PHầN I: cáC BàI TOáN Về Số Và CHữ Số phần i: số Và CHữ Số T Vn Khụi I Kiến thức cần ghi nhớ Dùng 10 chữ số để viết số là: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ,9 Cã 10 sè cã chữ số: (Từ số đến số 9) Có 90 số có chữ số: (từ số 10 đến sè 99) Cã 900 sè cã ch÷ sè: (tõ số 100 đến 999) Số tự nhiên nhỏ số Không có số tự nhiên lớn Hai số tự nhiên liên tiếp (kém) đơn vị Các số có chữ số tËn cïng lµ 0, 2, 4, 6, gäi lµ số chẵn Hai số chẵn liên tiếp (kém) đơn vị Các số có chữ số tận cïng lµ 1, 3, 5, 7, gäi lµ sè lẻ Hai số lẻ liên tiếp (kém) đơn vị II Bài tập Bài 1: Cho chữ sè 2, 3, 4, a) Cã bao nhiªu sè có chữ số khác đ-ợc viết từ chữ số trên? Đó số nào? b) Có số có chữ số khác đ-ợc viết từ chữ số trên? Hãy viết tất số đó? Bài giải Lập bảng sau ta đ-ợc: Hàng Hàng chục Hàng đơn vị Viết đ-ợc số trăm 234 236 243 246 263 264 Nhận xét: Mỗi chữ số từ chữ số vị trí hàng trăm ta lập đ-ợc số có chữ số khác Vởy có tất số có chữ số khác là: x = 24 (số) T-ơng tự phần (a) ta lập đ-ợc: x = 24 ( số) Các số là: 2346; 2364; 2436; 2463; 2643; 2634; 3246; 3264; 3426; 3462; 3624; 3642; 4236; 4263; 4326; 4362; 4623; 4632; 6243;6234; 6432; 6423 Bµi 2: Cho ch÷ sè 0, 3, 6, a) Cã số có chữ số đ-ợc viết từ chữ số trên? b) Tìm số lớn số bé có chữ số khác đ-ợc viết từ chữ số trên? Bài giải a, Chọn chữ số hàng trăm có ba cách: ( không chọn số 0) Chọn chữ số hàng chục có ba cách : Chọn chữ số hàng đơn vị có hai cách: Số số có ba chữ số là:3   18 (sè) b, Sè lín nhÊt lµ: 9630; sè bÐ nhÊt lµ: 3069 Bµi 3: a) H·y viết tất số tự nhiên có chữ số mà tổng chữ số 3? Bài giải Vì = 3+0+0 ta có số :300;120;102;210;201;111 = 1+2+0 =2+1+0 =1+1+1 Bµi 4: Cho sè 1960 Số thay đổi nh- nào? Hãy giải thích? a) Xoá bỏ chữ số b) Viết thêm chữ số vào sau số c) Đổi chỗ hai chữ số cho Bài giải a, Xóa bỏ chữ số số giảm 10 lần; b, Viết thêm chữ số vào bên phải số số gấp lên 10 lần đơn vị; c,Khi đổi chữ số số cho ta cã : 1960 - 1690 = 270 (đơn vị) Bài 5: Hỏi có số có chữ số mà số có: a) chữ số b) chữ số Bài giải a, Chọn chữ số hàng trăm: Có cách chọn : chọn ( L-u ý toán không yêu cầu chữ số khác nhau) -Chọn chữ sô hàng chục có cách:( chọn 0;1;2;3;4;6;7;8;9) - Chọn Chữ số hàng đơn vị có cấch : ( chän 0;1;2;3;4;6;7;8;9) Ta cã :    81 (sè) b, Chän ch÷ sè ë hàng chục cách : ( chọn 5) - Chọn chữ số hàng trăm có cách: - Chọn chữ số hàng đơn vị cách: Ta có :    72 (sè) c, Chän ch÷ số hàng đơn vị có cách.T-ơng tự ta cã :    72 (số) Tổng số lập đ-ợc là: 81+72+72= 225 (số) Đáp số: 225 số Bài 6: Cho ba chữ số: a, b, c khác chữ số a > b; b > c a) Với ba chữ số đó, lập đ-ợc số có ba chữ số? (trong số, chữ số lặp lại hai lần) b) Tính nhanh tổng số vừa viết đ-ợc, tổng ba chữ số a, b, c 18 c) Nếu tổng số có ba chữ số vừa lập đ-ợc 3330, hiƯu cđa sè lín nhÊt vµ sè bÐ nhÊt số 594 ba chữ số a, b, c bao nhiêu? Bài giải a) sè b) 222  (a  b  c) =222  18=3996 c) Theo kÕt qu¶ ý b) ta cã: 222  (a  b  c) =3330 Hay a+b+c =3330:222=15 Mặt khác : abc > cba nên abc - cba =595 Đặt cột dọc ta có : - abc Vì cb>c Nếu a=7 c=1 b=15-7-1=7 loại Phần hai Bốn phép tính với số tự nhiên, phân số số thập phân A PhÐp céng I KiÕn thøc cÇn ghi nhí a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) + a = a + = a (a - n) + (b + n) = a + b (a - n) + (b - n) = a + b - n x (a + n) + (b + n) = (a + b) + n x 2 Nếu số hạng đ-ợc gấp lên n lần, đồng thời số hạng lại đ-ợc giữ nguyên tổng đ-ợc tăng lên số (n - 1) lần số hạng đ-ợc gấp lên Nếu số hạng bị giảm n lần, đồng thời số hạng lại đ-ợc giữ nguyên tổng bị giảm ®i mét sè ®óng b»ng (1 - ) sè h¹ng bị giảm n Trong tổng có số l-ợng số hạng lẻ lẻ tổng số lẻ 10 Trong tổng có số l-ợng số hạng lẻ chẵn tổng số chẵn 11 Tổng số chẵn số chẵn 12 Tổng số lẻ số chẵn số lẻ 13 Tổng hai số tự nhiên liên tiếp số lẻ II Bài tập Bài 1: Tính nhanh: a) 4823 + 1560 + 5177 + 8440) b) 10556 + 8074 + 9444 + 926 + 1000 c) 576 + 789 + 467 + 111 Bài giải: (4823 + 5177) + ( 1560 + 8440) = 10.000 + 10.000 = 20.0000 (10556 + 94444) + ( 8074 + 926) + 1000 = 19500 + 9000 + 1000 = 29500 576 + 467 + 789 +111 = 1043 + 900 = 1943 Bµi 2: TÝnh nhanh: 19 9 20 300 4000 d)        13 13 10 100 1000 10000 10 b)          11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 17 18 19 20 c)          21 21 21 21 21 21 21 21 21 a) Bài giải: 19 9      13 13 5 19       7 13 13 5 14 26 15    13  223 a) 10          11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 (1  10)  (2  9)  (3  8)  (4  7)  (5  6)  11 11  11  11  11  11  11 11x5 55   5 11 11 b) 3 17 18 19 20          21 21 21 21 21 21 21 21 21 (1  20)  (2  19)   (10  11)  21 21x10 210  10 21 21 c) Bài 3: Tìm hai số có tổng 1149, biết giữ nguyên số lớn gấp số bé lên lần ta đ-ợc tổng 2061 Bài giải Khi gấp số bé lên ba lần tổng tăng:3-1 = ( lÇn sè bÐ) Hai lÇn sè bÐ øng víi: 2061- 1149 =912 Sè bÐ lµ : 912 : = 456 Sè lín lµ : 1149 – 456 = 693 Đáp số : 693; 456 Bài 4: Khi cộng số thập phân với số tự nhiên, bạn quên dấu phẩy số thập phân đặt tính nh- cộng hai số tự nhiên với nên đ-ợc tổng 807 Em tìm số tự nhiên số thập đó? Biết tổng chúng 241,71 Bài giải Nhìn vào tổng số thập phân có hai chữ số phần thập phân, viết nhầm nhvậy số thập phân tăng lên 100 lần Vậy tổng tăng lên 100 -1 = 99 (lần số thập phân) 99 lần số thập phân øng víi : 807 – 241,71 = 565,29 Sè thø hai lµ : 565,29 : 99 = 5,71 Sè lín : 241,71 5,71 = 236 Đáp số :236; 5,71 Bài : Cho số có hai chữ số Nếu viết số theo thứ tự ng-ợc lại ta đ-ợc số bé số phải tìm Biết tổng số với số 143 Bài giải Vì a+b =13 Mà b 1) Nếu số bị trừ giữ nguyên, số trừ đ-ợc gấp lên n lần hiệu bị giảm (n - 1) lần số trừ (n > 1) Nếu số bị trừ đ-ợc tăng thêm n đơn vị, số trừ giữ nguyên hiệu tăng lên n đơn vị Nếu số bị trừ giảm n đơn vị, số trừ giữ nguyên hiệu giảm n đơn vị II Bài tập Bài 1: Tính nhanh: a) 32 - 13 - 17 c) 45 - 12 - – 23 b) 1732 - 513 - 732 d) 2834 - 150 834 Bài giải a, 32 – 13 -17 = 32 – (13+17 ) = 513 b, = 1000 -513 = 487 c, 45 -12 -5 -23= 45 – 5-( 12+23 ) = 40 - 30 = 10 Bµi 2: TÝnh nhanh: 34 19 19   =1   31 28 31 28 28 18 55 55 101 b)   =1 +  13 46 13 46 46 a) 1732 – 513 -732 = 1732 -732 - 11 11 16   =1 +  5  27    d)        =0  25   25  c) Bµi 3: TÝnh nhanh a,46,55 - (20,33+25,67 )=0,55 (2,5+3,5) Bµi gi¶i b, 20- (0,5+5,5) –( 1,5+4,5) - = 20 – - – = Bµi 4: HiƯu hai số 3,8 Nếu gấp số trừ lên hai lần đ-ợc số số bị trừ 4,9 Tìm hai số cho (Vẽ sơ đồ để giải) Bài giải Cách giải không vẽ sơ đồ Gọi số trừ Â, sô bị trừ A+3,8 Theo bµi ta cã : A   ( A  3,8)  4,9 Hay : A – 3,8 = 4,9 A = 4,9 +3,8 = 8,7 Sè bị trừ : 8,7+3,8 =12,5 Đáp số : 12,5; 8,7 Bài 5: Một mảnh v-ờn hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 6,8m Nếu ta bớt chiều 0,2m chu vi gấp lần chiều rộng Tính diện tích mảnh v-ờn ban đầu Bài giải Khi bớt chiều 0,2 m nửa chu vi gấp chiều rộng số lần là: 6: = (lÇn chiỊu réng) Coi nưa chu vi ba phần chiều rộng phần nh- Vây chiều dài ứng với: = (phần) Mặt khác bớt chiều dài chiều rộng số hiệu chiều rộng chiều dài không đổi.Nên phần lóc sau (hay chiỊu réng lóc sau ) øng víi : 6,8 6,8(m) Chiều dài lúc đầu lµ : 6,8   0,2  13,8(m) ChiỊu rộng lúc đầu là: 6,8 +0,2 =7 ( m) Diện tích mảnh v-ờn : 13,8 = 96,6 (m2) Đáp số : 96,6 (m ) Bài 6: Thay chữ a, b, c chữ số thích hợp phép tính sau: (mỗi chữ khác đ-ợc thay chữ số khác nhau) Biết a + b = 11 Bài giải a,Xét chữ số hàng đơn vị ab c = nên suy hàng phần m-ời b c = a cã nhí vµ nhí nhiỊu nhÊt lµ ab – (c+1) = Suy c = tõ ®ã suy ab= 10=> a= 1; b= b, Vì a+b =11 nên b,a +a,b =12,1 Mặt khác b,a – a,b =2,7 (ý b) Suy b,a > a,b Đ-a toán tổng hiệu ta có b,a là: (12,1+2,7 ) : = 7,4 a,b lµ : 7,4 -2,7 =4,7 Tõ ®Êy suy a= ; b= Đáp số a, a= 1; b=0; c=9 B, a= 4; b= C.Phép nhân I Kiến thức cần nhớ a x b = b x a a x (b x c) = (a x b) x c a x = x a = a x = x a = a a x (b + c) = a x b + a x c a x (b - c) = a x b - a x c Trong tích thừa số đ-ợc gấp lên n lần đồng thời có thừa số khác bị giảm n lần tích không thay đổi Trong tích có thừa số đ-ợc gấp lên n lần, thừa số lại giữ nguyên tích đ-ợc gấp lên n lần ng-ợc lại tích có thừa số bị giảm n lần, thừa số lại giữ nguyên tích bị giảm n lần (n > 0) Trong tích, thừa số đ-ợc gấp lên n lần, đồng thời thừa số đ-ợc gấp lên m lần tích đ-ợc gấp lên (m x n) lần Ng-ợc lại tích thừa số bị giảm m lần, thừa số bị giảm n lần tích bị giảm (m x n) lần (m n khác 0) 10 Trong tích, thừa số đ-ợc tăng thêm a đơn vị, thừa số lại giữ nguyên tích đ-ợc tăng thêm a lần tích thừa số l¹i 11 Trong mét tÝch, nÕu cã Ýt nhÊt mét thừa số chẵn tích chẵn 12 Trong tÝch, nÕu cã Ýt nhÊt mét thõa sè trßn chơc thừa số có tận có thừa số chẵn tÝch cã tËn cïng lµ 13 Trong mét tÝch thừa số lẻ có thừa số có tận tích có tËn cïng lµ II Bµi tËp Bµi 1: TÝnh nhanh: a x x 125 x 25 d 500 x 3,26 x 0,02 b x 178 x e 0,5 x 0,25 x 0,2 x c 2,5 x 16,27 x g 2,7 x 2,5 x 400 Bài giải a,8 (125) (4 25) 1000 100  100000 d, 500  0,02  3,26  32,6 b,2  178  1780 e,0,5  0,2  0,25   c,2,5  16,27  16,27 Bµi 2: TÝnh nhanh: 5 x  x 7 c) x  x 9 5 x  x 9 12 2006 3 x  x d) 2005 4 2005 a) 7 b) Bài giải a, ( ) , b, (  )  9 c,  (  )  5 Bµi 3: TÝnh b»ng c¸ch thn tiƯn nhÊt: a) x x x x a, d, 1 b) x x x x x x x x 10 Bài giải b, 10 Bài 4: TÝnh nhanh: a) (81,6 x 27,3 - 17,3 x 81,6) x (32 x 11 - 3200 x 0,1 - 32) b) (13,75 - 0.48 x 5) x (42,75 : + 2,9) x (1,8 x - 0,9 x 10) c) (792,81 x 0,25 + 792,81 x 0,75) x (109 - 900 x 0,1 - 9) Bài giải a,81,26  (27,3  17,3)  (32  11  32  100   32) 10 = 81,26 10  (32  (11  10  1)  Bài 5: Tìm số có tích 5292, biết giữ nguyên thừa số thứ tăng thừa số thứ hai thêm đơn vị đ-ợc tích 6048 Bài giải Sáu lần thừa số thø nhÊt lµ:6048 -5292=756 Thõa sè thø nhÊt lµ: 756 : =126 Thõa sè thø hai lµ:5292 :126 =42 Bài 6: Một hình chữ nhật giảm chiều dài 25% chiều dài chiều rộng phải thay đổi nh- để diện tích hình không thay đổi? Bài giải 1 Ta đổi 25% = Nếu chiều dài bớt tức chiều dài chia cho để diện tích 4 không đổi chiều rộng phải gấp lên lần Thât ta có: S = a  b S =a  b a b Bài toán chứng minh xong Bài 7: Tìm số, biết tổng gấp lần hiệu tích chúng.(50 đề Nguyễn áng) Bài giải Biểuthị Hiệu phần , tổng phần nh- thÕ Nh- vËy th× tÝch sÏ øng víi phần Đ-a toán tổng hiệu ta có: Số lớn ứng với số phần là:(5+1): = ( phÇn) Do vËy, Sè bÐ øng víi:3 - = ( phÇn) Nh- thÕ ,tÝch sÏ b»ng lần số bé Mà tích số lớn nhân với sè bÐ Nªn sè lín b»ng : 6: = Sè bÐ lµ : 6: 3= Thư l¹i ta cã :Tỉng : 3+ 2= HiƯu: 3-2= TÝch :3   Râ rµng tỉng gấp lần hiệu nửa tích: (1 5; :1 = 6) Bài 8: Tìm số, biết tổng gấp lần hiệu nửa tích chúng.(50 đề ,đề số ) Bài giải Biểuthị Hiệu phần , tổng phần nh- Nh- tích ứng với phần Đ-a toán tỉng hiƯu ta cã: Sè lín øng víi sè phÇn là:(3+1): = ( phần) Do vậy, Số bé øng víi:3-2 = ( phÇn) Nh- thÕ ,tÝch lần số bé Mà tích số lớn nhân với số bé Nên số lớn Số bé : 6:2 =3 Thử lại ta cã :Tỉng : 3+6 = HiƯu:6-3= TÝch :3 18 Rõ ràng tổng gấp ba lần hiƯu vµ b»ng nưa tÝch: (3   9; 18 :2 = 9) D PhÐp chia I KiÕn thøc cần ghi nhớ (đọc kĩ tr-ớc làm tập ) a : (b x c) = a : b : c = a : c : b (b, c > 0) : a = (a > 0) a : c - b : c = ( a - b) : c (c > 0) a : c + b : c = (a + b) : c (c > 0) Trong phÐp chia, số bị chia tăng lên (giảm đi) n lần (n > 0) đồng thời số chia giữ nguyên th-ơng tăng lên (giảm đi) n lần Trong phép chia, tăng số chia lên n lần (n > 0) đồng thời số bị chia giữ nguyên th-ơng giảm n lần ng-ợc lại Trong phép chia, số bị chia số chia gấp (giảm) n lần (n > 0) th-ơng không thay đổi Trong phép chia có d-, số bị chia số chia đ-ợc gấp (giảm) n lần (n > 0) số d- đ-ợc gấp (giảm ) n lần II Bµi tËp Bµi 1: TÝnh nhanh: a) 1875 : + 125 : b) 20,48 : 3,2 + 11,52 : 3,2 c) 62,73 : 8,4 + 21,27 : 8,4 d) 43,3 : 2,5 - 19,3 : 2,5 Bµi gi¶i a, (1875+125):2= 1000 b,(20,48 +11,52 ):2 = 16 c,(62,73 +21,27 ) : =42 d,(43,3 +19,3 ):2,5=31.3 Bµi 2: Nam lµm mét phÐp chia cã d- lµ sè d- lớn có Sau Nam gấp số bị chia số chia lên lần phép chia này, số th-ơng 12 số d- 24 Tìm phép chia Nam thực ban đầu Bài giải Trong phép chia ,nếu gấp số bị chia;số chia lên ba lần th-ơng không thay đổi nh-ng số d- tăng lên ba lần Do th-ơng phép chia Nam 12 số d- ban đầu là: 24 : = Số chia ban đầu : + = Số bị chia : 12 +8= 116 Đáp số : 116; Bài 3: Số A chia cho 12 d- Nếu giữ nguyên số chia số A phải thay đổi nh- để th-ơng tăng thêm đơn vị phép chia d-? Bài giải Nếu phép chia tăng đơn vị số A cần tăng: 12 = Để th-ơng tăng đơn vị số A cần tăng: 12 +4 = 16 Đáp số : 16 Bµi 4: Mét sè chia cho 18 d- Để phép chia không d- th-ơng giảm lần phải thay đổi số bị chia nh- nào? Bài giải Để phép chia d- th-ơng không đổi số bị chia cần bớt đơn vị Để th-ơng giảm lần số bị chia giảm lần Vậy số bị chia phải giảm lần đơn vị Bài 5: Nếu chia số bị chia cho lần số chia ta đ-ợc Nếu ta chia số bị chia cho lần số th-ơng đ-ợc Tìm số bị chia số chia phép chia Bài giải Nếu chia lần số chia ta có th-ơng là: = 12 Chia mét lÇn cho 12 ta cã sè chia là: 6: 3=2 Vậy số bị chia là: 12 =24 Đáp số : 24 Bài 6: Một phép chia có th-ơng 6, số d- Tổng số bị chia, số chia số dbằng 195Tìm số bị chia số chia? Bài giải Vì số d- th-ơng nên số bị chia gấp lần số chia đơn vị.Bớt 3+3 =6 ta đ-a toán tổng tỉ ta cã: tỉng lµ 195 -6 = 189 Tỉng sè phần là: +1 =7 ( phần ) Số bị chia : 189 : +3 = 165 Sè chia lµ ( 165 -3) : = 27 Đáp số : 165 ;27 Bài 7: Cho sè, lÊy sè lín chia cho sè nhá đ-ợc th-ơng số d- lớn cóđ-ợc 48 Tìm số Bài giải Vì số d- số lớn có nên số chia là: 48 +1 = 49 Vây số lớn 49 = 343 Đáp số : sè lín :343 ; sè bÐ : 49 Bµi 8: HiƯu sè lµ 33 LÊy sè lín chia cho số nhỏ đ-ợc th-ơng số d- Tìm số Bài giải Coi số bé phần số lớn phần đơn vị Vạy hiệu số phần số lín vµ sè bÐ (hay 33 øng víi )lµ: phÇn + – phÇn = phÇn + đơn vị Vậy phần ứng với : 33 -3 = 30 Vậy phần : 30 :2 = 15 Sè lín lµ : 15  +3 = 48 Sè bÐ lµ 48 – 33 = 15 §¸p sè : 48 ; 15 PHẦN III TÝnh gi¸ trị biểu thức I Kiến thức cần ghi nhớ Biểu thức dấu ngoặc đơn có phép cộng phép trừ (hoặc có phép nhân phép chia) ta thực phép tính theo thứ tự từ trái sang phải Ví dụ: 542 + 123 - 79 482 x : = 665 - 79 = 964 : = 586 = 241 Biểu thức dấu ngoặc đơn, có phép tính cộng, trừ, nhân, chia ta thực phép tính nhân, chia tr-ớc thực c¸c phÐp tÝnh céng trõ sau VÝ dơ: 27 : - x =9-8 =1 BiÓu thøc có dấu ngoặc đơn ta thực phép tính ngoặc đơn tr-ớc, phép tính dấu ngoặc đơn sau Ví dụ: 25 x (63 : + 24 x 5) = 25 x (21 + 120) =25 x 141 =3525 II Bµi tËp Bµi 1: ViÕt d·y sè cã kÕt qu¶ b»ng 100: a) Víi ch÷ sè b) Víi ch÷ sè Bài giải a, 111 -11 =100 b,( 5+5+5+5) =20  = 100 Bµi 4: Cho d·y tÝnh: 128 : x 16 x + 52 : Hãy thêm dấu ngoặc đơn vào dãy tính cho: 1 1 1 1 1          x 3 x x 5 x x 7 x x 9 x11 x11 11 x13 1 =  x 11 x 13 11 x 13  143  140 =   x11 x 13 429 429 = PHẦN IX So sánh phân số Kiến thức cần ghi nhớ 1.1: So sánh phân số cách quy đồng mẫu sè, quy ®ång tư sè a) Quy ®ång mÉu sè B-ớc 1: Quyđồng mẫu số B-ớc 2: So sánh phân số vừa quy đồng Ví dụ: So sánh 1 vµ 1 3   23 1 +) Vì nên  6 1 2   3 +) Ta cã: b) Quy ®ång tư sè B-íc 1: Quy ®ång tư sè B-íc 2: So sánh phân số quy đồng tử số Ví dụ: So sánh hai phân số cách quy đồng tử số +) Ta có : 23   5  15 6 +) Vì nên 15 3   4 So sánh phân số cách so sánh phần bù với đơn vị phân số - Phần bù với đơn vị phân số hiệu phân số - Trong hai phân số, phân số có phần bù lớn phân số nhỏ ng-ợc lại Ví dụ: So sánh phân số sau cách thn tiƯn nhÊt 2000 2001 vµ 2001 2002 B-íc 1: (Tìm phần bù) Ta có : 2000  2001 2001 1- 2001  2002 2002 B-íc 2: (So sánh phần bù với nhau, kết luận hai phân số cần so sánh) 1 2000 2001 Vì nên 2001 2002 2001 2002 * Chú ý: §Ỉt A = MÉu - tư B = mẫu - tử Cách so sánh phần bù ®-ỵc dïng A = B NÕu tr-êng hỵp A  B ta cã thĨ sư dơng tÝnh chÊt phân số để biến đổi đ-a phân số có hiệu mẫu số tư sè cđa hai ph©n sè b»ng nhau: 2000 2001 VÝ dơ: vµ 2001 2003 41 2000 2000  4000   2001 2001  4002 4000 2001 11  4002 4002 2003 2003 2 4000 2001 2000 2001 +)Vì nên hay  4002 2003 4002 2003 2001 2003 +) Ta cã: So sánh phân số cách so sánh phần với đơn vị phân số: - Phần với đơn vị phân số hiệu phân số - Trong hai phân số, phân số có phần lớn phân số lớn 2001 2002 Ví dụ: So sánh: 2000 2001 B-ớc 1: Tìm phần 2001 2002 Ta cã: 1  1  2000 2000 2001 2001 B-ơc 2: So sánh phần đơn vị, kết luận hai phân số cần so sánh 1 2001 2002 Vì nên 2000 2001 2000 2001 * Chú ý: Đặt C = tử - mẫu D = tư - mÉu C¸ch so s¸nh phần đ-ợc dùng C = D Nếu tr-êng hỵp C  D ta cã thĨ sư dơng tính chất phân số để biến đổi đ-a hai phân số có hiệu tử số mẫu số hai phân số 2001 2003 Ví dụ: So sánh hai phân số sau: vµ 2000 2001 2001 2001  4002 B-íc1: Ta cã:   2000 2000  4000 4002 2003 1  1  4000 4000 2001 2001 2 4002 2003 2001 2003 B-ớc 2: Vì nên hay    4000 2001 4000 2001 2000 2001 So sánh phân số cách so sánh hai ph©n sè víi ph©n sè trung gian Ví dụ 1: So sánh B-ớc 1: Ta cã: 3   4 B-íc 2: V×   nªn  9 19 31 VÝ dụ 2: So sánh 60 90 4   B-íc 1: Ta cã: 19 20   60 60 19 31 19 31 B-ớc 2: Vì nên 60 90 60 90 101 100 VÝ dô 3: So sánh 100 101 101 100 101 100 Vì nên 1   100 101 100 101 31 30   90 90 VÝ dơ 4: So s¸nh hai phân số cách nhanh 40 41 57 55 Bài giải 42 +) Ta chọn phân số trung gian lµ : +) Ta cã: 40 40 55 40 40 41   57 55 55 41 +) Vậy 57 55 * Cách chọn phân số trung gian : - Trong số tr-ờng hợp đơn giản, chọn phân số trung gian phân 1 số dễ tìm đ-ợc nh-: 1, , , cách tìm th-ơng mẫu số tử sè ( Tøc lµ mÉu chia cho tư NÕu b:a = ph©n sè b»ng nÕu b : a= 2, phân số nhỏ nh-nng lớn 1/3)của phân số chọn số tự nhiên nằm hai th-ơng vừa tìm đ-ợc Số tự nhiên mẫu số phân số trung gian tử số phân số trung gian chÝnh b»ng a c - Trong tr-êng hợp tổng quát: So sánh hai phân số (a, b, c, d kh¸c 0) b d - NÕu a > c b < d (hoặc a < c b > d) ta chọn phân số trung gian c a (hoặc ) b d - Trong tr-ờng hợp hiệu tử số phân sè thø nhÊt víi tư sè cđa ph©n sè thø haivà hiệu mẫu số phân số thứ với mÉu sè cđa ph©n sè thø hai cã mèi quan hƯ víi vỊ tØ sè (vÝ dụ: gấp 3lần,hay , , , ) ta nhân tử số mẫu số hai phân số lên số lần cho hiệu hai tử số hiệu hai mẫu số hai phân số nhỏ Sau ta tiến hành chọn phân số trung gian nh- 70 15 Ví dụ: So sánh hai phân số 15 15 75 B-ớc 1: Ta cã:   23 23  115 Ta so s¸nh 23 117 70 75 víi 117 115 70 115 70 70 75 70 75 70 15  B-ớc 3: Vì nên hay 117 115 115 117 115 117 23 B-íc 2: Chän ph©n sè trung gian là: Đ-a hai phân số dạng hỗn số để so sánh - Khi thực phép chia tư sè cho mÉu sè cđa hai ph©n sè ta đ-ợc th-ơng ta đ-a hai phân số cần so sánh dạng hỗn số, so sánh hai phần phân số hai hỗn số 47 65 Ví dụ: So sánh hai phân số sau: 15 21 47 65 3 3 Ta cã: 15 15 21 21 2 2 47 65 Vì nên hay 15 21 15 21 15 21 - Khi thùc hiªn phÐp chia tử số cho mẫu số, ta đ-ợc hai th-ơng khác nhau, ta đ-a hai phân số hỗn số để so sánh 41 23 Ví dụ: So sánh vµ 11 10 Ta cã: 43 41 3 11 11 41 23 Vì > nên  hay > 11 10 11 10 23 2 10 10 * Chó ý: Khi mÉu sè cđa hai ph©n sè cïng chia hÕt cho mét sè tự nhiên ta nhân hai phân số với số tự nhiên đ-a kết vừa tìm đ-ợc hỗn số so sánh hai hỗn số với 47 65 Ví dụ: So sánh 15 21 47 47 +) Ta cã: x3= 9 15 5 2 47 2 65 +) Vì nên hay > 15 21 65 65 3  9 21 7 Thùc hiÖn phÐp chia hai phân số để so sánh - Khi chia ph©n sè thø nhÊt cho ph©n sè thø hai, nÕu th-ơng tìm đ-ợc hai phân số nhau; th-ơng tìm đ-ợc lớn phân số thứ lớn phân số thứ hai; th-ơng tìm đ-ợc nhỏ phân số thứ nhỏ phân số thứ hai Ví dụ: So sánh 10 50 Ta cã: : =  VËy < 10 63 10 Vẽ sơ đồ Viết PS thành tổng phân số có tổng phân số có tử mẫu số khác so sánh Nghịch đảo hai phân số so sánh 10 So sans với 9Còn nữa) Phần B: Một số dạng toán điển hình a trung bình cộng I Kiến thức cần ghi nhớ Muốn t×m trung b×nh céng cđa nhiỊu sè ta lÊy tỉng chia cho số số hạng Muốn tìm tổng số hạng ta lấy trung bình cộng nhân với số số hạng Trong dãy số cách đều: - Nếu số l-ợng số hạng lẻ số hạng dãy số số trung bình cộng số hạng - Muốn tìm số trung bình cộng dãy số cách ta lấy giá trị cặp chia cho VÝ dơ: H·y t×m sè trung b×nh céng cđa 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Bài giải Số trung bình cộng : (1 + 9) : = (Hoặc dãy số có số hạng liên tiếp từ đến nên số số trung bình cộng sè 5) Trong c¸c sè, nÕu cã mét sè lớn mức trung bình cộng số n đơn vị trung bình cộng số tổng số lại cộng với n đơn vị chia cho số hạng lại Ví dụ: An có 20 viên bi, Bình cã sè bi b»ng sè bi cña An Chi cã số bi mức trung bình cộng ba bạn viên bi Hỏi Chi có viên bi? Bài giải Số bi Bình : 20 x = 10 (viªn) NÕu Chi bï viên bi cho hai bạn lại chia số bi ba bạn trung bình cộng ba bạn Vậy trung bình cộng số bi ba bạn là: (20 + 10 + 6) : = 18 (viªn) 44 Sè bi cđa Chi lµ: 18 + = 24 (viên) Đáp số: 24 viên bi Trong số, số trung bình cộng số tn đơn vị trung bình cộng số tổng số lại trừ n đơn vị chia cho số l-ợng số hạng lại Ví dụ: An có 20 nhãn vở, B×nh cã 20 nh·n vë Chi cã sè nh·n vë trung bình cộng ba bạn nhãn Hỏi Chi có nãnh vở? Bài giải Nếu An Bình bù cho Chi viên bi chia số bi ba bạn trung bình cộng ba bạn Vậy số trung bình cộng ba bạn là: (20 + 20 - 6) : = 17 (nh·n vë) Sè nh·n vë cđa Chi lµ: 17 - = 12 (nhãn vở) Đáp số: 12 nhãn Bài toán có thêm số hạng để mức trung bình cộng tất tăng thêm n đơn vị, ta làm nh- sau: B-ớc 1: Tính tổng ban đầu B-ớc 2: Tính trung bình cộng số cho B-íc 3: TÝnh tỉng míi = (trung b×nh céng số cho + n) x số l-ợng số hạng B-ớc 4: Tìm số = tổng - tổng ban đầu Ví dụ: Một ô tô đầu, đ-ợc 40km, sau, đ-ợc 50 km Nếu muốn tăng mức trung bình cộng tăng thêm 1km đến thứ 7, ô tô cần ki-lô-mét nữa? Bài giải Trong đầu, trung bình ô tô ®-ỵc: (40 x + 50 x ) : = 45 (km) Quãng đ-ờng ô tô giê lµ : (45 + 1) x = 322 (km) Giờ thứ ô tô cần là: 322 - (40 x + 50 x 3) = 52 (km) Đáp số: 52km B ng dụng ph-ơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng dạy học ứng dụng ph-ơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải toán cấu tạo số tự nhiên: Ví dụ: Khi viết thêm chữ số vào bê trái số tự nhiên có hai chữ số số tăng gấp 26 lần Tìm số tự nhiên đó? Phân tích: ? Khi viết thêm chữ số vào bên trái số tự nhiên có hai chữ sốcó nghĩa ta thêm vào số cũ đơn vị? ( 800 đon vị ) ? Bài toán cho biết gì? ( Khi viết thêm chữ số vào bên trái số tự nhiên có hai chữ số số tăng gấp 26 lần.) ? Bài toán yêu cầu gì? ( Tìm số tự nhiên cho ) 45 ? Muốn tìm số tự nhiên cho ta làm nh- nào? ( Xác lập mối liên hệ số tự nhiên cho số sau viết thêm số vào bên trái) ? Ta biểu diễn mối liên hệ sơ đồ đ-ợc không? Vẽ sơ đồ tóm tắt toán Tóm tắt: Số tự nhiên cho: 800 Số mới: 26 lần ? Bài toán thuộc dạng toán nào? ( Tìm hai số biết hiệu tỉ số hai số ) Bài giải: Số cần tìm là: 800 : ( 26 ) = 32 Đáp số: 32 ứng dụng ph-ơng pháp dùng sơ đồ đoạng thẳng để giải toán chuyển động đều: Ví dụ: Một ng-ời dự định xe đạp từ nhà với vận tốc 14 km/giờ, để lên tới huyện lúc 10 Do ng-ợc gió nên đ-ợc 10 km/ giê vµ tíi hun lóc 10 giê 36 tính quãng đ-ờng từ nhà lên huyện Phân tích: ? Bài toán cho biết gì? ( Một ng-ời dự định xe đạp từ nhà với vận tốc14 km/giờ, để lên tới huyện lúc 10 Do ng-ợc gió nên đ-ợc 10 km/ tới huyện lúc 10 36 phú t) ? Bài toán yêu cầu gì? ( Tính quãng đ-ờng từ nhà lên huyện ) Muốn tính đ-ợc quãng đ-ờng từ nhà lên huyện ta cần biết gì? ( Theo công thức: S = v x t Quãng đ-ơng = vận tốc x thời gian Ta cần biết vận tốc thời gian từ nhà lên huyện) ? Trong hai đại luợng cần biết đó, đại l-ợng cho đại l-ợng phải tìm? ( Vận tốc từ nhà lên huyện biết, ta cần phải tìm thời gian từ nhà lên huyện) 46 ? Với vận tốc dự đinh vận tốc thực thời điểm tới huyện theo dự định thời điểm tới huyện thực ®i ®· biÕt ta cã thĨ t×m thêi gian ng-êi đo từ nhà lên huyện nh- nào? ( Vận dụng tính chất Trên quãng đ-ờng vận ttóc thời gian hai đại l-ợng tỉ lệ nghịch với nhau, ta tìm đ-ợc tỉ số gi-a thời gian dự định thời gian thực Biết tỉ số, biíet hiệu ta tìm đ-ợc hai khoảng thời gian ch-a biết đó) Bài giải Tỉ số gữa vận tốc dự định vận tốc thực là: 14 : 10 = 75 Tỉ số thời gian dự định thời gian thực là: 75 Vì vận tốc thời gian hai đại l-ợng tỉ lệ nghịch quãng đ-ờng là: Hiệu số thời gian dự định với thời gian thực là: 10 36 phút 10 = 36 phút Ta có sơ đồ: Thời gian dự định : Thời gian thực đi: 36 phút Thời gian dự định di là: 36 : ( - ) x = 90 ( ) = 1,5 giê Qu·ng ®-êng tõ A ®Õn B là: 14 x 1,5 = 21 (km) Đáp số 21 km ứng dụng ph-ơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải toán có nội dung hình học Ví dụ: Chu vi mảnh v-ờn hình chữ nhật 140 m Biết chiều dài gấp bốn lần chiều rộng Hãy ttính diện tích mảnh v-ờn đó? Phân tích: ? Bài toán yêu cầu tìm gì? ( Diện tích mảnh v-ờn chữ nhật ) ? Bài toán cho ta biết gì? ( Chu vi mảnh v-ờn 140 m chiều dài gấp bốn lần chiều rộng ) ? Dể tìm đ-ợc diện tích mảnh v-ờn ta cần phải biết gì? 47 ( Theo công thức S = a x b Diện tích hình chữ nhật = chiều dài x chiều rộng Ta phải tính chiều dài, chiều rộng mảnh v-ờn ) ? Chiều dài, chiều rộng mảnh v-ờn có mối liên hệ nh- nào? ( Chu vi 140 m chiều dài gáp bốn lần chiều rộng) ? Ta tìm đ-ợc chiều dài chiều rộng mảnh v-ờn dựa vào mối liên hệ không? Tìm cách nào? ( Tìm đ-ợc cách tìm nửa chu vi hình chữ nhật Sau lấy nửa chi vi chia cho ta đ-ợc chiều rộng, lấy chiều rộng nhân với ta đ-ợc chiều dài) ? Để tìm chiều rộng chiều dài mảnh v-ờn ta quy dạng toán ( Tìm hai số biết tổng tỉ số hai số) Bài giải: Nửa chu vi mảnh v-ờn là: 140 : = 70( m) Theo ta có sơ đồ: ?m ChiỊu réng: ChiỊu dµi: 70 m ?m ChiỊu réng mảnh v-ờn là: 70 : ( + 1) = 14 ( m) Chiều dài mảnh v-ờn là: 14 x = 56 (m) Hc 70 – 14 = 56 ( m) Diện tích mảnh v-ờn là: 14 x 56 = 644( m2 ) Đáp số: 644 m2 ứng dụng ph-ơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải toán tìm sè biÕt tỉng vµ tØ sè cđa chóng VÝ dụ: Ba đơn vị vận tải đ-ợc giao vận chuyển 420 hàng đo số hàng đội thứ ba số hàng đội thứ hai số hàng đội thứ Hỏi đội đ-ợc giao vận chuyển tân hàng? 48 Tóm tắt: Số hàng đội thứ nhất: Số hàng đội thứ hai: Số hàng đội thứ ba: ? 420 Bài giải : Tổng số phần là: + + = 14 ( phÇn ) Sè hàng phần là: 420 : 14 = 30 ( tấn) Số hàng đội Ba vận chuyển là: 30 x = 90 ( tÊn) Sè tÊn hµng ®éi Hai vËn chun lµ: 30 x = 120 ( ) Số hàng đội Một vận chuyển là: 30 x = 210 ( ) Đáp sè: §éi Mét : 210 tÊn §éi Hai : 120 tÊn §éi Ba : 90 tÊn øng dơng cđa ph-ơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải toán tìm số biết hiệu tØ sè cđa chóng VÝ dơ: C¸c khèi Ba, Bèn Năm tr-ờng tiểu học tham gia tết trồng Số khối Ba trồng đ-ợc 11 số khối Năm, số khối Bốn khối Bốn 90 Hỏi khối trồng đ-ợc cây? Bài giải: Theo đề ta có sơ đồ: ? C©y Sè c©y cđa khèi Ba: Sè c©y cđa khèi Bèn: 90 c©y ? C©y 49 Sè c©y khèi Ba trồng đ-ợc là: 90 : ( ) x = 120 ( c©y) Sè c©y khèi Bèn trồng đ-ợc là: 120 + 90 = 210 ( cây) Ta có sơ đồ : 120cây Số khối Ba: Số khối Năm: ? Số khối Năm trồng đ-ợc là: 120 : x 11 = 440 ( Đáp số: Khối Ba: 120 Khối Bốn: 210 Khối Năm: 440 ứng dụng ph-ơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải toán có văn điển hình, tập phân số Ví dụ: Hai đội vận tải đ-ợc giao vËn chun mét sè hµng BiÕt 52 sè hµng đội Một 74 số hàng đội Hai đội Hai 60 Tính số hàng đội vận chuyển? Phân tích: Bài toán yêu cầu ta tìm số hàng đội Một đội Hai vận chuyển mà đội Hai vận chuyển đội Một 60 hàng số hàng đọi Một ssố hàng đội Hai Đội Một : Đội Hai = 74 : 52 = 10 Từ ta giải toán theo cách tìm hai sè biÕt hiƯu vµ tØ sè cđa hai sè Bài giải : Theo ta có sơ ®å: ? tÊn Sè hµng cđa ®éi Mét: 60 tÊn 50 Số hàng đội Hai: Số hàng đội Mét lµ: ( 60 : ( 10 – ) ) x 10 = 200 ( tÊn ) Sè hµng đội Hai là: 200 60 = 140 ( ) Đáp số : Đội Một : 200 §éi Hai : 140 tÊn øng dơng cđa ph-¬ng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải toán tính tuổi Ví dụ: Tổng số tuôit hai chị em năm 25 tuổi Biết tuổi em tuổi chị Tính tuổi ng-ời? Phân tích: ? Bài toán cho biết gì? ( Tổng số tuổi cđa hai chÞ em b»ng 25 ti, ti cđa em 2/3 tuổi chị) Bài toán yêu cầu gì? ( Tính tuổi ng-ời ) ? Bài toán thuộc dạng toán gì? ( Tìm hai số biết tổng tỉ số hai số ) Tóm tắt: ? tuổi Tuổi em: Tuổi chị: 25 tuổi ? tuổi Bài giải: Tuổi em là: 25: ( + ) = 10 ( tuæi ) Tuæi chị là: 25 10 = 15 ( tuổi ) Đáp số: Em: 10 tuổi Chị: 15 tuổi ứng dụng ph-ơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải toán vui toán cổ 51 Ví dụ: Một đàn cò bay đến đạu v-ờn cây, cò đạu ba cò để đậu, có ba cò ba đậu Hỏi có cây, cò? Bài giải: Cách 1: Giả sử số số cò Nghĩa số có thêm nữa, ba cò đậu vào số cò đậu là: Ta có sơ đồ: ( Khi ba cò đậu cây) Số cây: Số cò đậu: Số ( hay số cò đàn) là: : ( – ) x = ( c©y ) = ( ) Sè c©y thùc cã v-ên lµ: - = ( ) Đáp số: cây, cò Cách 2: Giải sử số cò số Nghĩa số cò có Khi cò đậu số cò đậu là: + = ( ) ( Vì cò nhiều theo đề không đậu cây) Khi ta có sơ đồ: Số v-ờn: Số có cò đậu: Trong v-ờn có số là: : ( -1 ) x = ( c©y ) Số cò thực có đàn là: + = ( ) Đáp số: cây, cò ứng dụng ph-ơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải toán cấu tạo sè thËp ph©n VÝ dơ: Khi céng mét sè tù nhiên với số thập phân có chữ số phần thập phân Do sơ xuất học sinh bỏ quên dấu phẩy số thập phân đặt 52 phép cộng nh- hai số tự nhiên nên kết tăng thêm 310,5 đơn vị Tím số thập phân đó? Phân tích: Bài toán yêu cầu ta tìm số thập phân có chữ số phần thập phân mà cộng sơ xuất học sinh bỏ quên dấu phẩy Do bỏ đáu phẩy số thập phâncó chữ số phần thập phân đod tăng lên 10 lần Số tự nhiên( hay số hạng thứ phép cộng) đ-ợc giữ nguyên nên kết phép tính tăng thêm 310,5 đơn vị số thập phân tăng thêm 10 lần Ta có sơ đồ tóm tắt toán nh- sau: Phép tính đúng: 315,5 310,5 Phép tính sai: 10 lần Nhìn vào sơ đồ ta thấy 310,5 t-ơng -ớng với phần phầ số thập phân phải tìm Bài giải: Số thập phân cần tìm lµ: 310,5 : ( 10 - ) = 34,5 Đáp số : 34,5 Trên số ứng dụng ph-ơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng để giải số toán điển hình Từ học sinhcó thể giải đ-ợc toán t-ơng tự giải theo đề 53 Ta có sơ đồ: ?l Loại 1: 12l Loại 2: ?l Bài giải: Theo sơ đồ, hiêu số phând là: = (phần ) Số lít n-ớc mắm loại hai là: 12 : =6 ( l ) Số n-ớc mắm loại là: + 12 = 18 ( l ) Đáp số: 18l 6l - Chữa bảng - học sinh nhận xét Bài 3( 18-sgk) - Gọi học sinh đọc đề bài: ? Bài toán cho em biết gì? Chu vi tỉ số ? Bài toán yêu cầu ta tính gì? - Tìm chiêu dài chiêu rộng ? Ta biết liên qua đến chiều - lần chiều dài chiều rộng rộng chiều dài? - Yêu cầu học sinh làm - học sinh lên bảng Bài giải: Nửa chu vi v-ên hoa lµ: 120 : = 60 ( m) ?m Ta có sơ đồ: Chiều rộng: 60m Chiều dài: ?m Theo sơ đồ, tổng số phần là: + =12 ( Phần ) Chiêu rộng mảnh v-ờn là: 60 : 12 x = 25 (m) Chiều dài cảu mảnh v-ờn là: 60 25 = 35 ( m) Diện tích mảnh v-ờn là: 25 x25 = 875 ( m2) 54 DiÖn tÝch lèi là: 875 : 25 = 35 (m2) Đáp số: Chiều dài: 35 m, chiều rộng: 25 m Lối đi: 35 m2 55 ... (Đề thi hết học phần Đại học SP Hà Nội) 49 15 153 71 c, TÝnh tæng S =       10 Đề xuất lời giải cho toán t-ơng tự (Đề thi Đại học SPHN 2) 25 25 35 35 25 25 35 Gi¶i a, =   => >  49 50 ... 152 3 52 3 52 0 52 3 52 0 52 3 52 52 3 15 16 16 15 16 b, <  nªn < 29 29 27 29 27 Giải a, Bài đề thi KSCL HSG Vĩnh T-ờng năm 2011 2003 14 1988  2001  2002 a, TÝnh nhanh 2002  2002  50 3  50 4 ...  (20 05  6) a,x     x  x   15  19, 95 b, 10 10 12 13 x( ) 10 10 ài 15 a, Tìm y,biÕt : Phóc) (2001  4)  20 05 =19, 95 - 15 =4,9 5 x  =4,9 5= > x =5 4 : y   5 7 b, = 2001  20 05  2001