SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học: 2019 – 2020 Mơn thi: Tốn (chung) – Đề Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên tự nhiên Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm: 01 trang) Câu (2,0 điểm) 2019  x 3 x9 2) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng y   m  1 x  đường thẳng 1) Tìm điều kiện xác định biểu thức P  y  x  m  (với m  1 ) hai đường thẳng song song 3) Cho tam giác ABC vuông A có AB = 6cm, BC = 10cm Tính độ dài đường cao kẻ từ A xuống cạnh BC 4) Một hình trụ có diện tích hình tròn đáy 9 cm2, độ dài đường sinh 6cm Tính thể tích hình trụ  a 1   a2  a a  a 1   a  :  Câu (1,5 điểm) Cho biểu thức P    với a  0, a  a 1  a 1   a 1  1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị số nguyên Câu (2,5 điểm) 1) Cho phương trình x  2(m  2) x  m   (với m tham số) a) Giải phương trình với m  b) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (giả sử x1  x2 ) thỏa mãn x1  x2   2) Giải phương trình  x4 2    x   2 x Câu (3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD (BD < AC) Đường tròn (O) đường kính AC cắt tia  AB, AD H, I khác A Trên dây HI lấy điểm K cho HCK ADO Tiếp tuyến C đường tròn (O) cắt BD E (D nằm B, E) Chứng minh rằng: AO.KC 1) CHK # DAO HK  OB 2) K trung điểm đoạn HI 3) EI EH  4OB  AE Câu (1,0 điểm) ( x  y )   y  x  ( x  1)( y  1)  1) Giải hệ phương trình  xy  y  x  11 5  x3   2) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z  2019 xyz Chứng minh x   2019 x  y   2019 y  z   2019 z     2019.2020 xyz x y z HẾT -Họ tên thí sinh: Số báo danh: Họ tên, chữ kí GT 1: Họ tên, chữ kí GT 2: HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ BIỂU ĐIỂM DỰ KIẾN: Câu Phần Nội dung Điểm 2019  x  x 3 x   x  ĐKXĐ:  x     x  x    P 1) 0.5 Hai đường thẳng y   m2  1 x  y  3x  m  (với m  1 ) song song với 2) m   m2   m  2     m  2 (TMĐK) m  7  m  m  Vậy m  2 giá trị cần tìm 0.5 B Câu (2,0đ) H 3) A C 0.5 Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có: AC  BC  AB  102  62  (cm) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông, ta có: AH BC  AB AC  AH  4) AB AC 6.8   4,8 (cm) BC 10 Trong hình trụ chiều cao độ dài đường sinh  h  cm Thể tích hình trụ là: V  S h  9  54 (cm3) 0.5  a 1   a2  a a  a 1   a  :  P    a 1  a 1   a 1    1) Câu (1,5đ) 2)   a  1  a  a  1 : a a  a  1 a 1  a  1 a  1 a 1  a  a   a  a   4a a  a :a a a 1 4a a  :a a  a 1 a 1 với a  0, a  Vậy P  a 1 Với a  Z , a  0, a   a    Z  4 a  P nhận giá trị nguyên  a 1 Mà a    a   1; 2; 4  a  2;3;5  1.0 0.5 Với m = 0, ta có phương trình: 1a) 1b) x2  4x   0.5 Giải phương trình x1  1; x2  Phương trình x  2(m  2) x  m   Ta có ac  m2   m  Phương trình có hai nghiệm trái dấu Mà x1  x2  x1   x2  x1   x1 ; x2   x2  1.0 Do đó: x1  x2     x1  x2    x1  x2  6 Lại có: x1  x2  2(m  2) (theo hệ thức Vi-ét) Câu (2,5đ)  2(m  2)  6  m  Vậy m  giá trị cần tìm  x4 2    x   2 x (1) ĐK: 4  x  Dễ thấy x  nghiệm phương trình (1) Xét x  Nhân hai vế (1) với  x  2) x    x   2 x   x   2   4 x 2 4 x 2     1.0   x  2  x    x  (vơ nghiệm) Vậy nghiệm phương trình (1) x  A B H 1 O K 0.25 D Câu (3,0đ) C I F≡E  CHK  DAO có: 1)  D  (GT) ; A 1  H    sđIC  HCK       CHK #  DAO (g-g) 0.75 HK KC AO.KC AO.KC   HK   (1) AO OD OD OB 1  O 1  K 2  O 2 Từ  CHK #  DAO  K  CIK  BAO có:    sđHC  2  O  ; I1  A K       CIK #  BAO (g-g) IK KC AO.KC    IK  (2) AO OB OB Từ (1) (2)  HK = IK Vậy K trung điểm HI Gọi F giao điểm BD HI 2  O  O 3  O 2  O 3  K 2 Ta có K   OCF   OKCF tứ giác nội tiếp  OKF   90o Vì K trung điểm dây HI  OK  HI  OKF   90o  FC tiếp tuyến (O)  F  E  OCF Dễ chứng minh  ECI #  EHC (g-g)  EC2 = EI.EH (3) 2 2 Vì AC > BD  AC > BD  AC > 4OB (4)  ACE vuông C  AE2 = EC2 + AC2 (5) Từ (3), (4), (5)  EI.EH + 4OB2 < EC2 + AC2 = AE2 (đpcm)  2) 3) ( x  y )   y  x  ( x  1)( y  1)   xy  y  x  11 5  x3   ĐK: x  1; y  1.0 1.0 (1) (2) Đặt x   a , y   b  a  0, b    x  a  1; y  b  Phương trình (1) trở thành: (a  b  2)   3(b  1)  5(a  1)  2ab  (a  b  2)   3b  5a   2ab   (a  b  2)   4(a  b  2)  a  b  2ab  Câu (1,0đ)  ( a  b )  ( a  b)  1) 0.5  (a  b) [(a  b)  1]   ( a  b)  ab  x 1  y 1  y  x  (3) (2)  xy  y  x  11  x3  (4) Thay (3) vào (4) được: x( x  2)  5( x  2)  x  11  x3   x  x  x  10  x  11  x3   3x  x   x3   3( x  x  1)  2( x  1)  x  x  x     x2  x   x    x2  x   x    x2  x   x    x  x   4( x  1)  x2  5x    37 (TMĐK) x  37  37 Với x  y 2 Vậy nghiệm hệ phương trình   37  37    37  37   ; ; ;  2   2     x; y    Ta có: x  y  z  2019 xyz  2019 x  x  xy  xz yz x  xy  xz  yz ( x  y )( x  z )  x   x   2019 x       1  1 yz yz  y  z   x  x   x x  x1 1  2019 x     1   1           2 y z  y  z   y z  (theo BĐT Cô-si) x1 1 x2       2 y z x   2019 x  11 1    x     x x x 2 y z 2 Tương tự: 2) y   2019 y  11 1  y     y y 2 z x z   2019 z  11 1  z     z z 2 x y 1 1  VT  x  y  z      x y z Chứng minh ( x  y  z )  3( xy  yz  zx)  1  3( xy  yz  zx) 2019.3( xy  yz  zx)  3      2019 xyz xyz x y z 2019.( x  y  z )   2019( x  y  z ) x yz  VT  2020( x  y  z )  2020.2019 xyz  VP  Đpcm Thầy Nguyễn Mạnh Tuấn Trường THCS Cẩm Hoàng – Cẩm Giàng – Hải Dương 0.5 ... zx)  1  3( xy  yz  zx) 2019. 3( xy  yz  zx)  3      2019 xyz xyz x y z 2019. ( x  y  z )   2019( x  y  z ) x yz  VT  2020( x  y  z )  2020 .2019 xyz  VP  Đpcm Thầy Nguyễn... có: x  y  z  2019 xyz  2019 x  x  xy  xz yz x  xy  xz  yz ( x  y )( x  z )  x   x   2019 x       1  1 yz yz  y  z   x  x   x x  x1 1  2019 x     1... KIẾN: Câu Phần Nội dung Điểm 2019  x  x 3 x   x  ĐKXĐ:  x     x  x    P 1) 0.5 Hai đường thẳng y   m2  1 x  y  3x  m  (với m  1 ) song song với 2) m   m2   m