Đang tải... (xem toàn văn)
Bộ đề thi học sinh giỏi Toán lớp 7 chọn lọc gồm 30 đề thi giúp giáo viên và học sinh tham khảo phục vụ nhu cầu học tập và ôn thi môn Toán. Hy vọng bộ đề thi sẽ giúp các bạn tự tin hơn trong kỳ thi sắp tới. Chúc các bạn thi tốt.
Đề số Thời gian làm bài: 120 phút Câu1: (2 điểm) 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d = = = a b c d a +b b + c c + d d + a + + + Tìm giá trị biểu thức: M= c + d d + a a +b b + c Cho dãy tỉ số nhau: Câu2: (1 điểm) Cho S = abc + bca + cab Chứng minh S khơng phải số phương Câu3: (2 điểm) Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65 km/h, lúc xe máy chạy từ B đến A với vận tốc 40 km/h Biết khoảng cách AB 540 km M trung điểm AB Hỏi sau khởi hành ơtơ cách M khoảng 1/2 khoảng cách từ xe máy đến M Câu4: (2 điểm) Cho tam giác ABC, O điểm nằm tam giác · a Chứng minh rằng: BOC = µA + ·ABO + ·ACO µ A b Biết ·ABO + ·ACO = 900 − tia BO tia phân giác góc B Chứng minh rằng: Tia CO tia phân giác góc C Câu 5: (1,5điểm) Cho đường thẳng khơng có đường thẳng song song CMR có đường thẳng mà góc nhọn chúng khơng nhỏ 200 Câu 6: (1,5điểm) Khi chơi cá ngựa, thay gieo súc sắc, ta gieo hai súc sắc lúc điểm thấp 2, cao 12 điểm khác 3; 4; ;6… 11 Hãy lập bảng tần số khả xuất loại điểm nói trên? Tính tần xuất loại điểm Hết Đề số Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: Tìm số a,b,c biết rằng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b Câu 2: Tìm số nguyên x thoả mãn: a,5x-3 < b,3x+1 >4 c, 4- x +2x =3 Câu3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A =x +8 -x Câu 4: Biết :12+22+33+ +102= 385 Tính tổng : S= 22+ 42+ +202 Câu : Cho tam giác ABC ,trung tuyến AM Gọi I trung điểm đoạn thẳng AM, BI cắt cạnh AC D a Chứng minh AC=3 AD b Chứng minh ID =1/4BD - Hết Đề số Thời gian làm bài: 120 phút a b c a a+b+c = = Cho: Chứng minh: = b c d d b+c+d a c b = = Tìm A biết rằng: A = b+c a+b c+a Câu ( 2đ) Câu (1đ) Tìm x ∈ Z để A∈ Z tìm giá trị Câu (2đ) a) A = x+3 x−2 b) A = − 2x x+3 Câu (2đ) Tìm x, biết: a) x−3 = b) ( x+ 2) = 81 c) x + x+ = 650 Câu (3đ) Cho ABC vuông cân A, trung tuyến AM E ∈ BC, BH⊥ AE, CK ⊥ AE, (H,K ∈ AE) Chứng minh MHK vuông cân Hết Đề số Thời gian làm : 120 phút Câu : ( điểm) Ba đường cao tam giác ABC có độ dài 4,12 ,a Biết a số tự nhiên Tìm a ? Chứng minh từ tỉ lệ thức a c = ( a,b,c ,d≠ 0, a≠ b, c≠ d) ta suy b d tỉ lệ thức: a) a c = a −b c−d b) a+b c+d = b d Câu 2: ( điểm) Tìm số nguyên x cho: ( x2 –1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) < Câu 3: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ của: A = | x-a| + | x-b| + | x-c| + | x-d| với a đpcm + 3k + 3k 2b + 3ab 2d + 3cd M 300 B Câu II: Tính: 1 1 1 1 1 32 16 + + + ) = − + − + + − = − = =>A = 3.5 5.7 97.99 5 97 99 99 99 99 1 1 1 1 1 2) B = = − + − + + 50 − 51 = (−3) + (−32 ) + (−33 ) + + (−350 ) + (−351 ) 3 3 1) Ta có :2A= 2( 1 1 1 1 − 351 − (−351 − 1) + + + + − B = => = => B = − (−352 ) (−3 ) (−33 ) (−3) (−351 ) (−352 ) −3 352 4.351 Câu III 2 + 0,(1).3 = + = 10 10 10 10 30 1 12 32 + 0,120(32) = 0,12 + 0,000(32) =0,12+ 0,(32)= 0,12+ 0,(01).32 = 1000 1000 100 1000 99 1489 = 12375 Ta có : 0.2(3) = 0.2 + 0.0(3) = Câu IV : Gọi đa thức bậc hai : P(x) = ax(x-1)(x-2) + bx(x-1)+c(x-3) + d P(0) = 10 => -3c+d =10 (1) P(1) = 12 => -2c+d =12 =>d =12+2c thay vào (1) ta có -3c+12+2c =10 =>c=2 , d =16 P(2)= => 2b -2+16 = > b= -5 P(3) = => 6a-30 +16 =1 => a = 5 Vậy đa thức cần tìm : P(x) = x( x − 1)( x − 2) − 5x( x − 1) + 2( x − 3) + 16 => P(x) = 25 x - x + 12x + 10 2 Câu V: a) Dễ thấy ∆ ADC = ∆ ABE ( c-g-c) => DC =BE Vì AE ⊥ AC; AD ⊥ AB mặt khác góc ADC = góc ABE => DC ⊥ Với BE b) Ta có MN // DC MP // BE => MN ⊥ MP MN = 1 DC = BE =MP; 2 Vậy ∆ MNP vuông cân M - Đáp án đề 24 Bài 1: 3 3 − + + 10 11 12 + A= 5 5 − + − − 10 11 12 a) 3 + − (0,25đ) 5 + − 1 1 1 1 3 − + + ÷ 3 + − ÷ 10 11 12 + A= (0,25đ) 1 1 1 1 −5 − + + ÷ 5 + − ÷ 10 11 12 4 A= −3 + =0 5 b) 4B = 22 + 24 + + 2102 (0,25đ) (0,25đ) 3B = 2102 – 1; Bài 2: a) Ta có 430 = 230.415 (0,25đ) 10 30 11 3.24 = (0,25đ) 15 11 30 mà > ⇒ > 311 ⇒ 230 + 330 + 430 > 3.2410 (0,25đ) b) = 36 > 29 (0,25đ) 33 > 14 ⇒ 36 + 33 > 29 + 14 (0,25đ) Bài 3: Gọi x1, x2 x3 số ngày làm việc máy ⇒ x1 x2 x3 = = (1) (0,25đ) Gọi y1, y2, y3 số làm việc máy ⇒ y1 y2 y3 = = (2) (0,25đ) Gọi z1, z2, z3 công suất máy z1 z2 z3 = = ⇒ 5z1 = 4z2 = 3z3 ⇔ 1 (3) Mà (0,25đ) x1y1z1 + x2y2z2 + x3y3z3 = 359 (3) x1y1z1 x2 y2z2 x3y3z3 395 = = = = 15 Từ (1) (2) (3) ⇒ 18 40 395 15 B= (0,25đ) (0,5đ) 2102 − (0,25đ) ⇒ x1y1z1 = 54; x2y2z2 = 105; x3y3z3 = 200 Vậy số thóc đội 54, 105, 200 (0,25đ) Bài 4: a) EAB =CAD (c.g.c) (0,5đ) · · ⇒ ABM (1) (0,25đ) = ADM (0,25đ) · · · Ta có BMC (0,25đ) = MBD + BDM (góc ngồi tam giác) · · · · · ⇒ BMC (0,25đ) = MBA + 600 + BDM = ADM + BDM + 600 = 1200 b) Trên DM lấy F cho MF = MB (0,5đ) ⇒ FBM (0,25đ) ⇒ DFBAMB (c.g.c) (0,25đ) A · · ⇒ DFB = AMB = 1200 E D (0,5đ) F Bài 6: Ta có x = ⇒ f(2) + ( ) = (0,25đ) 1 x = ⇒ f( ) + (2) = (0,25đ) 2 47 ⇒ f (2) = (0,5đ) 32 M B C - Đáp án đề 25 Câu a.Nếu x ≥ suy x = (thoã mãn) Nếu < suy x = -3 (thoã mãn) b x x − y =1 = − = ⇒ y 6 x − = y = −3 x − = −2 ;hoặc y = −2 x − = −3 ; y = x − = y = −1 x − = −6 ; y = x − = ;hoặc y = −6 x − = −1 ; y = x − = Từ ta có cặp số (x,y) (9,1); (-3, -1) ; (6, 2) ; (0,- 2) ; (5, 3) ; (1, -3) ; (4, 6); (2, -6) c Từ 2x = 3y 5x = 7z biến đổi x y z 3x y z 3x − y + z 30 = = ⇒ = = = = =2 21 14 10 61 89 50 63 − 89 + 50 15 x = 42; y = 28; z = 20 Câu c A tích 99 số âm 1 1.3 2.4 5.3 99.101 − A = − ÷ − ÷1 − ÷ − = g g ggg ÷ 1002 16 100 1.2.3.2 98.99 3.4.5 99.100.101 101 1 = g = > ⇒ A< − 2.3.4 99.100 2.3.4 99.100 200 2 d x +1 = x −3 B= x −3+ 4 = 1+ B nguyên ⇔ x −3 x −3 ˆ ⇔ x − ∈ U′( 4) nguen x −3 ⇒ x ∈ { 4; 25;16;1; 49} Câu Thời gian thực tế nhiều thời gian dự định Gọi vận tốc dự định từ C đến B v1 == 4km/h Vận tốc thực tế từ C đến B V2 = 3km/h V t V 1 Ta có: V = va t = V = 2 (t1 thời gian AB với V1; t2 thời gian CB với V2) t t t t −t 15 2 từ t = ⇒ = = − = = 15 t2 = 15 = 60 phút = Vậy quãng đường CB 3km, AB = 15km Người xuất phát từ 11 45 phút – (15:4) = Câu e Tam giác AIB = tam giác CID có (IB = ID; góc I1 = góc I2; IA = IC) f Tam giác AID = tam giác CIB (c.g.c) góc B1 = góc D1 BC = AD hay MB =ND tam giác BMI = tam giác DNI (c.g.c) Góc I3 = góc I4 M, I, N thẳng hàng IM = IN Do vậy: I trung điểm MN g Tam giác AIB có góc BAI > 900 góc AIB < 900 góc BIC > 900 h Nếu AC vng góc với DC AB vng góc với AC tam giác ABC vuông A Câu P= − x + 10 10 10 = 1+ P lớn lớn 4− x 4− x 4− x 10 0 4− x 10 lớn – x số nguyên dương nhỏ 4− x Xét x > 4–x=1x=3 10 = 10 Plớn = 11 4− x - Hướng dẫn chấm đề 26 Bài : a) Tìm x Ta có x − + 5x =9 x − = 9-5x * 2x –6 ≥ ⇔ x ≥ 2x –6 = 9-5x ⇒ x = 15 khơng thỗ mãn (0,5) * 2x – < ⇔ x< – 2x = 9-5x ⇒ x= thoã mãn Vậy x = (0,5) 1 1 1 b) Tính (1+2+3+ +90).( 12.34 – 6.68) : + + + = 3 (0,5) 6 ( 12.34 – 6.68 = 0) c) Ta có : 2A = 21 + 22 +23 + 24 + 25 + + 2101 ⇒ 2A – A = 2101 –1 (0,5) 101 101 Như –1 < Vậy A1 Để A = tức (0,5) 16 +1 25 = ; x = ta có : A = 16 −1 x +1 x −1 =5⇔ x= ⇔x= 25 +1 = 4; 25 −1 (1) (1) Bài : E thuộc phân giác ABC nên EN = EC ( tính chất phân giác) suy : tam giác NEC cân ENC = ECN (1) D thuộc phân giác góc CAB nên DC = DM (tính chất phân giác ) suy tam giác MDC cân DMC =DCM ,(2) Ta lại có MDB = DCM +DMC (góc ngồi ∆CDM ) = 2DCM Tương tự ta lại có AEN = 2ECN Mà AEN = ABC (góc có cạnh tương ứng vng góc nhọn) MDB = CAB (góc có cạnh tương ứng vng góc nhọn ) Tam giác vng ABC có ACB = 900 , CAB + CBA = 900 , suy CAB = ABC = AEN + MDB = ( ECN + MCD ) suy ECN + MCD = 450 Vậy MCN = 900 –450 =450 (1,5) Bài : Ta có P = -x2 –8x + = - x2 –8x –16 +21 = -( x2 +8x + 16) + 21 = -( x+ 4)2 + 21; (0,75) Do –( x+ 4)2 ≤ với x nên –( x +4)2 +21 ≤ 21 với x Dấu (=) xảy x = -4 Khi P có giá trị lớn 21 hướng dẫn đề 27 Câu 1: (3đ) b/ 2-1.2n + 4.2n = 9.25 suy 2n-1 + 2n+2 = 9.25 suy 2n (1/2 +4) = 25 0,5đ suy 2n-1 =9 25 suy n-1 = suy n=6 0,5đ n+2 n+2 n n n n n n c/ -2 +3 -2 =3 (3 +1)-2 (2 +1) = 10-2 0,5đ n n 2n-1 n n 10 M10 = 10 M10 suy 10-2 M10 0,5đ Bài 2: a/ Gọi x, y, z số học sinh 7A, 7B, 7C tham gia trồng cây(x, y, z∈z+) ta có: 2x=3y = 4z x+y+z =130 0,5đ hay x/12 = y/8 = z/6 mà x+y+z =130 0,5đ suy ra: x=60; y = 40; z=30 -7(4343-1717) b/ -0,7(4343-1717) = 0,5đ10 Ta có: 4343 = 4340.433= (434)10.433 434 tận 433 tận suy 4343 tận 1717 = 1716.17 =(174)4.17 174 có tận suy (174)4 có tận suy 1717 = 1716.17 tận 0,5đ 43 17 suy 43 17 có tận nên 4343-1717 có tận suy 4343-1717 chia hết cho 10 0,5đ suy -0,7(4343-1717) số nguyên Bài 3: 4đ( Học sinh tự vẽ hình) a/∆ MDB=∆ NEC suy DN=EN 0,5đ b/∆ MDI=∆ NEI suy IM=IN suy BC cắt MN điểm I trung điểm MN 0,5đ c/ Gọi H chân đường cao vng góc kẻ từ A xuống BC ta có ∆ AHB=∆ AHC suy HAB=HAC 0,5đ gọi O giao AH với đường thẳng vng góc với MN kẻ từ I ∆ OAB=∆ OAC (c.g.c) nên OBA = OCA(1) 0,5đ ∆ OIM=∆ OIN suy OM=ON 0,5đ suy ∆ OBN=∆ OCN (c.c.c) OBM=OCM(2) 0,5đ Từ (1) (2) suy OCA=OCN=900 suy OC ┴ AC 0,5đ Vậy điểm O cố định - Đáp án đề 28 Câu 1: (2đ) a a+ a = 2a với a ≥ (0,25đ) Với a < a+ a = (0,25đ) b a- a -Với a≥ a- a = a – a = -Với a< a- a = - a - a = - 2a c.3(x – 1) - 2x + 3 -Với x + ≥ ⇒ x ≥ - Ta có: 3(x – 1) – x + 3= 3(x – 1) – 2(x + 3) = 3x – – 2x – = x – (0,5đ) -Với x + < → x< - Tacó: 3(x – 1) - 2x + 3= 3(x – 1) + 2(x + 3) = 3x – + 2x + = 5x + (0,5đ) Câu 2: Tìm x (2đ) a.Tìm x, biết: 5x - 3- x = ⇔ x − = x + (1) ĐK: x ≥ -7 5 x − = x + ( 1) ⇒ 5 x − = − ( x + ) (0,25 đ) (0,25 đ) … (0,25 đ) Vậy có hai giá trị x thỏa mãn điều kiện đầu x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 b 2x + 3- 4x < (1,5đ) ⇔2x + 3< + 4x (1) ĐK: 4x +9 ≥ ⇔ x ≥ − (0,25đ) (1) ⇔ − ( x + ) < x − < x + −2 < x < −3 (t/mĐK) (0,5đ) Câu 3: Gọi chữ số số cần tìm a, b, c Vì số càn tìm chia hết 18 → số phải chia hết cho Vậy (a + b + c ) chia hết cho (1) (0,5đ) Tacó: ≤ a + b + c ≤ 27 (2) Vì ≤ a ≤ ; b ≥ ; ≤ c ≤ Từ (1) (2) ta có (a + b + c) nhận giá trị 9, 18, 27 (3) Suy ra: a = ; b = ; c = (0,5đ) Vì số càn tìm chia hết 18 nên vừa chia hết cho vừa chia hết cho → chữ số hàng đơn vị phải số chẵn Vậy ssố càn tìm là: 396 ; 963 (0,5đ) -Vẽ hình viết giả thiết, kết luận (0,5đ) -Qua N kẻ NK // AB ta có EN // BK ⇒ NK = EB EB // NK EN = BK Lại có: AD = BE (gt) ⇒AD = NK (1) -Học sinh chứng minh ∆ ADM = ∆NKC (gcg) (1đ) ⇒ DM = KC (1đ) Đáp án đề 29 Bài 1: Ta có: 10A = 102007 + 10 = + 2007 2007 10 + 10 + (1) 102008 + 10 = + 2008 (2) 2008 10 + 10 + 9 ⇒ 10A > 10B ⇒ A > B Từ (1) (2) ta thấy : 2007 > 2008 10 + 10 + Tương tự: 10B = Bài 2:(2điểm) Thực phép tính: ÷ ÷ ÷ 1 A = 1 − (1 + 2).2 ÷ 1 − (1 + 3).3 ÷ 1 − (1 + 2006)2006 ÷ ÷ ÷ ÷ = 2007.2006 − 10 18 2007.2006 − = 10 2006.2007 12 20 2006.2007 (1) Mà: 2007.2006 - = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008 = 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005 (2) Từ (1) (2) ta có: 4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6 2008)(1.2.3 2005) 2008 1004 = = = A= 2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4 2006)(3.4.5 2007) 2006.3 3009 Bài 3:(2điểm) Từ: x 1 x − = ⇒ = − y y y Quy đồng mẫu vế phải ta có : = x-2 Do : y(x-2) =8 Để x, y ngun y x-2 phải ước Ta có số nguyên tương ứng cần tìm bảng sau: Y x-2 X 10 -1 -8 -6 -2 -4 -2 4 -4 -2 -8 -1 Bài 4:(2 điểm) Trong tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn cạnh thứ Vậy có: b + c > a Nhân vế với a >0 ta có: a.b + a.c > a2 (1) Tương tự ta có : b.c + b.a > b (2) a.c + c.b > c (3) Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta được: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2 · Bài 5:(3 điểm) Vẽ tia phân giác ABK cắt đường thẳng CK I A Ta có: VIBC cân nên IB = IC · · VBIA = VCIA (ccc) nên BIA = CIA =1200 Do đó: VBIA = VBIK (gcg) ⇒ BA=BK b) Từ chứng minh ta có: · BAK = 700 K B - Đáp án đề 30 Câu 1: ( điểm ) 1 < với n ≥ nên ( 0,2 điểm ) n n −1 1 1 A< C = + + + + ( 0,2 điểm ) −1 −1 −1 n −1 a Do Mặt khác: 1 1 C = 1.3 + 2.4 + 3.5 + + ( n − 1).( n + 1) ( 0,2 điểm) I C = 1 1 1 1 − − + − + − + + ( 0,2 điểm) 1 n −1 n + 1 = 1 + − n − n + < = < 1 1 3 1 (0,2 điểm ) Vậy A < 1 b ( điểm ) B = 22 + 42 + 62 + + ( 2n ) ( 0,25 điểm ) 1 1 1 + + + + + ( 0,25 điểm ) n = (1 + A ) ( 0,25 điểm ) 1 Suy P < (1 + 1) = ;Hay P < (0,25 điểm ) 2 = Câu 2: ( điểm ) Ta có k +1 k +1 > với k = 1,2……… n ( 0,25 điểm ) k áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho k +1 số ta có: k +1 k + k +1 1.1 k + = < k k k Suy < k +1 + + + + k +1 k +1 1 < 1+ − k k k +1 k +1 k = k 1 (0,5 điểm ) + = 1+ k +1 k k ( k + 1) ( 0,5 điểm ) Lần lượt cho k = 1,2, 3,…………………… n n < +3 cộng lại ta n +1 + + n +1 < n + − < n + ( 0,5 điểm) n n => [α ] = n Câu (2 điểm ) Gọi , hb ,hc độ dài đường cao tam giác Theo đề ta có: + hb hb + hc hc + 2( + hb + hc ) + hb + hc = = = = 20 10 hc hb = = => : hb : hc = : 2: ( 0,4 điểm ) 1 Mặt khác S = a.ha = bhb = chc ( 0,4 điểm ) 2 => ( 0,4 điểm ) a b c = = 1 => hb hc (0 , điểm ) 1 1 => a :b : c = h : h : h = : : = 10 : 15 : (0 ,4 điểm ) a b c Vậy a: b: c = 10 : 10 : Câu 4: ( điểm ) Trên tia Ox lấy A′ , tia Oy lấy B′ cho O A′ = O B′ = a ( 0,25 điểm ) Ta có: O A′ + O B′ = OA + OB = 2a => A A′ = B B′ ( 0,25 điểm ) Gọi H K hình chiếu Của A B đường thẳng A′ B′ y Tam giác HA A′ = tam giác KB B′ ( cạnh huyền, góc nhọn ) ( 0,5 điểm ) => H A′ = KB′, HK = A′B′ (0,25 điểm) Ta chứng minh HK ≤ AB (Dấu “ = “ ⇔ A trùng A′ B trùng B′ (0,25 điểm) A′B′ ≤ AB ( 0,2 điểm ) Vậy AB nhỏ ⇔ OA = OB = a (0,25điểm ) Câu ( điểm ) Giả sử a + b + c = d ∈ Q ( 0,2 điểm ) => a + b = d − a => b +b +2 bc = d + a + 2d a => bc = ( d + a − b − c ) − 2d a ( 0,2 điểm) ( ) ( 0,2 điểm) => 4bc = ( d + a − b − c ) + d2a – 4b ( d + a − b − c ) a ( 0,2 điểm) => d ( d + a − b − c ) a = ( d + a − b − c ) + 4d 2a – bc * Nếu d ( d + a − b − c ) # thì: ( a= d + a − b − c ) + 4d a − 4ab số hữu tỉ 4d ( d + a − b − c ) ( 0,2 điểm) (0,2 5điểm ) ** Nếu d ( d + a − b − c ) = thì: d =0 d 2+ a-b – c = ( 0,25 điểm ) + d = ta có : a+ b+ c =0 => a = b = c = ∈ Q (0,25 điểm ) + d 2+ a-b – c = từ (1 ) => bc = −d a Vì a, b, c, d ≥ nên a = ∈ Q ( 0,25 điểm ) Vậy a số hữu tỉ Do a,b,c có vai trò nên a , b , c số hữu tỉ ... học sinh thuộc lớp 7A, 7B, 7C trường tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A, 7B, 7C theo thứ tự trồng 2cây, cây, Hỏi lớp có học sinh tham gia trồng cây? Biết số trồng lớp b Chứng minh rằng: - 0 ,7. .. Đề số 11 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2đ) Rút gọn A= x x−2 x + x − 20 Câu (2đ) Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng... lao động, ba khối 7, 8, chuyên chở 912 m3 đất Trung bình học sinh khối 7, 8, theo thứ tự làm 1,2 ; 1,4 ; 1,6 m3 đất Số học sinh khối 7, tỉ lệ với Khối tỉ lệ với Tính số học sinh khối Câu 3: a.Tìm