Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI CHƯƠNG 1:ĐỀ VÀ LỜI GIẢI Bài 1:Cho x,y,z số thực dương có tích 1.Chứng minh: ( xy  yz  zx)2 ( x  y  z )  24  x  y  z Lời giải 1:Bất đẳng thức tương đương: 1 ( xy  yz  zx)2 (   )  24  x  y  z xy yz zx Áp dụng holder ta có: 1 1 1 ( xy  yz  zx)2 (   )  ( xy  yz  zx)( yz  zx  xy )(   )  ( x  y  z )3 xy yz zx zx xy yz Sử dụng bất đẳng thức với a,b,c>0 (a  b  c)3  24abc  a  b3  c ta được: ( x  y  z )3  24 x y z  x  y  z  24  x  y  z Suy điều phải chứng minh Lời giải 2:Bất đẳng thức tương đương với: ( x  y  z )( x y  y z  z x )  4( xy  yz  zx )  x  y  z  24 Sử dụng cauchy ta dễ có điều 1 Bài 2:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn   1  2ab  2bc  2ca Chứng minh rằng: a  b  c  3abc Lời giải: (Em trai:Nguyễn Tấn sang-10A1-Chuyên Phan Bội Châu) 1 Ta có  (1  )  a 2b   2ab hiển nhiên  2ab ab 1 1 Do đó:1  (3  2(   )  a  b  c  3abc ,suy điều phải chứng minh ab bc ca Bài 3:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  Chứng minh; a b c (   )( ab  bc  ca )  b c a Lời giải: (Em trai:Nguyễn Tấn sang-10A1-Chuyên Phan Bội Châu) Đặt x  ab , y  bc , z  ca ,khi x  y  z  z x y Ta cần chứng minh: (   )( x  y  z )  y z x z x y ( x  y  z )2 Thật ta có:    Ta chứng minh: ( x  y  z )3  9( xy  yz  zx) y z x xy  yz  zx 3 Mà ( x  y  z )3  ( x  y  z  2( xy  yz  zx))  (3 ( x  y  z )( xy  yz  zx) )  (3 3( xy  yz  zx) )  9( xy  yz  zx) Điều phải chứng minh Bài 4:Chứng minh với số thực x,y,z ta ln có: ( x  y  z )  3( xyz )2  4( x y  y z  z x ) Lời giải:Bất đẳng thức tương đương: x  y  z  3( xyz )  2( x y  y z  z x ) Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI Mà theo schur ta có: x  y  z  3( xyz )2   x y ( x  y )   x y Điều phải chứng minh Bài 5:Cho a,b,c số thực khơng âm có a  b  c  khơng có hai số đồng thời bc ca a b a(1  a) 0,chứng minh:    64 a  bc b  ca c  ab cyc ( a  1) Lời giải: bc a (b  c) 4a (b  c) 64a(b  c ) 64a (1  a ) Ta có     a  bc (a  bc)(ab  ac) (a  b)2 (a  c )2 (b  c  2a )4 (a  1)4 Làm tương tự ta có điều phải chứng minh Bài 6:Cho x,y,z số thực dương có tích 1,chứng minh: x  y  z  xy  yz  zx  2( x  y  z ) Lời giải 1:Bất đẳng thức tương đương:  ( x   x )  ,hiển nhiên x Lời giải 2: VP  2( xy  yz  zx )   ( x  y )  2( xy  yz  zx )   ( xy  yz )  2 y  VT Bài 7:Cho x,y,z số thực,chứng minh rằng: ( x  3)( y  3)( z  3)  (3 xy  yz  3zx  xyz )2 27 Lời giải:Ta biến đổi bất đẳng thức dạng p,q,r sau: 243 p  45q  23r  24qr  162 pr  486q  729   11(3 p  r )2  12(q  r )  (q  27)2  144( p  3q )  32(q  pr )  Hiển nhiên,dễ dàng kiểm tra điều này.Ta có điều phải chứng minh,dấu xảy va x = y = z = (sin x +siny)sinz+cosxcosycosz Bài 8:Tìm max p   sin x sin y Lời giải:Ta có (sin x +siny)sinz+cosxcosycosz  sin z  cos z (sin x +siny)2  (cosxcosy)  sin x  2sin xsiny+sin y  (1  sin x)(1  sin y )  sin x sin y  2sin xsiny+1  sin xsiny+1 Do đó: p   1  p  Vậy:max p =  x  y  z  Min p = -1  x  y  0, z   Bài 9:Cho a,b,c số thực dương,chứng minh: abc ab  bc  ca   3 a  b  c a  b2  c Lời giải:Bất đẳng thức tương đương: Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI 3(a  b  c  ab  bc  ca ) a3  b3  c3  3abc  a2  b2  c a3  b3  c3 abc  ( a  b)   ( a  b) 2 2  2(a  b  c ) 2(a  b3  c ) Do ta cần chứng minh: 3(a  b3  c3 )  (a  b  c )(a  b  c ) ,ta dễ có bất đẳng thức x y z Bài 10:Tìm biểu thức: A =   ,với x,y,z >0 x  y  z  y z x x2 y z Lời giải 1: A     x y z x y z  2y z x ,theo Cauchy ta có:  2z x y y y x2 x x  z )   x  A2  3( x  y  z )   A  y z z Vậy A = a = b = c = Lời giải 2:Theo svac-xơ ta có: ( x  y  z) ( x  y  z) A  x yy zz x ( x  y  z )( xy  yz  zx ) (  ( x  y  z)  3( x  y  z )   ( x  y  z)2 ( x  y  z ) Bài 11:cho x,y,z số thực thỏa mãn: x  y  z  ,chứng minh: 6( x  y  z )2  ( x  y  z )3 Lời giải:Chúng ta có: z  ( x  y ) 27 ( x  y  z )3  ( x  y  ( x  y )2 )3  ( ( x  y )2 )3  ( x  y) ( x  y)2 27  16( xy ) ( x  y )  6.(3xy ( x  y ))  6( x3  y  ( x  y )3 )  6( x  y  z ) Bài 12:Cho a,b,c số thực khơng âm khơng có hai số đồng thời 0.Chứng minh rằng: a3 b3 c3    2 2 2 2 2 2 (2a  b )(2a  c ) (2b  c )(2b  a ) (2c  a )(2c  b ) a  b  c Gợi ý:Ta cần chứng minh: a3 a   (a  ab  ac )2  (2a  b )(2a  c ) ,điều 2 2 (2a  b )(2a  c ) (a  b  c) đúng,theo bunhiacop-xki Bài 13:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh; 5(a  b  c )   18 abc Lời giải:Bất đẳng thức viết lại dạng: p   18 r Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI 3p  ,vậy ta cần chứng minh; r q2 9p 36 ( p  3) (5 p  12 p  p  18) p   18  p   18   0 q ( p  3)2 ( p  3) 18 Mà p  12 p  p  18  p (5 p  12   )  p (5  12   6)  p p Hoàn tất việc chứng minh Bài 14:Cho a,b,c số thực khơng âm khơng có hai số đồng thời không.Chứng minh rằng: 1    a  bc b  ca c  ab ab  bc  ca ab  bc  ca a (b  c  a ) Lời giải:Để ý  1 ,bất đẳng thức viết lại thành: a  bc a  bc a (b  c  a ) b(c  a  b) c (a  b  c)   0 a  bc b  ca c  ab Giả sử a  b  c  b  c  a  nên ta cần chứng minh: b ( c  a  b) c ( a  b  c )    (b  c) (a  b)(a  c)  abc (2a  b  c )  2 b  ca c  ab Hiển nhiên,vì a  b  c Bài 15:Cho a,b,c số thực dương,thỏa mãn a  b  c  Chứng minh: a2 b2 c2 3abc    3 ab  bc bc  ca ca  ab a b  b c  c a  abc Lời giải: Áp dụng Svac-xơ ta có: a2 b2 c2 (a  b  c )2 3(a 3b  b3c  c3 a)     ab  bc bc  ca ca  ab a b  b3c  c 3a  abc(a  b  c ) a 3b  b3c  c 3a  abc Suy điều phải chứng minh Bài 16:Cho a,b,c,d số thực không âm thỏa mãn a  b  c  d  Chứng minh: a3  b3  c  d  Gợi ý: a3  2a Bài 17:Cho a,b,c số thựuc không âm,chứng minh: bc a3  b3  c3  3abc  2(  a )3 bc Lời giải:Nếu  a  ,hiển nhiên bc Nếu  a  ,đặt b  a  x, c  a  y ta có: bc a3  b3  c  3abc  2(  a)3  12a ( x  xy  y )  6( x  y )( x  y )  6( x  y )( x  y ) 2 bc  (  a )(a  b)  ,hiển nhiên 2 Từ giả thiết ta có p  2q   p  Mà q  pr  Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI Dấu xảy (a, b, c)  (1,1,1);(0,1,1) Bài 18:Cho a,b,c số thực dương có tích 1,chứng minh: a  b  c a2  b2  c  3 Lời giải:Bất đẳng thức tương đương: (a  b  c)5  81abc (a  b  c ) Mà ta có (ab  bc  ca)  3abc (a  b  c) ,do ta cần chứng minh: (a  b  c)6  27(ab  bc  ca ) (a  b  c )  p  27q ( p  2q)   ( p  3q )2 ( p  6q)  ,hiển nhiên Bài 19:Cho a,b,c số thực không âm,chứng minh: a  b  c  2abc   2(ab  bc  ca ) Lời giải 1:Khơng tính tổng quát ta giả sử (1  b)(1  c )  Bất đẳng thức viết lại: (a  1)2  (b  c)  2a (1  b)(1  c )  Lời giải 2:Ta xét: (a  b  c)(1  2abc  a  b  c  2(bc  bc  ca ))  ((a  b3  c  3abc)   ab(a  b ))   a (bc  cb   3bc )  Đúng,theo Cauchy schur.Suy điều phải chứng minh Lời giải 3:Đặt a  x , b  y , c  z ,chúng ta có: x  y  z  x y z  x y z   x  y  z  x y z   ( x y  x y )  2 x y Suy điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy a = b = c =1 Lời giải 4:Ta có theo Cauchy schur bậc 1: 3abc 9abc a  b  c  2abc   a  b  c   a  b2  c  a bc abc 2 2  a  b  c  4(ab  bc  ca )  (a  b  c )  2(ab  bc  ca) Điều phải chứng minh Bài 20:Cho a,b,c,k số thực không âm,chứng minh: (a  k  1)(b  k  1)(c  k  1)  (k  2)2 (ab  bc  ca  k  1) Lời giải:Xét: (a  k  1)(b  k  1)(c  k  1)  (k  2)2 (ab  bc  ca  k  1)  ((b  c)2  (c  a)  (a  b)2 )k  ((b  c )2  (c  a )2  (a  b)2  (bc  1) 2  (ca  1)2  (ab  1)2 )k  (bc  1)2  (ca  1)2  (ab  1)2  (abc  1)2  ((1  2abc  a  b  c )  (2ab  2bc  2ca ))  Đúng,theo toán trên.suy đpcm Bài 21:Cho a,b,c số thựuc phân biệt,chứng minh rằng: a b c ( ) ( ) ( ) 2 bc ca a b a b c Lời giải:Đặt x  ,y ,z  ta có xy  yz  zx  1 bc ca ab Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI VT  ( x  y  z )2  2( xy  yz  zx)  ( x  y  z )2   Bài 22:Cho a,b,c số thực không âm,chứng minh: (a  bc) b  c  (b  ca ) c  a  (c  ab) a  b  Lời giải:Đặt b  c  x , c  a  y , a  b  z ( x, y , z  0) Bất đẳng thức tương đương  xy ( x  y )   x y ( x  y )   xy ( x  y )( x  y )  cyc cyc cyc Bài 23:Cho a,b,c,d số thực không âm,chứng minh: a b bc cd d a    0 a  2b  c b  2c  d c  2d  a d  2a  b Lời giải:Bất đẳng thức tương đương: a b 3a  c (  )2 4  cyc a  2b  c cyc a  2b  c Mà theo Svac-xơ thì: ( (3a  c))2 3a  c 16(a  b  c  d ) cyc   4  cyc a  2b  c  (3a  c)(a  2b  c) 4(a  b  c  d ) cyc Bài 24:Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a  b  c  a  b  c Chứng minh: a 2b  b 2c  c a  ab  bc  ca Lời giải:Từ giả thiết ta có: a  b  c  a  b  c  2(ab  bc  ca  a 2b  b2 c  c a ) Nên ta cần chứng minh: a  b  c  a  b  c  (a  b  c )2 (a  b  c )  (a  b  c )3 Đúng,theo Holder,dấu xảy (a, b, c)  (1,1,1);(0, 0, 0);(0,1,1) Bài 25:Cho a,b,c số thực dương giả sử: E (a, b, c)  a (a  b)(a  c )  b(b  c)(b  a)  c (c  a )(c  b) ,chứng minh rằng: a) (a  b  c) E (a, b, c )  ab(a  b)  bc(b  c)  ca (c  a ) 1 b) 2(   ) E (a, b, c)  (a  b)  (b  c)  (c  a) a b c Lời giải: a)Theo Schur ta có  a (a  b)(a  c )  cyc (a  b  c) E (a, b, c )   a (a  b)(a  c)   a(b  c )(a  b)(a  c) cyc cyc   a(b  c)(a  b)(a  c )   ab(a  b)  ,hiển nhiên cyc cyc b)Ta có (ab  bc  ca) E (a, b, c )  abc  (a  b)(a  c)   (ab  ac)a (a  b)(a  c ) cyc cyc abc bc(b  c  a )(b  c)2   ( a  b)   cyc cyc Chúng ta dễ có điều này,theo Schur suy rộng  Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI 1  Bài 26:Cho a, b, c   ;3 ,chứng minh rằng: 3  a b c f ( a, b, c )     a b bc ca Lời giải:Khơng tính tổng qt ta giả sử a = max{a,b,c} ( a  b )( ab  c) Ta xét f (a, b, c)  f (a, b, ab )    f (a, b, c)  f (a, b, ab ) ( a  b )(b  c)(c  a) x2 (3  x)( x  (1  x )2 ) Mà f (a, b, ab )      0 x 1 x 1 5( x  1)( x  1) a 3 b Bài 27:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a  b  c   abc ,chứng minh: 2(a  b  c )  2(a  b  c )  (a  b  c ) Lời giải:Bất đẳng thức tương đương: p  p  4q  Với x  p3  ( p  6)( p  3)   p  27 p (4q  p ) p  p  18 Theo schur bậc ta có: p   r   4q  p Vậy ta cần chứng minh: p  p  18 p2  p    p  p  18   ( p  6)(2 p  3)  ,hiển nhiên p Bài 28:Cho a,b,c,x,y,z số thực không âm thỏa mãn a  b  c  x  y  z Chứng minh: ax(a+x)+by(b+y)+cz(c+z)  3(abc+xyz) Lời giải:Ta dễ có: (a x  b y  c z )( yz  zx  xy )  xyz (a  b  c )  xyz ( x  y  z ) Ta có p    xyz ( xy  yz  zx )  a x  b y  c z  3xyz Tương tự ta có ax  by  cz  3abc ,suy đpcm Bài 29:Cho a,b,c số thực không âm,chứng minh: 4(a  b  c)3  27(ab  bc  ca  abc) Lời giải: Giả sử a = min{a,b,c},đặt b  a  x, c  a  y ( x, y  0) Bất đẳng thức tương đương: 9( x  xy  y )a  (2 x  y ) ( x  y )  ,hiển nhiên Dấu xảy (a, b, c)  (1,1,1);(0,1, 2) hoán vị Bài 30:Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 1   1 2 2ab  2bc  2ca  Lời giải:Bất đẳng thức tương đương: ab  bc  ca   4a3b3c  Mà ab  bc  ca   4a 3b3c  3abc  4a3b3c   (1  abc)(1  2abc )2  Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI Bài 31:Cho a,b,c số dương,chứng minh rằng: 1 1     a  ab b  bc c  cd d  da ac  bd Lời giải:bất đẳng thức tương đương: ac  bd ca b(d  a) (  1)     8  cyc a  ab cyc a  b cyc a ( a  b ) b( d  a) Nhưng:   ,theo cauchy cyc a ( a  b ) ca 1 1  (a  c)(  )  (b  d )(  )  ab c d ad bc cyc a  b 4(a  c) 4(b  d )  4 abcd abcd   Baì 32:Chứng minh a, b, c   ;    1 1    (   ) a  2b b  2c c  2a a  b b  c c  a Lời giải:Bất đẳng thức viét dạng: 1 (2b  a)( a  b) (    )   0   a  b 6a 6b cyc a  2b cyc 6ab ( a  2b )( a  b )  0 Vì 2b  a  Bài 33:Cho a,b,c,d số không âm cho a  ab  b  c  cd  d Chứng minh: (a  b)(c  d )  2(ab  cd ) Lời giải:Đặt x  a  ab  b  c  cd  d Khơng tính tổng qt ta giả sử ab  cd Ta có x  ab  cd Bình phương hai vế ta có: ( x  3ab)( y  3cd )  4(ab  cd ) Vì x  ab nên: ( x  3ab)( y  3cd )  4(ab  cd )  4ab(ab  3cd )  4(ab  cd )  4cd (ab  cd )  Dấu xảy (a, b, c, d )  (1,1,1,1);(0,1,1,1) hoán vị Bài 34:Cho a,b,c,d số thực dương có tích 1,chứng minh: 1 1    1 2 (1  a) (1  b) (1  c ) (1  d ) 1   Lời giải:Để ý với x,y dương ta có: ,thật vậy,bđt tương 2 (1  x ) (1  y )  xy đương với: (1  xy )( x  y )  ,đúng.Do đó: 1  ab  cd  ab  cd VT       (đpcm)  ab  cd  ab  cd  abcd  ab  cd Bài 35:Cho a,b,c,d số thực không âm cho a  b  c  d  ,chứng minh: (1  a )(1  b)(1  c)(1  d )  abcd Lời giải 1:Ta cần chứng minh:  Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI (1  a )(1  b)  cd  (1  c )(1  d )  ab 2 2 Dễ có 2cd  c  d   a  b ,do đó: 2(1  a)(1  b)  2c  2(1  a )(1  b)   a  b2  (1  a  b)2  1 a 1 b 1 c 1 d Lời giải 2: Đặt x  ,y ,z  ,t  ,thì ta có: a b c d 1 1     ,ta chứng minh: xyzt  2 (1  x ) (1  y ) (1  z ) (1  t )2 Giả sử xyzt  tồn tai số k  thỏa mãn k xyzt  ,do theo tốn ta có: 1 1 1 1        1 2 2 2 (1  x ) (1  y ) (1  z ) (1  t ) (1  kx) (1  ky ) (1  kz) (1  kt ) Vơ lý,vậy ta có đpcm Bài 36:Cho a,b,c số thực khơng âm,thì ta có: 3(1  a  a )(1  b  b )(1  c  c )   abc  a 2b 2c Lời giải:Ta có: 2(1  a  a )(1  b  b )   a 2b  (a  b)  (1  a) (1  b)   a 2b Ta cần chứng minh: 3(1  a b )(1  c  c )  2(1  abc  a 2b 2c )  (3  a 2b )c  (3  2ab  3a 2b )c   3a 2b  Xét   3(1  ab)4  ,ta có điều phải chứng minh Bài 37:Chứng minh a,b,c,x,y,z số thực,thì 4(a  x )(b  y )(c  z )  3(bcx  cay  abz ) Lời giải:SD bunhiacop-xki: (a  x )((cy  bz )2  b 2c )  (a(cy  bz )  bcx ) Vậy ta cần chứng minh: 4(b  y )(c  z )  3((cy  bz )  b 2c )  (cy  bz )  (bc  yz )  Hiển nhiên.Trong trường hợp abc  dấu xảy x y c    a b z Bài 38:Cho a,b,c số thực dương,chứng minh: 1 1 1 (a  b  c)(   )    (a  b  c )(   ) a b c a b c Lời giải:Ta có: 1 1 ( a)( )  ( a  2 ab)(  2 )  ( a )( )  ( ab)( ) cyc cyc a cyc cyc cyc a cyc ab cyc cyc a cyc cyc ab 1 1 )  ( a )( )  ( ( a )( )  1)   ( a )( ) cyc cyc a cyc cyc a cyc cyc a cyc cyc a Từ ta suy điều phải chứng minh Dấu xảy (a  bc)(b  ca)(c  ab)  Bài 39:Cho a,b,clà số thực dương,chứng minh:  ( a )( Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI Bài 307:Cho x,y,z số thực không âm thỏa mãn x  y  z  Chứng minh: ( y  z )2 ( z  x )2 ( x  y)2 x  y  z  12 12 12 Bài 308:Cho a,b,c số thực nằm đoạn [1,2].Hãy tìm giá trị lớn biểu 10a 11b 12c thức: P    bc ca ab Bài 309:Cho a,b,c số thực khơng âm có tổng 2,chứng minh: a  b  2ab  b  c  2bc  c  a  2ca  Bài 310:Cho x   0,  ,tìm max p  x  x  x  x Bài 311:Cho xi ( i   n ) số thực dương bất kì,chứng minh: n ( n 1) n(n  1) n ( n21) ( ) ( x1  x2   xn ) 2  n  xii i 1 n i i i 1 (Nguyễn Xuân Huy) Bài 312:Cho xi số thực dương có tổng 1,chứng minh: 1 x1x1  x2x2   xnxn  n( ) n n (Nguyễn Xuân Huy) Bài 313:Cho a,b,c số thực dương có tổng 3.Tìm max của: 2b  a 2c3  b3 2a3  c3 p   2ab  ( 13  1)b 2cb  ( 13  1)c 2ac  ( 13  1) a (Nguyễn Xuân Huy) Bài 314:Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn ab  bc  ca  Chứng minh: 1    ab bc ca Bài 315:cho a,b,c số thực không âm,chứng minh rằng: 1 (ab  bc  ca)(   ) 2 ( a  b ) (b  c ) (c  a ) Bài 316:Tìm max P =(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z) với x,y,z  [0,1] n Bài 317:Cho số thực dương xi,( i  1, n ),có x i  k  Chứng minh: i 1 xia k  n( )T ,với a, b  z  , a  b  T  0, xn1  xn  b n i 1 xi 1 n (Nguyễn Xuân Huy) Bài 318:Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi 1.Chứng minh:  abc  ( a  b  c )( a  b  c )   3 abc 104 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI Bài 319:Cho a,b,c,d > 0,chứng minh: a3 b3 c3 d3    1 15bcd  a 15cda  b3 15dab  c3 15abc  d (Nguyễn Xuân Huy) x2  x3  x  x  3 x  3x  Bài 321:Cho a, b, c, x1 , x2 , x3 , x4 , x5 số thực dương thỏa mãn a  b  c  1, x1 x2 x3 x4 x5  Bài 320:Chứng minh: Chứng minh:  (ax12  bx1  c)  i 1 Bài 322:Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a  b  c  Chứng minh: (1  a 2b)(1  b 2c )(1  c a )   3abc Bài 323:Cho x,y,z số thực không âm,chứng minh: x  y  z  x  y  z  xy  yz  zx  x  xy  y  y  yz  z  z  zx  x Bài 324:Cho a,b,c số thực dương,chứng minh: a  2a  b3  2b  c  2c     bc ca a b Bài 325:Cho a,b,c số thực dương có tích 1,chứng minh: 2(a  b  c )  a  b  c  ab  bc  ca  n Bài 326:Cho số thực dương ai,( i  1, n ) thỏa mãn a i  n Chứng i 1 n minh:  i 1 n    i 1  a b c   ) bc ca ab a b c    Bài 328:Cho a,b,c>0, a  b  c  Chứng minh: 2 (b  c) (c  a ) (a  b) Bài 329:Cho x,y,z>0, x  y  z  xyz Tìm : Bài 327:Cho a,b,c>0,abc = 1.Chứng minh: (a  b  c)  6( p  x ( yz  1)  y ( zx  1)  z ( xy  1) Bài 330:Cho a, b, c  0, a  b  c  Chứng minh: Bài 331:Cho a,b,c số thực dương,chứng minh: 3a  2ab  b 3b  2bc  c 3c  2ca  a   0 3a  2ab  b 3b  2bc  c 3c  2ca  a Bài 332:Cho a,b,c số thực dương,chứng minh: 3a  2ab  b 3b  2bc  c 3c  2ca  a   0 a  b2 b2  c2 c2  a Bài 333:Cho a,b,c,d số thực dương,chứng minh: 1 1     a  ab b  bc c  cd d  da abcd 105 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI Bài 334:Cho a,b,c>0,chứng minh: a2 b2 c2 3(a3  b3  c3 )    b  c c  a a  b 2(a  b  c ) 1 1 1    Chứng minh:   1 a 1 b  c 1 a 1 b 1 c 1 (a  b  c)( x  y  z )  Bài 336:Cho x,y,z,a,b,c số thực thỏa mãn  2 2 2 (a  b  c )( x  y  z )  Chứng minh: ax+by+cz  Bài 337:Cho a,b,c số thực dương,chứng minh: a2 b2 c2 4a  4b3  4b3  4c  4c3  4a  4(   ) a b bc ca Bài 338:Cho a, b, c  R, a  b  c  1, a, b, c   Chứng minh: a b c    a  b  c  10 Bài 339:Cho a,b,c số thực dương có tích khơng nhỏ 1,chứng minh: 1   1 2005 2005 2005 2005 2005 ab c bc a c  a  b 2005 Bài 340:Cho a,b,c>0,chứng minh: a2 b2 c2    (2a  b)(2a  c ) (2b  c)(2b  a ) (2c  a)(2c  b) Bài 341:Cho a,b,c>0,chứng minh: ab bc ca a b c      c ( c  a ) a ( a  b ) b (b  c ) c  a a  b b  c Bài 342:Cho a,b,c số thực dương có tích 1,chứng minh: a b c     (1  a)(1  b)(1  c) b c a Bài 343:Cho số thực không âm có tổng 1.Chứng minh: a1a2  a2 a3   an1an  3 Bài 344:cho a,b,c >0, ab  bc  ca  Chứng minh: 3  6(a  b  c)  abc abc Bài 345:Cho a,b,c số thực dương có tổng 3,chứng minh: 3(a  b  c )  2(a 2b  b 2c  c a )  Bài 346:Cho a,b,c số thực dương,có a  b  c  ,chứng minh rằng: a (1  2ca ) b(1  2ab) c(1  2bc)     ca  ab  bc Bài 347:Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện xy  yz  zx  xyz  Chứng minh rằng: Bài 335:Cho a,b,c>0, 106 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI x yz  1 (( x  y )2  ( y  z )2  ( z  x) ) xy  yz  zx 247 Bài 348:Cho x y hai số thực thỏa mãn: x 2009  y 2009  x 2004 y 2004 ,tìm giá trị nhỏ của: A   xy y2 t Bài 349:Tìm giá trị lớn bé của: A   ,với x,y,z,t thỏa mãn hệ phương 25 144  x  y  x  y  20   trình sau: t  z  2t  143   xt  yz  x  t  z  61   Bài 350:Cho x,y,z số thực thuộc (0;1).Chứng minh: 1    x(1  y ) y (1  z ) z (1  x) xyz  (1  x)(1  y )(1  z ) Bài 351:Tìm giá trị lớn của: P  x  y ,với x y hai số thực thỏ mãn: 17 x  72 xy  90 y   Bài 352:Cho a,b,c số thực dương có tích 1,tìm giá trị nhỏ của: 1 P   a (b  1)(c  1) b (c  1)(a  1) c (a  1)(b  1) Bài 353:Cho a,b,c số thực dương có tổng 3,chứng minh: a 2b   cyc ( a  2b ) n Bài 354:cho số dương , i  1, n   0, k  Đặt s   ,chứng minh rằng: i 1 n n n k an k a1 k a2     (k  a1 )(k  a2 ) (k  an )  k n s  a1  k s  a2  k s  an  k (Nguyễn Xuân Huy) 2 Bài 355:Cho a,b,c>0 a  b  c  Chứng minh : 1 a  b3  c3    3 a  b2 b2  c2 c  a 2abc Bài 356:Cho x,y,z>0,thỏa mãn x  y  z  x y z    Chứng minh: 2 4( x  y )  4( y  z )  4( z  x)  Bài 357:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn: a  b  c  Chứng minh : (3a  abc) (3b  abc) (3c  abc )2    12 3a  3b  3c  (Nguyễn Xuân Huy) 2 Bài 358:Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn x  y  z  xyz  2( xy  yz  zx) Tìm giá trị lớn p  xyz  x  y  z  xy  yz  zx P 107 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI Bài 359:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn 1 1 1 1    ,chứng minh:    a b c 4a   4b   4c   Bài 360:Cho x,y,z>0 xyz = 1.Chứng minh rằng:  x3  y3  y3  z  z  x3   3 xy yz zx 1995 Bài 361:Cho a,b số thực dương,chứng minh: A   (1)n 1 ( n 1 Bài 362:Tìm MinA  an bn  )2 bn a n x y z   ,với x, y, z  thỏa mãn: y z z x x y x  y  y  z  z  x  2006 Bài 363:Tìm Max P  xy  yz  zx với x  y  z  thỏa mãn: 32  x  z  16  y Bài 364:Cho a,b,c số thực dương, ab  bc  ca  Chứng minh rằng: 1 1  6b   6c   6a  a b c abc Bài 365:Cho a, b, c  ,chứng minh; a b c   1  a(1  b)  b(1  c)  c(1  a) Bài 366:Cho a,b,c > 0, a  b  c  abc Chứng minh: 7 7 3 a 1  b 1  c 1  ( a  b  c)  b c a Bài 367:Cho x,y,z số thực dương, x  y  z  Chứng minh: x  3xy y  yz z  zx   2 x y yz zx Bài 368:Cho a,b,c số thực dương có tích 1,chứng minh: a2  b b2  c c2  a   3 ab(a  b) bc (b  c) ca(c  a) Bài 369:Cho a,b,c>0, a  b  c  Chứng minh rằng: 1 (a 2b  b 2c  c a )(   ) 2 (1  ab) (1  bc) (1  ca) 2 Bài 370:Cho x,y,z số thực thỏa mãn x  y  z   4( x  y  z ) Chứng minh: x  y  z  16( x  y  z )  8( x  y  z )  27 Bài 371:Cho x,y,z số thực không âm,chứng minh: x  y  z  xy  yz  zx x  y  z x  y  z  3 Bài 372:Cho x,y,z số thực không bé 1.Chứng minh: ( x  x  2)( y  y  2)( z  z  2)  ( xyz )  xyz  Bài 373:Cho x,y R Chứng minh: 3( x  y  1)2   3xy 108 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI Bài 374:Cho a,b,c>0, a  b  c  Tìm min: a5 b5 c5 P    a  b4  c b c c a a b Bài 375:Cho a,b,c>0,chứng minh:  a a2  2bc  abc ab  bc  ca Bài 376:Cho a,b,c,d>0,a+b+c+d=1,tìm giá trị nhỏ của: 1 1 P     2 a b c d acd abd abc bcd Bài 377:Cho a,b,c số thực không âm,chứng minh rằng: 1 a  b  b  c  bc  4(c  a )  ca  a  b  c Bài 378:Cho x,y,z số thực khác 0,giả sử x = max{x,y,z},tìm giá trị nhỏ x y z biểu thức: A      y z x a  bc 2(a  b  c )   b2  c2 ab  bc  ca Bài 380:Cho a,b,c số thực dương thay đổi ln thỏa mãn abc = 4.Tìm giá trị nhỏ a3 b3 c3 của: S    (1  a a )(1  b b ) (1  b b )(1  c c ) (1  c c )(1  a a ) Bài 379:Cho a,b,c không âm,chứng minh:  Bài 381:Cho số thực dương x,y,z thỏa: x 2008  y 2009  z 2010  x 2007  y 2008  z 2009 Chứng minh: x  y  z  Bài 382:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn: 1  2   2 a b 4 b c 4 c b 4 3 Chứng minh: ab  bc  ca  Bài 383:Cho a,b,c số thực dương có tổng 1.Chứng minh rằng: a  b c b  c a c  a 2b    bc ca ab Bài 384:Cho a,b,c số thực dương có a  b  c  ,chứng minh: a b c 3 3 1 a  2b b  2c c  2a Bài 385:Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác,chứng minh; a b c   1 3a  b  c 3b  c  a 3c  a  b 1 Bài 386:Cho a,b,c>0,    Chứng minh: a 1 b 1 c 1 1    2(a  b  c) a b c Bài 387:Cho a,b,c số thực dương,abc = 2.Chứng minh rằng: 109 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI a3  b3  c  a b  c  b c  a  c a  b Bài 388:Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn x  y  z  xyz Chứng minh: P  ( x  1)( y  1)( z  1) Bài 389:Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a  b  c  Chứng minh: a  b  c  a 2b  b 2c  c a Bài 390:Chứng minh với số thực dương a,b,c ta ln có: a  bc b  ca c  ab    (b  c)2 (c  a )2 (a  b)2 Bài 391:Cho số thực a,b,c.Chứng minh rằng: (a  1)(b2  1)(c  1)  (ab  bc  ca  1) 3x   y  4x y2 Bài 393:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3,chứng minh rằng: 1    2 2 2 2a b 2b c 2c a Bài 394:Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a  b  c  ,tìm giá trị nhỏ a b c   biểu thức sau: A  2 2 3(b  c )  2bc 3(c  a )  2ca 3(a  b )  2ab Bài 395:Cho  a  b  c  d  e thỏa mãn a  b  c  d  e  ,chứng minh: a(bc  cd  de  ed )  cd (b  e  a)  25 Bài 396:Cho a,b,c số thực không âm khơng có hai số đồng thời 9(a  b) (b  c) (c  a )2 0.Chứng minh:  (a  b)(a  c )(a  2b)(a  2c )  ab  bc  ca Bài 397:Cho số thực x,y,z.Chứng minh bất đẳng thức:  3( x  y )2 3( y  z ) 4( z  x )  x  y  z  xy  yz  zx  max  , ,  4   Bài 392:Cho x,y hai số thực dương,tìm giá trị nhỏ của: A  Bài 398:Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn x, y, z  x  y  z  ,chứng minh:  y 1 z2  x2    3 x2 y2 z2 Bài 399:Cho số thực dương a,b,c.Chứng minh: a b c ( ) ( ) ( )  2a  b 2b  c 2c  a Bài 400:Cho a,b,c số thực khơng âm,khơng có hai số 0.Chứng minh a  bc b  ca c  ab rằng:   3 b  bc  c c  ca  a a  ab  b Bài 401:Cho số không âm a,b,c,khơng có số khơng,chứng minh: a  bc b  ca c  ab 3a 2b 2c     b  bc  c c  ca  a a  ab  b (a  ab  b )(b  bc  c )(c  ca  a ) Bài 402:Cho số dương a,b,c thay đổi,tìm giá trị lớn biểu thức: 110 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI bc ca ab   a  bc b  ca c  ab 1 Bài 403:Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn    ,tìm giá trị lớn x y z P y x z  2 x y y z z  x2 Bài 404:Cho số thực dương a,b,c,d,chứng minh: ((a  b)(b  c)(c  d )(d  a))  16(abcd ) (a  b  c  d ) Bài 405:Cho x,y,z >0,chứng minh: x2 ( y  z) y ( z  x) z ( x  y) x yz    ( x  y )( x  z ) ( y  z )( y  x ) ( z  x)( z  y ) Bài 406:Cho số thực dương a,b,c.Chứng minh: 1 ab  bc  ca 2(a  b  c)(   )   (4  ) a b c a  b2  c2 Bài 407:Cho số thực dương a,b,c có tổng 1.Cgứng minh bất đẳng thức sau: ab  bc  ca  a 2b  b c  c a  8abc Bài 408:Với a,b,c độ dài cạnh tam giác,chứng minh rằng; ab bc ca   1 2 3c  (a  b) 3a  (b  c ) 3b  (c  a) b(a  b) c(b  c) a(c  a)    Bài 409:Cho số thực dương a,b,c.Chứng minh: ( c  a ) ( a  b ) (b  c ) 2 Bài 410:Cho số thực dương a,b,c.Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 P  (a  b  c )(   ) 2 (a  2b  c) (b  2c  a ) (c  2a  b) Bài 411:Cho x,y,z số thực thỏa mãn điều kiện x, y, z  (0,1) Chứng minh 1 rằng: ( x  x  )( y  y  )( z  z  )  ( x  yz )( y  zx )( z  xy ) 2 Bài 412:Chứng minh a,b,c số dương thì: a (b  c) b (c  a ) c( a  b) ( a  b  c)    a  bc b  ca c  ab a  b  c Bài 413:Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a  b  c  ,chứng minh: 48abc  25  abc abc Bài 414:Cho a,b,c,d số thực dương,chứng minh: ab  ac  ad  bc  bd  cd abc  bcd  cda  dab  Bài 415:Cho a,b,c số thực dương,chứng minh: a b c 2(a  b  c)(b  c  a)(c  a  b) ( ) ( ) ( )  1 bc ca ab (a  b)(b  c)(c  a) Bài 416:Cho a, b, c số thực không âm, chứng minh: biểu thức: P 111 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI a  2bc b  2ca c  ab   2 2 a  bc 2b  ca 2c  ab Bài 417:Cho a,b,c số thực dương,chứng minh; a b c 3(a  b  c)(b  c  a )(c  a  b) ( ) ( ) ( )   bc ca ab (a  b)(b  c )(c  a ) Bài 418:Cho a,b,c số thực khơng âm,trong khơng có hai số đồng thời 0.Chứng minh bất đẳng thức sau: 9( a  1)(b  1)( c  1)  8( a b c  abc  1) Bài 419:Cho a,b,c số thực không âm,chứng minh: a3 b3 c3    a  b2  c2 2 2 2 b  bc  c c  ca  a a  ab  b Bài 450:Cho a,b số thực dương,tìm giá trị nhỏ nhất: ab P a (4a  5b)  b(4b  5a ) Bài 451:Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn: ab  bc  ca  Chứng minh: 1   2 2 b  bc  c c  ca  a a  ab  b Bài 452:Nếu x  y  z  ,chứng minh: x y z 2( y  z )2  xyz  9( y  z ) x y z ( x  y )2 b)  xyz  5( x  y ) Bài 453:Cho a,b,c khơng âm,kg có số đồng thời 0.Chứng minh: a) b2  c c  a a  b a b c    2(   ) a  bc b  ca c  ab bc c a a b Bài 454:Cho a,b,c số thực dương có tổng 1,tìm giá trị lớn của: P  (a  bc)(b  ca)(c  ab) a 2b c Bài 455:Cho x,y,z>0, x  y  z  Chứng minh: x y y z zx     xy  yz  zx 2( x  y  z ) Bài 456:Cho số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = abc.Chứng minh rằng: a2 b2 c2    2 a 1 b 1 c 1 Bài 457:Cho a,b,c>0,chứng minh: a b c    2 9ab  (a  b  c ) 9bc  (a  b  c) 9ca  ( a  b  c) 2(a  b  c) 112 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI Bài 458:Cho x,y,z dương thỏa mãn xy  yz  zx  xyz ,tìm của: S x  108 y  16 z    x2 y2 z2 Bài 459:Cho x, y, z  R  ,chứng minh:  cyc ( x  y  z )2 x2 1  ( x  y )( x  z ) 2( x  y  z ) Bài 460:Cho x,y,z >0,chứng minh: x  41xy y  41yz z  41zx    15 y (8 x  y ) z (8 y  z ) x(8 z  x) Bài 461:Cho a,b,c>0,a + b + c =1.Tìm giá trị lớn của: P  (a  b) ab  (b  c) bc  (c  a) ca Bài 462:Cho  x  y  ,chứng minh: x3 y  y3  x  xy x2  y  Bài 463:Cho a,b,c>0, a  b  c  ,chứng minh: ab bc ca    2 13a  3b 13b  3c 13c  3a 16 Bài 464:Cho a,b,c số thực dương, a  b  c  ,chứng minh: a b c    b 3 c 3 a 3 2 Bài 465:cho a,b,c,d số thực dương thỏa mãn (a  b)(b  c )(c  d )(d  a )  ,chứng minh: (2a  b  c)(2b  c  d )(2c  d  a)(2d  a  b)a 2b 2c d  16 Bài 466:Với a,b,c số dương,chứng minh: a b  b c  c a  abc  2abc(a  b )(b  c)(c  a ) Bài 312:Cho a,b,c x,y,z số thực dương thỏa mãn a  b  c  m a b c m x  y  z  n Chứng minh:    x y z n Bài 467:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a  b  c  ,chứng minh: 8(a  b  c )  3(a  b)(b  c )(c  a ) 1 1    ,chứng minh Bài 468:Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn x 1 y 1 z 1 1 1    bất đẳng thức: x 2 y 2 z 2 Bài 469:Cho a,b,c>0, abc  Chứng minh rằng: 113 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI 1   1 1 a  b 1 b  c 1 c  a Bài 470:Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn x  y  z   xyz Chứng minh: 5( x  y  z )  18  8( xy  yz  zx ) Bài 471:Cho a,b,c số thực dương cho a  b  c   4abc Chứng minh rằng: 1   3 ab bc ca Bài 472:Cho số thực dương a1 , a2 , , an thỏa mãn a1  a2   an  Chứng minh a a a n rằng: (a1a2  a2a3   an a1 )(  2   n )  a2  a2 a3  a3 a1  a1 n 1 Bài 473:Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 1 1    2 ab  2c  2c bc  2a  2a ca  2b  2b ab  bc  ca Bài 474:Cho a,b,c>0 thỏa mãn a  b  c  ,tìm giá trị lớn biểu thức: A  (a  a  1)b (b  b  1)c (c  c  1) a Bài 475:Cho số thực x,y,z thỏa mãn  z  y  x    x  y  max  xy, xyz  z    Tìm giá trị lớn biểu thức: A  x5  y  z Bài 476:Tìm giá trị lớn biểu thức: P    ,với x,y,z>0;  z   x, y ; x y z xz  , yz  15   z  x, y  x, y, z  0; Bài 477:Cho  ,tìm giá tri lớn biểu thức:  x  z  6; y  10 z   A   x y z Bài 478:Cho a,b,c >0 thỏa mãn a  b  c  ,chứng minh: ( a  b )3 (b  c)3 (c  a )   3 a  6ab  b b  6bc  c c  6ca  a Bài 479:Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a  b  c  ,chứng minh: a3 b3 c3   1 2b  c 2c  a 2a  b ab Bài 480:Cho a,b,c số thực không âm,chứng minh:   b  4bc  c abc Bài 481:Cho x,y,z>0, x  y  z  ,Tìm giá trị bé của:   114 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI P x3 y3 z3   (1  x )2 (1  y )2 (1  z )2 y z   3 3 7 z  y 7 x  z 7 y  x x  yz y  zx z  xy Bài 483:Cho x,y,z>0, x  y  z  ,chứng minh:   0 x x y y z z Bài 484:Cho a,b,c số thực khơng âm,khơng có hai số đồng thời không.Chứng minh rằng: 2a  5bc 2b2  5ca 2c  5ab 21    (b  c ) (c  a ) ( a  b) Bài 485:Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a 2b b 2c c2 a   1  bc  ca  ab Bài 486:Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a ab b bc c ca  Bài 487:Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a 2b b 2c c 2a     4bc  4ca  4ab Bài 488:Cho a,b,c số thực khơng âm có tích 1,chứng minh rằng: a b c    a 3 b 3 c 3 Bài 489:Cho a,b,c số thực dương có tích 1,chứng minh với số dương k ta ln có: a b c    b  k c  k a  k 1 k 1 1 Bài 490:Chứng tỏ rằng:    2 ab  2c  2c bc  2a  2a ca  2b  2b ab  bc  ca Bài 482:Cho  x, y, z  ,chứng minh: x 3  với số thực dương a, b, c thỏa mãn đẳng thức a + b + c = Bài 491:Cho a, b, c, x, y, z số thực dương Chứng minh a b c ( y  z)  ( z  x)  ( x  y )  3( xy  yz  zx ) bc ca ab Bài 492:Chứng minh x,y,z  [1,1] thoả mãn điều kiện x+y+z+xyz=0, ta có: x 1  y 1  z 1  Bài 493:Cho a,b,c số thực không âm có tổng 3.Chứng minh rằng: 27 a (b  c )  b (c  a )  c ( a  b )  Bài 494:Cho a,b,c số thực dương có tích 1.Chứng minh: a  b  c  9(ab  bc  ca )  10(a  b  c) Bài 495 :Cho a,b,c số thực dương, ab  bc  ca  Chứng minh : a (b  c ) b (c  a ) c ( a  b )   3 a  bc b  ca c  ab 115 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI Bài 496 :Cho x,y,z>0, xy  yz  zx  Chứng minh : 1    2  xy  z  yz  x  zx  y 2 Bài 497 :Cho x,y,z>0, x  y  z  Chứng minh : 1    2 2 2 2 2 x  y  2z y  z  2x z  x  2y x y z Bài 498 :Cho a, b, c  0, a  b  c  Chứng minh :  3ab   3bc   3ca  Bài 499 :Cho x, y, z   0, 2 , x  y  z  Chứng minh : x  y  z  116 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI 117 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI 118 ... ab  bc  ca  2abc  Các bạn tự kiểm tra Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: a  b2  c  2(ab  bc  ca)  14abc    p  14r   0; (q   2r ) Nếu p  bất đẳng thức hiển nhiên p(4q ... min{a,b,c},thì với bất đẳng thức thứ nhất-ta cần chứng minh: (b  c )(b  a ) (c  a)(c  b)    a(b  c )2 (b2  c  a  3ab  bc  3ca )  2 (c  a)(3b  ca) (a  b)(3c  ab) Với bất đẳng thức thứ... a) Lời giải: y3 y3 y3  )   (đpcm)  x2 z2 zx b) Bất đẳng thức  ( x  y  z )( x3  y  z )  x  y  z  2( x  y  z ) x y z a) Bất đẳng thức   ( 16 Nguyễn Xuân Huy-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ