1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Tốn học mơn khoa học tự nhiên có tính thực tiễn cao Từ lâu, người vận dụng kiến thức Tốn học để tính tốn, giải vấn đề tự nhiên thực tiễn sống Có thể khẳng định rằng: Tất môn khoa học khác liên quan mật thiết với Tốn học Vì vậy, việc giảng dạy Tốn học phải hướng tới mục đích lớn hơn, thơng qua việc dạy học Tốn để phát triển trí tuệ, phát huy trí thơng minh, sáng tạo đồng thời góp phần giáo dục phẩm chất, đạo đức, lối sống rèn luyện kĩ sống cho học sinh Tri thức khoa học nhân loại vô phong phú mẻ Mục tiêu giáo dục thay đổi, yêu cầu phải đổi phương pháp dạy học cách phù hợp Để giúp cho giáo viên tháo gỡ khó khăn q trình đổi phương pháp dạy học, có nhiều giáo sư tiến sỹ, nhà khoa học chuyên tâm nghiên cứu, thí điểm triển khai đại trà đổi phương pháp dạy học Để đáp ứng yêu cầu đổi toàn diện giáo dục đào tạo theo tinh thần Nghị 29 BCH Trung ương Đảng khóa XI, vấn đề đổi phương pháp dạy học tất môn học phải theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh, tổ chức hướng dẫn, đạo giáo viên Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát giải vấn đề để lĩnh hội tri thức, từ học sinh tích cực, chủ động sáng tạo, có ý thức vận dụng linh hoạt kiến thức học vào vào thực tiễn Đối với mơn tốn trường phổ thơng, dạy tốn dạy hoạt động tốn học Đối với học sinh xem việc giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động tốn học Q trình giải tốn trình rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp tìm tòi vận dụng kiến thức vào thực tế Thơng qua việc giải tốn để củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ mơn Tốn Từ đó, rút nhiều phương pháp dạy học hay, tiết lên lớp có hiệu nhằm phát huy hứng thú học tập học sinh, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục tồn diện Nhưng q trình học Tốn nói chung, đặc biệt phần Số học nói riêng, việc nắm bắt vận dụng kiến thức, tìm phương pháp giải học sinh khó khăn Vì vậy, giáo viên dạy Tốn phải có nhiệm vụ trang bị kiến thức phương pháp giải dạng toán cho học sinh Là giáo viên dạy mơn Tốn học, sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy học sinh học hỏi, trao đổi với đồng nghiệp, nhận thấy việc giảng dạy phần Số học nhiều mảng kiến thức mà học sinh chưa có phương pháp giải cụ thể như: Các toán chia hết, toán cấu tạo số, dạng toán biểu thức, Đặc biệt dạng toán “Tìm số chữ số tận cùng”, dạng tốn tương đối khó học sinh THCS, dạng tốn chưa đề cập nhiều sách giáo khoa, chủ yếu đưa vài tốn sách nâng cao, 1 khơng đưa phương pháp giải cụ thể, bắt buộc học sinh tự vận dụng kiến thức, suy nghĩ để giải quyết, em lúng túng, chưa định phương pháp giải tập (chưa tìm quy luật chữ số tận lũy thừa) Xuất phát từ thực tế đó, tơi mạnh dạn chọn đề tài “ Một số kinh nghiệm việc dạy tìm chữ số tận cùng” để giúp em tháo gỡ khó khăn 1.2 Những điểm đề tài Nội dung “Tìm chữ số tận cùng” có nhiều người nghiên cứu, giáo viên giảng dạy trường THCS Tuy qua tìm hiểu nắm bắt trường trường bạn, thầy cô giáo chủ yếu tập trung vào việc nghiên cứu dạng tập nhỏ tìm chữ số tận Điểm đề tài thân tơi thực tập trung hệ thống hóa dạng tập liên quan đến dạng tốn tìm 1, 2, chữ số tận lũy thừa, vận dụng dạng tốn để chuyển thành dạng tốn với phương pháp cụ thể tập mở rộng, nâng cao dạng cho học sinh giỏi 1.3 Phạm vi áp dụng đề tài Đề tài thực dạy tiết Tốn chương trình khóa day bồi dưỡng học sinh giỏi cho em đội tuyển học sinh giỏi trường nơi trực cơng tác áp dụng để bồi dưỡng HSG toàn huyện 2 PHẦN NỘI DUNG 2.1 Thực trạng vấn đề Qua thực tế giảng dạy mơn Tốn trường THCS, tơi nhận thấy nội dung lượng kiến thức mơn Tốn nhiều, nhiều dạng tập Mỗi tiết dạy đại trà lớp, giáo viên hướng dẫn học sinh tiếp nhận kiến thức dạng Toán cho nhiều đối tượng Như khơng có đủ lượng thời gian để giáo viên mở rộng nâng cao kiến thức rèn luyện kỹ giải tập cho học sinh Biện pháp tốt để rèn luyện kỹ giải tập cho học sinh để học sinh thường xuyên luyện giải nhiều dạng tập khác nhau, tiếp xúc với dạng tập có tính chất mở rộng nâng cao, để từ học sinh vận dụng cách linh hoạt cách giải dạng tập hướng dẫn học nhà.Việc học sinh tự học nhà có ý nghĩa lớn lao mặt giáo dục giáo dưỡng Nếu việc học nhà học sinh tổ chức tốt giúp em rèn luyện thói quen làm việc tự lực, giúp em nắm vững tri thức, có kỹ năng, kỹ xảo Ngược lại việc học tập nhà học sinh không quan tâm tốt làm cho em quen thói cẩu thả, thái độ lơ việc thực nhiệm vụ dẫn đến nhiều thói quen xấu làm cản trở đến việc học tập Vì chất lượng chưa đáp ứng Trước thực đề tài tiến hành kiểm tra khảo sát 15 học sinh khá, giỏi lớp đơn vị số tập nâng cao Kết thu sau: 0- 99 = 4k + (k thuộc N) => 799 = 74k + = 74k.7 Do 74k có chữ số tận (theo tính chất 1c) => 799 có chữ số tận b) Dễ thấy 1414 = 4k (k thuộc N) => theo tính chất 1d 14 1414 = 144k có chữ số tận c) Ta có 567 - chia hết cho => 67 = 4k + (k thuộc N) => 4567 = 44k + = 44k.4, theo tính chất 1d, 44k có chữ số tận nên 4567 có chữ số tận Tính chất sau => từ tính chất 5 Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, nâng lên lũy thừa bậc 4n + (n thuộc N) chữ số tận khơng thay đổi Chữ số tận tổng lũy thừa xác định cách tính tổng chữ số tận lũy thừa tổng * Bài tập áp dụng Bài Tìm chữ số tận tổng S = 21 + 35 + 49 + … + 20048009 Hướng dẫn giải: Nhận xét: Mọi lũy thừa S có số mũ chia cho dư (các lũy thừa có dạng n4(n - 2) + 1, n thuộc {2, 3, …, 2004}) Theo tính chất 2, lũy thừa S số tương ứng có chữ số tận giống nhau, chữ số tận tổng: (2 + + … + 9) + 199.(1 + + … + 9) + + + + = 200(1 + + … + 9) + = 9009 Vậy chữ số tận tổng S Từ tính chất tiếp tục => tính chất Tính chất 3: a) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận b) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận ; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chữ số tận c) Các số có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, 9, nâng lên lũy thừa bậc 4n + không thay đổi chữ số tận * Bài tập áp dụng Bài Tìm chữ số tận tổng T = 23 + 37 + 411 + … + 20048011 Hướng dẫn giải: 6 Nhận xét: Mọi lũy thừa T có số mũ chia cho dư (các lũy thừa có dạng n4(n - 2) + 3, n thuộc {2, 3, …, 2004}) Theo tính chất 23 có chữ số tận ; 37 có chữ số tận ; 411 có chữ số tận ; … Như vậy, tổng T có chữ số tận chữ số tận tổng: (8 + + + + + + + 9) + 199.(1 + + + + + + + + 9) + + + + = 200(1 + + + + + + + + 9) + + + = 9019 Vậy chữ số tận tổng T * Trong số tốn khác, việc tìm chữ số tận dẫn đến lời giải độc đáo Bài Tồn hay không số tự nhiên n cho n + n + chia hết cho 19952000 Hướng dẫn giải: 19952000 tận chữ số nên chia hết cho Vì vậy, ta đặt vấn đề liệu n2 + n + có chia hết cho khơng ? Ta có n2 + n = n(n + 1), tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận n2 + n ; ; => n + n + tận ; ; => n2 + n + không chia hết cho Vậy không tồn số tự nhiên n cho n2 + n + chia hết cho 19952000 Sử dụng tính chất “một số phương tận chữ số ; ; ; ; ; 9”, ta giải toán sau: Bài Chứng minh tổng sau khơng thể số phương: a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k (với k chẵn) b) N = 20042004k + 2003 Sử dụng tính chất “một số nguyên tố lớn tận chữ số ; ; ; 9”, ta tiếp tục giải toán: Bài Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh rằng: p8n +3.p4n - chia hết cho Bài 7: Tìm chữ số tận số sau: 7430 ; 4931 ; 8732; 5833 ; 2335 Hướng dẫn giải: 7 - Ta thấy số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc số có chữ số tận Ta có: 74 30 = (744)7 742 = .6 = tận - Ta thấy số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chẵn số có chữ số tận 1, nâng lên lũy thừa bậc lẻ số có chữ số tận 9, Ta có: 4931 số mũ lẻ nên 4931 có chữ số tận - Ta thấy số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc số có chữ số tận Ta có: 8732 = (874)8 = - Ta thấy số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc số có chữ số tận Ta có: 5833 = (584)8 58 = 58 = - Ta thấy số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc số có chữ số tận Ta có: 2335 = (234)8 233 = = Bài 8: Tìm chữ số tận tổng, hiệu sau: a, 132001 - 82001 b, 7552 - 218 c,12591 + 12692 d, 116 + 126 + 136 + 146 + 156 + 166 Hướng dẫn giải: Ta có a, 132001 - 82001 = (134)500 13 - (84)500 = ( 1) 13 - ( 6) = = b, 7552 - 218 = - = c,12591 + 12692 = + = d, 116 + 126 + 136 + 146 + 156 + 166 = + 124 122 + 134 132 + (142)3 + + = + + + + + = + + + + + = 9 Bài Tìm chữ số cuối số: a, A = b, B = Hướng dẫn giải: a, Xem xét số M = 9k , k ∈ N Cách 1: - Nếu k chẵn: k = 2m Ta có: M = 92 m = 81m = ( 80 + 1) = (10q + 1) m = 10t + m m, q, t ∈N Suy M tận k chẵn m +1 2m - Nếu k lẻ: k = 2m + 1.Ta có: M = = 9 = (10t + 1).9 = 10 p + với m, p, t ∈ N Suy M tận k lẻ 9 Ta có: số lẻ Do có chữ số tận 9 Cách 2: ta xét quy luật tuần hồn 9k b, Ta có: 8 23 = 281 = ( 25 ) = 3216.2 = ( 30 + ) = 10q + 217 = 10q + ( 25 ) 2 = 10q + ( 10 p + ) 2 16 16 3 = 10t + 25 = 10h + Vậy B tận Cách 2: ta xét quy luật tuần hoàn 2k Bài 10: Tìm chữ số tận số sau: a, (2345)42 b, (5796)35 Hướng dẫn giải: Ta có a, (2345)42 = 2345 42 = 234210 = (2342)105 = (…6)105 = …6 b, (5796)35 = 5796.35 = 579210 = (5792)105 = (…1)105 = …1 Bài 11 Cho S = + +32 +33 + + 330 Tìm chữ số tận S CMR: S không số phương Hướng dẫn giải: S = + +32 +33 + + 330 = (1 + + + 27 ) + (…1 + …3 + …9 + …7 ) + … +(…1 + …3 + …9 + … ) +(…1 + …3 + …9 ) = …0 +…0 + …0 +… +…0 + …3 = ….0.8 + …3 = …0 + …3 = …3 Vậy chữ số tận S Vì số phương khơng có chữ số tận nên S khơng phải số phương 2.2.2.2 Dạng 2: Tìm hai chữ số tận cùng: Phương pháp giải Nhận xét: Nếu x Є N x = 100k + y, k ; y Є N hai chữ số tận x hai chữ số tận y Hiển nhiên y ≤ x Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận số tự nhiên x thay vào ta tìm hai chữ số tận số tự nhiên y (nhỏ hơn) Rõ ràng số y nhỏ việc tìm chữ số tận y đơn giản Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận số tự nhiên x = am sau Trường hợp 1: Nếu a chẵn x = a m M2m Gọi n số tự nhiên cho a n - M 25 9 Viết m = pn + q (p ; q Є N), q số nhỏ để aq M4 ta có: x = am = aq(apn - 1) + aq Vì an - M25 => apn - M25 Mặt khác, (4, 25) = nên aq(apn - 1) M100 Vậy hai chữ số tận a m hai chữ số tận a q Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận aq Trường hợp 2: Nếu a lẻ, gọi n số tự nhiên cho an - M100 Viết m = un + v (u ; v Є N, ≤ v < n) ta có: x = am = av(aun - 1) + av Vì an - M100 => aun - M100 Vậy hai chữ số tận a m hai chữ số tận a v Tiếp theo, ta tìm hai chữ số tận av Trong hai trường hợp trên, chìa khóa để giải tốn phải tìm số tự nhiên n Nếu n nhỏ q v nhỏ nên dễ dàng tìm hai chữ số tận aq av (*) Để tìm số hai chữ số tận luỹ thừa, ta ý : - Các số có tận 01, 25, 76 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 01, 25, 76 - Các số 320 (hoặc 815), 74, 512, 992 có hai chữ số tận 01 - Các số 220, 65, 184, 242 ,684 ,742 có hai chữ số tận 76 - Số 26n (n > 1) có hai chữ số tận 76 * Bài tập áp dụng Bài 12: Tìm hai chữ số tận số: a) a2003 b) 799 Hướng dẫn giải: a) Do 22003 số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên n nhỏ cho 2n - M25 Ta có 210 = 1024 => 210 + = 1025 M25 => 220 - = (210 + 1)(210 - 1) M25 => M 23(220 1) 100 Mặt khác: 22003 = 23(22000 - 1) + 23 = 23((220)100 - 1) + 23 = 100k + (k Є N) Vậy hai chữ số tận 22003 08 10 10 b) Do 799 số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên n bé cho n M100 Ta có 74 = 2401 => 74 - M100 Mặt khác: 99 - M4 => 99 = 4k + (k Є N) Vậy 799 = 74k + = 7(74k - 1) + = 100q + (q Є N) tận hai chữ số 07 Bài 13: Tìm số dư phép chia 3517 cho 25 Hướng dẫn giải: Trước hết ta tìm hai chữ số tận 517 Do số lẻ nên theo trường hợp 2, ta phải tìm số tự nhiên n nhỏ cho 3n - M100 Ta có 310 = 95 = 59049 => 310 + M50 => 320 - = (310 + 1) (310 - 1) M100 Mặt khác: 516 - M4 => 5(516 - 1) M20 => 517 = 5(516 - 1) + = 20k + =>3517 = 320k + = 35(320k - 1) + 35 = 35(320k - 1) + 243, có hai chữ số tận 43 Vậy số dư phép chia 3517 cho 25 18 Trong trường hợp số cho chia hết cho ta tìm theo cách gián tiếp Trước tiên, ta tìm số dư phép chia số cho 25, từ suy khả hai chữ số tận Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho để chọn giá trị Các toán cho thấy rằng, a = a = n = 20 ; a = n = Một câu hỏi đặt là: Nếu a n nhỏ ? Ta có tính chất sau Tính chất 4: Nếu a Є N (a, 5) = a20 - M25 Bài 14: Tìm hai chữ số tận tổng: a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + + 20042002 b) S2 = 12003 + 22003 + 32003 + + 20042003 11 11 Hướng dẫn giải: a) Dễ thấy, a chẵn a chia hết cho ; a lẻ a 100 - chia hết cho ; a chia hết cho a2 chia hết cho 25 Mặt khác, từ tính chất ta suy với a Є N (a, 5) = ta có a 100 - M 25 Vậy với a Є N ta có a2(a100 - 1) M100 Do S1 = 12002 + 22(22000 - 1) + + 20042(20042000 - 1) + 22 + 32 + + 20042 Vì hai chữ số tận tổng S hai chữ số tận tổng 12 + 22 + 32 + + 20042 áp dụng công thức: 12 + 22 + 32 + + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 =>12 + 22 + + 20042 = 2005 x 4009 x 334 = 2684707030, tận 30 Vậy hai chữ số tận tổng S1 30 b) Hoàn toàn tương tự câu a, S2 = 12003 + 23(22000 - 1) + + 20043(20042000 - 1) + 23 + 33 + 20043 Vì thế, hai chữ số tận tổng S hai chữ số tận 13 + 23 + 33 + + 20043 áp dụng công thức: => 13 + 23 + + 20043 = (2005 x 1002)2 = 4036121180100, tận 00 Vậy hai chữ số tận tổng S2 00 Trở lại toán (TTT2 số 15), ta thấy sử dụng việc tìm chữ số tận để nhận biết số khơng phải số phương Ta nhận biết điều thơng qua việc tìm hai chữ số tận Ta có tính chất sau Tính chất 5: Số tự nhiên A khơng phải số phương nếu: + A có chữ số tận 2, 3, 7, ; + A có chữ số tận mà chữ số hàng chục chữ số chẵn ; + A có chữ số hàng đơn vị khác mà chữ số hàng chục lẻ ; 12 12 + A có chữ số hàng đơn vị mà chữ số hàng chục khác ; + A có hai chữ số tận lẻ Bài 15: Cho n Є N n - không chia hết cho Chứng minh n + số phương Hướng dẫn giải: Do n - khơng chia hết n = 4k + r (r Є {0, 2, 3}) Ta có 74 - = 2400 M100 Ta viết 7n + = 74k + r + = 7r(74k - 1) + 7r + Vậy hai chữ số tận n + hai chữ số tận r + (r = 0, 2, 3) nên 03, 51, 45 Theo tính chất rõ ràng n + khơng thể số phương n khơng chia hết cho Bài 16: Tìm số hai chữ số tận 71991 Hướng dẫn giải: 74 = 2401, số có tận 01 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 01 Suy 1991 = 71988 73 = (7 ) 497 343 = ( 01) 497 343 = ( 01) 343 = 43 Bài 17: Tìm số hai chữ số tận 2100 Hướng dẫn giải: 210= 1024 Bình phương số tận 24 tận 76 Mà số có tận 76 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận bằng76 ( ) 2100 = 210 10 = ( 1024 ) 10 ( = 10242 ) = ( 76 ) 5 = 76 Bài 18: Tìm hai chữ số tận 2999 Hướng dẫn giải: Ta có: 210 + = 1024 +1 = 1025 M25 ⇒ 220 - M25 Ta lại có: 21000 - = (220)50 -1 M220 - ⇒ 21000 - M25 Do 21000 - tận 26 51 76 Nhưng 21000 M4 nên 21000 tận 76 ⇒ 2999 tận 38 88 Vì 2999 M4 nên 2999 tận 88 Bài 19: Tìm hai chữ số tận 5n (n>1) Hướng dẫn giải: 52 = 25 Các số có tận 25 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 25 Nếu n chẵn 5n = 52k = 25k tận 25 Nếu n lẻ 5n = 52k + = 25k = …25 = …25 Bài 20: Tìm hai chữ số tận a, 5151 b, (9999)99 c, 6666 d, 14101 16101 Hướng dẫn giải: a, 5151 = (512)25 51 = (…01)25 51 = …01 51 = …51 b, (9999)99 = 9999.99 = 999801 = (992)4900 99 = …01 99 = …99 13 13 c, 6666 = (65)133 = …76 = …456 = …56 d, 14101 16101 = (14 16)101 = 224101 = (2242)50 224 = 76 224 = 24 2.2.2.3 Dạng 3: Tìm ba, bốn chữ số tận cùng: Phương pháp giải Nhận xét: Tương tự trường hợp tìm hai chữ số tận cùng, việc tìm ba chữ số tận số tự nhiên x việc tìm số dư phép chia x cho 1000 Nếu x = 1000k + y, k ; y Є N ba chữ số tận x ba chữ số tận y (y ≤ x) Do 1000 = x 125 mà (8, 125) = nên ta đề xuất phương pháp tìm ba chữ số tận số tự nhiên x = am sau: Trường hợp 1: Nếu a chẵn x = a m chia hết cho 2m Gọi n số tự nhiên cho an - chia hết cho 125 Viết m = pn + q (p ; q Є N), q số nhỏ để a q chia hết cho ta có: x = am = aq(apn - 1) + aq Vì an - chia hết cho 125 => apn - chia hết cho 125 Mặt khác, (8, 125) = nên aq(apn - 1) chia hết cho 1000 Vậy ba chữ số tận am ba chữ số tận a q Tiếp theo, ta tìm ba chữ số tận aq Trường hợp 2: Nếu a lẻ , gọi n số tự nhiên cho an - chia hết cho 1000 Viết m = un + v (u ; v Є N, ≤ v < n) ta có: x = am = av(aun - 1) + av Vì an - chia hết cho 1000 => aun - chia hết cho 1000 Vậy ba chữ số tận am ba chữ số tận a v Tiếp theo, ta tìm ba chữ số tận av Tính chất sau suy từ tính chất Tính chất 6: Nếu a Є N (a, 5) = a100 - chia hết cho 125 14 14 Chứng minh: Do a20 - chia hết cho 25 nên a 20, a40, a60, a80 chia cho 25 có số dư => a20 + a40 + a60 + a80 + chia hết cho Vậy a 100 - = (a20 - 1)( a80 + a60 + a40 + a20 + 1) chia hết cho 125 (*) Để tìm số ba chữ số tận trở lên luỹ thừa: - Các số có tận 001, 376, 625 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 001, 376, 625 - Các số có tận 0625 nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 0625 - Các số có tận nâng lên luỹ thừa chẵn số có tận - Các số có tận nâng lên luỹ thừa chẵn số có tận - Các số có tận nâng lên luỹ thừa lẻ số có tận Bài 21: Tìm ba chữ số tận 123101 Hướng dẫn giải: Theo tính chất 6, (123, 5) = => 123 100 - chia hết cho 125 (1) Mặt khác: 123100 - = (12325 - 1)(12325 + 1)(12350 + 1) => 123100 - chia hết cho (2) Vì (8, 125) = 1, từ (1) (2) suy ra: 123100 - chi hết cho 1000 => 123101 = 123(123100 - 1) + 123 = 1000k + 123 (k ∩ N) Vậy 123101 có ba chữ số tận 123 Bài 22: Tìm ba chữ số tận 3399 98 Hướng dẫn giải: Theo tính chất 6, (9, 5) = => 9100 - chi hết cho 125 (1) Tương tự 21, ta có 9100 - chia hết cho (2) Vì (8, 125) = 1, từ (1) (2) suy ra: 100 - chia hết cho 1000 => 3399 98 = 9199 = 9100p + 99 = 999(9100p - 1) + 999 = 1000q + 999 (p, q Є N) Vậy ba chữ số tận 3399 98 ba chữ số tận 999 15 15 Lại 9100 - chia hết cho 1000 => ba chữ số tận 100 001 mà 999 = 9100: => ba chữ số tận 99 889 (dễ kiểm tra chữ số tận 99 9, sau dựa vào phép nhân để xác định ) Vậy ba chữ số tận 3399 98 889 Nếu số cho chia hết cho ta tìm ba chữ số tận cách gián bước: Tìm dư phép chia số cho 125, từ suy khả ba chữ số tận cùng, cuối kiểm tra điều kiện chia hết cho để chọn giá trị Bài 23: Tìm ba chữ số tận 2004200 Hướng dẫn giải: (2004, 5) = (tính chất 6) => 2004100 chia cho 125 dư => 2004200 = (2004100)2 chia cho 125 dư => 2004200 tận 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876 Do 2004200 chia hết tận 376 Từ phương pháp tìm hai ba chữ số tận trình bày, mở rộng để tìm nhiều ba chữ số tận số tự nhiên Bài 24: Tìm số chữ số tận 51992 1992 =( ) 498 = ( 0625 ) 498 = 0625 Hướng dẫn giải: 2.2.2.4 Dạng 4: Một số dạng tập chứng minh chia hết liên quan đến tìm chữ số tận Bài 25: CMR: 8102 - 2102 M10 102 Hướng dẫn giải: 102 =( ) 25 =( ) 25 82 = ( ) 64 = ( ) 64 = 25 22 = 1625.4 = ( ) = 8102 - 2102 tận nên chia hết cho 10 Bài 26: Chứng minh 261570 chia hết cho Hướng dẫn giải: Ta thấy: 265 = 11881376, số có tận 376 nâng lên luỹ thừa (khác 0) có tận 376 Do đó: 261570 = (265)314 = (…376)314 = (…376) Mà 376 chia hết cho Một số có ba chữ số tận chia hết cho chia hết cho Vậy 261570  Bài 27: Chứng tỏ 175 + 244 - 1321 chia hết cho 10 Hướng dẫn giải: Ta xét chữ số tận 175 ; 244 ; 1321 16 16 - Ta xét chữ số tận 175 Ta thấy số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc số có chữ số tận hay 17 = Suy 175 = 174 17 = 17 = tận - Ta xét chữ số tận 244 Ta thấy số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc số có chữ số tận hay 244 = tận - Ta xét chữ số tận 1321 Ta thấy số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc số có chữ số tận hay 13 = mà 21 = + nên 13 21 = (134)5 13 = 13 = Suy 1321 tận - Suy ra: 175 + 244 - 1321 = + - = chia hết cho 10 Bài 28: Cho A =51n+ 47102 (n ∈ N) Chứng tỏ A chia hết cho 10 Hướng dẫn giải: Ta có 51n = 47102 = (474)25 472 = = A =51n+ 47102 = + = chia hết cho 10 Bài 29: Chứng tỏ vói số tự nhiên n: a, 74n-1 chia hết cho b, 34n+1 +2 chia hết cho c, 24n+1+3 chia hết cho d, 24n+2+1 chia hết cho e, 92n+1+1 chia hết cho 10 Hướng dẫn giải: a, 74n -1 chia hết cho 74n -1 = - = 0chia hết cho b, 34n+1 +2 chia hết cho 34n+1 +2 = 34n +2 = + = + = chia hết cho c, 24n+1 +3 chia hết cho 24n+1 +3 = 24n + = + = + = chia hết cho d, 24n+2+1 chia hết cho 24n+2+1 = 24n 22 +1 = + = + = chia hết cho e, 92n+1+1 chia hết cho 10 92n+1+1 = 92n + = + = + = chia hết cho 10 19781970 Bài 30: CMR: a, 6870 − M10 b, 99 99 − 79 M 100 Hướng dẫn giải: Ta có a, 71978 = (74)494 72 = 49 = Số mũ 1970 số mũ chẵn nên ( 9)1970 = 368 = (34)17 = ( 1)17 = Khi ( 1)70 = 1970 71978 − 368 17 70 = …1 - …1 = …0 chia hết cho 10 17 20042006 9294 (7 −3 ) 10 Bài 31: Chứng minh A = số tự nhiên Hướng dẫn giải: 2004 Ta có 392 => 94 2004 2006 2006 = 74n có chử số tận = 34m - 92 94 có chử số tận 2004 có chử số tận => 2006 94 92 - 10 20042006 9294 (7 −3 ) 10 Vậy A = số tự nhiên Bài 32: Tìm số dư phép chia: a) 21 + 35 + 49 + … + 20038005 cho Hướng dẫn giải: Các số mủ số hạng có dạng 4n + Mọi số tự nhiên n nâng lên lũy thừa bậc 4n + chử số tận không thay đổi Nên chử số tận số hạng dãy + 35 + 49 + + 20038005 không thay đổi Số số hạng có chử số tận là ( 2002 – 2): 10 + = 20 1số Số số hạng có chử số tận ( 1994 – 4): 10 + = 200 số Số số hạng có chử số tận ( 1995 – 5): 10 + = 200 số Số số hạng có chử số tận ( 1996 – 6): 10 + = 200 số Số số hạng có chử số tận ( 1997 – 7): 10 + = 200 số Số số hạng có chử số tận ( 1998 – 8): 10 + = 200 số Số số hạng có chử số tận ( 1999 – 9): 10 + = 200 số Số số hạng có chử số tận ( 2001 – 11): 10 + = 200 số Vậy chử số tận dãy 201(3+ 2) + 200(1 + + + + + + 9) = 9005 18 18 Suy số dư phép chia: 21 + 35 + 49 + … + 20038005 cho b, 23 + 37 + 411 + … + 20038007 cho Hướng dẫn giải: Các số mủ số hạng có dạng 4n + Mọi số tự nhiên có tận 0; 1; 4; ; nâng lên lũy thừa bậc 4n + chử số tận khơng thay đổi Các số có chử số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chử số tận Các số có chử số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chử số tận Các số có chử số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chử số tận Các số có chử số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n + có chử số tận Số số hạng có chử số tận là ( 2002 – 2): 10 + = 201 số Số số hạng có chử số tận 1;4;5;6;7;8;9 ( 2001 – 11): 10 + = 200 số Vậy chử số tận dãy 201(8+ 7) + 200(1 + + + 9) + 200.5 + 200(2+3) = 9015 Suy số dư phép chia: 23 + 37 + 411 + … + 20038007 cho 2.3 Kết đạt Sau áp dụng đề tài tiến hành khảo sát với nội dung kiến thức liên quan đến Tìm số chữ số tận 15 học sinh khối Kết đạt sau: 0-