Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 CÁC CHỮ CÁI VIẾT TẮT THPT: Trung học phổ thông HSG: Học sinh giỏi BDHSG: Bồi dưỡng học sinh giỏi SK: Sáng kiến SGK: Sách giáo khoa SBT: Sách tập BT: Bài tập NC: Nâng cao CTSHTQ: Công thức số hạng tổng quát CSC: Cấp số cộng CSN: Cấp số nhân CMR: Chứng minh CM: Chứng minh BĐT: Bất đẳng thức Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Trang Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 BÁO CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN: “Mét sè kÜ tht tÝnh giíi h¹n cđa d·y sè cho bëi hÖ thøc truy håi” I LỜI GIỚI THIỆU: Bài tốn tìm giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi dạng tốn khó, đòi hỏi nhiều kĩ thuật biến đổi – tính tốn Bài tốn thường xuất đề thi HSG cấp tỉnh, đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi quốc gia quốc tế Các tài liệu chuyên sâu chuyên đề giới hạn dãy số hạn chế; Và hơm nay, với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy BDHSG, cung cấp cho em học sinh, đặc biệt em học sinh - giỏi tốn u thích tốn có thêm tài liệu tham khảo giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi, tơi nghiên cứu hồn thành SK nho nhỏ với tựa đề: “Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi” II TÊN SÁNG KIẾN: Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi III TÁC GIẢ SÁNG KIẾN: - Họ tên: Nguyễn Thị Thanh Lan - Địa chỉ: Trường THPT Triệu Thái - Số điện thoại: 0978 205 898 - Email: nguyentthanhlan.gvtrieuthai@vinhphuc.edu.vn IV CHỦ ĐẦU TƢ TẠO RA SÁNG KIẾN: Nguyễn Thị Thanh Lan Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Trang Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 V LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh khá, giỏi: Giới hạn dãy số - Dạng tốn tìm giới hạn dãy số cho công thức truy hồi - Đại số & giải tích 11 VI NGÀY SÁNG KIẾN ĐƢỢC ÁP DỤNG: 08/12/2018 VII MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN:  GIÚP HỌC SINH CÓ MỘT SỐ KĨ THUẬT TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CƠNG THỨC TRUY HỒI  NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN: Trong trình tìm tòi, nghiên cứu, giảng dạy BDHSG, tơi tổng hợp đúc kết thành số kĩ thuật để tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Trong khuôn khổ đề tài này, tơi trình kĩ thuật sau đây: A- Kĩ thuật 1: Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách xác định CTSHTQ dãy số B - Kĩ thuật 2: Tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi cách sử dụng phương pháp đánh giá nguyên lí kẹp C - Kĩ thuật 3: Tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi cách sử tiêu chuẩn (định lí) Weierstrass A – KĨ THUẬT 1: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI BẰNG CÁCH XÁC ĐỊNH CTSHTQ CỦA DÃY SỐ: Mục đích: Tìm giới hạn CTSHTQ un dãy số Phƣơng pháp: Bước 1: Tìm đặc trưng số hạng dãy số (thông thường ta xét số hạng đầu dãy số), từ suy CTSHTQ un Bước 2: Tính giới hạn dãy số ( un ) cách tính lim un = ? Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Trang Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Tốn 11 Một số ví dụ: Ví dụ 1: Tính giới hạn dãy số ( un )  cho bởi:   = Phân tích: Ta nhận thấy: u1 = = u4 = 12 = + ; u5 = 13 = u = 1 ; u2 = 1+8 u n +1 = 10 = 1+u2;n≥ n = ; u3 = 2+8 + ⇒ Dự đoán: u n = 11 ; 3+8 n+8 Lời giải: * Chứng minh u n = n + (HS tự chứng minh phương pháp quy nạp) * Tính giới hạn dãy số ( un ) : Ta có: limun = lim n + = +∞ Ví dụ 2: Tính giới hạn dãy số ( un ) cho bởi: u = −1 1 u n +1 = u n + 3; n ≥ Phân tích: Nhận thấy: un +1 = un + 3; n ≥ nên dãy số ( un ) CSC ⇒ un = ? Lời giải: u = −1 * Do  nên dãy số ( un ) CSC có số hạng đầu u1 = −1 công u n +1 = u n + 3; n ≥ sai d = 3, dãy số ( un ) có CTSHTQ un = u1 + ( n − 1) d ⇒ un = 3n − * Tính giới hạn dãy số ( un ) : Ta có: lim un = lim ( 3n − 4) = +∞ Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Trang Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Tốn 11 Ví dụ 3: (BT7/SGK Đại số & Giải Tích 11 NC/Trang 135/NXBGD 2007)  u = 10  1 Cho dãy số ( un ) xác định bởi:  = un + 3,∀n ≥ u  n +1  a) CMR dãy số ( ) xác định = un − 15 CSN b) Tính limun Phân tích: - Nếu đề khơng cho câu a) mà u cầu tìm limun tốn trở nên khó lạ học sinh - Việc đề yêu câu thêm câu a) để xác định CTSHTQ dãy số ( un ) nhờ vào việc tìm CTSHTQ cấp số nhân, từ áp dụng định lí giới hạn để tính limun - Vấn đề đặt khơng có câu a ta tìm cách đặt: = un − 15 để chứng minh dãy ( ) CSN? Thực vấn đề khơng q khó Để chứng minh dãy ( ) xác định công thức v = u u n +1 − 15 CSN, với u = u + (1), ta cần tìm số b cho n +1 n n n −b = (un − b) ⇒ un +1 = b −1 b + un (2) Từ (1) (2) suy ra: b = 15 5 Do vậy, đặt = un − 15 +1 = ,∀n ≥ nên ( ) CSN - HS áp dụng phân tích với tốn tương tự: u = A , 1 với A, B, C số thực u n +1 = B.u n + C , ∀n ≥ Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Trang Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 − v = 3.5n+1 , ∀n ≥ Suy - Ngồi ra, đặt v = 5n.u , ∀n ≥ 1, ta có v n = n +1 n n 15 (5 − 1) + 35 ⇒ un = v = 15 −1 + 35 = 1 n−3 + 15  n   n n 4 5  5 n n n Lời giải: a) Thật vậy, ta có: +1 = u n +1 − 15 15 15 = u n + − = (vn + 4) − = Vậy ( ) CSN có cơng bội q = 25  n−1 Do = v1 q =  1 n −1   có số hạng đầu v1 = = 15 = 25 4 u1  5 =  n−3  5 15  n−3 15 b) Từ câu a) suy u n = + =   + 4  5  1  15  15 1 15 n−2 + Do lim u n = lim    = lim     +  5   =   Ví dụ 4: Tính giới hạn dãy số ( un ) xác định bởi: u1 =  u n +1 = 2u n −1; n ≥ Phân tích: - Ta nhận thấy: Dãy số ( un ) xác định bởi: u =  u = 2u n −1; n ≥ u = A  có dạng:  n +1 , với A, B, C ∈ nên áp dụng phân tích Ví dụ HS u n +1 = B.u n + C ,∀n ≥ giải tốn cách dễ dàng Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Trang Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 - Có: un +1 = 2un −1 (1), ta cần tìm số b để un +1 − b = 2(un − b) ⇒ un +1 = 2un − b (2) Từ (1) (2) suy ra: b = Vậy ta đặt = un −1 để giải toán Lời giải: Đặt: = un −1 ⇒ +1 = un +1 − = 2un − = 2(un − 1) = 2vn Suy dãy số ( ) CSN có cơng bội q = có số hạng đầu v = u − = ⇒ v = v qn −1 = 2n−1 11 n ( )  un = + = n−1 +1 Do lim un = lim ( + 1) = lim n−1 + = +∞ Ví dụ 5: (BT 4.37/SBT Đại số & Giải Tích 11 NC/Trang 139/NXBGD 2007) Cho dãy số ( u ) xác định bởi: u1 =  2un +1 = un + 1,∀n ≥ n Đặt S n = u1 + u2 + u3 + + un ; n ≥ a) CMR dãy số ( ) với = un −1 CSN lùi vô hạn b) Tính limSn Lời giải: a) Ta có v n +1 = u n +1 −1 = u + − = ( −1) = v , ∀n ≥ 2 2u n n 2n Suy dãy số ( ) CSN lùi vô hạn với công bội q = Nên b) Từ câu a) suy u n n Vậy: Sn = ∑u k k =1 n = ∑( k=1 ) k −2  n−2   2  n−2  + 1, ∀n ≥  2   n−2 = + =  = + n = + n −  2   ⇒ limSn  n−2  = lim  + n −      2 = +∞   Nhận xét: Có thể tìm CTSHTQ dãy ( un ) phép đổi biến: = n.un , ∀n ≥ Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Trang Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Tốn 11 1 Ta có +1 = 2n +1.u n +1 = 2n +1 ( u n + 2) = + 2n ,∀n ≥ ⇒ +1 − = 2n ,∀n ≥ Do v = v − v + v − v + + v − v + v = 2n −1 + + 2+6 + 2n−2 n n −1 n Hay = 2(2 n −1 n −1 n−2 − 1) + = + ⇒ un = +  n 1  n−2  2 Ví dụ 6: (BT 4.73/SBT Đại số & Giải Tích 11 NC/Trang 143/NXBGD 2007) Cho dãy số ( un ) , xác định bởi:  u = u −4  n u  n+1 =  un + ,∀n ≥ a) CMR: un ≠ −4, ∀n ≥ b) CMR: Dãy ( ) với = un +1 CSN Tính limun un + Lời giải: a) Ta chứng minh quy nạp un ≠ −4, ∀n ≥ Khi n = ta có u1 = ≠ −4 Đúng Giả sử uk ≠ −4, ∀k ≥ 1, ta chứng minh uk +1 ≠ −4 Thật vậy, giả sử ngược lại uk +1 = −4 , uk − = u + −4 ⇒ uk = −4 , trái với giả thiết quy nạp Vậy un ≠ −4, ∀n ≥ k b) Từ câu a) suy xác định với ∀n ≥ Ta có: u +1 n +1 un − +1 2(un +1) = un + = = v ,∀n u n +1 n −4 + 5(un + 4) n u n +1 + un + Vậy ( ) CSN lùi vô hạn với công bội q = số hạng đầu v1 = u1 +1 = v = Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi u1 + Trang Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 - Giả sử dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn lim un = lim un+1 n →+∞ n→+∞ Một số ví dụ: Ví dụ 1: (Giải tích tập nâng cao – TÔ VĂN BAN) u = Cho dãy số ( un ) xác định   u  n +1 =  + un ,∀n ≥ Tính limun Phân tích: Ta tìm CTSHTQ dãy (un) un = 2cos π n+ ,∀n ≥ , nhiên việc xác định CTSHTQ (un) khơng phải đơn giản Ta sử dụng phần C - Kĩ thuật để giải toán Lời giải: * Chứng minh dãy số ( un ) tăng phương pháp quy nạp ⇔ CM : un +1 > un , ∀n ≥ Với n = ta có u2 = + u1 = Giả sử uk +1 > uk , uk + = 2+ 2> + uk +1 > = u1 Đúng + uk = uk +1 Vậy un+1 > un , ∀n ≥ nên dãy số ( un ) tăng bị chặn u1 = * Chứng minh dãy ( un ) bị chặn quy nạp : Khi n = ta có u1 = 2 u2 ; u4 = u3 + u2 = + > u3 Dự đoán dãy số (un) dãy dương tăng Ta chứng minh dự đoán phương pháp quy nạp, tức un +1 > un , ∀n ≥ Rõ ràng un > 0, ∀n ≥ Khi n = ta có u3 = > u2 = Giả sử uk +1 > uk , ∀k ≥ Ta có uk + = + 1,∀k uk +1 + uk > uk + uk −1 = u k ≥ Nên dãy (un) dãy số dương tăng ⇒ un ≥ u1 = 1, ∀n ≥ u + u < un + un = un Hơn nữa, ta thấy ∀n ≥ 3, un n −1 n −2 = Hay u < n ⇒ u < 4( u > 0) Nên (u ) bị chặn 4u n n n n Do dãy số (un) tăng bị chặn nên dãy số (un) có giới hạn hữu hạn Giả sử limun = a, a ≥ Chuyển qua giới hạn hệ thức hệ thức truy hồi limun +1 = lim un + lim un−1 ta có phương trình: a = a+ a = a ⇒ a = 4a ⇒  a = Do a ≥ 1> nên a = Vậy lim un = Nhận xét: Ta gặp tốn có dạng tương tự, ví dụ Bài tập giải tích - W.J.KACZKOR-M.T.NOWAK có tốn sau:  u = có giới hạn hữu hạn 1 CMR dãy số ( un ) xác định u2 =  u  n →+∞ Tìm giới hạn đó?  n +1 = un + un−1 ,∀n ≥ (Đáp án: lim un = ) Ví dụ 4: (Đề thi HSG cấp tỉnh khối 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2010 – 2011) u = 2010 Cho dãy số ( un ) xác định   u n − 2u n+1 + 2011 = , ∀n u ≥1 n  Chứng minh dãy (un) có giới hạn tính giới hạn Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Trang 21 Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 Lời giải: Trước hết ta nhận thấy: u1 = 2010 > Giả sử uk > 0, ∀k ≥ 1, ta chứng minh uk +1 > =u Từ hệ thức truy hồi suy 2u k u k +1  u + 2011 Lại có: u n +1 = = n 2u n  u k k 2uk 2011  Cauchy n +  Mặt khác ta có +2011> ⇒ uk +1 = u + 2011 >  un un  2011 = 2011,∀n ≥ ⇒ un ≥ un 2011 ≥ u n +1 = u + 2011 = + 2011 ≤ + = 2u n un 2u n (vì u ≥ 2011 ) n 2 n Vậy dãy số (un) giảm bị chặn 2011 nên dãy (un) có giới hạn hữu hạn Giả sử limun = a, < a ≤ 2010 , chuyển qua hệ thức truy hồi un+1 = a2 + 2011 ⇒ a = 2011 ⇒ a = 2011 Vậy lim 2a u ta có phương trình: a = un + 2011 2un n = 2011 Ví dụ 5: (Đề thi HSG cấp tỉnh khối 12 tỉnh Quảng Bình năm 2010 – 2011) u =  Cho dãy số ( un ) xác định   = u n +1  u n 2010 + u , ∀n ≥ n Tính lim ( u1 + u1 + + un ) u u u n+1 Lời giải: Từ hệ thức truy hồi ta có u n +1 − u n = un > 0, ∀n ≥ 1(*) 2010 dãy (un) dãy số tăng ⇒ un > u1 = > 0, ∀n ≥1 u n +1 −u n = u u Từ (*) suy 2010 hay n u u n +1 n u u n +1 n n u n +1 = 2010( ⇒ u n +1 > u n , ∀n ≥ 1, 1− ) u n u n+1 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Trang 22 Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc ⇒ u1 + u2 + + un = u u 2010( u2 Toán 11 − ) = 2010(1− ) u u u n +1 n +1 n+1 Do lim ( u1 + u2 + + un ) = lim 2010.(1 − u2 u u n +1 ) u n+1 Giả sử (un) bị chặn trên, dãy (un) có giới hạn hữu hạn, giả sử limun = a Vì u > 1, ∀n ≥ ⇒ a ≥ Chuyển qua hệ thức truy hồi n +1 = un + n ta có phương u u 2010 + a ⇒ a = (vô lý) Vậy (u ) không bị chặn, tức limu n trình: a = a2 2010 n n  limun+1 = +∞ Vây lim ( u1 + uu u u1 = +∞ + + un ) = 2010 n+1 Ví dụ 6: u >  1 a (a > 0) Tính limun u = + ), ∀n ≥  n +1 (u n un  Cho dãy số ( un ) xác định  Lời giải: Dễ thấy: un > 0,∀n (Chứng minh phương pháp quy nạp) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có u n +1 = (u n + a ) ≥ a , ∀n un Vậy dãy số ( un ) bị chặn a = 1+ a u Mặt khác, ta có Do un+1 = + un n+1 un 2u n ≥ mà u n a ≤ + a = 1⇒ 2u 2a u n , ∀n ≥ ⇒ ≤ a n +1 2u ≤ u , ∀n ≥ 1nên ( n u 2a n n ) dãy giảm Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Trang 23 Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Tốn 11 Vậy dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn Giả sử lim un = L, L > Chuyển qua hệ thức truy hồi u n +1 = (un + a ) ta có phương trình: L = (L + a )⇒L= 2 u L a L > n Vậy limun = a Nhận xét: Bài toán tốn tổng qt, áp dụng rộng rãi Trong Giáo trình giải tích Jean-Maria Monier có tốn sau: u =  1 2011 = + ), ∀n ≥ u  n +1 (u n un  Cho dãy số ( un ) xác định  Chứng minh dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ Tìm giới hạn đó? Đáp số: Dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ limun = 2011 Ví dụ 7: (Bài tập giải tích W.J.KACZKOR-M.T.NOWAK)  u Cho dãy số ( un ) xác định   =3  u  n +1 = 3u n−1 − 2, ∀n ≥ CMR dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó? Lời giải: Bằng phương pháp chứng minh quy nạp ta chứng minh ≤ un ≤ Từ hệ thức un +1 = 3un−1 − ⇒ un +1 − un = 3un −1 − − un ≥ 0,∀n ⇒ un +1 > un ,∀n ≥ 1, ( un ) dãy số tăng bị chặn nên dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn Giả sử lim un = a, ≤ a ≤ , chuyển qua hệ thức truy hồi un +1 = Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi 3un−1 − ta Trang 24 Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 a = phương trình: a = ⇒ a = 3a − ⇒ a − 3a + = ⇒  a = ≤ a≤ 2 Vậy limun = Bài tập tƣơng tự: Bài 1: u = Cho dãy số ( un ) xác định   u  n +1 = + u , ∀n ≥1 n  CMR dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó? (ĐS: ≤ un < 3,∀n , dãy tăng, lim un = ) Bài 2: (Đề thi chọn HSG Quốc gia khối 12 tỉnh Quảng Bình năm 2009 – 2010) x= u =  = u n − u n + 2, ∀n ≥ u  n +1   Cho dãy số ( un ) xác định  n Tính lim ∑ n→+∞ n (ĐS: lim ∑ k =1 n→+∞ uk = 1) k =1 uk Bài 3: (VMO -2009) x= =1  u  Cho dãy số ( un ) xác định   u  n+1  n Chứng minh dãy yn = lim ∑ n→+∞ k = giới hạn = un + 4un + un ,∀n ≥ u có giới hạn hữu hạn tính k (ĐS: limyn = 6) Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Trang 25 Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Tốn 11 Bài 4: (Tạp chí THTT tháng 10/2010) u = a > Cho dãy ( un ) xác định   n u n +1 = u  , ∀n ≥ n ∑ Tính lim n→+∞ k = u k uk +1 −1 (ĐS: a ) Bài 5: (Các toán dãy số - PHAN HUY KHẢI) Cho dãy số ( un ) xác định  u =  u   n+1 = −1 , ∀n ≥ + un CMR dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn tính giới hạn đó? (ĐS: Dãy số ( un ) giảm bị chặn dưới, lim u = n −3 + ) Với số tập nhỏ này, hy vọng bạn có tài liệu hữu ích để áp dụng vào tốn tìm giới hạn dãy số cho cơng thức truy hồi Đặc biệt, đọc phần C – Kĩ thuật chắn có nhiều bạn thắc mắc tác giả lại tìm đƣợc giá trị bị chặn dãy số? Câu trả lời nhƣ sau: - Bƣớc 1: Căn vào đề để tơi suy đốn dãy cho tăng hay giảm (thử vài giá trị đầu dãy biết ngay) - Bƣớc 2: Nên giải phƣơng trình chuyển qua giới hạn trƣớc bạn nhé, việc vơ quan trọng định giúp suy đoán giá trị bị chặn dãy số cho công thức truy hồi - Lƣu ý rằng: Một dãy số tăng bị chặn dƣới u1 nên limun ≥ u1 , dãy số giảm bị chặn u1 nên limun ≤ u1  KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CỦA SÁNG KIẾN: - Các em học sinh khá, giỏi - Các em học sinh Ôn thi ĐH-CĐ ơn tập thơng qua sáng kiến Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Trang 26 Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 - Các giáo viên bạn đọc u thích Tốn học tham khảo sáng kiến - Nguồn tư liệu phong phú: VIII NHỮNG THÔNG TIN CẦN ĐƢỢC BẢO MẬT (Nếu có): IX CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN: Giáo án điện tử, phòng học máy chiếu đối tượng học sinh phù hợp X ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC HIỆN: - Với sáng kiến Tôi giảng dạy cho đội tuyển học sinh khá, giỏi lớp 11 Trường THPT Triệu Thái, thấy em hiểu tốn tìm giới hạn dãy số cho công thức truy hồi nên áp dụng kĩ thuật vào tìm giới hạn hợp lí với - Các em có tri thức, có kỹ tích cực, hào hứng giải với loại tốn khó Thực tế nhiều em giải tốt dạng toán đề thi ĐH-CĐ chí khó Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Trang 27 Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 Từ vấn đề trình bày, tác giả rút số kết luận kiến nghị sau: Một điều chắn khơng phải tốn tìm giới hạn dãy số cho công thức truy hồi áp dụng ba kĩ thuật để giải quyết, có ta phải vận dụng thêm kiến thức phần HÀM SỐ chứng minh tính đơn điệu dãy số Bản SKKN Tôi tổng kết xây dựng số kĩ thuật tính giới hạn dãy số cho công thức truy hồi tương đối rõ ràng có hệ thống Với thay đổi mang tính chất tích cực ngành giáo dục, Tơi đề xuất Thầy cô nên rèn luyện kỹ cho học sinh nhiều để hệ học sinh thành thạo việc giải tốn nói chung, tìm giới hạn dãy số cho cơng thức truy hồi nói riêng Hy vọng SKKN tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh, thầy (cô) giáo bạn đọc quan tâm đến việc dạy học, bồi dưỡng mơn Tốn bậc THPT Do mặt hạn chế thời gian nên SKKN Tơi nhiều thiếu sót, mong q thầy quan tâm tới SKKN chân thành đóng góp ý kiến với tơi Tơi xin chân thành cảm ơn đóng góp nhiệt tình bạn đọc! Lập thạch, ngày 27 tháng 01 năm 2019 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƢỞNG ĐƠN VỊ NGƢỜI THỰC HIỆN Nguyễn Thị Thanh Lan Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Trang 28 Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 TÀI LIỆU THAM KHẢO:  Tạp chí tốn học tuổi trẻ  Sách giáo khoa, sách Bài tập Đại số & Giải tích 11  Sách giáo khoa, sách Bài tập Đại số & Giải tích NC 11  Các tốn dãy số - PHAN HUY KHẢI – NXBGD 2007  Nguồn Internet  Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT – NGUYỄN VĂN MẬU, NGUYỄN VĂN TIẾN – NXBGD 2007  Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XV – 2009  Tuyển tập đề thi VYOLYMPIC 30/4 – 2008  Giải tích tập nâng cao – TÔ VĂN BAN – NXBGD 2005  Giáo trình giải tích – JEAN, MARIA MONIER – NXBGD 1999  Bài tập giải tích I – Số thực – Dãy số chuỗi số - W.J.KACZKOR, M.T.NOWAW – NXBĐHSP 2003 – Đoàn Chi (biên dịch) – GS.TSKH Nguyn Duy Tin (hiu ớnh) Các dạng toán ph-ơng pháp giải Đại số & Giải tích NGUN H÷U NGäC – NXBGD 2008 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Trang 29 ... hạn dãy số cho hệ thức truy hồi, nghiên cứu hồn thành SK nho nhỏ với tựa đề: Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi II TÊN SÁNG KIẾN: Một số kĩ thuật tính giới hạn dãy số cho. .. Kĩ thuật 3: Tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi cách sử tiêu chuẩn (định lí) Weierstrass A – KĨ THUẬT 1: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI BẰNG CÁCH XÁC ĐỊNH CTSHTQ CỦA DÃY SỐ:... đề tài này, trình kĩ thuật sau đây: A- Kĩ thuật 1: Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách xác định CTSHTQ dãy số B - Kĩ thuật 2: Tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi cách sử dụng phương