Khóa lu n t t nghi p Tr ng đ i h c s ph m hà n i Khoa Toán D ng V n C ng Khai thác t p toán ph n công th c bi n đ i l ng giác tang cotang KHÓA LU N T T NGHI P Chuyên Ngành: Ph IH C ng pháp d y h c toán Ng ih ng d n khoa h c ThS Nguy n V n Hà hà n i - 2010 GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p L IC M N Em xin chân thành c m n th y cô giáo Tr ng i h c S ph m Hà N i 2, th y cô giáo khoa Tốn th y giáo t b mơn ph ng pháp đƣ t n tình giúp đ em trình h c t p t i tr ng t o u ki n cho em th c hi n khoá lu n t t nghi p c bi t, em xin bày t lòng bi t n sơu s c t i th y giáo Nguy n V n Hà, ng i đƣ t n tình h ng d n, ch b o em trình h c t p, nghiên c u hồn thành khố lu n Trong q trình nghiên c u, không tránh kh i nh ng thi u sót h n ch Kính mong nh n đ c s đóng góp ý ki n c a th y cô giáo b n đ đ tài đ c hoàn thi n h n Em xin chân thành c m n! Hà N i, tháng n m 2010 Sinh viên D GVHD: Th c s Nguy n V n Hà ng V n C SV: D ng ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p L I CAM OAN Tơi xin cam đoan đơy cơng trình nghiên c u c a riêng Nh ng s li u k t qu khoá lu n hoàn toàn trung th c tài ch a t ng đ c công b b t c m t cơng trình khoa h c Hà N i, tháng n m 2010 Sinh viên D GVHD: Th c s Nguy n V n Hà ng V n C SV: D ng ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p M CL C trang U M Lý ch n đ tƠiầầầầầầầầầầầầầầầầầầ ầầ.4 M c đích nghiên c uầầầầầầầầầầầầ.ầầầầ ầầ.4 Nhi m v nghiên c uầầầầầầầầầầ ầầầầ ầ.ầầ Ph ng pháp nghiên c uầầầầầầầầầầầầầầ ầầ.ầ5 C u trúc khoá lu nầầầầầầầầầầầầầầầ ầầ ầ N I DUNG NG 1: C S Lụ LU N A BƠi toán vƠ l i gi i c a bƠi toán Khái ni mầầầầầầầầầầầầầầ ầầ.ầầầ V i trò, ý ngh a c a bƠi t p toán h cầầầầầ ầ6 Phơn lo i bƠi toánầầầầầầầầầầầầầầ .8 Ph ng pháp gi i m t bƠi toánầầầầầầầầầầầ ầ.9 B N i dung ch ng trình l ng giác trung h c ph thôngầầầ ầ12 CH NG 2: NG D NG TRONG D Y H C A Các ki n th c c b nầầầầầầầầầầầầầầầầ ầ 13 B Các d ng bƠi t pầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ 20 D ng 1: Tính giá tr l ng giác c a m t góc bi t giá tr giá tr l ng giác c a góc liên quan t i góc đóầầ ầ.ầ.20 D ng 2: Ch ng minh đ ng th cầầầầầầầầầầ.ầầ ầ 29 D ng 3: Rút g n bi u th c vƠ tính giá tr c a bi u th cầầầầầ 36 D ng 4: Ph ng trình l ng giácầầầầầầầầầầầầầ 40 D ng 5: Nh n d ng tam giácầầầầầầầầầầầầ ầầ 57 D ng 6: Tích phơnầầầầầầầầầầầầầầầ ầầầầ63 C BƠi t p luy n t pầầầầầầầầầầầầầầầầ ầầầầ71 CH K T LU N ầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ.ầ ầ ầ.89 TÀI LI U THAM KH Oầầầầầầầầầầầầầầầ.ầầầ90 GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p PH N I: M U LỦ ch n đ tƠi Nh m i khoa h c khác, l ng giác c ng xu t phát t nhu c u c a đ i s ng Trong nhƠ tr ng ph thông, l ng giác chi m m t th i l ng t ng đ i l n vi c gi ng d y vƠ h c t p b mơn tốn, có m t l ng ki n th c r t l n, có tính h th ng, ch t ch , logic cao c bi t lƠ ph n công th c l ng giác Nó có m t h u h t phơn mơn tốn: Hình h c, đ i s , gi i tích,ầ VƠ ln đ c coi lƠ n i dung tr ng tâm b mơn Tốn nhà tr ng ph thông Th c t th i gian h c t p nhƠ tr ng ph thông c ng nh đ i h c, cho th y: lƠm bƠi t p liên quan t i hƠm s l ng giác m c dù v n có đ c l i gi i cho bƠi toán, nhiên l i gi i nhi u quanh co, vòng Nguyên nhơn lƠ ng i lƠm tốn khơng n m v ng công th c bi n đ i l ng giác, nhìn nh n v n đ khơng đ c thống V i m t bƠi tốn nói chung vƠ bƠi tốn l ng giác nói riêng có nhi u cách gi i khác nhau, có th lƠ ph ng pháp t ng h p, ph ng pháp vect Trong có m t ph n l n bƠi toán đ i s vƠ gi i tích có th gi i b ng cách l ng giác hoá, ta đ c cách gi i ng n g n, d hi u cho bƠi tốn Vì v y, m i kì thi ln nh ng bƠi toán liên quan t i l ng giác, công th c bi n đ i l ng giác Xu t phát t s say mê c a b n thơn, ham mu n h c h i, tìm tòi, nghiên c u sơu h n v l ng giác, v i mong mu n có đ c ki n th c v ng h n v l ng giác đ chu n b cho vi c gi ng d y sau tr ng, v i s đ ng viên khích l c a th y giáo Nguy n V n Hà mƠ em đƣ ch n đ tƠi : “Khai thác bƠi t p tốn ph n cơng th c l ng giác tang cotang” M c đích nghiên c u M c đích nghiên c u ch y u c a đ tƠi lƠ: - Giúp cho h c sinh h th ng t t h n d ng bƠi t p v l ng giác, đ c bi t lƠ d ng bƠi t p liên quan t i hai công th c bi n đ i l ng giác tang cotang - Nghiên c u sơu h n v l ng giác đ có đ c ki n th c t t h n v l ng giác, đ ng th i lƠm tƠi li u tham kh o cho h c sinh vƠ giáo viên GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p Nhi m v nghiên c u tƠi nghiên c u v i nhi m v : - Nghiên c u lý lu n chung + Bài toán l i gi i c a bƠi tốn + N i dung ch ng trình l ng giác tr ng ph thơng - H th ng hóa ph ng pháp gi i d ng bƠi t p liên quan t i hai công th c bi n đ i l ng giác tang vƠ cotang, d i d ng c b n vƠ nơng cao nh m ph c v cho vi c gi ng d y: “L ng giác cho h c sinh ph thông” Ph ng pháp nghiên c u - Ph ng pháp nghiên c u lý lu n: D a vƠo nh ng tƠi li u s n có, nh ng thƠnh t u c a nhơn lo i nh ng l nh v c khác đ v n d ng vƠo ph ng pháp d y h c mơn Tốn - Ph ng pháp quan sát u tra: LƠ ph ng pháp quan sát m t s v t hi n t ng nƠo đ thu l m nh ng s li u, c th đ c tr ng cho trình di n bi n c a hi n t ng - Ph ng pháp t ng k t kinh nghi m: Th c ch t lƠ đánh giá vƠ khái quát kinh nghi m, t phát hi n nh ng v n đ c n nghiên c u, ho c khám phá nh ng m i liên h có tính quy lu t c a hi n t ng giáo d c - Ph ng pháp th c nghi m giáo d c: Cho phép ta t o nên nh ng tác đ ng giáo d c, t xác đ nh vƠ đánh giá k t qu c a nh ng tác đ ng C u trúc khố lu n Ph n 1: M đ u Ph n 2: N i dung, bao g m ch ng: Ch ng 1: C s lý lu n Ch ng 2: ng d ng d y h c Ph n 3: K t lu n GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p PH N II: N I DUNG CH NG 1: C S Lụ LU N A BÀI TOÁN VÀ L I GI I C A BÀI TOÁN Khái ni m Theo G.POLYA: BƠi toán lƠ vi c đ t s c n thi t tìm ki m mơt cách có ý th c ph ng ti n thích h p đ đ t đ n m t m c đích nh t đ nh trơng th y rõ rƠng, nh ng không th đ t đ c T đ nh ngh a khái quát c a G.POLYA cho ta th y: BƠi tốn lƠ s đòi h i ph i đ t t i m t m c đích nƠo Nh v y bƠi tốn có th đ ng nh t v i m t s quan ni m khác v bƠi toán nh : đ toán, bƠi t pầ BƠi t p lƠ bƠi toán có nh ng yêu c u đ t cho ng i h c nh m đ t đ c m c đích d y h c nƠo Vai trò, Ủ ngh a c a bƠi t p toán h c a C ng c ki n th c c b n cho h c sinh Trong th c t m t bƠi toán ch a đ ng nhi u ki n th c v khái ni m toán h c vƠ k t lu n toán h c Khi gi i m t bƠi tốn đòi h i ta ph i phơn tích d ki n c a bƠi toán, huy đ ng ki n th c đƣ cho đ toán vƠ ki n th c đƣ bi t khác có liên quan đ n bƠi tốn, t ng h p l i đ đ ki n th c m i n aầ Cu i cùng, đ n đ c l i gi i c a bƠi toán Nh v y gi i m t bƠi tốn khơng nh ng ch ki n th c đƣ có bƠi tốn mƠ c m t h th ng ki n th c liên quan t i bƠi toán c ng đ c c ng c qua l i nhi u h n b Rèn luy n vƠ phát tri n t cho h c sinh c m n i b t c a mơn tốn lƠ m t mơn khoa h c suy di n, đ c xơy d ng b ng ph ng pháp tiên đ Do l i gi i c a bƠi toán lƠ m t h th ng h u h n thao tác có th t ch t ch đ đ n m t m c đích r t rõ r t Vì v y gi i m t bƠi tốn có tác d ng tr c ti p rèn luy n cho ta n ng l c s d ng phép suy lu n h p logic: suy lu n có c n c đúng, suy lu n tuơn theo quy t c suy di nầ Chúng ta bi t r ng khơng th có m t ph ng pháp chung nƠo đ gi i đ c m i bƠi toán GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p M i bƠi toán có m t hình, m t v khác nhau, mu n tìm đ c l i gi i c a bƠi tốn ph i bi t phơn tích: ph i bi t cách d đoán k t qu , ki m tra k t qu , bi t cách liên h t i v n đ t ng t g n gi ng nhau, bi t cách suy lu n t ng h p khái quát hoáầ Nh v y qua vi c gi i bƠi toán n ng l c t sáng t o đ c rèn luy n vƠ phát tri n c Rèn luy n k n ng v n d ng ki n th c toán h c cho h c sinh M t nh ng yêu c u c a vi c n m v ng ki n th c c a b t c c a b môn khoa h c nƠo lƠ hi u, nh vƠ v n d ng ki n th c c a b mơn khoa h c vƠo vi c gi i quy t nhi m v đ t ra, t c lƠ gi i quy t đ c bƠi toán đ t l nh v c khoa h c Trong vi c gi ng d y tốn bƠi tốn l i tham gia vƠo m i tình hu ng c a trình d y h c mơn tốn Trong gi ng d y khái ni m toán h c: BƠi toán đ c s d ng đ t ch c gơy tình hu ng đ d n d t cho h c sinh có th đ n đ nh ngh a khái ni m Bài toán đ c s d ng đƣ nêu lƠm ví d vƠ ph n ví d minh ho cho khái ni m BƠi toán đ c s d ng đ luy n t p, c ng c v n d ng khái ni m Trong gi ng d y đ nh lý toán h c: BƠi tốn có th đ c s d ng đ t ch c gơy tình hu ng d n d t h c sinh phát hi n n i dung đ nh lý toán h c BƠi tốn có th đ c s d ng đ cho h c sinh t p v n d ng đ nh lý, đ c bi t lƠ vi c t ch c h ng d n h c sinh ch ng minh đ nh lý lƠ vi c t ch c h ng d n h c sinh t p tìm l i gi i c a m t ch ng nƠo c a mơn h c Trong luy n t p toán h c : BƠi toán lƠ ph ng ti n ch y u ti t luy n t p toán h c Trong ng i giáo viên ph i xơy d ng đ c m t h th ng bƠi t p có liên quan ch t ch v i đ nh m giúp h c sinh c ng c ki n th c vƠ hình thƠnh m t s k n ng c b n nƠo d B i d ng phát tri n nhơn cách cho h c sinh c bi t c b n tính cách c a ng i lƠ: M i ho t đ ng đ u có m c đích r t rõ rƠng Khi gi ng m t bƠi tốn ta ln có đ nh h ng m c đích r t rõ r t, v y vi c gi i bƠi tốn s góp ph n tích c c vƠo vi c rèn luy n n ng l c ho t đ ng c a ng i gi i m t bƠi toán nh t lƠ đ i v i bƠi tốn khó ta ph i v t qua r t nhi u khó kh n, ph i kiên trì nh n n i vƠ nhi u ta ph i có quy t tơm r t l n đ gi i bƠi toán GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p Nói theo cách c a G.POLYA thì: “Khát v ng vƠ quy t tơm gi i đ c bƠi toán lƠ nhơn t ch y u c a trình gi i m i bƠi toán” Do v y ta th y r ng: Ho t đ ng gi i tốn lƠ nhơn t ch y u c a trình hình thƠnh vƠ phát tri n nhơn cách c a ng i Phơn lo i bƠi toán Ng i ta phơn lo i bƠi toán theo nhi u cách khác đ đ t đ c m c đích nh t đ nh, th ng lƠ đ s d ng m t cách thu n l i a Phơn lo i theo hình th c bƠi tốn: Ng i ta c n c vƠo k t lu n c a bƠi toán: K t lu n c a bƠi toán đƣ cho hay ch a đ phơn chia bƠi toán thƠnh lo i: - BƠi toán ch ng minh: LƠ bƠi toán mƠ k t lu n c a đƣ đ c đ a m t cách rõ rƠng đ bƠi toán - BƠi toán tìm tòi: LƠ bƠi tốn k t lu n c a ch a s n sƠng đ bƠi toán b Phơn lo i theo ph ng pháp gi i toán: Ng i ta c n c vƠo ph ng pháp gi i toán: BƠi toán nƠy có angơrit gi i hay ch a đ chia bƠi tốn thƠnh hai lo i: - BƠi tốn có angơrit gi i: LƠ bƠi tốn mƠ ph ng pháp gi i c a theo m t angơrit nƠo ho c mang tính ch t angơrit nƠo - BƠi tốn khơng có angơrit gi i: LƠ bƠi tốn mƠ ph ng pháp gi i c a khơng theo m t angơrit nƠo ho c khơng mang tính ch t angơrit nƠo c Phơn lo i theo n i dung bƠi toán: Ng i ta c n c vƠo n i dung c a bƠi toán đ c phát bi u theo thu t ng c a m t hay m t vƠi l nh v c chuyên môn h p h n đ chia bƠi toán thƠnh lo i khác nh sau: + BƠi toán s h c + BƠi toán đ i s + BƠi tốn hình h c d Phơn lo i theo Ủ ngh a gi i toán: Ng i ta d a vƠo ý ngh a c a vi c gi i toán đ phơn lo i bƠi toán: BƠi toán nƠy nh m c ng c tr c ti p m t hay m t vƠi ki n th c k n ng nƠo đó, hay bƠi tốn nh m phát tri n t Ta có hai lo i bƠi toán nh sau: - BƠi toán c ng c k n ng: LƠ bƠi toán nh m c ng c tr c ti p sau h c ho c m t vƠi ki n th c hay k n ng nƠo GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p - BƠi toán phát tri n t duy: LƠ bƠi toán nh m c ng c m t h th ng ki n th c c ng nh k n ng nƠo ho c đòi h i ph i có m t kh n ng t phơn tích, t ng h p ho c v n d ng m t cách sáng t o Ph ng pháp gi i m t bƠi toán Ph ng pháp tìm l i gi i c a bƠi toán: D a theo b c c a G.POLYA a B c 1: Tìm hi u đ Tr c gi i m t bƠi toán ta ph i phơn tích đ bƠi c a bƠi tốn, r i tìm hi u th u đáo n i dung c a bƠi toán b ng nh ng cơu h i sau: - Nh ng đƣ bi t? ch a bi t c a bƠi toán ? - Tìm nh ng y u t c đ nh, nh ng y u t không đ i, nh ng y u t thay đ i bi n thiên c a bƠi toán - Xác đ nh n vƠ giá tr h ng c a bƠi toán - D ki n c a bƠi tốn có đ đ xác đ nh ch a bi t hay không ? b B c 2: Xơy d ng ch ng trình gi i tìm l i gi i cho bƠi tốn m t cách có hi u qu b c xơy d ng ch ng trình gi i lƠ b c quy t đ nh, đ ng th i c ng lƠ b c khó kh n nh t B c nƠy đòi h i ph i huy đ ng ki n th c đƣ bi t đ nh n xét, so sánh, bác b t m i có th ti p c n t i l i gi i c a bƠi toán Chúng ta có th ti n hƠnh xơy d ng ch ng trình gi i theo ph ng pháp sau: - Ph ng pháp xuôi: Xu t phát t gi thi t c a bƠi toán đ c l y lƠm ti n đ , b ng suy lu n h p logic tìm h qu logic c a ti n đ Ti p t c ch n l c đ l y h qu g n g i v i k t lu n c a bƠi toán lƠm ti n đ m i L i b ng suy lu n h p logic tìm h qu logic m i g n g i h n v i k t lu n C ti p t c trình y, tìm đ c h qu logic trùng v i k t lu n c a bƠi toán Khi y ta tìm đ c l i gi i c a bƠi tốn Ph ng pháp nƠy đ c mơ t theo s đ sau: A  B   X (trong A,C lƠ gi thi t, X lƠ k t lu n ) C  D - Ph ng pháp ng c : ó lƠ q trình xu t phát t k t lu n c a bƠi toán B ng suy lu n h p logic ng c lên đ tìm ti n đ logic c a k t lu n nƠy GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D 10 ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p Bài Cho ph ng trình: tan x  (2m  1)tan 3x  (m  2m)tan 2x  (m  m  1)tan x  m   (1) a Gi i ph ng trình v i m  1; b Xác đ nh m đ ph ng trình có nghi m phơn bi t thu c kho ng     ;   2 L i gi i:  k , k ฀ ng trình (1) tr thƠnh: * i u ki n: cos x   x  * t tan x  t , ph t  (2m  1)t  (m  2m)t  (m  m  1)t  m   (2) Ta có: (2)  (t  1)(t  2mt  m t  m  1)   (t  1)(t  2mt  m t  m  1)  + t   (I) 2  t  2mt  m t  m   (3) ti p t c phơn tích (3) ta vi t l i (3) d i d ng: t m2  (2t  1)m  t   , coi m lƠ n t lƠ tham s , ta đ c ph ng trình b c hai đ i v i m vƠ t ta suy : m   t  m   t  t  t  Do (3) đ c chuy n v d ng: (t  m  1)[t  (m  1)t  1]  + Khi đó: t  (I)   t   m g(t)  t  (m  1)t   a V i m  1 (II) tr thƠnh: (II) (4) GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D 78 ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p t  t  t   t     t   + Do ta có:   tant  x   k , k ฀   tant     x  arctan2  k - V y ph ng trình (1) có hai h nghi m lƠ: x   k x  arctan2  k , k ฀ b V i cách đ t tan x  t ng v i m i m t s th c t cho ta m t h nghi m x Do ph ng trình (1) có nghi m phơn bi t thu c kho ng     ;  (4) có nghi m phơn bi t t1 , t tho mƣn:  2  'g  m  2m    t1   m, t   m      m m    g(1)      t1  1, t     2m g(1 m)    1  m    m  3  m  m  3 - V y v i m(   ,  3)  (1,  )\   ph ng trình có nghi m phơn 2 bi t Bài Cho ph a Gi i ph ng trình: (m  1)tan x  3m(1  tan x).tan x  4m 0 cos x (1) ; 37 ng trình có nghi m khác k , k ฀ ng trình v i m   b Tìm m đ ph L i gi i: - i u ki n: cosx   x   k , k ฀ (*) - Ta có: (1)  (m  1)tan x  3m(1  tan x).tan x  4m(1  tan x)  + Chia c hai v c a ph ng trình (2) cho (1  tan x)  ta đ GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D 79 (2) c ph ng ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p trình: tan x  tan x  (m  1)    3m  tan x  4m    tan x  + tan x , v i  t  Khi ph  tan x (m  1)t  3mt  4m  (4) t t a V i m   ph 37 (3) ng trình (3) tr thƠnh: ng trình (4) tr thƠnh:  t  28t  27t  36     t  nên t  , suy ra:  t   12  tan x   tan x   tan x    tan x x - V y ph  k , k  ฀ (tho mƣn u ki n (*)) ng trình (1) có h nghi m lƠ: x  k x    k , k ฀ b Xét hai tr ng h p: * Tr ng h p 1: N u m   hay m  1 (4)  3t    t  (lo i  t  1)  ph ng trình (1) vơ nghi m * Tr ng h p 2: N u m  1 ph ng trình (1) có nghi m khác k , k ฀ ph ng trình (4) có nghi m t   0;1  ph ng trình (4) có m t nghi m ho c hai nghi m thu c kho ng  0;1 GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D 80 ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p  4m(2m  1)  f(0).f(1)     m  16m³0    4m(m  1)   a.f(0)        m  (m  1)(2m  1)   a.f(1)    S 3m  1  0   0   2(m  1)    * V y v i m   ph ng trình có nghi m khác k , k ฀ Bài 10 Gi i ph     ng trình tan  3x    cot2x  tan  x   4 4   L i gi i: - i u ki n:      x    cos 3x 3x    k     4       2x  k  x  sin2x     cos  x    x    k  x       k k , k ฀ k (*)  3x   3t  - t tx  2x  2t   Khi ph ng trình đƣ cho tr thƠnh:    tant  tan3t   tan2t  tant 2  3tant  tan t 2tant    tant  3tan t  tan t (1)  tant     tan t  tan t  (2)  0 1  3tan t  tan t tan  3t    cot  2t  GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D 81 ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p + (1)  tan  x     x   k  x    k , k  ฀ (tho mƣn (*))  4 4 + (2)   4tan t  tan t   2tan t  3tan t   2tan t  6tan t   3  17  3+ 17 3+ 17  tant    t  arctan    2   tan t  3tan t    tan 2t    k , k ฀    3  17   k  arctan       (tho mƣn (*)) x  ng trình có h nghi m lƠ: x    k ,   17   k , k ฀ x    arctan       - V y ph Bài 11 Gi i ph ng trình 4cos x  3tan x  3cos x  3tanx   (1) L i gi i: Ta có: (1)  (2cos x  3)  ( 3tan x  1)    x    k2 cos x      tan x   x    k    x    k2 , k  ฀ V y ph Bài 12 Cho ph ng trình (1) có m t h nghi m lƠ x    k2 , k  ฀ ng trình tan 3x  cot 3x  3(tan 2x  cot 2x)  3(tan x  cot x)  m   GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D 82 (1) ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p a Gi i ph ng trình v i m  4;   b Bi n lu n theo m s nghi m thu c kho ng  0;  c a ph  2 L i gi i: sin x  k - i u ki n:  (*)  sin2x   x  , k  ฀ cosx   - ng trình t tan x  cot x  t , suy ra: tan x  cot x  t  tan 3x  cot 3x  (tan x  cot x)  3tan x cot x.(tan x cot x)  t  3t Khi ph ng trình (1) tr thƠnh: t  3t  3(t  2)  3t  m    t  3t  m  (2) a V i m = ph ng trình (2) tr thƠnh: t  3t    (t  1)(t  4t  4)   t  1  (t  1)(t  2)    t    tan x  cot x  1 cot 2x      tan x  cot x  cot 2x  1 1 k    x  arccot   2x  arccot  k    ,k  ฀ (đ u tho mƣn k x     2x    k   u ki n (*)) - V y, v i m  ph ng trình (1) có hai h nghi m lƠ: 1 k x  arccot  2 k x  , v i k ฀ b V i m i nghi m t c a ph ng trình (2) ta có ph ng trình: tan x  cot x  t  cot2x   t0   - M t khác, x   0;   2x   0;  2 (3)  nên t GVHD: Th c s Nguy n V n Hà (3) ta có v i m i nghi m t SV: D 83 ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p   c m t nghi m x   0;  c a (1) (**)  2 - S nghi m c a (2) b ng s giao m c a đ ng th ng y  m (song song c a (2) ta có đ v i tr c hoƠnh), v i đ th hƠm s y  t  3t -Xét hƠm s y  t  3t ฀ + Ta có: y'  3t  6t t  y'    t  + B ng bi n thiên: t  y’ +   +  y  4 * T b ng bi n thiên vƠ t nh n xét (**) ta có: V i m  ho c m  4 ph ng trình (1) có nh t m t nghi m   thu c  0;  ;  2 V i m  ho c m  4 ph V i 4  m  ph   ng trình (1) có hai nghi m thu c  0;  ;  2   ng trình (1) có ba nghi m thu c  0;   2 Bài 13 Ch ng minh r ng n u tam giác ABC có: C C acot  bcot  atanA  BtanB 2 ABC tam giác cân L i gi i: C C Ta có: acot  bcot  atanA  BtanB 2 GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D 84 ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p AB AB    acot     bcot     atanA  btanB   2 2 AB AB  atan  btan  atanA  btanB  2 AB AB      a  tan  tanA   b  tan  tanB   2     BA AB sin sin 2  2RsinA  2RsinB 0 AB AB cos cosA cos cosB 2 AB sin  sinB  sinA    sin A  B  tanB  tanA    A  B  cosB cosB  cos  AB sin 0    tanB  tanA  AB A B A B  thì: Vì  ,       nên ta có - V i sin 2 2 2 2 AB   A  B  tam giác ABC t i đ nh C - V i tanB  tanA  thì:  A, B  nên ta có B  A  tam giác ABC t i đ nh C * Nh v y, n u tam giác ABC có: acot C C  bcot  atanA  BtanB 2 ABC tam giác cân Bài 14 Tính tích phân  x  1dx L i gi i:   t x  tant , v i t    ;  , suy ra:  2 dt dx   (1  tan t)dt cos t GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D 85 ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p v i x   t  0, x   t  Khi đó, ta có  x  1dx   tan t  0 4 dt dt costdt d(sint)      cos t cos3t cos t (1  sin t) t u  sint , suy ra: v i t   x  0, t  x 2 Khi đó:  x  1dx   2   2  1 du  2 (1  u ) 2  2      du 1 u 1 u     (1  u)2  (1  u)2  (1  u)(1  u)  du  2   1 d(1  u)  (1  u) 2  1 d(1  u)  (1  u) 2  1     u   u  du 2 1 1 u    ln 4(1  u) 4(1  u) 1 u 0 V y   2  2u 1 u    2  ln(3  2)    ln 2   4 1  u 1 u 0   x  1dx   2  ln(3  2)  Bài 15 ( H Thái Nguyên_2001-2002) Tính tích phân I  1+  x2  dx x4  x  L i gi i: * Ta có GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D 86 ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p I 1+  * t tx x 1 dx  x4  x  1+  1 x2 x 1 x dx  1+ 2  1  d x   x  1   x   1 x  , suy x 1  t 1 dt * Khi đó, ta có: I   t 1 v i x   t  0, x  +   t t  tanu, u    ;  , suy  2 v i t   u  0, t   u  4 d(tanu) cos 2u du  du  u   Do I      tan u 0 cos u 4 *V y I Bài 16 ( H Giao Thông V n T i _2001-2002) 5cos x  4sinx dx (cos x  sinx) Tính I   L i gi i: t t  x  dx  dt; V i x  0 t  , x   t  2 Khi đó, ta có: 5sint  4cost 5cos x  4sinx 5sint  4cost    dx ( dt)  (cos t  sint)3  (cos t  sint)3 dt  (cos x sinx) 0 I GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D 87 ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p 5sinx  4cos x dt (cos x sinx)  Nh v y ta c ng có I   5sinx  4cos x 5cos x  4sinx dx   (cos x  sinx)3 dt (cos x  sinx) 0 T suy 2I   2 5cos x  4sinx 5sinx  4cos x  cos x  sinx dx   dx    3 (cos x  sinx)   (cos x  sinx) (cos x  sinx) 2 dx    (cos x  sinx)   cos x  sinx  cos x    cos x  dx   2 d(tanx  1) 1  tanx 2 cos x  1  tanx cos x  sinx 0 V y I Bài 17 (HV K thu t Quơn S _2001) a  x2 Tính tích phân I   dx ( a, b tham s d 2 (a  x ) b ng cho tr c) L i gi i:  t x  a tant, t    ;  2   , ta đ  V i x   t  0, x  b  t  c dx  (tant  a dt cos t b    tan ,   0;  ) a  2 Khi đó, ta có: acos2t cos t a a  x  a(1  tan t)  cos t a  x  a(1  tan t)  GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D 88 ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p acos2t ax a cos t  I dx dt    cos2t dt 2 2 a cos t a0 (a  x ) cos t 1  sin2t  sin2 a a b Vì sin2  2tan  tan b a  2b a nên I  b  b2 b  a a  b2 1 a V y v i a, b lƠ tham s d ng cho tr GVHD: Th c s Nguy n V n Hà c ta có I  b a  b2 SV: D 89 ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p PH N III: K T LU N Qua th i gian nghiên c u bƠi toán liên quan t i ph n công th c bi n đ i l ng giác, đ c bi t lƠ bƠi toán liên quan t i ph n công th c bi n đ i l ng giác tang vƠ cotang đƣ h th ng đ c d ng bƠi t p: D ng 1: Tính giá tr l ng giác c a m t góc bi t giá tr giá tr l ng giác c a góc liên quan t i góc D ng 2: Ch ng minh đ ng th c D ng 3: Rút g n bi u th c vƠ tính giá tr c a bi u th c D ng 4: Ph ng trình l ng giác D ng 5: Nh n di n tam giác D ng 6: Tích phơn Các bƠi t p m i d ng đ c đ a t d cho đ n khó vƠ theo phơn ph i ch ng trình c a sách giáo khoa ph thông Trong m i d ng bƠi t p đ c chia lƠm hai ph n: ph n bƠi t p c b n vƠ ph n bƠi nơng cao Ph n bƠi t p c b n giúp cho ng i đ c bi t đ c lo i t p m i d ng Ph n bƠi t p nơng cao ph n bƠi t p luy n t p giúp cho ng i đ c c ng c nh ng ki n th c m i d ng, đ ng th i có m t kh n ng t phơn tích, t ng h p ho c v n d ng m t cách sáng t o Tôi mong mu n r ng, đ tƠi s đem l i hi u qu vi c nơng cao ch t l ng d y vƠ h c l ng giác nhƠ tru ng ph thơng C ng vi c nghiên c u đ tƠi nƠy s giúp n m v ng h n nh ng ki n th c v l ng giác ó c ng lƠ u ki n đ sau nƠy tơi có th truy n th ki n th c cho h c sinh đ c t t h n Tôi c ng mong mu n r ng, đơy lƠ tƠi li u tham kh o h u ích cho ngu i đ c, giúp cho ng i đ c h th ng t t h n d ng bƠi t p v l ng giác, đ c bi t lƠ d ng bƠi t p liên quan t i hai công th c l ng giác tang vƠ cotang GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D 90 ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p TÀI LI U THAM KH O V Qu c Anh (2007), Nh n Di n Tam Giác, NXB i H c Qu c Gia Hà N i V Qu c Anh (2007), Tuy n T p 589 Bài Toán L ng Giác, NXB i H c Qu c Gia Hà N i Doãn Minh C ng (2004), Gi i thi u đ thi n sinh vào đ i h c n m h c 1997-1998 đ n n m 2003-2004, NXB i H c Qu c Gia Hà N i Nguy n Huy oan (Ch biên) - Ph m Th B ch Ng c - oàn Qu nh ng Hùng Th ng - L u Xuân Tình (2009), Bài T p i S 10 Nâng Cao, NXB Giáo D c Nguy n Huy oan (Ch biên) - Nguy n Xuân Liêm - Nguy n Kh c Minh - ồn Qu nh - Ngơ Xuân S n - ng Hùng Th ng - L u Xuân Tình (2009), Bài T p i S Và Gi i Tích 11 Nâng Cao, NXB Giáo D c Nguy n V n Hà (2009), Giáo Trình D y H c Tốn Tìm T p H p Và Tốn D ng Hình Tr ng Ph Thơng Tr n V n H o (T ng ch biên) - V Tu n (Ch biên) - Ơo Ng c Nam - Lê V n Ti n - V Vi t Yên (2009), i S 10, NXB Giáo D c Tr n V n H o (T ng ch biên) - V tu n (Ch biên) ậ Doãn Minh C ng M nh Hùng - Nguy n Ti n Tài (2007), i S 10 (Sách giáo viên), NXB Giáo D c Tr n V n H o (T ng ch biên) - V Tu n (Ch biên) - Ơo Ng c Nam - Lê V n Ti n - V Vi t Yên (2009), i S Và Gi i Tích 11, NXB Giáo D c 10.Tr n V n H o (T ng ch biên) - V Tu n (Ch biên) - Ơo Ng c Nam - Lê V n Ti n - V Vi t Yên (2009), i S Và Gi i Tích 11 (Sách giáo viên) NXB Giáo D c 11.Phan Huy Kh i (2009), Chuyên đ L ng Giác, NXB Giáo D c 12 oàn Qu nh (T ng ch biên) - Nguy n Huy oan (Ch biên) Nguy n xuân Liêm - Nguy n Kh c Minh - ng Hùng Th ng (2009), i S 10 Nâng Cao , NXB Giáo D c GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D 91 ng V n C ng Khóa lu n t t nghi p 13 oàn Qu nh (T ng ch biên) - Nguy n Huy oan (Ch biên) Th ng (2009), i - Nguy n xuân Liêm - Nguy n Kh c Minh - ng Hùng S Và Gi i Tích 11 Nâng Cao, NXB Giáo D c 14 oàn Qu nh (T ng ch biên) - Nguy n Huy oan (Ch biên) Nguy n xuân Liêm - Nguy n Kh c Minh - ng Hùng Th ng (2009), i S Và Gi i Tích 11 Nâng Cao (Sách giáo viên), NXB Giáo D c 15 oàn Qu nh (T ng ch biên) - Nguy n Huy oan (Ch biên) - Tr n Ph ng Dung - Nguy n xuân Liêm - ng Hùng Th ng (2009), Gi i Tích 12 Nâng Cao , NXB Giáo D c 16.V Tu n (Ch biên) - Doãn Minh C ng - Tr n V n H o M nh Hùng - Ph m Phu - Nguy n Ti n Tài (2009), Bài T p i S 10, NXB Giáo D c 17 V Tu n (Ch biên) - Tr n V n H o - Ơo Ng c Nam - Lê V n Ti n V Vi t Yên (2009), Bài T p i S Và Gi i Tích 11, NXB Giáo D c GVHD: Th c s Nguy n V n Hà SV: D 92 ng V n C ng ... TRỊNH L NG GIÁC TRUNG H C PH THƠNG Ch ng ( S10NC): Góc l ng giác vƠ công th c l ng giác Bài 1: Góc vƠ cung l ng giác Bài 2: Giá tr l ng giác c a góc (cung) l ng giác Bài 3: Giá tr l ng giác c a... chung + Bài toán l i gi i c a bƠi tốn + N i dung ch ng trình l ng giác tr ng ph thông - H th ng hóa ph ng pháp gi i d ng bƠi t p liên quan t i hai công th c bi n đ i l ng giác tang vƠ cotang, d... ng bƠi t p v l ng giác, đ c bi t lƠ d ng bƠi t p liên quan t i hai công th c bi n đ i l ng giác tang cotang - Nghiên c u sơu h n v l ng giác đ có đ c ki n th c t t h n v l ng giác, đ ng th i lƠm