không gian đ nh chu n Y N u A b ch n Mai Th Thu Trang Khoá lu n t t nghi p A  sup Ax x 1 Không gian liên h p nh ngh a 1.10 Cho không gian đ nh chu n X tr ng k Ta g i không gian I  X, k  phi m hàm n tính liên t c X không gian liên h p (hay không gian đ i ng u) c a khơng gian X kí hi u X* (thay cho kí hi u I  X, k  ) nh ngh a 1.11 KG đ nh chu n X g i kg ph n x n u X  X** nh ngh a 1.12 n u X  X* Không gian đ nh chu n X g i không gian t liên h p Mai Th Thu Trang Khoá lu n t t nghi p 1.2 Không gian Hilbert ng K ( K  ฀ ho c nh ngh a 1.13 Cho khơng gian n tính X tr K  ฀ ) ta g i tích vơ h Descarts X  X vào tr ng không gian X m i ánh x t tích ng k kí hi u (,) tho mãn tiên đ : 1) x, y  X,  x, y   x, y 2) x, y, z X ta có  x  y, z   x, z   y, z 3) x, y  X, k ta có  x, y    x, y 4) x  X  x.x  0,x    x, x   x   Các ph n t tích vơ h tích vơ h x, y, z, đ c g i nhân t c a tích vơ h ng c a hai nhân t ng, s  x, y g i x, y Các ti n đ 1),2),3),4) g i h ti n đ ng nh lý 1.14 (B t đ ng th c Schwartz) i v i m i x  X ta đ t x   x, x (1.2) x, y  X ta có b t đ ng th c schwartz  x, y  x.y (1.3) H qu 1.15 Công th c (1.2) xác đ nh chu n không gian X nh ngh a 1.16 Ta g i m t t p H   g m nh ng ph n t x, y, z đ y không gian Hilbert, n u t p H tho mãn u ki n: 1) H khơng gian n tính tr 2) H đ c trang b m t tích vơ h ng k ng (,) 3) H không gian Banach v i chu n x   x, x , x H Ta g i khơng gian n tính đóng c a không gian Hilbert H không gian Hilbert c a không gian Hilbert H Mai Th Thu Trang Khoá lu n t t nghi p nh ngh a 4.30 Ta nói r ng tốn t T  m n u nhân Schwartz c a đ c cho b i tích phân đ ng I   x,y  v i biên đ  v i biên đ    Sm ฀ 2nx,y ฀ n Toán t T  m đ c g i toán t gi vi phân b c m hàm   ' tho mãn (4.11) (4.15) đ tr ng đ i ng u t ng ng c g i bi u tr ng bi u B đ 4.29 công th c (4.15) ch r ng   1 D y   y,  ,   !   x,  ฀  D x    y,   !    y,  ฀    S ฀  thu c vào l B đ 4.31 M t toán t R: S ฀ n n (1.16) p   n u ch n u nhân Schwartz c a R  x,y  hàm tr n vô h n tho mãn (4.12) Ch ng minh N u R t m nh đ 4.15 ta có u ph i ch ng minh Trái l i n u R có nhân Schwartz tr n vơ h n tho mãn 4.12 đ  bi u di n b i tích phân đ ng v i biên đ a x,    2   n c F z R  x,y   x,x  y  R  x,y  R Nh n xét T m nh đ (4.21), n u A toán t gi vi phân v i biên đ a x,y,  , bi u tr ng  A  x,  tốn t chuy n v AT c a c ng m t toán t gi vi phân v i biên đ a  y, x,   bi u tr ng  A  x,  T c a có khai tri n ti m c n  A  x,  ฀ T   D  x   x,     ! (1.17) H n n a theo m nh đ (3.8) tốn t gi vi phân có th m r ng t i không gian S  ฀ n  Mai Th Thu Trang 76 Khoá lu n t t nghi p Mai Th Thu Trang 77 Khoá lu n t t nghi p Ch nghi m c a ph ng ng trình đ o hàm riêng Ví d 5.1 Xét ph ng trình vi phân: t 2u'  t   , t  ฀ ph Ph ng trình ch có nghi m c n u= const Tuy nhiên, ta vi t ng trình d i d ng: d  t u t   2tu t   Ta th y, b t c hàm có d ng: dt c1 v i u t    0 c2 v i (5.1) 0 c1,c2 h ng s C ng m t nghi m Ví d ch r ng n u ta ch tìm ki m nghi m c n c a ph ng trình l p nghi m c a ph ng trình có th ph thu c vào cách mà ta vi t l i ph ng trình V n đ l i khơng x y n u ta xét nghi m c a ph ng trình suy r ng ví d , đ o hàm c a hàm (5.1)  - hàm (xét ch ng 3) nhân v i h ng s , v y t.u  t  b ng nh m t hàm suy r ng Ph ng trình đ o hàm riêng v i h s h ng Cho a    c     m A  a Dx   c D   m m t hàm đa th c v i h s h ng c m t toán t vi phân v i bi u tr ng a    x T b đ (3.1) ta có: Au x   c D u x  ,   m Au x   x u  S'  ฀ ˆ    , c F    u   m 1 x Mai Th Thu Trang 78 n  u  S'  ฀ n  Khoá lu n t t nghi p ˆ   Au x   F 1 x  c   u  m u  S'  ฀  F 1 x  a  F y u y   , n  ˆ    ˆf   Au  f n u ch n u: a   u (5.2)   ta đ n gi i ph ng trình: Au  f , f  S ฀ Nh v y t ph n ng trình đ i s (5.2)  N u a  Ví d 5.2  1 hàm liên t c, b ch n ki u đa th c ta có ng trình: Au  f ph ˆ    ˆf    a  u ˆf   1 ˆ    u   a   ˆf   a   Theo gi thi t cho ( a   a   1  1 hàm liên t c, b ch n ki u đa th c) có bi n đ i Fourier nên: 1 ˆ     a   ˆf   u  u x   f  x  F 1 x  a   , 1  K t lu n: N u a   1 f  S ฀ n  hàm liên t c, b ch n ki u đa th c ph ng trình Au  f ch có nghi m u x   f   F x1 x  a   , 1 f  S ฀ n  Ví d 5.3 N u  a   hàm kh vi vô h n, b ch n ki u đa th c v i t t 1 c đ o hàm c a ta có ph ng trình: Au  f ˆ    ˆf    a  u Mai Th Thu Trang 79 Khoá lu n t t nghi p ˆf   1 ˆ    u   a   ˆf   a   Do a   1 hàm kh vi vô h n, b ch n ki u đa th c v i t t c  đ o hàm c a nên a  ph  1 tho mãn u ki n ví d 5.2 v y ng trình Au  f 1 ˆ     a   ˆf   u f  S ฀  u x   f  x  F 1 x  a   , 1 V y nghi m c a ph  ng trình Au  f u x   f  x  F 1 x  a   , 1 Ví d 5.4 Gi i ph ng trình sau: f   S ฀ uxx  u  f , n  f  S ฀ Gi i: áp d ng bi n đ i Fourier cho v c a ph đ n n  ng trình cho ta c: ˆ xx    u ˆ    ˆf   u ˆ    u ˆ    ˆf     2u ˆ    ˆf      1 u ˆ    t B  x  hàm mà B Khi ta có: 1  n  ˆ    u ˆ    ˆf   B ˆ     2  ฀f  g  u n   2  u    f  B  Tìm B Mai Th Thu Trang 80 Khoá lu n t t nghi p  A   t   t    e dt lim e ,   0 A    0 Ta có:     t  1  e dt     1  Do B x   F  1  x n  ˆB    2  e t  eix t d  dt 0 n ฀    Xét tích phân I   a,b  ฀ ,b  0  iaxbx  e dx,   2 i , ta đ c: t z b x  b  iaxbx e dx      e dz   z2   Do I   iaxbx  e dx  e  a2 4b Vì th e ix t ฀ n V y tìm đ n  d    e ix j  j t j j 1  c B x    2  n    Khi u x    2   n 2  a   ฀ Làm bi n d ng b  x  e dx    b  z e  dz b   chu n  Im z   thành tr c s th c ta có: e a2 4b n  x2   d j    e 4t t t2 e t x2 4t x฀ n dt, n t2 n   f  B x   4     0฀ Mai Th Thu Trang 81 n e t n x2 4t f  x  y  dydt Khoá lu n t t nghi p   4   0฀ V y u x    4   0฀ Ph t2 n   t  x y  e n t 4t f  y  dydt n  x y  e n t2 n   4t f  y  dydt, x  ฀ n n ng trình khơng d ng v i h s h ng N u toán t bao g m c bi n th i gian t ta mu n gi i toán Cauchy đ thu n ti n ta xem xét bi n đ i Fourier ch v i bi n không gian Ch ng h n: A  t ,Dx    tm   cm1, Dx  tm1   cm2, Dx  tm2    1  2 (5.3) c D    m 0, x ck, h ng s Thì u x,t  nghi m c a toán Cauchy: A  t ,Dx  u t, x    tku t,x  t 0  vk  x  , k  0,1,2, ,m ˆ  t,   F x u t, x nghi m c a ph n u ch n u u th ˆ  t,    t u ˆ  t,  ng A  t ,  u k t 0 A  t ,Dx  có d ng (5.3) Trong tr ˆ k   , v ng trình vi phân k  1,2, ,m ng h p ta hi u u t, x  nh m t h hàm suy r ng bi n x ph thu c vào tham s t  t u m t k hàm suy r ng cho :  tk u t, x  , f  x    tk u t, x  , f  x  , Mai Th Thu Trang 82 f  S ฀ n  Khoá lu n t t nghi p ng trình nhi t) Cho a(x) đa th c khơng âm ฀ Ví d 5.5 (ph A  a Dx  v i m i hàm suy r ng v  S ฀ n  Hàm n ˆ   u t, x   F 1 xe ta u Là nghi m c a toán Cauchy  t u  Au  u 0, x   v x  Th t v y, S d ng phép bi n đ i Fourier theo bi n không gian x  ฀ n , ta có:  u ˆ t  ฀Au  theo ví d 5.2 ta có:  ˆ ˆ   u 0, v       ˆ t  a  u ˆ 0 u  ˆ  0,   v ˆ   u  ta  ng trình (1) ta có u  ce T ph  1  2 c ฀ , ˆ  0,   vˆ   nên vˆ    c thay vào u ˆ ta Theo u ki n ban đ u (2) u đ  ta  ˆ e cu  u t, x   F 1 xe ta  vˆ   V y nghi m c a toán Cauchy đ i v i ph u t, x   F  e 1  ta  vˆ     2   n ng trình truy n nhi t là: e ix ฀ e ta  vˆ   d n Ví d 5.6 (ph ng trình sóng)   N u g  S' ฀ n   ˆ   hàm suy r ng u t,x   F   x t  g 1 nghi m c a toán Cauchy:   t2vu   u 0, x   g x    u 0, x    t Th t v y, ph ฀ n ng pháp bi n đ i Fourier cho nghi m u theo bi n x ta có: Mai Th Thu Trang 83 Khoá lu n t t nghi p  ˆ tt    u  ˆ  0,   g ˆ   u ˆ t  0,   u ph ng trình vi phân th ng v i m i  c đ nh ฀ n Ta có ph ng trình đ c tr ng k     k  i ph ng trình có d ng: (5.4)  suy nghi m c a u  cetk  k  i    c1eti   c2eti  , c,c1,c2 ฀ (5.5) ˆ t 0  g ˆ ˆ u ˆ c1  c2  g g    c1  c2  ˆ t t 0  c2  c1  u Theo u ki n 5.3 ta có  Thay vào (5.5) ta đ c ˆ  ti  g ˆ e  eti   g.cos  t  1 ˆ  u t, x   F k x  g   cos t    u V y nghi m c a ph  ng trình truy n sóng v i tốn Cauchy là: 1 ˆ u t,x   F k x  g   cos t   Chú ý:+    xk toán t laplace k  , + v i u t,฀  S ฀ Ph n t v,g ví d 5.5, 5.6 thu c S ฀ n  ng trình đ o hàm riêng (gi ) eliptic B đ 5.7 (phép h p thành c a toán t gi vi phân) N u A  m1 vi phân AB đ ; B  m2 AB  m1  m2 bi u tr ng  AB c a toán t gi c cho b i chu i ti m c n:  AB  x,  ฀    ! D  A  x,  x B  x,   A ,  B bi u tr ng c a toán t A, B t Mai Th Thu Trang 84 ng ng (5.6) Khoá lu n t t nghi p Ch ng minh N u A B đ c cho b i tích phân dao đ ng v i  A  x,  ,  B  y,  thì: Av x    2  i  x y n   2     2    e n e ix n  A  x,  v y dyd n  A  x,  d   2  eiy v y  dy   e   x,  vˆ   d Bu x    2   e      y,  u y dyd ix A n i x y B   2  F 1  x  n   iy     y,  dy d e e    B      n ix n   iy    e  2   B  y,  dy    ABu x    2  n e ix    A  x,   eiy  B  y,  u y  dy d Ngh a nhân Schwartz c a AB trùng v i tích phân đ ng có biên đ  A  x,  B  y,  Theo cơng th c (4.11) ta có:  AB  x,  ฀  D   x,      x,     ! A x B S d ng công th c (4.16) ta có:  AB  x,  ฀    ! D  A  x,  x B  x,   nh ngh a 5.8 M t toán t gi vi phân A  m d c g i c n n u đ c kí hi u  cl bi u tr ng c a có khai tri n ti m c n thành chu i: a x,y,  ฀   a  x,y, , k mk v i amk thu n nh t d ng bi n   ,  b c m-k Khơng gian tốn t gi vi phân c n A  Mai Th Thu Trang 85 m m Khoá lu n t t nghi p nh ngh a 5.9 N u A  cm s h ng thu n nh t am khai tri n ti m c n  A đ c g i bi u tr ng c a tốn t A toán t A đ eliptic n u am  x,   c g i   Chú ý Theo công th c (4.16) thì, A  cm n u ch n u bi u tr ng đ i ng u c a có khai tri n ti m c n d  A ฀   a k mk  k thu n nh t , v i am  ng theo bi n  b c m-k, bi u tr ng c a am trùng v i am nh lý 5.10 Cho A m t toán t gi vi phân c n lo i eliptic Khi t n t i m t tốn t B  cl cho BA  I  m nh ngh a 5.11 Toán t B đ  c g i parametric trái c a A Nh n xét N u B parametric trái c a A Au  f BA  I  R  BA  I  R  Bf   I  R u,R  (đ nh lý 5.10) Tốn t ph n d R th thích h p H Trong tr không gian ng tốn t compact m t khơng gian hàm ng h p s t n t i c a m t paramêtric kéo theo u  H : Au  0 có s chi u h u h n, ph ng trình Au  f có nghi m đ i v i t t c f thu c khơng gian có s đ i chi u h u h n (nh n xét liên quan đ n lý thuy t b c toán t Fredhlom) Chú ý BA  I  R  BA  AT BT  I  RT , RT có tính T ch t nh R Theo cơng th c v đ c tr ng c a toán t chuy n v :  A  x,  ฀ T D    x,     ! x Mai Th Thu Trang 86 Khoá lu n t t nghi p B  cl m n u ch n u B  cl ; A eliptic n u ch n u A T m T eliptic Do parametric trái c a A t n t i thu c vào cl m n u ch n u B  cl m cho AB   I   ( B đ c g i t n tai m t toán t parametric ph i c a A) Ch ng minh đ nh lý 5.10 Chúng ta s xây d ng bi u tr ng c a B nh m t chu i ti m c n c a hàm thu n nh t d ng theo bi n   k k0  b c m  k : b mk  x,  N u th chu i  A   amk ,  B   bmk , vào (5.6), nhóm s hang thu n nh t b c v i nhau, s h ng đ u tiên b ng 1, s h ng khác b ng 0, đ c m t h l p ph ng trình vi phân d ng: amb m  amb m1  L1  am ,am1 ,b m  …=… amb mk  Lk  am ,am1, ,amk ,b m ,b m1, ,b mk1  …=… Trong Lk  am ,am1 , ,amk ,bm,bm1, ,bmk1  đa th c c a hàm am,am1, ,amk ,b m,b m1, ,b mk1 đ o hàm c a chúng n u b m  am1 , b mk  am1Lk  am,am1, ,amk ,b m,b m1, ,b mk1  , k  1,2,  B   b k  mk ,  AB  sai khác S , ngh a AB  I   Mai Th Thu Trang 87 Khoá lu n t t nghi p Chú ý Cho A  cl m t toán t m gi vi phân c n O  ฀ xn   ฀ n \ 0  m t nón đ i v i  (t nón ngh a  x,   O , v i   n u  x,  O ) N u đ c tr ng c a A khác t p O     1 , c ng theo cách có th xây d ng m t toán t gi vi phân B  cl m tho mãn  AB  O M t toán t nh v y g i parametric vi đ a ph ng c a A O Mai Th Thu Trang 88 Khoá lu n t t nghi p K t lu n Trong lu n v n em trình bày m t s v n đ c b n sau đây: Ch ng Các ki n th c chu n b Ch ng Bi n đ i Fourier Ch ng Không gian hàm suy r ng Ch ng Toán t gi vi phân Ch ng Tính kì d c a hàm hàm suy r ng Ch ng Nghi m c a ph ng trình đ o hàm riêng Lu n v n mang tính ch t t ng quan nh ng em ch ng minh m t s ví d c th làm rõ h n m t s tính ch t, hi u v v n đ lu n v n đ c p Do th i gian có h n, l n đ u làm nghiên c u khoa h c kh n ng c a b n thân h n ch nên có th lu n v n cịn nhi u thi u sót Em hi v ng nh n đ c s đóng góp ý ki n c a th y cô b n Mai Th Thu Trang 89 Khoá lu n t t nghi p Tài li u tham kh o [1] Nguy n Minh Ch Giáo d c n m ng (2000), Ph [2] Nguy n M nh Hùng, Ph i h c s ph m [3] Tr n ng trình đ o hàm riêng, NXB ng trình đ o hàm riêng t p 1, t p 2, NXB c Vân (2005), Lý thuy t ph ng trình vi phân đ o hàm riêng [4] Nguy n Ph Hy (2005) – Gi i tích hàm [5] M.Dimassi and J Sjotrand (1999), Spectral asymptotics in the semi – classical Limit, LMS lecture [6] L Hormander, The analysis of linear partial differential operators Springer-Verlag, New York, 1984 [7] M Shubin, Pseudodifferential operatorsand spectral theory, “Nauka”, Moscow, 1978, Englishtraust, Springer-Verlag, 1987 [8] Yu Safarov and D Vassiliev, The asymptotic distribution of eigenvalues of partial differential operators, American Mathemtical Society, Providence, Rhode Island [9] Richard Melrose (2003) Introduction to Microlocal Analysis, Massachusetts Institute of Technology, USA Mai Th Thu Trang 90 ... Không gian hàm suy r ng: đ nh ngh a, đ o hàm c a hàm suy r ng, bi n đ i Fourier c a hàm suy r ng Ch ng Toán t gi vi phân Ch ng Nghi m c a ph hàm riêng v i h s h ng, ph ng trình đ o hàm riêng:... nghi p o hàm suy r ng c p  không ph thu c vào th t l y Tinh ch t 1.55 tích phân Tinh ch t 1.56 N u hàm f1, f2 có đ o hàm suy r ng f1 , f2 mi n  hàm s f  c1 f1  c2 f2 c ng có đ o hàm suy r... Lý thuy t hàm suy r ng xây d ng không gian hàm có nhi u ng ng trình đ o hàm riêng, ph c v d ng l n v t lý lý thuy t ph cho vi c nghiên c u tính kì d c a hàm hàm suy r ng gi i tích vi đ a ph ng