Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẬP THẠCH TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: RÈN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TỐN " PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ " Người thực hiện : Nguyễn Trần Kiên Đơn vị công tác : Trường THCS Lập Thạch Năm học : 2017 - 2018 Phần thứ : MỞ ĐẦU Nguyễn Trần Kiên Trường THCS Lập Thạch Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” I Lí chọn đề tài: Luật Giáo dục năm 2005 xác định “ Mục tiêu giáo dục phổ thơng giúp học sinh phát triển tồn diện đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ kĩ , phát triển lực cá nhân , tính động sáng tạo , hình thành nhân cách người việt nam XHCN , xây dụng tư cách trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên vào sống lao động, tham gia xây dụng bảo vệ tổ quốc” Mục tiêu mơn tốn trường THCS : hình thành rèn luyện kĩ : tính tốn, thực phép biến đổi, chứng minh , trình bày cho học sinh Để có kĩ phải trải qua q trình luyện tập tích cực, cách theo Đề - Leibnitz nói : “ Giải tốn nghệ thuật thực hành giống bơi lội, trượt tuyết , hay chơi đàn học nghệ thuật , cần bắt chước theo mẫu mực đắn thường xun thực hành khơng có chìa khố thần kì để mở cửa ngõ, khơng có đá thần kì để biến kim loại thành vàng” Là giáo viên , nhận thấy: Công tác bồi dưỡng học sinh, đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi nhà trường coi công việc quan trọng, thường xuyên , xuyên suốt Qua thực tiễn giảng dạy nhận thấy : - Trong chương trình đại số , dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử nội dung quan trọng , việc áp dụng dạng toán phong phú đa dạng rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, giải phương trình, … - Việc phân tích đa thức thành nhân tử không khó, nhiều học sinh làm sai chưa thực chưa nắm vững phương pháp phân tích dạng , chưa có kỹ biến đổi linh hoạt vào cụ thể, chưa nhiều thời gian luyện tập - Ngoài đề thi hsg tốn 8,9 có liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử mức độ khó để giải ngồi phương pháp mà Sgk giới thiệu em học sinh cần phải biết thêm phương pháp khác như: Tách hạng tử, thêm bớt hạng tử, đổi biến, xét giá trị riêng, đồng nhất… Nhằm giúp học sinh tháo gỡ giúp hs giải tốt khó khăn, vướng mắc đồng thời cao chất lượng môn đặc biệt chất lượng mũi nhọn nên chọn đề tài “ Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử” cho học sinh lớp Nguyễn Trần Kiên Trường THCS Lập Thạch Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” II Mục đích nghiên cứu: Nhằm nâng cao chất lượng dạy học: Từ mục tiêu “Học để biết, học để làm, học để chung sống học để làm người”, trước hết giáo dục nhà trường phải hình thành bồi dưỡng cho học sinh lực tự học, tự giải vấn đề Việc trang bị tốt lực hoạt động trọng tâm việc đổi phương pháp dạy học điều kiện đổi chương trình phổ thơng Vì cốt lõi đổi phương pháp dạy học hướng tới hoạt động học tập tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh, chống lại thói quen học tập thụ động Đổi phương pháp dạy học bao gồm đổi nội dung hình thức hoạt động giáo viên học sinh, đổi hình thức tổ chức dạy học, đổi hình thức tương tác xã hội dạy học, đổi kĩ thuật dạy học với định hướng: Bám sát mục tiêu giáo dục phổ thông, phù hợp với nội dung dạy học cụ thể, phù hợp với đặc điểm lứa tuổi học sinh, điều kiện dạy học nhà trường, ứng dụng công nghệ thông tin Khi vận dụng giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử, em lúng túng Phải điểm xuất phát từ học sinh làm quen với phân tích đa thức thành nhân tử, em chưa hiểu rõ hết chất vấn đề, chưa nắm rõ phương pháp phân tích, quy tắc tốn học nên dẫn đến nhầm lẫn giải tốn Chính vậy, từ phân tích đa thức thành nhân tử giáo viên cần phải nghiên cứu để giúp học sinh hiểu rõ chất việc phân tích đa thức thành nhân tử, nắm thật vững kiến thức để hạn chế nhầm lẫn, sai sót sau III Đối tượng nghiên cứu: - Dạng tốn “phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” - Học sinh lớp trường THCS Lập Thạch IV Phạm vi nghiên cứu: - Đề tài xoay quanh dạng “Tốn phân tích đa thức thành nhân tử” chương trình tốn học bậc THCS - Học sinh THCS, đặc biệt học sinh giỏi lớp trường trung học sở Lập Thạch - Huyện lập Thạch V Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu tài liệu: Đọc tạp chí dạy học ngày nay; tạp chí giáo dục; vấn đề đổi giáo dục trung học sở; sách giáo khoa toán 8; sách tập Toán 8; hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ mơn Tốn THCS làm sở thực giải pháp Điều tra: Qua dạy, dự học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp, trao đổi với học sinh để đưa biện pháp thực Thống kê: Thống kê số liệu học sinh qua theo dõi Nguyễn Trần Kiên Trường THCS Lập Thạch Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” PHẦN II: NỘI DUNG I Cơ sở lý luận Bất môn khoa học trường phổ thơng có vai trò tầm quan trọng Riêng mơn Tốn có vai trò quan trọng có khả to lớn góp phần thực nhiệm vụ chung nhà trường Các kiến thức Tốn học cơng cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt môn học khác, giúp em hoạt động có hiệu lĩnh vực Mơn Tốn có khả to lớn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ Thật vậy, tính trừu tượng cao độ Tốn học, mơn Tốn giúp nhiều cho học sinh việc rèn luyện khả tư duy, sáng tạo Do tính xác cao, suy luận logic, chặt chẽ, mơn “Thể thao trí tuệ”, Tốn học có khả phong phú làm cho học sinh tư xác, tư hợp với logic Việc tìm kiếm, tìm lời giải tốn có tác dụng to lớn việc cho học sinh phương pháp khoa học suy nghĩ, suy luận, học tập việc giải vấn đề, rèn luyện cho học sinh trí thơng minh, sáng tạo Mơn Tốn có khả đóng góp tích cực vào việc giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức sống lao động Vì dạy Toán làm cho học sinh nắm cách xác, vững có hệ thống kiến thức kĩ Tốn học phổ thơng Có lực vận dụng tri thức vào tình cụ thể khác nhau, vào đời sống, vào lao động sản xuất vào học tập môn học khác Phát triển học sinh lực phẩm chất trí tuệ giúp học sinh biến tri thức thu nhận thành riêng thân mình, thành cơng cụ để nhận thức hành động đắn lĩnh vực hoạt động học tập mãi sau Giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức thẩm mỹ người công dân, phát triển học sinh khả tiếp thu mơn Tốn Các mục đích nói khơng thể tách rời mà có mối quan hệ mật thiết, hỡ trợ, bổ sung cho nhau, thể thống trí dục đức dục, dạy học phát triển, nâng cao dân trí đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài trình dạy học môn trường phổ thông II Cơ sở thực tiễn Thực tiễn vấn đề nghiên cứu: Do học sinh yếu tính tốn, kĩ quan sát nhận xét, biến đổi thực hành giải toán nên gặp tập, em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, khơng biết áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt Do đó, dẫn đến việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nhầm lẫn Ngồi ra, vài học sinh chưa xác định rõ phân tích đa thức thành nhân tử nào? Và làm để phân tích đa thức cho thành nhân tử Nguyễn Trần Kiên Trường THCS Lập Thạch Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” Mặt khác, phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng nhiều dạng tốn sau như: Tính nhanh giá trị biểu thức, tốn tìm x, rút gọn phân thức đại số, giải phương trình tích… Sự cần thiết đề tài: Xuất phát từ tình hình thực tế trường yêu cầu nội dung kiến thức, nhận thấy việc “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” thực cần thiết Bởi vì, cách giúp học sinh rèn kĩ quan sát, nhận xét vận dụng linh hoạt phương pháp học vào tập cụ thể Từ đó, giúp em tìm tòi, phát chiếm lĩnh tri thức cách tốt Không thế, giải pháp giúp em hứng thú học toán, xem việc giải tập cách giải trí sau học mơn khác III Nội dung vấn đề Vấn đề đặt Để phân tích đa thức thành nhân tử học sinh cần phải nắm vững phương pháp như: Đặt nhân tử chung; dùng đẳng thức; nhóm hạng tử; phối hợp nhiều phương pháp Ngồi ra, học sinh khá, giỏi giới thiệu thêm hai phương pháp phân tích (nâng cao): Tách hạng tử; thêm bớt hạng tử Vì vậy, giáo viên phải thực số việc sau: - Xây dựng phương pháp giải phân tích đa thức thành nhân tử - Củng cố phương pháp phân tích - Sắp xếp toán theo mức độ, dạng toán - Chữa sai lầm thường gặp học sinh giải tốn - Tìm tòi cách giải hay, khai thác toán - Giới thiệu thêm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao) - Một số lưu ý trình phân tích đa thức thành nhân tử Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2.1 Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp chung : - Tìm nhân tử chung hệ số (ƯCLN hệ số) - Tìm nhân tử chung biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ ) Nhằm đưa dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D) Chú ý: Nhiều để làm xuất nhân tử ta cần đổi dấu hạng tử : A = - (-A) Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử - Tìm nhân tử chung hệ số 14, 21, 28 hạng tử ? (ƯCLN(14, 21, 28 ) = ) - Tìm nhân tử chung biến x2y, xy2, x2y2 ? (biến chung : xy ) Nguyễn Trần Kiên Trường THCS Lập Thạch Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” - Nhân tử chung hạng tử đa thức cho 7xy Giải: 2 2 14x y – 21xy + 28x y = 7xy.2x -7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy.(2x – 3y + 4xy) Ví dụ 2: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử Gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số 10 ? ( ƯCLN(10, ) = 2) - Tìm nhân tử chung x(x – y) y(y – x) ? - Hãy thực đổi dấu tích 10x(x – y) tích – 8y(y – x) để có nhân tử chung (y – x) (x – y)? Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y) Ví dụ 3: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử Các sai lầm học sinh thường mắc phải : 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai ) = (x – y)[9x + 10(x – y)] = (x – y)(19x – 10y) (kết sai ) Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y) = (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x) Chú ý: Tích không đổi dấu ta đổi dấu hai nhân tử tích (một cách tổng qt, tích khơng đổi dấu ta đổi dấu số chẵn nhân tử tích đó) Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) x y − 6xy 5) x y 2) x ( x −1) + x ( x −1) 3) x( x −a) + 5a( a −x) 4) -7x y - 14x y4 - 21y +15 x y − 21xy 6) x ( x −2) −(2 −x) 7) x ( x −1) −(1 −x) 8) 2a b( x + y ) −4a b ( −x −y) 3 Bài 2: Tính nhanh 1) 21,3.128 - 21,3.28 3) 14.15,2 + 43.30,4 Bài 3: Tìm x, biết: 1)2x −10 x2 = 3)5x(x - 2) - (2 - x) = 2) 7,2.137+28.13,7 4) 52.143 - 52.39 - 8.26 2) 4x(x+1) = 8(x+1) 4) x = x5 2.2 Phương pháp dùng đẳng thức Phương pháp chung: Biến đổi để xuất đẳng thức đáng nhớ A2+2AB+B2=(A+B)2 A2–2AB+B2=(A–B)2 Nguyễn Trần Kiên Trường THCS Lập Thạch Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” A2–B2=(A–B)(A+B) A3+3A2B+3AB2+B3=(A+B)3 A3–3A2B+3AB2–B3=(A–B)3 A3+B3=(A+B)(A2–AB+B2) A3–B3=(A–B)(A2+AB+B2) Ví dụ 1: Phân tích đa thức x x − xy + y Ta có: − xy + y 2 thành nhân tử = x −2 x.3 y + (3 y ) = ( x −3 y) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) 10x − 25 − x 3) + 12 2) − 3 x x x Giải: 1) 10 x − 25 − x 2= − x 1   2) − x 3) 8x + 10 x − 25 = − ( x = + 12 x y + xy 2   +y + y 1  4x y+ 6xy − 10 x + 25 ) = − ( x − 5) 2   = 2 x − (2x) −  2 +x+   4 y + 3.2 x y +y 3 Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3 1) a + b + 3 2) ( x + y− z ) − x − y + z −3abc c 3 Giải: −3abc = ( a + b 1) 3+ 3+ c b − 3ab + − 3abc ) − 3a a b c  [ ( a + b ) + c3 ]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)[(a+b)2 -c(a+b)+c2 ]-3ab (a+b+c)(a + b + c − ab − bc − ca) 2) ( x + y −z ) −x −y + z3  ( x + y −z ) −x  −( y −z )  ( y −z ) ( x + y + z + xy −2 yz −2zx + x  ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( y −z x + xy − yz − zx 3 2 + xy − xz + x ) − ( y − z ) ( y + yz + z2 ) = y − z  x x + y − z x + y  = y − z )( x + y )( x − z)  Bài tập áp dụng: Bài 1:Phân tích đa thức thành nhân tử 1) 25a2 −1 5) x + y3 2) ( a − 2b ) − 4b2 Nguyễn Trần Kiên 6) x −125 y3 64 Trường THCS Lập Thạch Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” 3) −x  2xy − y2 7) x + 15 + 75 x +125 4) 25 8) x x −20 xy + y2 2 27a b+ −54a −8b 36ab Bài 2: Tìm x,biết : 1) x −36= 3) x + x + 12 x + = 2) x + 10 x+25= 4) (2 x + 5) −2(2 x + 5)( x −1) + ( x − 1) = 49 Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” ( +x) + 2 (x x = x −x + x −2 x (2 x x =(2 x =(2 x 2 −2t + 6t − 12 = t ( t −2 ) + ( t −2 ) =  ( ) ( ( x )( )( ( t −2 )( t + ) = )( ) )  x + x + =  x − + x −1  x + + = x − x + x x ( + x −2 )( x x 2+ x + − x − ) −10 )( − x − ) − 10 = ( t −3 ) − 10 = − 3t− 10 = x t t t −x − −5 ) −x −1 + ) = ( −x −6 ) x ) x (x ( 2 −4 x + x − ) (x )= −x + 2x − 5t + 2t −10 = t ( t −5 ) + ( t − 5) = ( t − )( t + ) − x +1 ( x −2 ) + ( x −2 )  ( x  ) = ( x −2 ) ( −x + x+ ) ( x ) − x +1 Bài tập áp dụng: 1) x −37 x2 +9 + 21x +10 2) ( x +3x) 2+ 7x 6) x + xy + y + 10 x + y − ) 3) x + xy + 2+ x + y −15 8) y 4) x + xy + 16 (x + x + 1)( x ( x 2+ x + ) −12 − x + )( x − x −2 ) + 9) ( 2 + x −2 )( + x + y −3 y 2 − x −1 = t −x −1 + 4t −12 = t )) ( − x − 1)( x Đặt 2 t ( 3) ( + x ) −12 = x + x − ) −12 x 10) ( x −x −1)( x −x4 5) x − xy + y − x + 14 + ) −10 Ví dụ 2: Đa thức dạng ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) +e ( với a + b = c + d ) Phân tích đa thức thành nhân tử: ( x + )( x + 3)( x + )( x + ) − 2) 24 1) P(x) = (x +1)(x + 2)(x +3)(x + 4) – 15 Giải: 1) (x +1)(x + 2)(x +3)(x + 4) – 15 = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) – 15 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) 15 Đặt y = x2 + 5x + P(x) trở thành Q(y) = y(y + 2) – = y2 +2y – 15 = y2 – 3y + 5y – 15 = y(y – 3) + 5( y – 3) = (y – 3)(y + 5) Do ®ã: P(x) = (x2 +5x + 1)(x2 + 5x + 9) +x+ 6) 1) x ( x + )( x + )( x + 10 ) +128 2) ( x −1)( x −3)( x −5)( x −7 ) −20 )( )( ) 3) ( x x − x + x + −3 4) ( x − )( x − )( x − )( x − ) −72 5) ( x + x + 12 )( x + 12 x + 32 ) +16 Nguyễn Trần Kiên Bài tập áp dụng: 6) ( x + x + )( x + x + ) −24 7) ( x −6 x + )( x −10 x + 21) −20 ) ) 8) ( x + x −2 ( x + x + 18 − 28 9) ( x −5 x + )( x −15 x + 56 ) −144 10) ( x −11x + 28 )( x −7 x + 10 ) −72 16 Trường THCS Lập Thạch Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” Ví dụ 3: Đa thức dạng (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) víi a1b1 = c1d1 vµ a2b2 = c2d2 Phân tích đa thức thành nhân tử: P(x) = (3x + 2)( 3x – 5)( x – 9)( 9x + 10) + 24x Giải: DÔ thÊy a1b1 = 3.3 = 9.1 = c1d1 vµ a2b2 = 2.(-5) =(-1).10 =c2d2 P(x) = (9x2 – 9x – 10)(9x2 + 9x – 10) + 24x2 Đặt y = (3x +2)(3x 5) = 9x2 9x 10 P(x) trở thành: Q(y) = y(y + 10x) + 24x2 = y2 + 10xy + 24x2 Tìm m.n = 24x2 m + n = 10x ta chọn đ-ợc m = 6x , n = 4x Ta đ-ợc: Q(y) = y2 + 10xy + 24x2 = (y + 6x)(y + 4x) Do ®ã: P(x) = ( 9x2 – 3x – 10)(9x2 – 5x – 10) Bài tập áp dụng: 1) ( x −1)( x + )( x + 3)( x − ) +32x2 6) ( x + 2)( x −4)( x + 6)( x −12) +36x 2) ( x + 1)( x − )( x + )( x −8 ) + 4x2 7) 4( x + 5)( x + 6)( x + 10)( x + 12) −3x 3) ( x −2 )( x − 3)( x − )( x −4 ) −72x2 8) ( x + )( x + 3)( x + 8)( x + 12 ) −4x 4) ( x + 3)( x −1)( x −5)( x + 15 ) + 64x2 ( x − 2)( x − 4)( x − 5)( x − 10) −54x 5) Dạng 2: Đặt biến phụ dạng đẳng cấp Phương pháp: Một số đa thức có bậc cao, nhờ đặt biến phụ đưa đa thức có bậc thấp để thuận tiện cho việc phân tích nhân tử, sau phân tích nhân tử đa thức mới, thay trở lại biến cũ để đa thức với biến cũ Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) x + 12 + x x + + 2x2 ( ) ( ) Giải: 1) ( x + 1) + ( x + 1) + x Đặt x + = t ( 2) 10 x −2 x + ) ( ) −9 x x −2 x + −x4 2x x + 1) + x ( x + 1) + x = t + xt + x = t + xt + xt + 2x2   t (t + x )+ x (t + x ) = )( x +1+x) = ( t + x )( t + x ) = (x + + x )( x + + x ) = ( x +1) 2) 10 ( x − x + ) − x ( x − x + 3) − x4 (x +1+2x Đặt x − x + = t Nguyễn Trần Kiên 17 Trường THCS Lập Thạch Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” 4 10 − x + ) −9 x ( − x + ) − x = −9 xt − x = − 10xt + xt − x 10t 10t (x x 10t ( t − x ) + x ( t − x ) =   (t 2 − x )( 10t + x2 ) ( t + x )( t − x ) ( 10t + x ) = ( x − x + + x )( x −2 x + −x ) 10 ( x − x + 3) + x2   ( x − x + )( x − x + ) 10 ( x − x + 3) + x2   1) (x + 2) ( −x 3) ( − x 4) ( + x 5) ( x  + 1) + x + x + 1) + 2 10) ( − x − 1) + x (x − x − 1) +12x Dạng 3: Đặt biến phụ dạng hồi quy Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử: x 4+ x 1) + 11x + x +1 + 11x + x +1 Giải: x 4+ x 1) 2) x −5 x − 27 x + 25 x +50 2 Giả sử x ≠ , ta viết dạng: A= x 4+ 6x + 11x + 6x + = x 2 x + 6x + 11+ + 1 = x  x +  + 6 x +   +11 2       x x  x    x      1 ( x + = t − Do x  Đặt x + = xt )  A    = x ( t − + 6t + 11) = x ( t + ) = ( xt + x =  x  x + x  +  = x + x +1 x )2 2) 2x −5 x −27x + 25x +50 Giả sử x ≠ , ta viết dạng: A= 2x −5 x − 27 x + 25 x + 50 = x Đặt x − = x + 25 = x t x t Α − 7)  25 50  + = x x x   x − x −27 +  +10 Do       x + 25   −  x − x   5  x  − 27  = x  ( t + 10 ) − 5t − 27  = x ( 2t + 20 − 5t − 27 ) = x ( 2t − 5t − ) = x ( t + 1)( 2t     x2 x− +1  2 x−  x   x   1) x + x − x + x +1 2) x + x + x + x +1 Nguyễn Trần Kiên  5  −7  = (x + x − )( x − x −10) Bài tập áp dụng: 5) x + x + 14 x + 14 x + 6) x − 10 x + 26 x − 10 x +1 18 Trường THCS Lập Thạch Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” 3) x x −12 x  x 4) x + x3 −38 x 5  2 2.8 Phương pháp hệ số bất định Phương pháp: NÕu trªn mét tập hợp số mà hai đa thức f(x) g(x) đồng với nhau, tức ứng với giá trị biến lấy tập hợp số cho mà f(x) g(x) có giá trị hệ số hạng tử cïng bËc lµ b»ng f ( x ) = a n x n + a n−1 x n−1 + + a1 x + a0 g ( x ) = bn x n + bn −1 x n−1 + + b1 x + b0 f ( x ) ≡ g ( x ) ⇒ a n = bn ; an −1 = bn −1 ; ; a1 = b1 ; a0 = b0 Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) h(x) = x + 6x + 7x + 6x + 2) f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Giải: 1) h(x) = x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + DƠ thÊy ± kh«ng phải nghiệm đa thức nên đa thức nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỷ Nh- đa thức cho phân tích thành nhân tử phải có dạng: (x2 + ax + b)( x2+ cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad +bc)x +bd Đồng hệ số đa thức với đa thøc ®· cho, ta cã: x + 6x3 +7x2 + 6x + =x4 +(a + c)x3 + (ac + b +d)x2 + (ad + bc)x +bd  a+c=  ac + b + d = Ta có:  ad + bc =   bd =  Nguyễn Trần Kiên 19 Trường THCS Lập Thạch Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp Từ hệ ph-ơng trình ta tìm đ-ợc: a = b = d = 1, c = VËy h(x) = x4 + 6x3 +7x2 + 6x + = (x2 + x + 1)(x2 + x + 5) 2) f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Nhận xét: Các số ± 1; ± nghiện đa thức f(x) nên đa thức khơng có nghiệm ngun, khơng có nghiệm hữu tỉ Như f(x) phân tích thành nhân tử phải có dạng: (x2 + ax + b)( x2 + cx + d), với a, b, c, d ∈ Z Khai triển dạng ta đa thức: x4 + (a+c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd Đồng đa thức với f(x) ta hệ điều kiện: a + c = −6  = ac + b + d 12  ad + bc =  −14   bd = Xét bd = 3, với b, d ∈ Z, b ∈ {± 1; ± 3} Với b = d = 1, hệ điều kiện trở thành: a + c = −6   ac = a + 3c   = −14 Từ ta tìm được: a = -2; c = -4 Vậy f(x) = (x2 - 2x + 3)( x2 - 4x + 1) Ta trình bày lời giải sau: 4 3 2 f(x) = x 2- 6x + 12x - 14x +2 = (x - 4x + 2x ) - (2x + 8x2 - 2x) + (3x2 -12x +3) = x (x - 4x + 1) - 2x(x - 4x + 1) + 3(x - 4x + 1)= (x - 4x + 1)(x - 2x +3) Bài tập áp dụng: 2) x − x + 12 x 3) x − 8x + 63 4) x + x −5 x −3 − 14 x + 5)3 −5 x + −2 x x 6)3x − x −18 x − 3x + 7) x + x3 + x − x +3 8)x − x 3+ 7x −6 2.9 Phương pháp xét giá trị riêng Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) 2) Q = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c)( b + c - a)( c + a - b) Giải: 1) P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) Nhận xét: Nếu thay x y P = 0, nên P chia hết cho x - y Hơn thay x y, y z, z x P khơng thay đổi ( Ta nói đa thức P hốn vị vòng quanh) Do đó: P chia hết cho x - y P chia hết cho y - z z - x Nguyễn Trần Kiên 20 Trường THCS Lập Thạch Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” Từ đó: P = a(x - y)(y - z)(z - x); a số, khơng chứa biến P có bậc tập hợp biến Ta có: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = a(x - y)(y - z)(z - x) (*) với x,y, z ∈ R nên ta chọn giá trị riêng cho x, y, z để tìm số a xong Chú ý: Các giá trị x, y, z ta chọn tùy ý, cần chúng đơi khác để tránh P = Chẳng hạn: Chọn x = 2; y = 1; z = thay vào đẳng thức (*), ta tìm a = - Vậy: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = -(x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z) 2) Q = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c)( b + c - a)( c + a - b) Nhận xét: với a = Q = 0, a nhân tử Q Do vai trò bình đẳng a, b, c nên b c nhân tử Q, mà Q có bậc tập hợp biến nên Q = k.abc Chọn a = b = c = k = Vậy Q = 4abc Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) ab ( a −b ) + bc ( b −c ) + ca ( c −a) 2) ( a + b )( b + c )( c − a ) + ( b + c )( c + a )( a −b ) + χ ( 3) ab ( a + b ) −bc ( b + c ) + ac ( a −c) 4) a ( b −c ) + b 5) a ( b −c ) + 6) a ( b −c z −a ) + c (a −b) ( c −a ) + ( a −b) )+ ( b b 7) x ( y + (c c −a )+ ( c c −b ) a ) + ( z + ) + ( x + ) + xyz ( xy y + a )( a + b )( b −c) x z z y 8) x ( y −z ) + y ( z −x ) + z ( x −y ) −x −y − z 3 9) ab ( a + b ) + bc ( b + c ) + ca ( c + a ) + 2abc 10) 3a 2b + ab + b c + 3bc + 9c a + 9ca + 6abc  1)  4xyz Nguyễn Trần Kiên 21 Trường THCS Lập Thạch Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” IV.Kết sáng kiến kinh nghiệm: Sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trình bồi dưỡng học sinh t«i nhận thÊy em có chuyển biến rõ rệt : Các em hiểu nắm phương pháp giải dạng “ Tốn phân tích đa thức thành nhân tử” , kỹ vận dụng phương pháp giải linh hoạt hơn, xác , kỹ trình bày khoa học , logic Qua ú cỏc em không lúng túng thiếu tự tin nh- tr-ớc m dần thích thú say mê gặp dạng toán Kt qu c th: GIA HKI (trước áp dụng đề tài ) LỚP 8A 8B 8C TS Đạt TB↑ 28 35 18 23 HKI ( sau áp dụng đề tài) TL% Đạt TB↑ TL% 27 34 Năm học 2017 - 2018, đ-ợc nhà tr-ờng giao nhiệm vụ dạy môn Toán lp kết đạt sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm : - Số học sinh đạt loại giỏi chiếm : 0 Nguyễn Trần Kiên 22 Trường THCS Lập Thạch Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” - Học sinh giỏi cấp huyện : em có : Giải em; giải nhì : Giải ba (1 em); Giải khuyến khích (1 em) Phạm vi áp dụng: Giải pháp áp dụng tốt đơn vị áp dụng cho số đơn vị huyện, tỉnh V Bi hc kinh nghiờm: Ch-ơng trình SGK cô đọng, xúc tích ngắn gọn phù hợp cho học sinh đại trà Nh-ng em học sinh giỏi ham thích môn toán đòi hỏi cn phi tìm hiểu sâu kiến thức Nên muốn giảng dạy có hiệu nh- mong muốn thỡ ngi giỏo viờn cần phải: - Đổi ph-ơng pháp nghiên cứu, phng phỏp giảng dạy - Th-ờng xuyên suy nghĩ trau dồi kiến thức, sáng tạo giảng dạy, có phân dạng tập thành hệ thống liên kết với để học sinh thấy đ-ợc vận dụng sáng tạo kiến thức vào dạng tập cụ thể - Qua kết thu đ-ợc từ thực nghiệm năm học tr-ớc đúc rút thành kinh nghiệm cho giảng dạy năm học đ-ợc hoàn chỉnh hơn, điều chỉnh nội dung ph-ơng pháp phù hợp với đối t-ợng, đặc điểm học sinh lp, tng nm hc, tng địa ph-ơng Nguyn Trn Kiờn 23 Trường THCS Lập Thạch Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” Phần thứ ba : KẾT LUẬN Trong việc dạy học tốn việc rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh cần thiết giúp học sinh phát triển khả tư , suy luận hợp lơgíc, khả quan sát, dự đốn Bước đầu hình thành thói quen tự học, tự nghiên cứu mục tiêu quan trọng Do việc áp dụng đề tài dạy học tốn khả thi Trªn mt số dạng toán th-ờng gặp phn phõn tớch a thc thnh nhõn t Mỗi dạng toán có đặc điểm khác chia nhỏ dạng dạng Việc phân dạng nh- giúp học sinh dễ tiếp thu thấy đợc toán ta nên áp dụng kiến thức cho phù hợp Mỗi dạng toán chọn mt số toán điển hình để học sinh hiểu cách làm từ bit dng làm tập mang tính t-ơng tự dần nâng cao lên Nhng kiờn ngh - xuất: Nguyễn Trần Kiên 24 Trường THCS Lập Thạch Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” - Đối với nhà trường: Cần tổ chức hoạt động tổ - nhóm chun mơn với thời lượng nhiều hơn, hoạt động có chiều sâu - Với cấp quản lí giáo dục: +, Cần cung cấp thêm tài liệu tham khảo đồ dùng dạy học +, Cần tăng cường lớp tập huấn cho giáo viên đổi phương pháp giảng dạy, đổi kiểm tra đánh giá, tập huấn sử dụng phần mềm hỗ trợ cho giảng dạy - học tập Mặc dù đề tài đạt số kết đònh song không tránh khỏi thiếu soựt, haùn cheỏ Rất mong nhận đ-ợc ý kiến góp ý bạn đồng nghiệp để đề tài phong phú hn, có hiệu Lp thch, ngày tháng Ng-ời viết năm 2018 Nguyn Trn Kiờn TAỉI LIEU THAM KHẢO Sách giáo khoa đại số – Nhà xuất giáo dục Sách giáo viên đại số – Nhà xuất giáo dục Thực hành dạy toán THCS – Nhà xuất giáo dục Tổng hợp kiến thức Toán THCS – Phạm Phu – Nhà xuất đại học sư phạm – Xuất năm 2005 Nguyễn Trần Kiên 25 Trường THCS Lập Thạch Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán – Bùi Văn Tuyên – Nhà xuất giáo dục – Xuất năm 2004 Sách bồi dưỡng lực tự học toán – Nhà xuất ĐHQG TP HCM Sách nâng cao phát triển tốn - Vũ Hữu Bình - Nhà xuất giáo dục Nguyễn Trần Kiên 26 Trường THCS Lập Thạch ... phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao) - Một số lưu ý q trình phân tích đa thức thành nhân tử Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2.1 Phương pháp đặt nhân tử chung... rõ phân tích đa thức thành nhân tử nào? Và làm để phân tích đa thức cho thành nhân tử Nguyễn Trần Kiên Trường THCS Lập Thạch Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử. .. nhóm phân tích + Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực * Nhóm hạng tử nhằm xuất nhân tử chung: Ví dụ 1: Phân tích đa thức x2 – 3x + xy – 3y thành