PHƯƠNG TRÌNH mũ, PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

99 45 0
PHƯƠNG TRÌNH mũ, PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG CHUYÊN ĐỀ 12 ĐT:0946798489 PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT MỤC LỤC PHẦN A CÂU HỎI Dạng Phương trình logarit Dạng 1.1 Phương trình cơ bản   2  Dạng 1.2 Biến đổi đưa về phương trình cơ bản  4  Dạng 1.3 Giải và biện luận phương trình logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số   6  Dạng 1.3.1 Phương trình khơng chứa tham số Dạng 1.3.2 Phương trình chứa tham số Dạng 1.4 Giải và biện luận phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ  . 7  Dạng 1.4.1 Phương trình khơng chứa tham số Dạng 1.4.2 Phương trình chứa tham số và dùng định lý vi-et để biện luận Dạng 1.4.3 Phương trình chứa tham số và dùng phương pháp cơ lập m để biện luận Dạng 1.5 Giải và biện luận phương trình logarit chứa tham số bằng phương pháp cơ lập tham số   10  Dạng 1.6 Giải và biện luận phương trình logarit bằng phương pháp hàm số   10  Dạng 1.7 Giải và biện luận phương trình logarit bằng phương pháp khác   10  Dạng Phương trình mũ 11 Dạng 2.1 Phương trình cơ bản   11  Dạng 2.2 Giải, biện luận phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ   13  Dạng 2.2.1 Phương trình khơng chứa tham số 13 Dạng 2.2.2 Phương trình chứa tham số và dùng định lý vi-et để biện luận 15 Dạng 2.2.3 Phương trình chứa tham số và dùng phương pháp cơ lập m để biện luận 17 Dạng 2.3 Giải và biện luận phương trình mũ bằng phương pháp logarit hóa   18  Dạng 2.4 Giải và biện luận phương trình mũ bằng một số phương pháp khác   19  Dạng 2.5 Phương pháp hàm số   19  Dạng Phương trình kết hợp mũ logarit 19 Dạng 3.1 Giải và biện luận bằng phương pháp đặt ẩn phụ . 19  Dạng 3.2 Giải và biện luận bằng phương pháp cô lập m   20  Dạng 3.3 Giải và biện luận bằng phương pháp hàm số   21  PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO 21 Dạng Phương trình logarit 21 Dạng 1.1 Phương trình cơ bản   21  Dạng 1.2 Biến đổi đưa về phương trình cơ bản  27  Dạng 1.3 Giải và biện luận phương trình logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số   32  Dạng 1.3.1 Phương trình khơng chứa tham số 32 Dạng 1.3.2 Phương trình chứa tham số 35 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Dạng 1.4 Giải và biện luận phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ  . 41  Dạng 1.4.1 Phương trình khơng chứa tham số 41 Dạng 1.4.2 Phương trình chứa tham số và dùng định lý vi-et để biện luận 43 Dạng 1.4.3 Phương trình chứa tham số và dùng phương pháp cơ lập m để biện luận 46 Dạng 1.5 Giải và biện luận phương trình logarit chứa tham số bằng phương pháp cơ lập tham số   50  Dạng 1.6 Giải và biện luận phương trình logarit bằng phương pháp hàm số   52  Dạng 1.7 Giải và biện luận phương trình logarit bằng phương pháp khác   53  Dạng Phương trình mũ 57 Dạng 2.1 Phương trình cơ bản   57  Dạng 2.2 Giải, biện luận phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ   62  Dạng 2.2.1 Phương trình khơng chứa tham số 62 Dạng 2.2.2 Phương trình chứa tham số và dùng định lý vi-et để biện luận 69 Dạng 2.2.3 Phương trình chứa tham số và dùng phương pháp cơ lập m để biện luận 79 Dạng 2.3 Giải và biện luận phương trình mũ bằng phương pháp logarit hóa   84  Dạng 2.4 Giải và biện luận phương trình mũ bằng một số phương pháp khác   85  Dạng 2.5 Phương pháp hàm số   87  Dạng Phương trình kết hợp mũ logarit 88 Dạng 3.1 Giải và biện luận bằng phương pháp đặt ẩn phụ . 88  Dạng 3.2 Giải và biện luận bằng phương pháp cô lập m   91  Dạng 3.3 Giải và biện luận bằng phương pháp hàm số   95    PHẦN A CÂU HỎI Dạng Phương trình logarit Dạng 1.1 Phương trình Câu (ĐỀ  THAM  KHẢO  BGD&ĐT  NĂM  2018-2019)  Tập  nghiệm  của  phương  trình    log x  x   là : A 0 Câu B 0;1 B x  80 C x  82 D x  63   (MàĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Tìm nghiệm của phương trình  log2 1  x   A x  Câu D 1   (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Giải phương trình  log ( x  1)  A x  65 Câu C 1; 0 B x  3 C x  4 D x    (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Tập nghiệm của phương trình  log  x  1   là  A  10; 10  B 3;3 C 3 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D 3   CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Tìm nghiệm của phương trình  log  x    A x  11 Câu B x  13 B 4 B x  C { 15; 15} D {4;4}   C x  23 D x  6   (THPT CHUYÊN  VĨNH PHÚC LẦN 02 NĂM 2018-2019) Phương trình  log  x     có  nghiệm là  25 A x    Câu D x    (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Tìm nghiệm của phương trình  log 25  x  1  A x  Câu C x  21 (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Tập nghiệm của phương trình  log ( x  7)   là A 4 Câu ĐT:0946798489 B x  87   C x  29   D x  11     (THPT BA ĐÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tập nghiệm của phương trình  log3 x  x     là  A 1   B 0;1   C 1;0   D 0   Câu 10 (THPT  CÙ  HUY  CẬN  NĂM  2018-2019  LẦN  01)  Tập  nghiệm  của  phương  trình  log  x  x  3   là:  A 1; 0   B 0;1   C 0   D 1   Câu 11 (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 02) Phương trình  log 3 x  2   có  nghiệm là:  25 A x    B 87   C x  29   D x  11   Câu 12 (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tập nghiệm của phương    trình  log x  x    là A  B {  2;4} C {4} D {  2} Câu 13 (CHUYÊN  LƯƠNG  THẾ  VINH  ĐỒNG  NAI  NĂM  2018-2019  LẦN  01)  Cho  phương  trình  log (2 x  1)  log ( x  2) Số nghiệm thực của phương trình là:  A   B   C   D   Câu 14 (THPT  CHUYÊN  SƠN  LA  NĂM  2018-2019  LẦN  01)  Tập  nghiệm  của  phương  trình  log  x  x    là A 1; 3 B 1; 3 C 0 D 3 Câu 15 (THPT QUỲNH LƯU 3 NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Tập hợp các số thực  m  để phương trình  log x  m  có nghiệm thực là Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG A  0;     C    B  ;    ĐT:0946798489 D  0;     Câu 16 (THPT CHUYÊN BẮC GIANG NAM 2018-2019 LẦN 01) Tổng bình phương các nghiệm của  phương trình  log  x  x     bằng  A 6  B 5  C 13  D 7  Câu 17 (THPT-THANG-LONG-HA-NOI-NAM-2018-2019  LẦN  01)  Tổng  các  nghiệm  của  phương  trình  log x  log   là  A C B D Câu 18 (THPT-THANG-LONG-HA-NOI-NAM-2018-2019  LẦN  01)  Tập  nghiệm  của  phương  trình  log 0,25  x  x   1  là:  A 4     2  2  C  ;      B 1;  4   D 1; 4   Câu 19 (THPT  YÊN  PHONG  1  BẮC  NINH  NĂM  HỌC  2018-2019  LẦN  2)  Nghiệm  nhỏ  nhất  của    phương trình  log5 x  3x    là A    B a   C   D   Câu 20 (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Số nghiệm dương của phương trình  ln x    là A   B   C   D 1.  Câu 21 (CHUYÊN  HẠ  LONG  NĂM  2018-2019  LẦN  02)  Số  nghiệm  của  phương  trình  ( x  3) log (5  x )    A   C   B   D   Câu 22 (THPT N KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình  2x A  x   log x  x       bằng 17 B C D 19   Câu 23 (CHUN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tập hợp các số thực  m  để phương trình  log x  m  có nghiệm thực là  A  0;     B  0;     C  ;0    D    Dạng 1.2 Biến đổi đưa phương trình Câu 24 (ĐỀ  THAM  KHẢO  BGD&ĐT  NĂM  2017)  Tìm  tập  nghiệm  S   của  phương  trình  log  x  1  log  x  1  A S  3  B S   10; 10  C S  3;3 D S  4   Câu 25 (Mã 103 - BGD - 2019) Nghiệm của phương trình  log  x  1   log  x  1 A x  B x  C x  1 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D x    CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Câu 26 (MĐ  105  BGD&ĐT  NĂM  2017)  Tìm  tập  nghiệm  ĐT:0946798489 S  của  phương  trình  log  x  1  log  x  1  A S  3 B S  4 C S  1 D S  2   Câu 27 (Mã đề 101 - BGD - 2019) Nghiệm của phương trình  log  x  1   log  x  1 A x  B x  C x  D x  3   Câu 28 (Mã đề 104 - BGD - 2019) Nghiệm của phương trình  log3  x  1   log3  x 1  là A x  B x   C x  D x    Câu 29 (Mã 102 - BGD - 2019) Nghiệm của phương trình  log  x  1   log  x  1 A x  B x  C x  D x  2   Câu 30 (THPT  LÊ  QUY  ĐÔN  ĐIỆN  BIÊN  NĂM  2018-2019  LẦN  01)  Số  nghiệm  của  phương  trình  ln  x  1  ln  x  3  ln  x    là  A 1.  B 0.  C 2.  D 3.  Câu 31 Tìm số nghiệm của phương trình  log x  log ( x  1)    A 0.  B 1.  C 3.  D 2.  Câu 32 (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Số nghiệm của phương trình  log   x   log x     A   B   C 1  D   Câu 33 (THPT ĐỒN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Tìm tập nghiệm  S  của phương trình:  log  x  1  log  x  1    A S  3   B S  1   C S  2   D S  4   Câu 34 (SỞ GD&ĐT BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Phương trình  log x  log  x  1   có  tập nghiệm là A S  1;3 B S  1;3 C S  2 D S  1 Câu 35 (THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Tổng các nghiệm của phương trình  log ( x  1)  log ( x  2)  log5 125  là A  33 B  33 C D 33 Câu 36 (THPT NGƠ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tập nghiệm của phương trình  log x  log ( x  3)   là  A S  4   B S  1, 4   C S  1   D S  4, 5   Câu 37 (THPT  CHUYÊN  THÁI  NGUYÊN  LẦN  01  NĂM  2018-2019)  Số  nghiệm  của  phương  trình  log x  log  x    log là  A   B   C 1  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D   CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489   Câu 38 (THPT  CHUYÊN  SƠN  LA  NĂM  2018-2019  LẦN  01)  Cho  x   0;  ,  biết  rằng   2 log  sin x   log  cos x   2  và  log  sin x  cos x    log n  1  Giá trị của  n  bằng  A .  B .  C .  D .  2 4 Dạng 1.3 Giải biện luận phương trình logarit phương pháp đưa số Dạng 1.3.1 Phương trình khơng chứa tham số Câu 39 (Mà ĐỀ  110  BGD&ĐT  NĂM  2017)  Tìm  tập  nghiệm  S   của  phương  trình  log  x  1  log  x  1   A S  3   B S   5;  C S      13  D S      Câu 40 (THPT  HÀM  RỒNG  THANH  HÓA  NĂM  2018-2019  LẦN  1)  Số  nghiệm  của  phương  trình  log3  x  x   log  x  3   là A   B   C   D 1.  Câu 41 (ĐỀ  THAM  KHẢO  BGD  &  ĐT  2018)  Tổng  giá  trị  tất  cả  các  nghiệm  của  phương  trình  log x.log x.log 27 x.log 81 x   bằng 80 82 A B C D .  9 Câu 42 (ĐỀ  THI  THỬ  VTED  02  NĂM  HỌC  2018  -  2019)  Nghiệm  của  phương  trình  log x  log x  log  là  A x  3 B x  3 C x  D x  Câu 43 (THPT  LÊ  QUÝ  ĐÔN  ĐÀ  NẴNG  NĂM  2018-2019)  Gọi  S  là  tập  nghiệm  của  phương  trình log A 2   x  1  log  x     Số phần tử của tập S là  B 3  C 1  D 0  Câu 44 (THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Số nghiệm thục của  phương trình  3log  x  1  log  x     là  A   B   C   D   Câu 45 (THPT  CHUYÊN  LÊ  HỒNG  PHONG  NAM  ĐỊNH  NĂM  2018-2019  LẦN  01)  Tổng  các  nghiệm  của  phương  trình  log  x    log3  x   nguyên). Giá trị của biểu thức  Q  a.b  bằng  A 0.  B 3.  C 9.  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong    là  S  a  b   (với  a , b   là  các  số  D 6.  CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Dạng 1.3.2 Phương trình chứa tham số Câu 46 (THPT  CHUYÊN  LAM  SƠN  THANH  HÓA  NĂM  2018-2019  LẦN  01)  Cho  hàm  số    3log 27  x   m  3 x   m   log x  x   3m   Số các giá trị nguyên của  m  để phương  trình đã cho có hai nghiệm phân biệt  x1 , x2  thỏa mãn  x1  x2  15  là:  A 14   B 11   C 12   D 13   Câu 47 (THPT YÊN PHONG SỐ 1 BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi  S là tập tất cả các giá trị  nguyên của tham số m với  m  64  để phương trình  log  x  m   log   x    có nghiệm. Tính  tổng tất cả các phần tử của  S   A 2018 B 2016   C 2015 D 2013   Câu 48 (Mã 102 - BGD - 2019) Cho phương trình  log x  log  x  1   log m  ( m  là tham số thực).  Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của  m  để phương trình đã cho có nghiệm? A B C D Vơ số.  Câu 49 (Mã 103 - BGD - 2019) Cho phương trình  log x  log  x  1   log m  ( m  là tham số thực).  Có tất cả bao nhiêu giá trị ngun của  m  để phương trình đã cho có nghiệm? A B C Vô số D   Câu 50 (Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho phương trình  log x  log3  3x  1   log m  ( m  là tham số  thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số  m  để phương trình đã cho có nghiệm? A B C D Vơ số.  Câu 51 (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho phương trình  log9 x  4log3  x 1   log3 m  ( m  là tham số  thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của  m  để phương trình đã cho có nghiệm? A B C Vơ số D Câu 52 (THPT  LƯƠNG  THẾ  VINH  HÀ  NỘI  NĂM  2018-2019  LẦN  1)  Cho  phương  trình  log mx 5  x  x  12   log mx 5 x  , gọi  S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số  m    để  phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Tìm số phần tử của  S   A   B   C   Câu 53 (KTNL  log 2  2x GIA  BÌNH   x  4m2  2m   log NĂM  2 2018-2019)  D 1.  Cho  phương  trình  x  mx  2m2    Hỏi  có  bao  nhiêu  giá  trị  nguyên  của  tham số  m  để phương trình đã cho có hai nghiệm  x12  x22  ? A 1  B 0  C 3  D 4  Dạng 1.4 Giải biện luận phương trình logarit phương pháp đặt ẩn phụ Dạng 1.4.1 Phương trình khơng chứa tham số Câu 54 (THPT  BA  ĐÌNH  NĂM  2018-2019  LẦN  02)  Biết  rằng  phương  trình  log 32 x  log x4  có  hai  nghiệm  a  và  b  Khi đó  ab  bằng  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG A   B 81   ĐT:0946798489 C   D 64   Câu 55 (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Gọi  T  là tổng các nghiệm của phương  trình  log 21 x  5log3 x    Tính  T   A T    B T  4   C T  84   D T    Câu 56 (CỤM 8 TRƯỜNG CHUYÊN LẦN 1) Cho phương trình  log 22  x   log  x    Nghiệm nhỏ  nhất của phương trình thuộc khoảng nào sau đây?  A 1; 3   B  ;    C  ;1   D  ; 5   Câu 57 (THPT  LƯƠNG  THẾ VINH  HÀ  NỘI  NĂM  2018-2019  LẦN  1)  Tích  tất  cả  các  nghiệm  của  phương trình  log 32 x  2log x    là  A B 7 C D Câu 58 (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho 2 số thực dương  a  và  b   thỏa mãn  log a  log b   và  log a  log 3 b   Giá trị biểu thức  P  ab   bằng A 82 B 27 D 244 C 243 Câu 59 (THPT  CHUYÊN  ĐẠI  HỌC  VINH  NĂM  2018-2019  LẦN  01)  Biết  phương  trình  log 22 x  log x    có hai nghiệm  x1 , x2  Giá trị  x1.x2 bằng  A 128   C   B 64   D 512   Câu 60 (MĐ  104  BGD&DT  NĂM  2017)  Xét  các  số  nguyên  dương  a ,  b   sao  cho  phương  trình  a ln x  b ln x    có hai nghiệm phân biệt  x1 ,  x2  và phương trình  5log x  b log x  a   có  hai nghiệm phân biệt  x3 ,  x4  thỏa mãn  x1 x2  x3 x4  Tính giá trị nhỏ nhất  Smin  của  S  2a  3b A S  17 B S  30 C S  25 D S  33   Câu 61 (CHUN LÊ Q ĐƠN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tích các nghiệm của phương  trình  log x 125 x  log 225 x    630 A 630   B .  C .  D   125 625 125 Dạng 1.4.2 Phương trình chứa tham số dùng định lý vi-et để biện luận Câu 62 (Mà ĐỀ  123  BGD&DT  NĂM  2017)  Tìm  giá  trị  thực  của  m  để  phương  trình  log 23 x  m log x  2m    có hai nghiệm thực  x1 , x2  thỏa mãn x1 x2  81 A m  B m  44 C m  81 D m  4   Câu 63 (CHUN LÊ THÁNH TƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm tất cả các giá trị của tham số  m   để phương trình  log32 3x  log3 x  m    có đúng   nghiệm phân biệt thuộc khoảng   0;1   A m    B  m    C  m  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong   D m     CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Câu 64 (CHUYÊN  ĐHSP  HÀ  NỘI  NĂM  2018-2019  LẦN  01)  Giả  sử  phương  trình  log 22 x   m   log x  2m   có  hai nghiệm thực phân biệt  x1 , x2  thỏa mãn  x1  x2   Giá  trị  của biểu thức  x1  x2  là  A   B   C   D   Câu 65 (THPT YÊN PHONG 1 BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Tìm các giá trị của tham số  m  để phương trình  log 32 x   m   log x  3m    có hai nghiệm  x1 , x2  sao cho  x1.x2  27   A m  14   C m  B m  25   28   D m    Câu 66 (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Tính tổng  T  các giá trị nguyên của tham  số  m  để phương trình  e x  m2  m e x  2m  có đúng hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn    log e A T  28   B T  20   C T  21   D T  27     Câu 67 Tìm tất cả các giá trị thực của  m  để phương trình  log cos x  m log cos x  m2    vô nghiệm.  A m      B m   2;   2;     C m   2;     D m  2;   Dạng 1.4.3 Phương trình chứa tham số dùng phương pháp cô lập m để biện luận Câu 68 (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình   log x   log x  m   có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng   0;1   A  m    B  m    C m    D   m  0  Câu 69 (THPT  ĐÔNG  SƠN  THANH  HĨA  NĂM  2018-2019  LẦN  02)  Tìm  m   để  phương  trình  : 5   4m   có nghiệm trên   ,     m  1 log21  x  2   m  5 log x2 2  2 A m     B 3  m    C m     D 3  m    Câu 70 (CHUYÊN  BẮC  GIANG  NĂM  2018-2019  LẦN  02)  Tìm  m   để  phương  trình  log 2 x  log x   m  có nghiệm  x  [1;8]   A  m    B  m    C  m    D  m    Câu 71 (ĐỀ  HỌC  SINH  GIỎI  TỈNH  BẮC  NINH  NĂM  2018-2019)  Cho  phương  trình  log 2 x  2log x  m  log x  m *  Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số  m   2019; 2019   để phương trình (*) có nghiệm?  A 2021   B 2019   C 4038   Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D 2020   CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Dạng 1.5 Giải biện luận phương trình logarit chứa tham số phương pháp lập tham số Câu 72 (ĐỀ  THAM  KHẢO  BGD&ĐT  NĂM  2017)  Hỏi  có  bao  nhiêu  giá  trị  m   nguyên  trong   2017; 2017   để phương trình  log  mx   log  x  1  có nghiệm duy nhất? A 4014 B 2018 C 4015 D 2017   Câu 73 (THPT AN LÃO HẢI PHỊNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của  tham số  m để phương trình  mx  ln x  có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng   2;3    ln ln  A  ;     ln   ln   B  ; ;           ln  C  ;    e  ln  D  ;    e Câu 74 (THPT  BẠCH  ĐẰNG  QUẢNG  NINH  NĂM  2018-2019)  Cho  phương  trình  log  mx  x   log  14 x 2  29 x     Tìm tất cả các giá trị của tham số  m  để phương trình  có ba nghiệm phân biệt  39 39 A 18  m    B 18  m  20   C 19  m  20   D 19  m    2 Dạng 1.6 Giải biện luận phương trình logarit phương pháp hàm số Câu 75 (THPT ĐƠNG SƠN THANH HĨA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tổng tất cả các giá trị của tham  số  m sao cho phương trình:  2 x 1 log x  x    A 2.   x m B .log  x  m    có đúng ba nghiệm phân biệt là:   C 0.  D 3.  Câu 76 Tìm tất cả các giá trị của  m  để phương trình  ln  m  ln  m  sin x    sin x  có nghiệm.  A   m  e   e B  m  e    C  m     e D  m  e    Dạng 1.7 Giải biện luận phương trình logarit phương pháp khác Câu 77 (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Hỏi phương trình  3x  x  ln  x  1    có bao  nhiêu nghiệm phân biệt? A B C D Câu 78 (THPT CHUN LAM SƠN THANH HĨA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hai phương trình  x  x   ln  x    1  và  x  x  11  ln   x      Đặt  T  là tổng các nghiệm phân  biệt của hai phương trình đã cho, ta có:  A   B   C   Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D   10 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x   x   x    x  3 x   log     x   log   x   log b    a  2b   2.2  a  x1 , x2 hai nghiệm phương trình x.5x2  x  Khi tổng x1  x2 Câu 157 Gọi A  log5 B 2  log5 D  log C  log Lời giải x.5x 2 x    log5 x.5x    x log  x 2 x  x   x  log  x     x1   x   log  Dạng 2.4 Giải và biện luận phương trình mũ bằng một số phương pháp khác  Câu 158 (HSG BẮC NINH x NĂM 2018-2019) Gọi S tổng nghiệm phương trình x 3.4   3x  10    x  Tính S A S  log B S  log C S  log D S  log 2 Lời giải  t Đặt t  , t  Phương trình trở thành 3.t   x  10  t   x     t   x3  x  x  log    x    x  Xét x   x   f  x   x  x   (*) Nhận thấy (*) có nghiệm x  f   x   x ln    x nên hàm số f  x  đồng biến  Do x  nghiệm (*) Suy tổng nghiệm  log 2  log 3 x x Câu 159 Phương trình   m.cos( x) có nghiệm Số giá trị tham số m thỏa mãn A Vô số B C D Lời giải Chọn B     Ta có 4x   2x m cos x  2x  2 x  m cos x Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 85 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 Ta thấy x  x0 nghiệm phương trình x   x0 nghiệm phương trình nên để phương trình có nghiệm x0  Với x0  nghiệm phương trình m   *  Thử lại: Với m ta phương trình 2x  22  2cos x 2x  22   x  thỏa mãn Vậy m VT  2; VP  nên  *   2cos x   Câu 160 (SỞ GD&ĐT HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho phương trình x  m.2 x.cos  x   , với m tham số Gọi m0 giá trị m cho phương trình có nghiệm thực Khẳng định sau đúng?  A m0   5; 1 B m0  5  C m0   1;0 D m0  Lời giải Phương trình  x  m.2x.cos  x    x  22 x  m.cos  x    Điều kiện cần: nếu  x0  là một nghiệm của phương trình thì   x0 cũng là nghiệm. Vì phương trình  có nghiệm duy nhất nên  x0    Thay vào phương trình ta có:  m     Điều kiện đủ:  Với  m  4 ta có  x  4.2 x cos  x      x  cos  x    sin  x      x  2 cos  x    2cos  x    x     cos  x      x    cos  x   sin  x           cos  x   1 x Vậy  m  4  thỏa mãn  Câu 161 (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tính số nghiệm phương trình cot x  x  11  ; 2019   12  B 2019.  khoảng  A 2020.  C 2018.  D 1.  Lời giải Điều kiện: x  k , k   Ta có cot x  x  cot x  x  1  11  ;   ,  ; 2  , ,  2018 ; 2019   12  Xét hàm số f  x   cot x  x  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 86 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Có f   x    ĐT:0946798489  11  ;   ,  ; 2  , ,  2018 ; 2019   x.ln  x   sin x  12   Hàm số f  x  nghịch biến khoảng xác định  11   11  11  ;   ta có f  x   f    f  x   cot   12   12   12 Trên  11  12     f  x   vô nghiệm  Ta có hàm số f  x  nghịch biến khoảng   ; 2  , ,  2018 ; 2019  khoảng hàm số có tập giá trị  Suy khoảng   ; 2  , ,  2018 ; 2019  , phương trình f  x   có nghiệm Vậy phương trình 1 có 2018 nghiệm Dạng 2.5 Phương pháp hàm số  Câu 162 (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số  m  để phương trình  x  x.4 x   x  1 x   m3  1 x   m  1 x có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc   0;10    A 101  B 100   C 102   Lời giải  D 103   x  3x.4 x   x  1 x   m3  1 x3   m  1 x (1) 3   x  x    x  x    mx   mx Xét hàm số f  t   t  t 1  x  1024 t  x  x mà  x  10     x  x  1034   t  1034 0  x  10 Xét hàm số f  t   t  t , t  1;1034  Ta có f   t   3t   0, t  1;1034  hay f  t   t  t đồng biến 1;1034  x Suy     x  mx  2x  x m x 2x  1, t   0;10  Xét hàm số g  x   x x x.2 x ln  x  x.ln  1  g x    x2 x2 g  x    x   log e ln BBT Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 87 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 ycbt  e.ln   m  104, mà m  Z nên m  3,104 Có tất 102 số nguyên m thoả mãn Câu 163 (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 3) Tìm tất giá trị thực tham số m để phương  trình e3 m  em  x   x     1  x  x  có nghiệm   A  0; ln    B  ; ln    1 e C  0;  1  D  ln 2;   2  Lời giải t 1 Đặt t  x   x  t   x  x  x  x  2 Ta có t '   x2  x 1 x 2 ,t '   x  Vậy t   1;     Phương trình trở thành e3 m  em  2t    t 1  3m m m   e  e  t  t  e  t (sử dụng hàm đặc  trưng) Phương trình có nghiệm chi 1  em   m  ln  m  (; ln 2] Dạng 3. Phương trình kết hợp của mũ và logarit Dạng 3.1 Giải và biện luận bằng phương pháp đặt ẩn phụ  Câu 164 (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Tổng tất nghiệm phương trình log5  25x  3.5x  15  x  A  log3 log3 B  log3 log3 C D  log5 log5 Lời giải Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 88 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG log  25  3.5  15  x   25  3.5  15  x x x x ĐT:0946798489 x 1 5x   x  log  25  8.5  15    x  5   x  x x Vậy tổng tất nghiệm phương trình  log5  Câu 165  log3 log3 (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Tổng tất nghiệm thực phương trình log  3.4 x  2.9 x   x  A C B D Lời giải Chọn B 2x x x Phương trình cho tương đương 3.4  2.9  2 3 x1 x 2 2         3 3 x Đặt    t ,  t   Khi ta có phương trình 3t  6t   Hiển nhiên phương trình có nghiệm phân biệt t1 , t2 dương thỏa mãn x t1 t2  Câu 166 x 2 2 2        x1  x2  3 3  (SỞ GD&ĐT THANH HÓA NĂM 2018 - 2019) Biết phương trình log 3 x 1  1  x  log có hai nghiệm x1 x2 Hãy tính tổng S  27 A S  252 x1 x2  27 B S  180 C S  D S  45 Lời giải Đkxđ:  x         x 1 Ta có  log 3   x  log  log3 3x 1   log3 32 x  log   32 x 32 x    3x1      32 x  6.3x     2 x Đặt  t  , t  , phương trình trên trở thành     log3 3x1   log3    3log3   S  27 x1  27 x2  33 x1  33 x2      x1  log3      x  log   7 3log    3  3  3 t   3 x     t  6t       x t            180    Câu 167 Tổng tất nghiệm phương trình log  x   x Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 89 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG A B C ĐT:0946798489 D Lời giải   Ta có: log  x   x   x  51 x  x  61     5  2x x   9.5      x  61 5     61  x  log5    61  x  log5  Tổng tất nghiệm : log Câu 168  61  61 81  61  log  log  2 (THPT CHUYÊN SƠN LA NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tổng tất nghiệm phương trình log   2x    x A C B D Lời giải Điều kiện xác định:  x   x   x  log Với điều kiện trên, phương trình cho trở thành: x 1 x 62  2x   x x    x     6.2      x   x      x  log  Ta suy ra:  (thỏa điều kiện)  x  log   Vậy tổng nghiệm phương trình cho là:        log   log   log    Câu 169 (ĐỀ 01 ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Tổng tất nghiệm phương trình log(8.5 x  20 x )  x  log 25 A 16 B C 25 D Lời giải Ta có : log(8.5 x  20 x )  log 25.10 x  8.5 x  20 x  25.10 x    (1) Chia vế phương trình (1) cho x ta phương trình :  x  25.2 x      (2) Đặt t  x   ,  (t > 0) Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 90 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489  25  593 t  2 Phương trình (2) trở thành t  25t  + 8 = 0   hai nghiệm thỏa mãn  25  593 t   Với t  x  x  log t Ta có x1  x2  log t1  log t1  log t1.t2  log  Câu 170 (KSCL THPT NGUYỄN KHUYẾN LẦN 05 NĂM 2018-2019) Với các số thực  x ,  y  dương  x  x y   Tính tỉ số    y   C thỏa mãn  log x  log y  log  A B D Lời giải Chọn C  x  9t  x y  t Đặt t  log x  log y  log    y     t  x  y  6.4 2t t t x 3 3 3 Suy   6.4               y 2 2 2 t Câu 171 t t (KTNL GIA BÌNH NĂM 2018-2019) Gọi x , y log9 x  log y  log  x  y  A 11 số thực dương thỏa mãn điều kiện x a  b  với a, b số nguyên dương Tính a  b y B C D Lời giải Chọn C Đặt  log9 x  log y  log  x  y   t  x  9t ; y  6t ; x  y  4t      t 1     2t t 2 3 3 t t t Khi đó                t  2 2         L   t x   1       a  1; b   a  b    y 2 Dạng 3.2 Giải và biện luận bằng phương pháp cô lập m  Câu 172   (Mã 103 - BGD - 2019) Cho phương trình log 32 x  log x  5x  m  ( m tham số thực) Có tất giá trị nguyên dương m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt? Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 91 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG A Vô số B 124 C 123 ĐT:0946798489 D 125 Lời giải Chọn C  x  x  Điều kiện:   x    5  m   m    x  log m  log x  log x  1 5x  m   (1)   x  3, x   log 32 x  log x       x  5  m  x  f  x    m Xét  f  x   x  hàm số đồng biến trên       Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì  m  0  m   ,  m           m  124 5  m  125   Nên có 123 giá trị m thoả mãn Câu 173  (Mã 102 - BGD - 2019) Cho phương trình log 22 x  3log x   3x  m  ( m tham số thực) Có tất giá trị nguyên dương m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt? A vơ số B 81 C 79 D 80 Lời giải Chọn C  x   x  (*)   x x 3  m   m  Điều kiện  Ta có  log 22 x  3log x    log 22 x  3log x    m  1    3x  m   x  2  3 x  log x   Trong     (4) x  log x     Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 92 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x Với m   m  log m  x Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt xảy trường hợp sau: TH1: (3) có nghiệm x  log3 m    m  Kết hợp điều kiện (*) (4) ta m  (1) có hai nghiệm phân biệt x  x  TH2: m  , (*)  x  log3 m  1  log m   Và  nên (1) có hai nghiệm phân biệt 2  m  34 Mà m nguyên dương nên ta có m  3, 4, ,80 , có 78 giá trị m Vậy có 79 giá trị nguyên dương m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Câu 174   (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho phương trình log 32 x  log x  x  m  ( m tham số thực) Có tất giá trị ngun dương m để phương trình có hai nghiệm phân biệt? A 64 B Vô số C 62 D 63 Lời giải Chọn C x  (*) (với m nguyên dương) x  log m  Ta có điều kiện    Phương trình log 32 x  log x  x  m  1  log 32 x  log x      x   m   x  log3 x   Phương trình     x  log3 x     Phương trình  3  x  log m Do m nguyên dương nên ta có trường hợp sau: TH 1: m  log m  Do (*) x  Khi nghiệm phương trình (3) bị loại nhận nghiệm phương trình   Do nhận giá trị m  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 93 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG TH 2: m  (*) x  log m (vì log m  ĐT:0946798489 ) Để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt   log m  3   m  43 Suy m  3; 4;5; ;63 Vậy từ trường hợp ta có: 63     62 giá trị nguyên dương m Câu 175  (Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho phương trình log 22 x  log x   x  m  ( m tham số thực) Có tất giá trị ngun dương m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt? A 49 B 47 C Vô số D 48 Lời giải Chọn B x  x    x x 7  m  7  m Điều kiện:   * Trường hợp m  log 22 x  log x   x  m   log 22 x  log x   log x  x     log x  1 log x      log x    x  2   Trường hợp không thỏa điều kiện m nguyên dương x  * Trường hợp m  , ta có  x 7  m  Khi log 22 x  log x    x  log m m  x   m  x    4log x  log x    x m 0    x    x  m   x  log m  2 + Xét  m  nghiệm x  log m  nên trường hợp phương trình cho có nghiệm x  2; x   thỏa mãn điều kiện + Xét m  , điều kiện phương trình x  log m Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 94 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Vì   7 5  ĐT:0946798489 nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt  log m    m  72 Trường hợp m  3; 4;5; ; 48 , có 46 giá trị nguyên dương m Tóm lại có 47 giá trị nguyên dương m thỏa mãn Chọn phương án B Dạng 3.3 Giải biện luận phương pháp hàm số Câu 176 (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho phương trình  x  m  log ( x  m )  với  m  là tham số.  Có bao nhiêu giá trị ngun của  m   15;15   để phương trình đã cho có nghiệm? A 15 B 16 D 14   C Lời giải Chọn D Ta có: x  m  log  x  m   x  x  log ( x  m )  x  m (*) Xét hàm số f (t )  3t  t , với t   Có f' (t )  3t ln   0, t   nên hàm số f  t  đồng biến tập xác định Mặt khác phương trình (*) có dạng: f ( x )  f  log ( x  m )  Do ta có f ( x )  f  log ( x  m )   x  log3 ( x  m)  3x  x  m  3x  x   m     ln  Xét hàm số g  x   3x  x , với x   Có g' ( x)  3x ln  , g' ( x)   x  log  Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm là:       m    ;  g  log      Vậy số giá trị ngun của  m   15;15   để phương trình đã cho có   ln      nghiệm là: 14 Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 95 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489 x Câu 177 (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho phương trình   m  log  x  m   với  m  là tham số.  Có bao nhiêu giá trị nguyên của  m   20; 20   để phương trình đã cho có nghiệm? A 19 B D 20   C 21 Lời giải Chọn A Điều kiện:  x  m    x  m  5t Đặt:  t  log  x  m    x  x  x  5t  t   1   5  m  t Xét hàm số  f  u   5u  u  f   u   5u ln   0, u     Do đó:  1  x  t  x  x  m  m  x  x   Xét hàm số  f  x   x  5x ,  x  m   Do:  x   m  x , suy ra phương trình có nghiệm ln thỏa điều kiện.    f   x    x ln ,  f   x     5x ln   x  log5      ln  Bảng biến thiên:  x ∞ ≈ 0,295 + y' +∞ ≈ 0,917 y ∞ ∞   Dựa vào bảng biến thiên   m  0,917  m  19;  18; ;  1   m 20;20 Vậy có  19  giá trị nguyên của  m  thỏa ycbt Câu 178 (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho phương trình  x  m  log  x  m   với  m  là tham số.  Có bao nhiêu giá trị ngun của  m   25; 25  để phương trình đã cho có nghiệm? A B 25 C 24 D 26   Lời giải Chọn C ĐK: x  m x 7  m  t  x  x  7t  t 1 t 7  m  x Đặt t  log  x  m  ta có  Do hàm số f  u   u  u đồng biến  , nên ta có 1  t  x Khi đó: 7x  m  x  m  x  7x Xét hàm số g  x   x  x  g   x    x ln   x   log  ln  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 96 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG Bảng biến thiên: ĐT:0946798489   Từ phương trình cho có nghiệm m  g  log  ln   0,856 (cácnghiệm x thỏa mãn điều kiện x  m   ) Do  m  nguyên thuộc khoảng   25; 25  , nên  m  24; 16; ; 1 Câu 179 Cho phương trình x  m  log  x  m   với m tham số Có giá trị nguyên tham số m   20; 20  để phương trình cho có nghiệm thực? A 20 C 18 B 21 D 19 Lời giải Ta có: x  m  log  x  m    x  log  x  m   m  1 ĐKXĐ: x  m Đặt t  log  x  m  , ta có x  m  5t  x  m  5t  *  x  m  5t Khi ta có hệ phương trình   x x t t  m  5  x   t   Xét hàm số f  u   5u  u , u   + f   u   5u ln   0, u suy hàm số f  u   5u  u đồng biến  Do    f  x   f  t   x  t Thay vào phương trình * ta có m  x  5x   Ta có x  m  x  , phương trình 1 có nghiệm  phương trình  3 có nghiệm x       ln  Xét hàm số g  x   x  x , x   , có g   x    x ln 5, g   x    x  log      + lim x  x  ; lim x  x   x  x  Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 97 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG BBT x   log    ln    g  x    log    e ln  g  x ĐT:0946798489         0,91  e ln  Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm  m  log  Vì m   20; 20  số nguyên, suy m  20; 19; ; 1 Vậy có 19 giá trị m Câu 180 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho phương trình x  m  log  x  m  với m tham số Có giá trị nguyên m   18;18  để phương trình cho có nghiệm? A B 19 C 17 D 18 Lời giải Chọn C ĐK: x  m  x  m  t Đặt t  log  x  m  ta có  t  x  x  2t  t 1   m  x Do hàm số f  u   2u  u đồng biến  , nên ta có 1  t  x Khi đó: 2x  m  x  m  x  2x Xét hàm số g  x   x  x  g   x    x ln   x   log  ln  Bảng biến thiên: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 98 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI THPTQG ĐT:0946798489   Từ phương trình cho có nghiệm m  g  log  ln   0, 914 (các nghiệm thỏa mãn điều kiện x  m  x  ) Do m nguyên thuộc khoảng  18;18  , nên m  17; 16; ; 1 - HẾT -   Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 99 ... Dạng 1.5 Giải và biện luận phương trình logarit chứa tham số bằng phương pháp cơ lập tham số   50  Dạng 1.6 Giải và biện luận phương trình logarit bằng phương pháp hàm số   52  Dạng 1.7 Giải và biện luận phương trình logarit bằng phương pháp khác ... Dạng 1.7 Giải và biện luận phương trình logarit bằng phương pháp khác   53  Dạng Phương trình mũ 57 Dạng 2.1 Phương trình cơ bản   57  Dạng 2.2 Giải, biện luận phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ ... Dạng 3.3 Giải và biện luận bằng phương pháp hàm số   95    PHẦN A CÂU HỎI Dạng Phương trình logarit Dạng 1.1 Phương trình Câu (ĐỀ  THAM  KHẢO  BGD&ĐT  NĂM  2018-2019)  Tập  nghiệm  của  phương trình 

Ngày đăng: 27/06/2020, 22:44

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan