BÀI TẬP TỔ HỢP Bài 1: Hỏi có bao nhiêu đa thức bậc ba P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d mà các hệ số a, b, c, d thuộc tập {-3, -2, 0, 2, 3}. Biết rằng: a. Các hệ số tùy ý? b. Các hệ số đều khác nhau? Giải: a. Có 4 cách chọn hệ số a vì a ≠ 0. Có 5 cách chọn hệ số b, 5 cách chọn hệ số c, 5 cách chọn hệ số d. Vậy có 4 x 5 x 5 x 5 = 500 đa thức. b. Có 4 cách chọn hệ số a (a≠ 0) - Khi đã chọn a, có 4 cách chọn b - Khi đã chọn a và b, có 3 cách chọn c. - Khi đã chọn a, b và c, có 2 cách chọn d. Theo quy tắc nhân có: 4 x 4 x 3 x 2 = 96 đa thức. Bài 2: Để tạo những tín hiệu, người ta dùng 2 lá cờ màu khác nhau cắm thành hàng ngang. Mỗi tín hiệu được xác định bở số lá cờ và thứ tự sắp xếp. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu tín hiệu nếu: a. Cả năm lá cờ đều được dùng? b. Ít nhất một lá cờ được dùng? Giải: a. Nếu dùng cả 5 lá cờ thì mỗi tín hiệu chính là một hoán vị của 5 lá cờ. Vậy có 5!=120 tín hiệu được tạo ra. b.Mỗi tín hiệu tạo bởi k lá cờ là một chỉnh hợp chập k của 5 phần tử. Theo quy tắc cộng, có tất cả 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 325A A A A A+ + + + = tín hiệu. Bài 3: Từ một tổ gồm 6 bạn nam và 5 bạn nữ, chọn ngẫu nhiên 5 bạn xếp vào bànd 9ầu theo những thứ tự khác nhau. Tính xác suất sao cho trong cách xếp trên có đúng 3 bạn nam. Bài 4: Một tổ chuyên môn gồm 7 thầy và 5 cô giáo, trong đó thấy P và cô Q là vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 5 người để lập hội đồng chấm thi vấn đáp. Tính xác suất để sao cho hội đồng có 3 thầy, 2 cô và nhất thiết phải có thầy P hoặc cô Q nhưng không có cả hai. Bài 5: Sáu bạn, trong đó có bạn H và K, được xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc. Tính xác suất sao cho: a. Hai bạn H và K đứng liền nhau; b. hai bạn H và K không đứng liền nhau. Bài 6: Tổ I có 6 nam và 7 nữ, tổ II có 8 nam và 4 nữ. Để lập một đoàn đại biểu, lớp trưởng chọn ngẫu nhiên từ mỗi tổ hai người. Tính xác suất sao cho đoàn đại biểu gồm toàn nam hoặc toàn nữ. Bài 7: Xét phép thử gieo một đồng tiền 3 lần. a. Xác định không gian mẫu b. Gọi X là số lần xuất hiện mặt gấp S, hãy liệt kê các giá trị mà X có thể nhận. c. Tính các xác suất để X nhận các giá trị đó Bài 8: Từ một hộp có 3 bi xanh và 6 bi đỏ, chọn ngẫu nhiên 4 bi. Gọi Y là số bi xanh trong 4 bi đã chọn. a. Lập bảng phân phối xác suất của Y. b. Tính xác suất sao cho trong 4 bi đã chọn có ít nhất 1 bi xanh b. Tính xác suất sao cho trong 4 bi đã chọn có nhiều nhất 2 bi đỏ, III. BÀI TẬP: 1. Phân phối 4 quả cầu khác nhau vào 3 cái hộp khác nhau (có thể có hộp không chứa quả cầu nào sau khi xếp). Hỏi có bao nhiêu cách phân phối? 2. Để tổ chức một trò chơi giữa hai lớp A và B, mỗi lớp cử 5 bạn tham gia. Người ta đặt hai dãy 5 ghế hai bên một chiếc bàn dài. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi sao cho: a. Không có hai bạn cùng lớp ngồi đối diện nhau. b. Không có hai bạn cùng lớp ngồi đối diện nhau hoặc cạnh nhau? 3. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn vào ngồi quanh 2 bàn tròn sao cho bàn thứ nhất có 6 bạn, bàn thứ hai có 4 bạn? Chú ý rằng hai cách xếp n người cụ thể vào ngồi quanh bàn tròn được coi là như nhau nếu bạn bên trái mỗi người trong cách xếp này cũng chính là bạn trong cách xếp kia. 4. Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 6 nam, 4 nữ vào ngồi quanh một bàn tròn sao cho: a. Sự sắp xếp là tùy ý? b. Không có 2 nữ nào ngồi cạnh nhau? 5. a. Một tổ có 6 nam, 5 nữ. Có bao nhiêu cách phân công 4 bạn làm trực nhật sao cho trong đó phải có đúng k nam (k = 0, 1, 2, 3, 4)? Từ đó chứng minh rằng: 4 4 0 3 1 2 2 1 3 0 4 11 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 C C C C C C C C C C C= + + + + b. Chứng minh đẳng thức: 0 1 1 0 . r r r r n m n m n m n m C C C C C C C − + = + + + Ở đây n, m ≥ 1 và r ≤ n, r ≤ m. 6. Có bao nhiêu cách xếp thành hàng ngang 4 quyển Toán khác nhau, 3 quyển Lí khác nhau và 2 quyển Hóa khác nhau lên giá sách nếu: a. Các quyển được sắp tùy ý? b. Các quyển cùng môn phải cạnh nhau? c. Các quyển toán cạnh nhau, còn các quyển khác xếp tùy ý? 7. Một tổ gồm 6 nam, 6 nữ được xếp ngẫu nhiên vào 6 bàn, mỗi bàn 2 bạn. Tính xác suất sao cho: a. Không bàn nào có 1 nam và 1 nữ b. Có đúng 4 bàn được xếp 1 nam và 1 nữ. 9. Tìm các số hạng không chứa x trong các khai triển: a. 6 6 1 1 2 2 x x x x     − +  ÷  ÷     b. 3 5 1 1 x x x x     + −  ÷  ÷     10. Trong khai triển của (x + a) 3 (x – b) 6 hệ số của x 7 là -9 và không có số hạng chứa x 8 . Tìm a và b . BÀI TẬP TỔ HỢP Bài 1: Hỏi có bao nhiêu đa thức bậc ba P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d mà các hệ số a, b, c, d thuộc tập {-3, -2, 0, 2, 3} đứng liền nhau. Bài 6: Tổ I có 6 nam và 7 nữ, tổ II có 8 nam và 4 nữ. Để lập một đoàn đại biểu, lớp trưởng chọn ngẫu nhiên từ mỗi tổ hai người. Tính xác