Đang tải... (xem toàn văn)
Báo cáo nghiệm thu đề tài cấp bộ 2007-2009
tóm tắt kết nghiên cứu đề tài khoa học công nghệ cấp Tên đề tài: Mã số: Một số tốn định lượng giải tích vi phân B2007-14-09 Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS Tạ Lê Lợi Tel.: 0919816618 E-mail: taleloi@hotmail.com Cơ quan chủ trì đề tài: Đại học Đà Lạt Cơ quan cá nhân phối hợp thực hiện: - Khoa Toán, Đại học Đà Lạt - Khoa Sau Đại Học, Đại học Đà Lạt - Viện Toán Học Việt Nam - Phạm Tiến Sơn, PGS - TS, Khoa Toán, Đại học Đà Lạt - Phan Phiến, Th.S NCS, Cao đẳng sư phạm Nha Trang - Trần Thống Nhất, Th.S, Đại học Yersin - Đặng Văn Đoạt, Th.S, Trường chuyên Thăng Long, Đà Lạt Thời gian thực hiện: 10/2007 - 10/2009 Mục tiêu: Hai mục tiêu đề tài là: - Nghiên cứu kết định lượng chưa chứng minh mở rộng số kết có cho trường hợp o-tối tiểu Nêu số áp dụng kết định lượng Giải tích vi phân vào số lĩnh vực khác - Tạo điều kiện cho số nghiên cứu sinh học viên cao học thực việc nghiên cứu có kết tốt Nội dung chính: - Thu thập tài liệu - Đọc kết - Tổ chức seminar - Nêu số vấn đề cần giải - Dự hội thảo - Trao đổi chuyên môn với chuyên viên nơi khác Kết đạt được: 3.1 Các báo: Đã hoàn thành báo Một số kết hình học giải tích vi phân cấu trúc o-tối tiểu Tác giả: Tạ Lê Lợi Báo cáo tại: Hội thảo kỷ niệm 50 năm Đại học Đà Lạt, 10/2008 Đăng ở: Thông báo khoa học, Đại học Đà Lạt, 2008, 7-14 Định lý Hoành cấu trúc o-tối tiểu Tác giả: Tạ Lê Lợi Đăng ở: Compositio Math, 144, 2008, 1227-1234 Chặn cho độ đo Hausdorff tập Tác giả: Tạ Lê Lợi Phan Phiến Báo cáo tại: Hội nghị Quy Nhơn, 8/2008; Hội nghị Đà Lạt, 12/2008 Đang gởi đăng 3.2 Các luận văn thạc sĩ hướng dẫn: Phương pháp đồng luân giải hệ phương trình đa thức Tác giả: Lê Thị Loan, Cao học Tốn K14 Tìm hiểu giả thiết Jacobi thực mạnh Tác giả: Nguyễn Thị Quỳnh Nga, Cao học Toán K14 Các kết định lượng Hình học semi-đại số mở rộng Tác giả: Trần Thị Hương Trà, Cao học Toán K14 Định lý Morse-Sard Tác giả: Lê Duy Tuấn , Cao học Toán K14 Một số định lý lý thuyết kỳ dị cấu trúc o-tối tiểu Tác giả: Chế Cơng Phú, Cao học Tốn K14 3.3 Hướng dẫn nghiên cứu sinh Phan Phiến: Hoàn thành báo (viết chung với PGS.TS Tạ Lê Lợi): Bound of Hausdorff measure of tame sets Báo cáo chuyên đề 1: Tôpô Đại số summary Project Title: Some quantitative problems in Differential Analysis Code number: B2007-14-0 Coordinator: Tạ Lê Lợi, Associate Professor, Ph.D Tel.: 0919816618 E-mail: taleloi@hotmail.com Implementing Institution: Đà Lạt University Cooperating Institution(s): - Department of Mathematics, University of Đà Lạt - Department of Postgraduate, University of Đà Lạt - Institute of Mathematics of Việt Nam - Phạm Tiến Sơn, Associate Professor, Doctor, University of Đà Lạt - Phan Phiến, MA, Research Student, Teacher Training College of Nha Trang - Trần Thống Nhất, MA, Yersin University - Đặng Văn Đoạt, MA, Thăng Long High School for gifted students of Đà Lạt Duration: from 10/2007 to 10/2009 Objectives: two main objectives - Researching the quantitative results which were not proved or genralization some previous results for the case of o-minimal Then, presenting some applications to other fields - Enabling research students and graduate students to fulfil their research with good results Main contents: - Document collection - Results reading - Seminars celebration - Problems raising - Conference participation - Professional exchange Results obtained: 3.1 Papers: three published papers Some results of geometry and differential analysis in o-minimal Structures Author: Tạ Lê Lợi Reported at: Conference Đà Lạt, 10/2008 Published in: Scientific Bulletin, University of Đà Lạt, 2008, 7-14 Transversality theorem in o-minimal structures Author: Tạ Lê Lợi Published in: Compositio Math, 144, 2008, 1227-1234 Bounds of Hausdorff measures of Tame sets Author: Tạ Lê Lợi and Phan Phiến Reported at: Conference Quy Nhơn, 8/2008; Conference Đà Lạt, 12/2008 Submitted under consideration for publishing 3.2 Master thesis: Homotopy method solve system of polynomial equations Author: Lê Thị Loan, graduate student K14 Studying strong real conjecture Jacobi Author: Nguyễn Thị Quỳnh Nga, graduate student K14 Some quantitative results in geometry semi-algebraic and generalization Author: Trần Thị Hương Trà, graduate student K14 Morse-Sard theorem Author: Lê Duy Tuấn , graduate student K14 Some theorems of singularity theory in o-minimal structures Author: Chế Công Phú, graduate student K14 3.3 Guide research student Phan Phiến: one paper (with Tạ Lê Lợi, Associate Professor): Bound of Hausdorff measure of tame sets Reported major 1: Algebraic Topology giới thiệu Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài Trong thời gian gần đây, khuynh hướng Giải tích vi phân (chủ yếu Lý thuyết Kỳ dị) nghiên cứu đưa kết định lượng cho kết định tính chứng minh trước mà đóng vai trị quan trọng Giải tích vi phân (như Định lý Morse, Định lý Sard, Kỳ dị Thom-Boardman, ) Các kết định lượng giúp cho việc áp dụng có hiệu thân Giải tích vi phân, số lĩnh vực khác như: Giải tích số phi tuyến, Lý thuyết độ phức tạp, Lý thuyết phưng trình vi phân, Robotics, Các kết điển hình theo khuynh hướng Yomdin (1983), Yomdin (2005), Yomdin Comte (2004), D’Acunto Kurdyka (2003), Shub Smale (1993) Các áp dụng điển hình kết nêu Yomdin (1990), Donaldson (1996), Niederman (2004), Một mặt khác, thành Hình học Giải tích thực hệ tiên đề Hình học hay Cấu trúc o-tối tiểu van den Dries (1998) Shiota (1997) (là mở rộng Hình học semi-đại số) Nhờ nhiều kết Hình học Giải tích vi phân mở rộng cho lớp hàm hay lớp tập tổng quát Chủ nhiệm đề tài có số đóng góp định lĩnh vực này, kết gần Ta Le Loi (2002, 2003, 2004, 2006) Tính cấp thiết đề tài - Tập trung số thành viên làm toán Đại học Đà Lạt vào hướng - Hướng dẫn nghiên cứu sinh Mục tiêu đề tài Hai mục tiêu đề tài là: - Nghiên cứu kết định lượng chưa chứng minh mở rộng số kết có cho trường hợp o-tối tiểu Nêu số áp dụng kết định lượng Giải tích vi phân vào số lĩnh vực khác - Tạo điều kiện cho số nghiên cứu sinh học viên cao học thực việc nghiên cứu có kết tốt Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu kết có Sử dụng cơng cụ Giải tích vi phân, Hình học giải tích thực (Chủ yếu hình học semi-đại số), tích phân hình học, Nghiên cứu số toán Lý thuyết kỳ dị có kết định tính, cần thiết có kết định lượng Nội dung nghiên cứu - Thu thập tài liệu - Đọc kết - Tổ chức seminar - Nêu số vấn đề cần giải - Dự hội thảo - Trao đổi chuyên môn với chuyên viên nơi khác Tổng quan kết nghiên cứu trình bày phần: kết nghiên cứu đạt Các kết nghiên cứu bao gồm báo chuyên đề thực seminar nhóm thể chi tiết phần phụ lục kết nghiên cứu đạt Q trình thực Các cơng việc làm: • Seminar thường kỳ (1 lần/tuần): giới thiệu, tìm hiểu, trao đổi kết liên quan đến đề tài giới, nước thành viên Một số chuyên đề trình bày seminar nhóm để phục vụ cho hướng nghiên cứu (chi tiết trình bày phụ lục ): - Giới thiệu số kết định lượng giải tích vi phân - Độ đo, chiều Hausdorff metric entropy - Cơ sở Đại số tuyến tính cho giá trị kỳ dị - Lý thuyết tập semi-đại số định lượng - Tích phân hình học biến phân nhiều chiều - Giới thiệu số định lý định lượng lý thuyết kỳ dị Yomdin • Tham dự, báo cáo Hội nghị: Hội nghị Đại Số - TơPơ 2007- Hình Học, Đại học Vinh 17-20/12/2007 Đại hội Hội Tốn Học Tồn Quốc Lần 7, Đại học Quy Nhơn 4-8/8/2008 Hội nghị Khoa học kỷ niệm 50 năm thành lập trường Đại học Đà Lạt, 2008 Hội nghị Đại Số - TơPơ - Hình Học - Số Học, Đại học Đà Lạt 2224/12/2008 • Hướng dẫn, trao đổi với nghiên cứu sinh học viên cao học để hoàn thành luận văn Kết đạt 2.1 Các báo Đã hoàn thành báo, chi tiết trình bày phụ lục Sau nội dung báo: Một số kết hình học giải tích vi phân cấu trúc o-tối tiểu Tạ Lê Lợi Thông báo khoa học, 50 năm thành lập trường đại học Đà Lạt, 2008, 7-14 Tóm tắt Bài nêu số kết tác giả 10 năm trở lại Các kết chính: phân tầng, bất đẳng thức Lojasiewicz cho đối tượng định nghĩa cấu trúc o-tối tiểu 1.1 Các kết phân tầng Một C p phân tầng Rn phân hoạch S Rn thành hữu hạn tập con, gọi tầng, cho: (S1) Mỗi tầng đa tạp lớp C p Rn tập định nghĩa (S2) Với Γ ∈ S, Γ \ Γ hợp số tầng Một C p phân tầng Whitney (t.ư phân tầng Verdier) C p phân tầng S cho Γ, Γ ∈ S, mà Γ ⊂ Γ \ Γ , (Γ, Γ ) thoả điều kiện Whitney (b) (t.ư điều kiện Verdier (w)) điểm Γ 1.1.1 Định lý (1998) Cho S1 , · · · , Sk tập định nghĩa Rn Khi tồn C p phân tầng Verdier Rn tương thích với {S1 , · · · , Sk } Trong cấu trúc o-tối tiểu điều kiện (w) suy điều kiện (b), ta có 1.1.2 Định lý (1996, 1998, c.f.[DM][S]) Cho S1 , · · · , Sk tập định nghĩa Rn Khi tồn C p phân tầng Whitney Rn tương thích với {S1 , · · · , Sk } Cho X ⊂ Rn định nghĩa f : X → Rm định nghĩa Một C p phân tầng Whitney f (S, T ), với S T C p phân tầng Whitney Rn Rm , S tương thích với X Γ ∈ S mà Γ ⊂ S, tồn Φ ∈ T , f |Γ : Γ → Φ C p submersion 1.1.3 Định lý (1996,1998, c.f.[DM][S]) Cho f : X → Rm ánh xạ định nghĩa Khi tồn C p phân tầng Whitney f Cho f : X → R định nghĩa Cho S phân tầng f 10 Với x ∈ Γ, ký hiệu Tx,f = ker d(f |Γ )(x) Cho Γ, Γ ∈ S với Γ ⊂ Γ \ Γ Cặp (Γ, Γ ) gọi thoả điều kiện Thom y0 ∈ Γ nếu: (af ) dãy (xk ) in Γ , hội tụ y0 , δ(Ty0 ,f , Txk ,f ) → Cặp (Γ, Γ ) gọi thoả điều kiện Thom chặt y0 nếu: (wf ) tồn C > lân cận U y0 , cho δ(Ty,f , Tx,f ) ≤ C x − y với x ∈ Γ ∩ U, y ∈ Γ ∩ U 1.1.4 Định lý (1997) Tồn C p phân tầng f thoả điều kiện Thom (af ) điểm tầng Nói chung, hàm định nghĩa khơng có phân tầng thoả (wf ) Ví dụ: f : (a, b) × (0, +∞) → R, f (x, y) = y x 1.1.5 Định lý (1998) Giả sử D bị chặn kiểu đa thức Khi tồn C p phân tầng f thoả điều kiện (wf ) điểm tầng 1.1.6 Hệ (2002, 2004, c.f.[C]) Cho f : X × T → R, (x, t) → ft (x), họ hàm định nghĩa Khi tồn phân hoạch T = ∪k Ti i=1 đa tạp lớp C p định nghĩa được, cho t t thuộc Ti , ft ft tương đương topo Hệ mở rộng kết Fukuda (1976) chứng minh kiểu topo hàm đa thức Rn bậc ≤ d hữu hạn 1.2 Các bất đẳng thức kiểu Lojasiewicz 1.2.1 Tính bị chặn (1996, c.f.[DM]) Cho f : X × R → R hàm định nghĩa Khi tồn hàm định nghĩa ϕ : R → R cho |f (x, t)| ≤ ϕ(t) , t đủ lớn Gọi Φp tập hàm chẵn, lớp C p , tăng R+ , định nghĩa p-phẳng 1.2.2 Định lý (1994, c.f [DM], [Ku]) (i) Cho f, g : X → R hàm liên tục, định nghĩa tâp đóng X Rn Giả sử f −1 (0) ⊂ g −1 (0) Khi tồn p ∈ N, ϕ ∈ Φp hàm liên tục h X cho ϕ(g) = hf Đặc biệt, tồn ϕ, ϕ ∈ Φp cho |f (x)| ≥ ϕ(|g(x)|) |f (x)| ≥ ϕ ( dist(x, f −1 (0)), ∀x ∈ X, 11 (ii) Cho X, Y tập đóng Rn Khi tồn p ∈ N, ϕ ∈ Φp cho dist(x, X) + dist(x, Y ) ≥ ϕ(dist(x, X ∩ Y )), ∀x ∈ Rn (iii) Cho f : U → R hàm lớp C định nghĩa tập mở U Rn Giả sử ∈ U lim f (x) = Khi tồn p ∈ N, ϕ ∈ Φp cho x→0 |gradf (x)| ≥ ϕ−1 (|f (x)|), x ∈ U gần Ghi chú: - Nếu D bị chặn kiểu đa thức ϕ có dạng ϕ(t) = C|t|α , α > - Nếu D bị chặn kiểu mũ ϕ(t) = C , m ∈ N expm (1/|t|) Định lý Hoành cấu trúc o-tối tiểu Tạ Lê Lợi Compositio Math, 144, 2008, 1227-1234 Tóm tắt Bài trình bày định lý hồnh Thom cấu trúc o-tối tiểu Khác với định lý hoành cho trường hợp tổng quát, đối tượng định lý khơng có hạn chế lớp khả vi chiều đa tạp tham gia Gọi Dp (N, M ) không gian hàm từ đa tạp N vào M, định nghĩa được, lớp C p Không gian trang bị topo Whitney định nghĩa 2.1 Định lý Morse-Sard Cho f : M → Rn định nghĩa được, lớp C Đặt Σs (f ) = {x ∈ M : rank df (x) < s} Khi Cs (f ) = f (Σs (f )) tập định nghĩa có chiều Hausdorff < s Định nghĩa khơng gian r-tia định nghĩa r JD (N, M ) = {j r f ∈ J r (N, M ) : f ∈ Dr (N, M )} 12 2.2 Định lý hoành Cho A họ hữu hạn đa tạp lớp C định nghĩa r JD (N, M ) (0 < r < p) Khi tập τr (A) = {f ∈ Dp (N, M ) : j r f hoành với phần tử A} trù mật Dp (N, M ) Hơn nữa, A phân tầng tập đóng thoả điều kiện Whitney (a), τr (A) mở Dp (N, M ) Chặn cho độ đo Hausdorff tập Tạ Lê Lợi Phan Phiến Conference Dalat 2008 Tóm tắt Bài nêu lên số chặn cho độ đo Hausdorff đối tượng định nghĩa cấu trúc o-tối tiểu: tập, thớ, nghịch ảnh khoảng, Hơn nêu số chặn tường minh cho trường hợp semi-đại số hay semi-Pfaff, số phụ thuộc vào liệu tổ hợp đối tượng tham gia 3.1 Lược đồ tập semi-đại số ji Cho A ⊂ Rm tập semi-đại số A = p i=1 j=1 Aij , Aij có dạng m {(x1 , · · · , xm ) ∈ R : pij (x1 , · · · , xm ) ≥ 0}, hay {(x1 , · · · , xm ) ∈ Rm : pij (x1 , · · · , xm ) > 0} với pij đa thức bậc dij Bộ D = D(A) = (m, p, j1 , · · · , jp , (dij )) gọi lược đồ A 3.2 Format tập semi-Pfaffian Một xích Pfaff có độ dài r ≥ bậc α ≥ miền mở U ⊆ Rm dãy hàm giải tích f = (f1 , , fl ) U thỏa ∂ fi (x) = Pij (x, f1 (x), , fi (x)), ∀x ∈ U (1 ≤ i ≤ l, ≤ j ≤ n) ∂ xj 13 Pij đa thức bậc ≤ α Hàm q hàm Pfaff bậc β q(x) = Q(x, f1 (x), , fl (x)), ∀x ∈ U Q đa thức bậc ≤ β Cho P = {p1 , , ps } tập hàm Pfaff Một formula (công thức QF) với hạt nhân P xây dựng sau: • pi 0, với ≤ i ≤ s ∈ {=, ≤, ≥} cơng thức QF • Nếu Φ, Ψ cơng thức QF, Φ ∧ Ψ, Φ ∨ Ψ, ¬Φ cơng thức QF Một tập semi-Pfaff tập dạng A = {x ∈ U : Φ(x)} Φ cơng thức QF Format tập semi-Pfaff A liệu F (A) = (m, l, α, β, s) 3.3 Độ đo Hausdorff tập Cho m ∈ N Với k ∈ {0, , m}, đặt Hk (A) độ đo Hausdorff A ⊂ Rm Ký hiệu O∗ (m, k) tập phép chiếu trực giao từ Rm lên Rk Cho A ⊂ Rm Với k ∈ {0, , m}, định nghĩa B0,m−k (A) = sup{B0 (A ∩ p−1 (y)) : p ∈ O∗ (m, k), y ∈ Rk } Công thức Cauchy-Crofton Bởi [Fe] 2.10.15 3.2.26, cho tập Borel B Rm , ta có Hk (B) = c(m, k) O∗ (m,k) với c(m, k) = Rk ∗ #(B ∩ p−1 (y))dydθm,k p Γ( m+1 )Γ( ) 2 , Γ(s) = Γ( k+1 )Γ( m−k+1 ) 2 +∞ e−t ts−1 dt (s > 0) m 3.3.1 Định lý Cho A, B ⊂ R tập định nghĩa Giả sử B compact, dim A = k, A ⊂ B Khi Hk (A) ≤ c(m, k)B0,m−k (A) sup Hk (p(B)) p∈O∗ (m,k) Hơn nữa, A, B tập semi-đại số hay semi-Pfaff, Hk (A) ≤ C sup p∈O∗ (m,k) 14 Hk (p(B)) C phụ thuộc lược đồ hay format A 3.3.2 Hệ (c.f [Y-C] [D-K]) Cho A ⊂ Rm tập định nghĩa m có chiều k Khi với hình cầu Br bán kính r Rm , m k Hk (A ∩ Br ) ≤ c(m, k)B0,m−k (A)Volk (B1 )rk Ví dụ Trường hợp đại số Khi A ⊂ Rm tập đại số k chiều, bậc d, k m Hk (A ∩ Br ) ≤ c(m, k)dVolk (B1 )rk Đặc biệt A đường cong đại số bậc d, độ dài l(A ∩ Br ) ≤ c(2, 1)d2r = πdr Trường hợp semi-đại số Khi A ⊂ Rm tập semi đại số k chiều, có lược đồ D = (m, p, j1 , , jp , (dij )i=1, ,p;j=1, ,ji ), m k Hk (A ∩ Br ) ≤ c(m, k)B0 (D)Volk (B1 )rk p B0 (D) = ji m−1 di (di − 1) , với di = i=1 dij (see [Y-C], [B]) j=1 Trường hợp semi-Pfaff Cho A tập semi-Pfaff xác định xích f = (f1 , , fl ) bậc α miền U ⊆ Rm , có format (m, l, α, β, s), với U có độ phức tạp γ Ta có m k Hk (A ∩ Br ) ≤ c(m, k)(4s + 1)d V(m, l, α, β ∗ , γ)Volk (B1 )rk V(m, l, α, β ∗ , γ) = l(l−1) γ β ∗ (α + β ∗ − 1)n−1 [n(α + β ∗ − 1) + γ + min(m, l)α]l với β ∗ = max(β, γ) 3.4 Chặn cho độ đo Hausdorff thớ Cho f : A → Rn ánh xạ định nghĩa được, với A ⊂ Rm Với k ∈ {0, , dim A}, đặt Ik (f ) = {y ∈ Rn : dim f −1 (y) ≤ k} Đặt B0,m−k (f ) = sup{B0 (f −1 (y) ∩ p−1 (w) ∩ B m (a, r)) : y ∈ Ik (f ), p ∈ O∗ (m, k), 15 w ∈ Rk , a ∈ Rm , r > 0} 3.4.1 Định lý Cho f : A → Rn ánh xạ định nghĩa được, liên tục, với A ⊂ Rm compact Khi với k ∈ {0, , dim A}, ta có Hk (f −1 (y)) ≤ c(m, k)B0,m−k (f ) sup Hk (p(A)), for all y ∈ Ik (f ) p∈O∗ (m,k) Đặc biệt, f semi-đại số hay semi-Pfaff, Hk (f −1 (y)) ≤ Ck Hk (p(A)), for all y ∈ Ik (f ) sup p∈O∗ (m,k) Ck số phụ thuộc lược đồ hay format f 3.4.2 Hệ Cho f : A → Rn ánh xạ định nghĩa được, liên tục, A ⊂ Rm m Khi với k ∈ {0, , dimA} cầu Br bán kính r Rm , m k Hk (f −1 (y) ∩ Br ) ≤ c(m, k)B0,m−k (f )Volk (B1 )rk , for all y ∈ Ik (f ) Đặc biệt, nếu, f semi-đại số hay semi-Pfaff, m Hk (f −1 (y) ∩ Br ) ≤ Ck rk , for all y ∈ Ik (f ) với Ck phụ thuộc lược đồ hay format f Ví dụ Họ tập đại số Cho A = {(x, a) : x = (x1 , , xm ) ∈ Rm , a = (aα )α∈Nm ,|α|≤d , aα xα = 0}, α f (x, a) = a Khi Aa = A ∩ f −1 (a) tập đại số Rm có bậc ≤ d Ta có m m k Hk (f −1 (a) ∩ Br ) = Hk (Aa ∩ Br ) ≤ c(m, k)dVolk (B1 )rk , a ∈ Ik (f ) Trường hợp Fewnomial Cho α1 , , αq ∈ Nm Xét họ: A = {(x, a) : x = (x1 , , xm ) ∈ Rm , a = q xαi = 0} q (a1 , , aq ) ∈ R , x1 > 0, , xm > 0, i=1 Cho f phép chiếu (x, a) → a Aa = A ∩ f −1 (a) Khi k = m − 1, dim Aa ≤ m − ta có hai đánh giá sau: Đánh giá Vì Aa tập semi-đại số có lược đồ (m, 1, m + 1, (1, , 1, d)), với d = maxi |αi |, dùng chặn Oleinik-Petrovski-Thom-Milnor, ta có m m−1 Hm−1 (Aa ∩ Br ) ≤ c(m, m − 1)B0 (D(Aa ))Volm−1 (B1 )rm−1 16 với B0 (D(Aa )) = (m + d)(m + d − 1)m−1 Đánh giá Dùng chặn [K] Ch.III Corol.5, ta có m m−1 Hm−1 (Aa ∩ Br ) ≤ c(m, m − 1)B0 (f )Volm−1 (B1 )rm−1 , q(q−1) với B0 (f ) = 2 (2m)m−1 (2m2 − m + 1)q Gọi Φ1 tập hàm định nghĩa được, lẻ, tăng, lớp C từ R lên R phẳng 3.4.3 Định lý Cho f : A → Rn ánh xạ định nghĩa được, liên tục, A ⊂ Rm compact Khi với k ∈ {0, , dim A}, tồn ϕ ∈ Φ1 , cho Hk+1 (f −1 ([y, z])) ≤ ϕ−1 ( y − z ), [y, z] ⊂ Ik (f ) Đặc biệt, f semi-đại số tồn C, α > 0, cho Hk+1 (f −1 ([y, z])) ≤ C y − z α , [y, z] ⊂ Ik (f ) với α phụ thuộc lược đồ f —————————————————————————- 2.2 Các luận văn thạc sĩ hướng dẫn bảo vệ thành công Đã hướng dẫn bảo vệ thành công luận văn thạc sĩ: Phương pháp đồng luân giải hệ phương trình đa thức Lê Thị Loan, Cao học Tốn K14 Tìm hiểu giả thiết Jacobi thực mạnh Nguyễn Thị Quỳnh Nga, Cao học Tốn K14 Các kết định lượng Hình học semi-đại số mở rộng Trần Thị Hương Trà, Cao học Toán K14 Định lý Morse-Sard Lê Duy Tuấn , Cao học Toán K14 Một số định lý lý thuyết kỳ dị cấu trúc o-tối tiểu Chế Cơng Phú, Cao học Tốn K14 2.3 Hướng dẫn nghiên cứu sinh Đã hướng dẫn nghiên cứu sinh Phan Phiến: Hoành thành báo (viết chung với PGS.TS Tạ Lê Lợi): Bound of Hausdorff measures of tame sets Báo cáo chuyên đề 1: Tôpô Đại số 17 kết luận kiến nghị Đề tài hoàn thành mục tiêu nghiên cứu đề ra, bao gồm: - Nghiên cứu kết định lượng chưa chứng minh mở rộng số kết có cho trường hợp o-tối tiểu Nêu số áp dụng kết định lượng Giải tích vi phân vào số lĩnh vực khác - Tạo điều kiện cho số nghiên cứu sinh học viên cao học thực việc nghiên cứu có kết tốt Đã hồn thành báo theo hướng nghiên cứu, hướng dẫn thạc sĩ nghiên cứu sinh Các kết đề tài áp dụng số lĩnh vực Topo vi phân, Hình học vi phân, Giải tích số phi tuyến, Lý thuyết kỳ dị, đánh giá độ phức tạp thuật toán, Đề tài tiếp tục để nghiên cứu phát triển số kết lý thuyết kỳ dị cấu trúc o-tối tiểu, từ đưa kết định lượng Trên sở đề tài, tiếp tục đào tạo nghiên cứu sinh học viên cao học theo hướng nghiên cứu đạt Chúng xin trân trọng cảm ơn lãnh đạo Bộ Giáo Dục - Dào Tạo Trường Đại học Đà Lạt cho phép thực đề tài Xin trân trọng cảm ơn Khoa Toán Tin - Đại học Đà Lạt, Khoa Sau Đại Học - Đại học Đà Lạt, Viện Toán Học Việt Nam phối hợp giúp đỡ chúng tơi hồn thành đề tài nghiên cứu Xin cảm ơn đồng nghiệp gần xa động viên góp nhiều ý kiến để chúng tơi hồn thành nghiên cứu Đà lạt, 5/2009—Chủ nhiệm đề tài- PGS.TS Tạ Lê Lợi 18 Tài liệu Các tài liệu tham khảo chính: [B] S.Basu On bounds the Betti numbers and computing the Euler characterstics of semi-algebraic sets, Discrete and Comput Geom., 22, 1999, 1-18 [C] M.Coste, Finitude du nombre de types topologiques dans une définissable de fonctions, preprint(1996) [D1] L.van den Dries, A generalization of the Tarski-Seidenberg theorem and some nondefinability results, Bull Amer Math Soc (N.S.) 15(1986), 189-193 [D2] L.van den Dries, Tame Topology and o-minimal Structures, London Math Soc Lecture Note Ser 248, Cambridge Univ Press (1997) [DM1] L.van den Dries and C.Miller, On the real exponential field with restricted analytic functions, Israel J Math 85(1994), 19-56 [DM2] L.van den Dries and C.Miller, Geometric Categories and o-minimal Structures, Duke Math J 84, No 2(1996), 497-540 [D-K] D D’Acunto and K Kurdyka, Bounds for gradient trajectories of definable functions with applications to robotics and semi-algebraic geometry, Preprint 2003 [D-S] L.van den Dries and P Speissegger, The field of Reals with Geverey functions and the exponential function, Preprint (1997) [] H.Federer, Geometric measures theory, Springer-Verlag, 1969 [Fu] T.Fukuda, Types topologiques de polynômes, Inst Hautes Étudees Sci Publ Math 46(1976), 87-106 [H] R.Hardt, Semi-algebraic local triviality in semi-algebraic mappings, Amer J Math 102(1980), 291-302 [K] A.G.Khovanski, Fewnomials, Translations of mathematical monographs 88, AMS, Providence RI, 1991 19 [Kh] A.G.Khovanskii, Vol.88(1991) Fewnomials, Trans Math Monographs AMS [Ku] K.Kurdyka, On gradients of functions definable in o-minimal structures, preprint(1997) [L1] T.L.Loi, On the global Lojasiewicz inequalities for the class of logarithmic-exponential functions, C R Acad Sci Paris, (Série I) 318(1994), 543-548 [L2] T.L.Loi, Lojasiewicz Inequalities for Sets Definable in the Structure Rexp , Ann Inst Fourier 45,4(1995), 951-971 [L3] T.L.Loi, Whitney Stratification of Sets Definable in the Structure Rexp , Banach Center Publications, Vol 33(1996), 401-409 [L4] T.L.Loi, Thom stratifications for functions definable in o-minimal structures on (R, +, ·), C R Acad Sci., Paris, Série I, 324 (1997), 1391-1394 [L5] T.L.Loi, Verdier and Strict Thom Stratifications in o–minimal structures, Illinois J.Math., Vol 42, No.2 (1998), 347-356 [L6] T.L.Loi, Stratifications of families of functions definable in o-minimal structures, Acta Math Vietnam., Vol 27, No.2 (2002) , 239-244 [L7] T.L.Loi, Tame topology and Tarski-type systems, Vietnam Journal of Math 31:2 (2003), 127-136 [L8] T.L.Loi, Genericcity of aF and wF regularity conditions and equisingularity of functions in a family of functions definable in o-minimal structures, Proceedings of the National conferences of Vietnam 2002 (2004), 183-189 [L9] T.L.Loi, Density of Morse Functions On Sets Definable in O-minimal Structures, Ann Polon Math 89.3 (2006) , 289-299 [M] C.Miller, Expansion of the real field with power functions, Ann Pure Appl Logic 68(1994), 79-94 [S] M.Shiota, Geometry of subanalytic and semianalytic sets, Progress in Math Vol 150, Birkhăuser, Boston (1997) a [W1] A.Wilkie, Model completeness results for expansions of the ordered field of real numbers by restricted Pfaffian functions and the exponential function, J Amer Math Soc 9(1996),1051-1094 20 [W2] A.Wilkie, A general theorem of the complement and some new o-minimal structures, manuscript (1996) [Wh] H.Whitney, A Function not Constant on Connected Set of Critical Points, Duke Math.J 1, 1935, 514-517 [Y-C] Y.Yomdin and G.Comte, Tame Geometry with Application in Smooth Analysis, LNM vol 1834, 2004 [Z] T.Zell, Quantitative study of semi-Pfaffian sets, School of Mathematics, Georgia Institue of Technology, 2003 21 ... Lê Lợi): Bound of Hausdorff measures of tame sets Báo cáo chuyên đề 1: Tôpô Đại số 17 kết luận kiến nghị Đề tài hoàn thành mục tiêu nghiên cứu đề ra, bao gồm: - Nghiên cứu kết định lượng chưa... hồn thành đề tài nghiên cứu Xin cảm ơn đồng nghiệp gần xa động viên góp nhiều ý kiến để chúng tơi hồn thành nghiên cứu Đà lạt, 5/2009—Chủ nhiệm đề tài- PGS.TS Tạ Lê Lợi 18 Tài liệu Các tài liệu... báo theo hướng nghiên cứu, hướng dẫn thạc sĩ nghiên cứu sinh Các kết đề tài áp dụng số lĩnh vực Topo vi phân, Hình học vi phân, Giải tích số phi tuyến, Lý thuyết kỳ dị, đánh giá độ phức tạp thu? ??t