ƠN TẬP HỌC KÌ I TỐN PHẦN 1: ĐẠI SỐ CHƯƠNG 1: CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA Dạng 1: Vói a;b ≥ ta có a2 > b2 ⇔ a > b ⇔ a > b a.d > b.d voi d>0 a > b  Chú ý tính chất : a > b ⇔ a + c > b + c ∀c ; a > b ⇔  ; ⇒ a+c > b+d a.d < b.d voi d d   A >  A >   B <  B > A > B ⇔ A − B > ; A.B > ⇔  ; A.B < ⇔   A < A <    B <  B >   Áp dụng so sánh: a\ b\ + 10 c\ + + d\ 2010 2009 2009 2010 Dạng 2: A xác định ( hay có nghĩa) ⇔ A ≥ VD: 2x − xác định ⇔ 2x − ≥ ⇔ x ≥ Áp dụng: Tìm điều kiện ẩn để thức sau có nghĩa x −1 + 2x + a\ 3x + b\ − 5x c\ d\ 2x − 5x − e\ ( x + ) ( x − 1) f\ g\ x + 2x + h\ x + 2x + 2 x − 3x + b ≥ Dạng 3: A = B ⇔  A ; B biểu thức chức biến biểu thức số A = B Áp dụng tìm x biết: a\ x + = b\ 2x + = −2 c\ 3x + = d\ x + + x − = 2x + 10  A A ≥ Dạng 4: A = A =   −A A ≤ Chú ý tính chấ t của giá tri ̣ tuyê ̣t đố i: A ≥ ∀A ; A ≥ A ∀A a\ A + B ≤ A + B dấ u “=” xảy ⇔ A.B > ( hay A và B cùng dấ u) ; A = − A ∀A b\ A − B ≥ A − B dấ u “=” xảy ⇔ A.B >0 B ≥ c\ A = B ⇔  ( điề u kiên B ≥ vì A ≥ ∀A ) ̣ A = ± B Á p dụng: 1\ Tính và thu gọn a\ ( ) d\ 5+ + 5− −2 4−2 2 −1 + ( 2−2 ) b\ (có 2009 dấ u căn) ( ) ( +1 − −2 ) c\ e\ Chứng minh f \ Chứng minh ( 5−2 ) − 6+2 + + + + + < 2 2 2 , a ≠ 1−a 1− a x+ x x− x )(1 − ) = − x với x > ,x ≠ c) (1+ x +1 x −1 b) ( a + 1−a a Bµi Chứng minh biểu thức sau khơng phụ thuộc vào biến số: x y −y x x x x x : + ): A= (x > ; y > ; x ≠ y ) B=( x −1 xy − x 1+ x x −1 Bµi Cho biểu thức : A = ( 45 + 63 )( − ) a) Tìm tập xác định B a ) Tìm TXĐ B b) Rút gọn A;B x −3 x −1 − a) Tìm TXĐ rút gọn P Bµi Cho P = 2+ x + a) Tìm TXĐ P 2− x − x −1 b) Rút gọn A;B 1 − Bµi Cho biểu thức : A =[ ]: 1− 1+ 3 Bµi cho P = ; B= (x > 0;x ≠ ) +1 x +1 c) Tím x để A = B B= x x −1 − x −1 x− x c) Tìm x để A = 6B b) Tìm giá trị nhỏ P + x ; Q = ( 12 − + ) + 18 x −4 b) Rút gọn P Q c) Tìm x 9P = Q II toán rút gọn: A.các bớc thực hiên: Phân tích tử mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn đợc) Tìm ĐKXĐ biểu thức: tìm TXĐ phân thức kết luận lại Quy đồng, gồm bớc: = + Chọn mẫu chung: tích nhân tử chung riêng, nhân tử lấy số mũ lớn + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng + Nhân nhân tử phụ với tử Giữ nguyên mẫu chung Bỏ ngoặc: cách nhân đa thức dùng đẳng thức Thu gọn: cộng trừ hạng tử đồng dạng Phân tích tử thành nhân tử (mẫu giữ nguyên)  Rót gän B.Bµi tËp lun tËp: x 2x − x − với ( x > x ≠ 1) x −1 x − x a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x = + 2 a+4 a +4 4−a + Bài Cho biểu thức : P = ( Với a ≥ ; a ≠ ) a +2 2− a a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị a cho P = a + Bài Cho biểu thức : A = Bài 3: Cho biểu thức A = x +1− x x + x + x −1 x +1 a/.Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa b/.Rút gọn biểu thức A c/.Với giá trị x A< -1 x+ x x− x )(1 − ) Bµi 4: Cho biểu thức A = (1 + x +1 x −1 a) Rút gọn A Bµi 5: Cho biÓu thøc : B = x −2 − x +2 + ( Với x ≥ 0; x ≠ ) b) Tìm x để A = - x x a/ Tìm TXĐ rút gọn biểu thức B b/ Tính giá trị B với x =3 c/ Tìm giá trị x ®Ĩ A = x +1 Bµi 6: Cho biĨu thức : P = x a/ Tìm TXĐ Bài 7: Cho biÓu thøc: Q=( + x x +2 + +5 x 4−x b/ Rót gän P a/ Tìm TXĐ rút gọn Q c/ Tính giá trị cđa BiĨu thøc biÕt a = 9-  c/ Tìm x để P = 1 a +1 − ):( − a −1 a a −2  a +2 ) a b/ Tìm a để Q dơng  a a− a a+ a   Bµi 8: Cho biĨu thøc: M =  −   a + − a −  a a/ Tìm ĐKXĐ M b/ Rút gọn M c/ Tìm giá trị a ®Ĩ M = - ƠN TẬP ĐẠI SỐ CHƯƠNG Hàm số y = ax + b hàm số bậc ⇔ a ≠ Hàm số đồng biến ⇔ a > Hàm số nghịch biến ⇔ a AC S ADEF = S ABC Tính AB ; AC Bài 20: Cho tam giác ABC vuông A, AB < AC; Gọi I giao điểm đường phân giác , · M trung điểm BC Cho biết BIM = 900 Tính BC : AC : AB ? Bài 21: Tính độ dài cạnh AB tam giác ABC vng A có hai đường trung tuyến AM BN cm cm Bài 22: Cho tam giác ABC cân A có AB = AC = 13cm ; BC = 10cm Tính cos A ƠN TẬP CHƯƠNG II: ĐƯỜNG TRỊN I\ Lí thuyế t: 1\ A∈ ( O; R ) ⇔ OA = R - Đường tròn qua đỉnh của tam giác là đường tròn ngoa ̣i tiế p tam giác Tâm của đường tròn ngoa ̣i tiế p tam giác là giao điể m của các đường phân giác của tam giác( chỉ cầ n giao của đ) Đinh li: tâm của đường tròn ngoa ̣i tiế p tam giác vuông là trung điể m của ca ̣nh huyề n ̣ ́ Đinh lí đảo: Nế u mô ̣t tam giác nô ̣i tiế p đường tròn có mô ̣t ca ̣nh là đường kinh thì đó là tam giác vuông ̣ ́ - Đường tròn nô ̣i tiế p tam giác là đường tròn tiế p xúc với ca ̣nh của tam giác, tâm của đường tròn nô ̣i tiế p tam giác là giao điể m của các đường phân giác của tam giác ( chỉ cầ n giao của đường) Các đinh lí: ̣ Định lí 1: a\ OM ⊥ AB ⇒ MA=MB b\ MA=MB AB không qua tâm O ⇒ OM ⊥ AB Định lí 2: a\ Trong đừơng trịn, đừơng kính dây lớn b\ AB= CD ⇔ OH = OK c\ ABOK Định lí 3: a\ MB tiếp tuyến (O) ⇔ B thuộc (O) MB ⊥ OB MA = MB · · b\ Hai tiếp tuyến MA MB cắt M ⇒ AMO = BMO · · AOM = BOM MO đường trung trực đoạn thẳng AB II BÀI TẬP Bµi Cho đường trịn (O ; R) cố định đường thẳng d cố định nằm bên ngồi đường trịn.Gọi H chân đường vng góc kẽ từ O đến d Gọi M điểm di động d; MA MB hai tiếp tuyến (O ; R) (A B tiếp điểm ) a) CMR: A ; B ; O ; H ; M thuộc đường tròn b) Dây AB (O ; R) cắt đoạn thẳng OH OM I K CMR: OI OH = OK OM = R2 c) CMR: Khi M thay đổi d dây AB ln qua điểm cố định Bµi Cho đường trịn (O) đường kính AB ; M điểm thuộc (O) ( M khác A B) Gọi C điểm đối xứng với A qua M Đường thẳng qua A song song với MB cắt (O) lần D Gọi E điểm đối xứng với A qua D CMR: · a) Góc MBD vng C , B , E thẳng hàng b) Xác định vị trí M thuộc (O) để CE tiếp tuyến (O) Bµi Cho đường tròn (O) đường tròn (O') tiếp xúc A Một cát tuyến qua A cắt (O) (O') điểm khác B C a) CMR: OB // O'C · b) Vẽ đường kính CD (O') ; gọi E trung điểm BD Tính số đo góc OEO' Bµi Cho ∆ABC vng A ( AB < AC ) , đường cao AH Gọi E điểm đối xứng với B qua H Đường tròn (O) đường kính CE cắt cạnh AC điểm khác K CMR: a) HA = HK b) HK tiếp tuyến (O) Bµi Trên nửa đường trịn (O) đường kính AB lấy điểm M ( M khác A B) Gọi d tiếp tuyến (O) M ; D C hình chiếu A B lên d a) CMR: AB = BC + AD ( G/ý = 2.OM) · b) Kẽ MH ⊥ AB H Tính số đo góc DHC c) Xác định vị trí M thuộc nửa (O) để SABCD lớn Bµi Trên nửa (O) đường kính AB lấy điểm C ( C khác A B) Gọi d tiếp tuyến C nửa (O) Qua A B kẽ hai đường thẳng song song với ( không thiết vuông góc với AB ) cắt d D E Gọi M trung điểm DE ; H hình chiếu M lên AB CMR: a) SAOM = SDOM từ suy MH = MD b) AB tiếp tuyến đường tròn đường kính DE Bµi Cho (O ; R) (O'; R) cắt A H Vẽ (O"; R) qua H cắt (O; R) ; (O'; R) điểm khác B C CMR: a) ABO''O' hình bình hành b) ∆ABC = ∆O"O'O c) H trực tâm ∆ABC Bµi Cho A nằm bên ngồi (O) ; vẽ ( A ; AO) Gọi CD tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn ( C thuộc (O) , D thuộc (A) ) Đoạn nối tâm OA cắt (O) H Gọi M trung điểm OD ; AM cắt DH K CMR: · a) DH tiếp tuyến (O) b) Tính số đo góc KOC Bµi Cho (O; 3cm) (O'; 1cm) tiếp xúc A Gọi BC tiếp tuyến chung (B thuộc (O) ; C thuộc (O') ) a) Tính độ dài đoạn thẳng BC b) Gọi BD đường kính (O) CMR: D , A , C thẳng hàng c) Tính độ dài đoạn thẳng BA ; AC Bµi 10 Cho (O) (O') tiếp xúc A Đường nối tâm OO' cắt (O) (O') điểm khác B C Gọi DE tiếp tuyến chung ( D thuộc (O) ; E thuộc (O') ) Các đường thẳng BD CE cắt K ; gọi M trung điểm BC CMR: a) DE = AK b) AK tiếp tuyến chung (O) (O') c) KM ⊥ DE · Bµi 11 Cho nửa (O; R) đường kính AB Trên nửa đường trịn lấy điểm C cho góc AOC nhọn Tiếp · tuyến C cắt tia đối tia AB D Tia phân giác góc CBD cắt nửa (O) E F Gọi M trung điểm dây EF; tia OM cắt tia DC K a) Tứ giác OEKF hình ? b) Tính theo R khoảng cách từ K đến đường thẳng AB Bµi 12 Cho nửa (O) đường kính AB Gọi H điểm tùy ý nằm O A Đường thẳng vng góc với AB H cắt nửa (O) C Gọi M trung điểm CH; K hình chiếu M lên OC Tia MK cắt nửa (O) D CMR: a) CH2 = CK CO b*) AB tiếp xúc với đường trịn ( C; CD) Bµi 13 Cho đường trịn (O) nội tiếp V ABC tiếp xúc cạnh AB; BC; CA D; F; E Gọi I hình chiếu F lên đoạn DE CMR: · · a) AB + AC - BC = 2.AD b*) BIF=CIF · c) Giả sử BOC = 1350 ; tứ giác ADOE hình ? Bµi 14 Cho nửa (O) đường kính AB ; vẽ đường tròn (O') tiếp xúc với nửa (O) C tiếp xúc với bán kính OA I Các dây CA CB nửa (O) cắt (O') điểm khác N M Tiếp tuyến M (O') cắt AB D cắt nửa (O) P CMR: a) M; O'; N thẳng hàng b) MN // AB c) BM BC = BD BA d*) BI = BP Bµi TËp Bỉ SUNG: Bµi Cho tam giác ABC (AB = AC ) kẻ đờng cao AH cắt đờng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác D a/ Chứng minh: AD đờng kÝnh b/ TÝnh gãc ACD c/ BiÕt AC = AB = 20 cm , BC =24 cm tÝnh b¸n kÝnh đờng tròn tâm (O) Bài Cho ( O) A điểm nằm bên đờng tròn Kẻ tiếp tuyến AB ; AC với đờng tròn ( B , C tiếp điểm ) a/ Chứng minh: OA ⊥ B b/ VÏ ®êng kÝnh CD chøng minh: BD// AO c/Tính độ dài cạnh tam gi¸c ABC biÕt OB =2cm ; OC = cm? Bài 3: Cho đờng tròn đờng kính AB Qua C thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến d với đờng tròn G ọi E , F lần lợt chân đờng vuông góc kẻ từ A , B đến d H chân đờng vuông góc kẻ tõ C ®Õn AB Chøng minh: a/ CE = CF b/ AC phân giác góc BAE c/ CH2 = BF AE Bài 4: Cho đờng tròn đờng kÝnh AB vÏ c¸c tiÕp tuyÕn A x; By tõ M đờng tròn ( M khác A, B) vẽ tiÕp tuyÕn thø nã c¾t Ax ë C c¾t B y D gọi N giao điểm BC Vµ AO CMR CN NB = a/ b/ MN ⊥ AB c/ gãc COD = 90V AC BD Bµi 5: Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn Vẽ điểm N đối xứng với A qua M BN cắt đường tròn C Gọi E giao điểm AC BM a) CMR: NE ⊥ AB b) Gọi F điểm đối xứng với E qua M CMR: FA tiếp tuyến (O) c) Chứng minh: FN tiếp tuyến đtròn (B;BA) d/ Chứng minh : BM.BF = BF2 – FN2 Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, M điểm tuỳ ý nửa đường tròn ( M ≠ A; B).Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn.Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax By C D a) Chứng minh: CD = AC + BD góc COD = 900 b) Chứng minh: AC.BD = R2 c) OC cắt AM E, OD cắt BM F Chứng minh EF = R d) Tìm vị trí M để CD có độ dài nhỏ Bài 7: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Qua A B vẽ tiếp tuyến (d) (d’) với đường tròn (O) Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) M cắt đường thẳng (d’) P Từ O vẽ tia vuông góc với MP cắt đường thẳng (d’) N a/ Chứng minh OM = OP tam giác NMP cân b/ Hạ OI vuông góc với MN Chứng minh OI = R MN tiếp tuyến đường tròn (O) c/ Chứng minh AM.BN = R2 d/ Tìm vị trí M để diện tích tứ giác AMNB nhỏ Vẽ hình minh hoạ Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Từ điểm M nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy Vẽ AD BC vuông góc với xy a/ Chứng minh MC = MD b/ Chứng minh AD + BC có giá trị không đổi điểm M chuyển động nửa đường tròn Baì 9: Cho ∆ABC vng A, đường cao AH vẽ tia phân giác góc B cắt AH P cắt AC Q µ µ a) Cho AB = 12cm; AC = 16cm Tính: AH , BH, PA ,PH , B; C b) Cho AB = 24cm; BH = 19,2cm Tính: BC, AC, QA, QC c) Chứng minh :PA.QA = PH.QC 15 Bài 10: Hãy tính sinα tgα biết: a) cosα = b) cosα = 0,6 17 Bài 11: Rút gọn biểu thức: a) - sin2α b) (1-cosα)(1 + cosα) c) 1+ sin2α + cos2α d) sinα - sinαcos2α e)sin4α + cos4α + 2sin2αcos2α g) tg2α - sin2α tg2α Bài 12: Tính diện tích tam giác ABC biết: µ µ µ µ a) BC =24cm; B = 250 ; C = 360 b) BC = 36cm ; B = 700 ; C = 450 · Bài 13: Cho tứ giác ABCD, cạnh AB = 18cm; AD = 24cm; đường chéo AC = 30 cm ; BAC = 200; · DAC = 52 Tính chu vi diện tích tứ giác ABCD Bài 14: Cho đường trịn (O;R) đường kính AB ,qua A,B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By (O).Trên đường tròn lấy kỳ điểm M khác A,B.Qua M vẽ tiếp tuyến thứ ba (O) cắt Ax ,By P,Q a) Chứng minh:PQ = AP + BQ b) Chứng minh điểm O nằm đường trịn đường kính PQ c) Chứng minh AB tiếp tuyến đuờng tròn đường kính PQ d) Tim vị trí điểm M để AP + BQ đạt giá trị nhỏ Bài 15: Cho đường trịn(O;R) ,từ điểm M nằm ngồi đường tròn vẽ hai tiếp tuyến MA,MB (A,B tiếp điểm) đường vng góc MB kẻ từ A cắt tia OM H cắt đường tròn K a)Chứng minh BH vng góc với MA b) Chứng minh OAHB hình thoi c) Gọi I trung điểm AK đường thẳng OI cắt AM N Chứng minh NK tiêp tuyến (O) d) Cho OM = 2R có nhân xét điểm K? Bài 16: Cho đường trịn (O,R) từ điểm A nằm ngồi đtrịn vẽ hai tiếp tuyếnAB,AC (O) (B,C tiếp điểm) cát tuyến AEE Qua E vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt AB,AC P,Q.Gọi I trung điểm EF a) Chứng minh năm điểm A,B,O,I ,C nằm đường tròn b) Chứng minh chu vi tam giác APQ không đổi AEF quay quanh A c) OI cắt đường thẳng PQ S, chứng minh SF tiêp tuyến (O) d) Cho AO = 2R tính diện tích tam giác ABC Bài 17: Cho đường trịn tâm O đường kính AC.Trên đoạn OC lấy điểm B vẽ đường trịn tâm O' đường kính BC.Gọi M trung điểm AB Từ M vẽ dây DE vng góc với AB ,DC cắt đường (O' ) I a) Chứng minh (O) (O' ) tiếp xúc B b) Chứng minh BI //AD c) Chứng minh ba điểm I,B,E thẳng hàng d) Chứng minh MI tiếp tuyến đường tròn (O'') Bài 18: Trên đường thẳng a cho điểm M nằm hai điểm C,D CM > DM ,vẽ đường trịn(O) đường kính CM đường trịn (O') đường kính DM tiếp tuyến chung ngồi AB (A∈(O); B ∈ (O' )) cắt a H Tiếp tuyến chung M cắt AB I a) Chứng minh (O) (O') tiếp xúc M b) Chứng minh tam giác OIO' AMB vuông c) Chứng minh AB = R.r ( R ;r bán kính hai đường tròn ) ' d) Tia AM cắt đường tròn (O ) A' tia BM cắt (O) B'.Chứng minh ba điểm A, O, B' ba điểm A', O', B thẳng hàng CD2 = BB' + AA' e) Gọi N N lần lược giao điểm AM với OI BM với O 'I Tính diện tích tứ giác INMN ' theo R R = 3r Bài 19: Cho đường trịn (0) đường thẳng d khơng giao (0) Kẻ 0H vng góc với d H Trên d lấy điểm A kẻ tiếp tuyến AB với (0) ( B tiếp điểm ) cho Avà B nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng OH Gọi E giao điểm BH với (0) a) Chứng minh OBAH nội tiếp b) Đặt OA = a Tiếp tuyến (0) E cắt d C Tính OC theo Bài 20 Cho đường trịn (0) đường kính AB = a Trên (0) lấy hai điểm C D cho AC = AD Tiếp tuyến với (0) B cắt AC F a) Chứng minh hệ thức AB2 = AC.AF b) Chứng minh BD tiếp xúc tiếp xúc với đường trịn đường kính AF c) Khi C chạy nửa đường tròn đường kính AB (khơng chứa D) chứng minh trung điểm I đoạn AF chạy tia cố định d) Cho sđ AC = sđ AD =120 Tính theo a diện tích phần mặt phẳng nằm tam giác ABF nửa đường tròn đường kính AF ( có chứa điểm B ) Bài 21: Cho ∆ ABC , cạnh a , đường cao AH Gọi M điểm cạnh BC Vẽ MP ⊥ AB ; MQ ⊥AC Gọi O trung điểm AM a) Chứng minh tam giác PMB HAC đồng dạng b) Chứng minh điểm A , Q , H, M,P nằm đường tròn Xác định tâm đường trịn c) Chứng minh PQ ⊥ OH d) Xác định vị trí M đoạn BC cho SOPHQ nhỏ Bài 22 Cho ∆ ABCO nội tiếp đường trịn ( O) µ µ a) Cho B = 46 , C = 720 Tính số đo cung BC nằm góc BAC b) Phân giác A cắt đường tròn M ; phân giác B cắt đường tròn Nvà cắt AM K Chứng minh : KM = BM và KA.KM = KB.KN b) Giả sử B, C cố định , K di động đường A di động cung lớn BC ? ... = 90 0, BC = 39cm, AC = 36cm µ b Giải tam giác vng ABC biết A = 90 0, AB = 3cm, AC = 4cm µ µ c Giải tam giác vuông ABC biết A = 90 0, B = 400, AC = 13cm µ µ d Giải tam giác vuông ABC biết A = 90 ... đường thẳng trên: a) Song song b\ Cắt Bài 5: Víi giá trị m hai đường thẳng y = 2x + + m y = 3x + - m cắt điểm trục tung Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với (d’): y = −1 x... đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ -1 c) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = - 2x d) (D) song song với đường thẳng (d): y = (m2 - 2m)x - 2m e) (D) cắt đường thẳng (d):