ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH XUÂN HUY GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH XUÂN HUY GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS TRẦN TRUNG Thái Nguyên - 2016 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa Học Đại học Thái Nguyên Qua xin chân thành cảm ơn thầy giáo Khoa Tốn - Tin, Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo nhà trường trang bị kiến thức tạo điều kiện tốt cho q trình học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS TS Trần Trung, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập Do thời gian trình độ hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý thầy để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức liên quan 1.1.1 Đoạn thẳng, đoạn thẳng định hướng 1.1.2 Vectơ, hướng vectơ 1.1.3 Hướng phương tia 1.1.4 Hướng hỗn tạp, phương hỗn tạp, đường thẳng định hướng 1.2 Góc định hướng 1.2.1 Góc định hướng hai vectơ 1.2.2 Góc định hướng hai đường thẳng 1.2.3 Một số định lý góc định hướng hai vectơ góc định hướng hai đường thẳng 10 10 13 16 Ứng dụng góc định hướng giải tập hình học phẳng 2.1 Ứng dụng góc định hướng tốn góc 2.2 Ứng dụng toán đường thẳng 2.2.1 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 2.2.2 Chứng minh đường thẳng đồng quy 2.2.3 Chứng minh đường thẳng song song, vng góc 2.3 Ứng dụng tốn đường tròn 2.4 Ứng dụng phép đồng dạng phép biến hình 2.5 Ứng dụng chứng minh số định lý điển hình 5 18 18 21 21 26 30 35 45 51 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62 Mở đầu Hình học phẳng phận quan trọng tốn học Đây phân mơn có tính hệ thống chặt chẽ, có tính logic trừu tượng cao Rất nhiều tốn hình học phẳng tương đối khó việc tìm lời giải phải qua nhiều bước chứng minh, biện luận phức tạp đến kết luận Đặc biệt, tốn hình học phẳng góc, đường tròn, đường thẳng hay toán liên quan đến phép biến hình, phép đồng dạng thường khiến học sinh gặp nhiều khó khăn, lúng túng dễ mắc phải sai lầm Trong q trình học tập, nghiên cứu cơng tác, tơi nhận thấy việc giải tốn góc, đường tròn, đường thẳng, phép biến hình, đồng dạng đòi hỏi phải xét nhiều trường hợp thứ tự vị trí điểm, góc tốn Việc ứng dụng góc định hướng vào việc giải toán tạo nhiều thuận lợi Khái niệm tính chất liên quan đến góc định hướng khơng giảng dạy chương trình tốn Trung học phổ thơng đại trà chương trình Đại học giới thiệu sơ lược Với lí với mong muốn có tài liệu ví dụ minh họa cho đối tượng học sinh giỏi nên tác giả chọn đề tài "Góc định hướng ứng dụng giải tốn hình học phẳng" làm đề tài luận văn với mục tiêu tìm hiểu, nghiên cứu kiến thức góc định hướng hai tia, góc định hướng hai đường thẳng ứng dụng vào việc giải vài tốn hình học phẳng Thái Nguyên, ngày 28 tháng 12 năm 2015 Người thực Trịnh Xuân Huy Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Một số kiến thức liên quan Đoạn thẳng, đoạn thẳng định hướng Định nghĩa 1.1.1 [1] Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai điểm khác A, B gọi đoạn thẳng, kí hiệu AB kí hiệu BA Bộ khơng phân biệt thứ tự gồm hai điểm trùng A, B gọi đoạn thẳng (đoạn thẳng-không, cần nhấn mạnh), kí hiệu cách sau AB, BA, AA, BB Định nghĩa 1.1.2 [1] Bộ có phân biệt thứ tự gồm hai điểm (A, B) −→ gọi đoạn thẳng định hướng, kí hiệu AB −→ Khi điểm A, B trùng nhau, đoạn thẳng định hướng AB gọi đoạn thẳng định hướng-khơng, kí hiệu cách sau −→ −−→ −→ BA, BB, AA Định nghĩa 1.1.3 [1] Hình thang tứ giác lồi có hai cạnh đối thuộc hai đường thẳng song song Định nghĩa 1.1.4 [1] Hình thang có cạnh đáy đoạn thẳng khơng gọi hình thang-khơng −→ −−→ Định nghĩa 1.1.5 [1] Hai đoạn thẳng định hướng AB, CD gọi hướng tồn đoạn thẳng-khác không XY cho tứ giác ABY X CDY X hình thang (có thể hình thang-khơng) −→ −−→ −→ −−→ Để biểu thị AB, CD hướng ta viết AB ⇈ CD ta viết −−→ −→ CD ⇈ AB −→ −−→ Định nghĩa 1.1.6 [1] Hai đoạn thẳng định hướng AB, CD gọi ngược hướng tồn đoạn thẳng-khác không XY cho tứ giác ABXY CDXY hình thang (có thể hình thang-khơng) −→ −−→ −→ −−→ Để biểu thị AB, CD ngược hướng ta viết AB ↑↓ CD ta viết −−→ −→ CD ↑↓ AB Định lý 1.1.1 [1] Với hai điểm A, B , ta có −→ −→ 1) AB ↑↑ AB −→ −→ 2) AB ↑↓ BA −→ −−→ −→ Định lý 1.1.2 [1] Với ba đoạn thẳng định hướng-khác khơng AB, CD, EF , ta có −→ −−→ −−→ −→ −→ −→ 1) Nếu AB ↑↑ CD; CD ↑↑ EF AB ↑↑ EF −→ −−→ −−→ −→ −→ −→ 2) Nếu AB ↑↑ CD; CD ↑↓ EF AB ↑↓ EF −→ −−→ −−→ −→ −→ −→ 3) Nếu AB ↑↓ CD; CD ↑↓ EF AB ↑↑ EF Nhận xét 1.1.1 [1] Theo định lý 1.1.1, định lý 1.1.2, dễ dàng thấy tập hợp đoạn thẳng định hướng-khác không quan hệ hướng quan hệ tương đương Định nghĩa 1.1.7 [1] Mỗi lớp tương đương sinh quan hệ hướng tập hợp đoạn thẳng định hướng-khác không gọi hướng đoạn thẳng định hướng −→ Hướng đoạn thẳng định hướng chứa đoạn thẳng định hướng AB −→ gọi đơn giản hướng đoạn thẳng định hướng AB Định nghĩa 1.1.8 [1] Hai hướng đoạn thẳng định hướng gọi ngược đoạn thẳng định hướng thuộc hướng đoạn thẳng định hướng đoạn thẳng định hướng thuộc hướng đoạn thẳng định hướng ngược hướng 1.1.2 Vectơ, hướng vectơ Theo định lý 1.1.1, định lý 1.1.2, ý tập hợp đoạn thẳng quan hệ quan hệ tương đương, dễ dàng thấy tập hợp đoạn thẳng định hướng quan hệ quan hệ tương đương Định nghĩa 1.1.9 [1] Mỗi lớp tương đương sinh quan hệ tập hợp đoạn thẳng định hướng gọi vectơ −→ −→ Vectơ chứa đoạn thẳng định hướng AB kí hiệu [AB] Vectơ chứa đoạn thẳng định hướng-không gọi vectơ-khơng, kí → − hiệu [ ] → − − Định nghĩa 1.1.10 [1] Hai vectơ [→ a ], [ b ] gọi hướng đoạn thẳng định hướng thuộc vectơ hướng với đoạn thẳng → − − định hướng thuộc vectơ Kí hiệu [→ a ] ⇈ [ b ] → − − Định nghĩa 1.1.11 [1] Hai vectơ [→ a ], [ b ] gọi ngược hướng đoạn thẳng định hướng thuộc vectơ ngược hướng với đoạn → − − thẳng định hướng thuộc vectơ Kí hiệu [→ a ] ↑↓ [ b ] Định lý 1.1.3 [1] Với hai điểm A, B , ta có −→ −→ 1) [AB] ↑↑ [AB] −→ −→ 2) [AB] ↑↓ [BA] → − − − Định lý 1.1.4 [1] Với ba vectơ-khác không [→ a ], [ b ], [→ c ], ta có → − → − − −c ] [→ − −c ] 1) Nếu [→ a ] ↑↑ [ b ]; [ b ] ↑↑ [→ a ] ↑↑ [→ → − − 2) Nếu [→ a ] ↑↑ [ b ]; → − − 3) Nếu [→ a ] ↑↓ [ b ]; → − −c ] [→ − −c ] [ b ] ↑↓ [→ a ] ↑↓ [→ → − −c ] [→ − −c ] [ b ] ↑↓ [→ a ] ↑↑ [→ Nhận xét 1.1.2 [1] Theo định lý 1.1.3, định lý 1.1.4, dễ dàng thấy tập hợp vectơ-khác không quan hệ hướng quan hệ tương đương Định nghĩa 1.1.12 [1] Mỗi lớp tương đương sinh quan hệ hướng tập hợp vectơ-khác không gọi hướng vectơ Định nghĩa 1.1.13 [1] Hai hướng vectơ gọi ngược vectơ thuộc hướng vectơ vectơ thuộc hướng vectơ ngược hướng 1.1.3 Hướng phương tia Định nghĩa 1.1.14 [1] Hướng đoạn thẳng định hướng tương thích − → với tia Ix hướng đoạn thẳng định hướng IA với A thuộc tia Ix Định nghĩa 1.1.15 [1] Hai tia Ix, Jy gọi hướng hướng đoạn thẳng định hướng tương thích với chúng Hai tia Ix, Jy gọi ngược hướng hướng đoạn thẳng định hướng tương thích với chúng ngược Định nghĩa 1.1.16 [1] Hai tia Ix, Jy gọi phương chúng hướng ngược hướng Định lý 1.1.5 [1] Với tia Ix, ta có 1) Ix↑↑Ix 2) Ix↑↓ Ix′ , đây, Ix′ tia đối tia Ix Định lý 1.1.6 [1] Với ba tia Ix, Jy, Kz , ta có 1) Nếu Ix ↑↑ Jy; Jy ↑↑ Kz Ix ↑↑ Kz 2) Nếu Ix ↑↑ Jy; Jy ↑↓ Kz Ix ↑↓ Kz 3) Nếu Ix ↑↓ Jy; Jy ↑↓ Kz Ix ↑↑ Kz Nhận xét 1.1.3 [1] Theo định lí 1.1.5, định lý 1.1.6, dễ dàng thấy tập hợp tia quan hệ hướng quan hệ tương đương Định nghĩa 1.1.17 [1] Mỗi lớp tương đương sinh quan hệ hướng tập hợp tia gọi hướng tia Định nghĩa 1.1.18 [1] Hai hướng tia gọi ngược tia thuộc hướng tia tia thuộc hướng tia ngược hướng Định nghĩa 1.1.19 [1] Mỗi lớp tương đương sinh quan hệ phương tập hợp tia gọi phương tia 1.1.4 Hướng hỗn tạp, phương hỗn tạp, đường thẳng định hướng −→ − Định nghĩa 1.1.20 [1] Đoạn thẳng định hướng AB vectơ [→ a ] −→ gọi hướng (ngược hướng) AB hướng (ngược hướng) với − đoạn thẳng định hướng thuộc [→ a ] Chứng minh Gọi H = AB ∩ ∆ G′ = Đ(AB) (G) Ta có tứ giác AEHF nội tiếp, nên (F D, F E) ≡ (F H, F E) ≡ (AH, AE) ≡ (AB, AE) ≡ (EB, ED) (mod π) Suy DE = DF Do DF = DE = DC.DA ⇒ DA DF = ⇒ △DAF ∼ △DF C DC DF Ta có (CD, CF ) ≡ (F A, F D) ≡ (GA, GG′ ) ≡ (CA, CG′ ) ≡ (CD, CG′ ) (mod π) Suy G′ ∈ (CF ) (Hình 2.30) Bài tốn 2.4.4 Cho △ABC điểm D △ABC cho DAB = DCA, DBA = DAC Lấy E ∈ (AB), F ∈ (CA) cho AB = BE, AC = AF Chứng minh bốn điểm A, D, E, F đồng viên Chứng minh Từ giả thiết, suy △DAB ∼ △DCA A trung điểm −−→ −−→ DB CF , B trung điểm AE Từ k = , ϕ = (DC, DA) DA 49 VDk ◦ QϕD :C → A A→B F →E Suy (DE, DF ) ≡ (AE, AF ) (mod π), A, D, E, F đồng viên (Hình 2.31) Bài tốn 2.4.5 Tích hai phép đối xứng trục mà hai trục đối xứng cắt phép quay Chứng minh Giả sử R∆1 , R∆2 hai phép đối xứng trục có trục đối xứng ∆1 , ∆2 cắt Gọi O giao điểm ∆1 ∆2 Lấy M thuộc (P ) Gọi M ′ ảnh M qua R∆1 ; M ′′ ảnh M ′ qua R∆2 Dễ thấy OM = OM ′ = OM ′′ −−→ −−−→ −−→ −−−→ −−→ −−→ (OM , OM ′′ ) ≡ (OM , OM ′ ) + (OM ′ , OM ′′ ) (mod π) ≡ 2(∆1 , OM ′ ) + 2(OM ′ , ∆2 ) (mod π) ≡ 2((∆1 , OM ′ ) + (OM ′ , ∆2 )) (mod π) ≡ 2(∆1 , ∆2 ) (mod π) 2(∆1 ,∆2 ) Suy R∆1 R∆2 (M ) = R∆2 (M ′ ) = M ′′ = QO 2(∆1 ,∆2 ) R∆1 R∆2 = QO (M ) Do Bài tốn 2.4.6 [IMO Shortlisted 2002] Cho trước đường tròn (O) hai điểm A, B cho AB tiếp xúc với đường tròn (O) B Lấy điểm C khơng nằm (O) cho AC cắt (O) hai điểm phân biệt, dựng đường tròn ω tiếp xúc với AC C , tiếp xúc với (O) D cho B, D nằm hai phía đường thẳng AC Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh Gọi I J theo thứ tự tâm đường tròn ω (BCD), giả sử t tiếp tuyến chung D (O) ω Từ giả thiết suy O, J nằm trung trực BD I, J nằm trung trực CD Suy ĐOJ : (BA) → (t) ĐIJ : (DJ) → (CJ) (Dt) → (CA) 50 Khi (BA, BJ) ≡ (DJ, t) ≡ (CA, CJ) (mod π) Vậy bốn điểm B, A, C, J đồng viên (Hình 2.32) 2.5 Ứng dụng chứng minh số định lý điển hình Bài tốn 2.5.1 [Định lý Miquel][5] Các điểm M, N, P theo thứ tự nằm đường thẳng chứa cạnh BC, CA, AB tam giác ABC Khi đường tròn (AN P ), (BP M ), (CM N ) qua điểm 51 Chứng minh Gọi S giao điểm (BP M ) (CM N ) Ta có (SN, SP ) ≡ (SN, SM ) + (SM, SP ) ≡ (CN, CM ) + (BM, BP ) (mod π) (mod π) ≡ (CA, CB) + (BC, BA) (mod π) ≡ (CA, BA) ≡ (AN, AP ) (mod π) Suy S ∈ (AN P ) (Hình 2.33) Hệ 2.5.1 Một đường thẳng cắt đường thẳng chứa cạnh BC, CA, AB tam giác ABC theo thứ tự M, N, P Khi đường tròn (ABC), (AN P ), (BP M ) (CM N ) qua điểm Chứng minh Theo phần chứng minh định lý Miquel, đường tròn (AN P ), (BP M ), (CM N ) qua điểm S Ta có Hình 2.34 (M N, M P ) ≡ (M N, CN ) + (CA, BA) + (BP, M P ) ≡ (M S, CS) + (CA, BA) + (BS, M S) ≡ (SB, SC) − (AB, AC) Từ ta có điều kiện sau tương đương 52 (mod π) (mod π) (mod π) (2.36) a) (AN P ), (BP M ), (CM N ), (ABC) qua điểm b) S ∈ (ABC) c) (SB, SC) ≡ (AB, AC) (mod π) d) (SB, SC) − (AB, AC) ≡ (mod π) e) (M N, M P ) ≡ (mod π) f) M, N, P thẳng hàng Các điều kiện dễ dàng chứng minh sau: Theo chứng minh định lý Miquel ta có a ⇔ b b ⇔ c theo tính chất điểm đồng viên hiển nhiên ta có c ⇔ d Từ cơng thức (2.36) ta có (M N, M P ) ≡ (SB, SC) − (AB, AC) ≡ (mod π) Do ta có d ⇔ e Hiển nhiên từ e ⇔ f Vậy đường tròn (ABC), (AN P ), (BP M ) (CM N ) qua điểm M, N, P thẳng hàng (Hình 2.34) Bài tốn 2.5.2 [Định lý Collings][5] Cho △ABC đường thẳng d qua trực tâm H △ABC Gọi da , db , dc đường thẳng đối xứng với d qua BC, CA, AB Các đường thẳng đồng quy điểm nằm đường tròn (ABC) (điểm anti-Steiner d) d đường thẳng Steiner điểm Chứng minh Gọi HA , HB , HC điểm đối xứng với trực tâm H qua BC, CA, AB Ta có HA , HB , HC nằm đường tròn ngoại tiếp △ABC HA , HB , HC thuộc da , db , dc Ta có (da , db ) ≡ (da , BC) + (BC, CA) + (CA, db ) ≡ (BC, d) + (BC, CA) + (d, CA) ≡ 2(BC, CA) ≡ (CHA , CHB ) (mod π) (mod π) (mod π) Gọi G giao điểm da , db Khi (GHA , GHB ) ≡ (CHA , CHB ) (mod π) nên G ∈ (O) Lập luận tương tự da db , dc db 53 Suy ba đường thẳng da , db , dc đồng quy G Dễ dàng thấy d đường thẳng Stenier G (Hình 2.35) Bài tốn 2.5.3 [Định lý bướm với đường tròn] [5] Cho đường tròn (O) dây cung AB Gọi I trung điểm AB Qua I vẽ hai dây cung tùy ý M N P Q cho M P N Q cắt AB E, F Khi I trung điểm EF Hình 2.36 54 Chứng minh Gọi K, T trung điểm M P N Q Ta có hai tứ giác OIEK, OIF T tứ giác nội tiếp, suy (OE, OI) ≡ (KE, KI) (OI, OF ) ≡ (T I, T F ) (mod π) (mod π) Ta lại có △M IP ∼ △QIN (KE, KI) ≡ (T I, T F ) (mod π) Suy (OE, OI) ≡ (OI, OF ) (mod π) Do △EOF cân O Do I trung điểm EF (Hình 2.36) Bài tốn 2.5.4 [Định lý Pascal] [5] Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F thuộc đường tròn Gọi G, H, K theo thứ tự giao điểm cặp đường thẳng (AB, DE); (BC, EF ); (CD, F A) Khi ba điểm G, H, K thẳng hàng Hình 2.37 Chứng minh Gọi I giao điểm thứ hai hai đường tròn (DBG) (DF K) Sử dụng hệ thức Chasles ta (IB, IF ) ≡ (IB, ID) + (ID, IF ) ≡ (GB, GD) + (KD, KF ) 55 (mod π) Hơn nữa, theo tính chất 2, ta lại có (KD, KF ) ≡ ((OC, OA) − (OF, OD)) (mod π) ≡ ((OC, OB) + (OB, OA) − (OF, OA) − (OE, OD) (GB, GD) ≡ ((OA, OE) − (OD, OB)) (mod π) ≡ ((OA, OF ) + (OF, OE) − (OD, OC) − (OC, OB)) Và Suy (HB, HF ) ≡ ((OB, OF ) − (OE, OC)) (mod π) (mod π) (mod π) (HB, HF ) ≡ (KD, KF ) + (GB, GD) ≡ (IB, IF ) (mod π) Do bốn diểm B, H, I, F đồng viên Mặt khác, bốn điểm đồng viên nên ta có (IB, IG) ≡ (DB, DG) ≡ (F B, F E) (mod π) Vì (IB, IG) ≡ (IB, IH) (mod π) hay ba điểm I, G, H thẳng hàng Tương tự, ta chứng minh ba điểm I, H, K thẳng hàng Từ suy ba điểm G, H, K thẳng hàng (Hình 2.37) Nhận xét 2.5.1 Vận dụng khái niệm góc định hướng số tính chất góc định hướng cho ta lời giải ngắn gọn, thú vị Ví dụ ta xét toán với hai lời giải khác Một lời giải không sử dụng khái niệm góc định hướng lời giải sử dụng khái niệm góc định hướng để thấy tính ưu việt việc sử dụng góc định hướng giải tốn Bài toán 2.5.5 (HSG Quốc gia Bảng A 2004 – 2005) [7] Trong mặt phẳng cho đường tròn (O, R) hai điểm A, B cố định đường tròn cho chúng khơng thẳng hàng với (O) Xét điểm C đường tròn (O), C khơng trùng với A B Dựng đường tròn (O1 ) qua A tiếp xúc với AB C , đường tròn (O2 ) qua B , tiếp xúc với AC C Hai đường tròn (O1 ) (O2 ) cắt lại điểm D khác C Chứng minh rằng: 56 1) CD ≤ 2R 2) Đường thẳng CD qua điểm cố định C di động (O) C không trùng với A B Chứng minh Ta chứng minh ý 2) toán Lời giải : Vì B khơng đối xứng với A qua O nên dây cung AB chia ⌢ đường tròn (O) thành hai cung: cung lớn AγB chứa góc nhọn γ cung ⌢ nhỏ Aγ ′ B chứa góc tù γ ′ = 180◦ − γ Ta xét hai trường hợp: ⌢ +) Nếu C ∈AγB ACB = γ < 90◦ ; O D nằm phía với C AB Gọi C ′ giao điểm thứ hai tia CD (O), D thuộc đoạn CC ′ tia DC ′ nằm góc (giữa hai tia) ADB Góc ⌢ CDA góc nội tiếp đường tròn O1 chắn cung bù cung ADC nên CDA = 180◦ − ADC Bởi góc ADC ′ kề bù CDA có số đo ⌢ ADC ′ = sđ ADC ADC ′ = ACB , góc (giữa hai tia) ACB góc nội tiếp đường tròn (O1 ) có cạnh chứa dây cung CA (O1 ) cạnh tia tiếp tuyến CB C (O1 ) Hình 2.38 57 (Chính lẽ mà ta xem gọi góc (giữa hai tia) ADC ′ , kề bù CDA có cạnh chứa dây DA cạnh DC ′ mà tia đối ⌢ chứa dây cung DC (O1 ) góc nội tiếp suy rộng chắn cung ADC đường tròn (O1 ) ngoại tiếp △CDA) Với cách quan niệm cách lập luận tương tự, ta có C ′ DB = ACB (hai góc nội tiếp (O2 ) chắn ⌢ cung CDB ) Do ADB = AOB D thuộc cung AOB chứa góc AOB = 2γ đường tròn (AOB), đồng thời đường thẳng DC ′ tức đường thẳng CD qua điểm cố định trung điểm P cung bù cung AOB thuộc đường tròn (AOB) (Hình 2.38) ⌢ +) Nếu C ∈Aγ ′ B ACB = γ ′ = 180◦ − γ > 90◦ ; D nằm khác phía với C (AB) D nằm phía với với (O) (AB) (Hình 2.41) Hình 2.39 Trong trường hợp (O1 ) (O2 ) theo thứ tự ta có ADC = ACB ′ CDB = A′ CB , CB ′ tia đối tia CB ; CA′ tia đối tia CA 58 Mặt khác ACB ′ = A′ CB = 180◦ − ACB = γ Do 1 ADC = CDB = ADB = AOB 2 (2.37) kết luận rút trường hợp góc ACB nhọn xét ngun hiệu lực (Hình 2.39) Lời giải : Rõ ràng lời giải đòi hỏi vốn kiến thức hình học mơn tốn Trung học sở, lập luận phải chặt chẽ, phải xét đầy đủ hai trường hợp góc ACB Tuy nhiên, sử dụng góc định hướng hai đường thẳng (mod π) góc hai vectơ (mod π) lời giải ngắn gọn Hơn nữa, ta dễ ràng quỹ tích điểm D Hình 2.40 59 Thật vậy, ta có (DA, DC) ≡ (AD, AC) + (CA, CD) (mod π) ≡ (CA, CD) + (CD, CB) ≡ (CA, CB) (mod π) Tương tự (DC, DB) ≡ (CD, CB) + (BC, BD) (mod π) ≡ (CA, CD) + (CD, CB) ≡ (CA, CB) (mod π) Từ suy (DA, DB) ≡ 2(DA, DC) ≡ 2(DC, DB) ≡ (CA, CB) (mod 2π) −→ −−→ ≡ (OA, OB) (mod 2π) −→ −−→ Đẳng thức (DA, DB) ≡ (OA, OB) (mod 2π) nói lên −−→ −−→ −→ −−→ (DA, DB) ≡ (OA, OB) (mod 2π) Do đó, ta dễ dàng kết luận rằng: Nếu {C} (O) \ {A, B} {D} ⌢ AOB \{A, B} ({C}, {D} kí hiệu tập hợp điểm C, D) Ta chứng minh điều cách đường thẳng ⌢ (hay tia) qua P , cắt (O) hai điểm C1 , C2 cắt cung AOB điểm D hai cặp đường tròn (O1 ), (O2 ) (O1′ ), (O2′ ) ứng với hai điểm C1 , C2 nhận D giao điểm thứ hai, khác C chúng Ngoài ra, từ đẳng thức thu góc định hướng, kết luận nêu lời giải nguyên hiệu lực (Hình 2.40) 60 Kết luận Với mục đích đưa vài minh họa cho việc khai thác tính chất liên quan đến góc định hướng vào giải số tập hình học, luận văn đạt số kết ban đầu sau: (1) Trình bày cách sơ lược kiến thức liên quan đến góc định hướng khái niệm góc định hướng, góc định hướng hai tia, góc định hướng hai đường thẳng số tính chất chúng Nội dung chủ yếu trình bày tài liệu [1],[3], [5] (2) Trình bày số ví dụ minh họa cho việc vận dụng tính chất góc định hướng việc giải vài dạng tốn hình học tốn góc, tốn đường thẳng, cài tốn đường tròn, tốn phép đồng dạng phép biến hình chứng minh số tính chất hình học trình bày theo cấu trúc tài liệu [10] 37 toán (được chọn lọc tài liệu tham khảo) phần cho thấy ứng dụng thú vị góc định hướng việc đưa lời giải đơn giản ngắn gọn số tốn khó Đối với số tập, luận văn cố gắng đưa lời giải chi tiết lời giải tài liệu tham khảo đưa thêm dẫn dắt để học sinh đọc hiểu Mặc dù luận văn kết nghiên cứu nghiêm túc, đầu tư thời gian thân tác giả đứng trước ứng dụng rộng rãi góc định hướng chắn luận văn bỏ ngỏ nhiều vấn đề khơng tránh khỏi sai sót Tơi kính mong nhận bảo, giúp đỡ thầy giáo, giáo để tơi tiếp tục hồn thiện luận văn, đồng thời giúp thân có tài liệu hữu ích cơng tác giảng dạy trường phổ thông sau 61 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Minh Hà (2015), Hướng hình học phẳng, NXB Dân Trí [2] Nguyễn Minh Hà (2006), Ứng dụng góc định hướng vào giải số tốn hình học, Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, số 343,344, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Việt Hải (2005), Góc định hướng, Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, số 339, 340, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Mộng Hy (2003), Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Văn Hiền(2014), Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, Kỷ yếu hội thảo khoa học [6] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Đăng Phất, Đỗ Thanh Sơn (2008), Hình học số vấn đề liên quan, NXB Giáo dục [7] Nguyễn Đăng Phất (2006), Những cách tiếp cận tốn từ nhiều góc độ khác nhau, Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, số 343, NXB Giáo dục [8] Tuyển tập (2003), 40 năm Olympic Toán học quốc tế, NXB Giáo dục Tiếng Anh [9] Viktor Prasolov (2006), Problems in plane and solid Geometry Translated and edited by Dimitry Leites, Moscow textbooks 62 [10] Wu W.T (2005), On the Notion of Oriented Angles in Plane Elementary Geometry and Some of its Applications, MM Research Preprints, 1–12 KLMM, AMSS, AcademiaSinica Vol 24 63 ... 13 16 Ứng dụng góc định hướng giải tập hình học phẳng 2.1 Ứng dụng góc định hướng tốn góc 2.2 Ứng dụng toán đường thẳng 2.2.1 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 2.2.2 Chứng minh...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH XUÂN HUY GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... tượng học sinh giỏi nên tác giả chọn đề tài "Góc định hướng ứng dụng giải tốn hình học phẳng" làm đề tài luận văn với mục tiêu tìm hiểu, nghiên cứu kiến thức góc định hướng hai tia, góc định hướng