SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải MỤC LỤC Trang LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Bảng cơng thức tính ngun hàm 1.2 Định nghĩa 1.3 Tính chất tích phân 1.4 Một số phương pháp tính tích phân 1.4.1 Phương pháp đổi biến số 1.4.2 Phương pháp tích phân phần 1.5 Ứng dụng tích phân 1.5.1 Tính diện tích hình phẳng 1.5.2 Thể tích vật thể PHẦN 2: NỘI DUNG 2.1 Tính tích phân hàm ẩn dựa vào tính chất 2.1.1 Phương pháp giải 2.1.2 Bài tập áp dụng 2.1.3 Bài tập tự luyện 10 2.2 Tính tích phân hàm ẩn phương pháp đổi biến 11 2.2.1 Phương pháp giải 11 2.2.2 Bài tập áp dụng 12 2.2.3 Bài tập tự luyện 15 2.3 Tính tích phân hàm ẩn phương pháp tích phân phần 16 2.3.1 Phương pháp giải 16 2.3.2 Bài tập áp dụng 16 2.3.3 Bài tập tự luyện 20 2.4 Sử dụng số tính chất đặc biệt để tính tích phân hàm ẩn 21 2.4.1 Tính chất 2.4.1 21 2.4.2 Tính chất 2.4.2 22 2.4.3 Tính chất 2.4.3 23 2.4.4 Tính chất 2.4.4 24 SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải 2.5 Sử dụng giả thiết có sẵn để xác định hàm ẩn 24 2.6 Bài tập tự luyện tổng hợp đánh giá kết học sinh 26 SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Lý chọn đề tài Nguyên hàm, tích phân hai khái niệm bản, quan trọng giải tích, có liên hệ mật thiết với khái niệm đạo hàm Phép tính tích phân cho phương pháp tổng quát để tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể có hình dạng phức tạp Những năm gần Bộ Giáo dục Đào tạo đổi hình thức thi tự luận sang trắc nghiệm, nên hầu hết tốn tích phân làm nhờ máy tính bỏ túi Xuất phát từ lý thơi thúc tơi tìm hiểu dạng tốn tích phân cho giải khơng dùng máy tính bỏ túi mà phải nắm phương pháp giải dạng tốn tích phân giải toán Thống kê thi THPT Quốc gia năm gần Số Bài hỏi có nội dung liên quan tới tích phân Năm 2017 2018 2019 Mã đề 101 102 103 101 102 103 101 102 103 Số Bài hỏi 3 5 5 5 Hệ thống câu hỏi đề xếp theo thứ tự độ khó tăng dần Các câu liên quan tới tích phân đề thường hỏi dạng hàm số dấu tích phân hàm số ẩn ứng dụng tích phân Với tất lý tơi mạnh dạn viết sáng kiến với tiêu đề: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn Tên sáng kiến: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Trần Đức Hải - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Tam Đảo – Tam Đảo – Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0982 358 268; E_mail: Tranduchai.gvtamdao2@vinhphuc.edu.vn Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Là thân tác giả SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Ứng dụng tích phân để giải số tốn hàm ẩn Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Ngày 10 tháng năm 2020 Mô tả chất sáng kiến: Sáng kiến gồm phần: Phần 1: Kiến thức sở; Phần 2: Phương pháp giải số toán tích phân hàm ẩn PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Bảng công thức nguyên hàm thường gặp 1) ∫ dx = x + C 2) xα + ∫ x dx = α + + C , ( α ≠ −1) 3) ∫ x dx = ln x + C 4) 6) ∫ cos x.dx = sin x + C α 7) ∫ sin x.dx = − cos x + C ∫ e dx = e x x 8) +C 9) x a + C , ( a > 0, a ≠ 1) 5) ∫ a dx = ln a x ∫ cos ∫ sin x x dx = tan x + C dx = − cot x + C 1.2 Định nghĩa: Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [a; b] Giả sử F ( x ) nguyên hàm f ( x ) [a; b] Hiệu số F (b) − F (a ) gọi tích phân từ a đến b (hay tích b phân xác định đoạn [a; b] hàm số f ( x), kí hiệu ∫ f ( x)dx a 1.3 Tính chất tích phân a ∫ f ( x)dx = a b c c a b a ∫ f ( x)dx +∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ( a < b < c b a a b ∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx b b a a ∫ k f ( x)dx = k ∫ f ( x )dx (k ∈ ¡ ) ) b b b b b b a a a a a a ∫ [ f ( x ) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx ∫ [ f ( x ) − g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx −∫ g ( x)dx SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải 1.4 Một số phương pháp tính tích phân 1.4.1 Phương pháp đổi biến số Định lý 1.1: Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [a; b] Giả sử hàm số x = ϕ (t) có đạo hàm liên tục đoạn [α ; β ] cho ϕ (α ) = a, ϕ ( β ) = b a ≤ ϕ (t ) ≤ b với t ∈ [α ; β ] b Khi đó: ∫ a β f ( x )dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ '(t )dt α Định lý 1.2: Giả sử hàm số u = u ( x ) có đạo hàm liên tục K, hàm số y = f ( u ) liên tục cho hàm hợp f u ( x )  xác định K; a, b số thuộc K Khi b ∫ a f u ( x )  u ′ ( x ) dx = u( b) ∫ f ( u ) du u( a) 1.4.2 Phương pháp tích phân phần Định lí 1.3 : Nếu u = u ( x) v = v( x) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] b b ∫ u( x)v '( x)dx = ( u( x)v( x) ) a − ∫ u '( x)v( x)dx , b a b b a a hay viết gọn a b ∫ udv = uv |a −∫ vdu 1.5 Ứng dụng tích phân 1.5.1 Tính diện tích hình phẳng Bài toán 1.1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ a; b ] Gọi H miền phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b diện tích b miền phẳng H tính theo công thức S = ∫ f ( x) dx a y y = f (x) O a c1 c2 c3 b x  y = f (x)  y = (H )  x = a  x = b b S = ∫ f ( x ) dx a SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Bài toán 1.2: Cho hàm số y = f1 ( x) y = f ( x) liên tục đoạn [ a; b ] Gọi H miền phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số hai đường thẳng x = a , x = b diện tích miền b phẳng H tính theo công thức S = ∫ f1 ( x ) − f ( x) dx a y (C1): y = f1(x)  (C ): y = f2 (x) (H )  x = a x = b  (C1) (C2 ) b O c2 b a c1 S = ∫ f1 ( x ) − f ( x ) dx x a 1.5.2 Thể tích vật thể 1.5.2.1 Thể tích vật thể Bài tốn 1.3: Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; S ( x ) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x ( a ≤ x ≤ b ) Giả sử S ( x ) hàm số liên tục đoạn [a; b] Khi b đó, thể tích vật thể B tính theo cơng thức V = ∫ S ( x)dx a (V ) O x a b b x V = ∫ S ( x )dx a S(x) 1.5.2.2 Thể tích khối tròn xoay Bài tốn 1.4: Giả sử hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục Ox hai đường thẳng x = a , x = b ( a < b ) quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn b xoay Khi thể tích tính theo cơng thức V = π ∫  f ( x )  dx a SKKN: Phương pháp giải số toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải y y = f (x) O a b (C ): y = f (x)  b (Ox): y = Vx = π ∫ [ f ( x )] dx  x x = a a  x = b PHẦN 2: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM ẨN 2.1 Tính tích phân hàm ẩn dựa vào tính chất 2.1.1 Phương pháp giải Sử dụng tính chất công thức nguyên hàm phần 1.3 2.1.2 Bài tập áp dụng Bài 2.1 Cho ∫ f ( x)dx = −2, ∫ f ( x)dx = −3 Tích phân A B 5 ∫ f ( x)dx C -1 Lời giải Theo giả thiết ta có: 5 1 3 D -5 ∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx = − ( −3) = ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x) dx = −2 + = Suy Vậy đáp án A Nhận xét: Như toán học sinh cần nắm kiến thức lý thuyết giải Bài 2.2: Cho ∫ f ( x ) dx = −5, A I = 14 3 1 ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = Tính I = ∫ g ( x ) dx B I = −14 C I = D I = −7 Ta có ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − 2.∫ g ( x ) dx = ⇒ ∫ g ( x ) dx = −5 − = −7 Chọn D Lời giải 3 3 1 1 SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Bài 2.3: Cho hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục ¡ có ∫ 2 f ( x ) + 3g ( x )  dx = −5 ; −1 ∫ 3 f ( x ) − 5g ( x )  dx = 21 Tính −1 A −5 ∫  f ( x ) + g ( x )  dx −1 B D −1 C Lời giải Ta có: 5  5  f x + g x  dx = − f x dx + g x dx = − ( ) ∫  ( )  ∫ ( )  ∫ f ( x ) dx = ∫−1 ( )  −1  −1  ⇔ ⇔  −51 5  3 f x − g x  dx = 21 3 f x dx − g x dx = 21  g x dx = −3 ( ) ( ) ∫ ∫  ( )  ∫ ( ) ∫ ( )  −1  −1 −1  −1 ⇒ ∫ −1 5 −1 −1 f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = −1 ⇒ ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = −1 Chọn D Bài 2.4 Tính tích phân I = 2019π ∫ − cos x dx A I = B I = 2 C I = 2019 D I = 4038 Lời giải π 2π 2019π π 2018π I = ∫ sin x dx + ∫ sin x dx + + ∫ sin x dx π = 2019 ∫ sin xdx = 4038 Chọn D Bài 2.5: Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [ −6;5] có đồ thị gồm hai đoạn thẳng nửa đường tròn hình vẽ Tính giá trị I = ∫  f ( x ) + 2 dx −6 SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải A 3π − 12 B 2π + 32 D 3π + 12 C 2π + Lời giải Nhận xét: Ở tốn dùng kiến thức diện tích hình phẳng tìm kết nhanh gọn Tuy nhiên để rèn cho học sinh tư phân tích, tổng hợp tơi hướng dẫn học sinh giải toán theo hướng dài dùng định nghĩa tính chất tích phân để giải toán x+4 − ≤ x ≤ −2   Ta có: f ( x ) = 1+ − x − ≤ x ≤  2x −1  ≤ x ≤  I= −2 −6 −6 ∫  f ( x ) + 2 dx = ∫ 5 −2 −6 f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ 2dx Chọn B Bài 2.6: Cho hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) có đạo hàm liên tục [ 0;2] thỏa mãn 2 0 ∫ f ' ( x ) g ( x ) dx = −1, ∫ f ( x ) g ' ( x ) dx = 2020 Tính tích phân A I = −1 B I = 2020 I = ∫  f ( x ) g ( x )  dx C I = 2019 / D I = 2018 Lời giải 2 Ta có I = ∫  f ( x ) g ( x )  dx = ∫  f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )  dx / 0 2 0 = ∫ f ' ( x ) g ( x ) dx + ∫ f ( x ) g ' ( x ) dx = 2019 Chọn C Bài 2.7: Cho hàm số y = f ( x ) > xác định có đạo hàm liên tục [ 0;1] thỏa x mãn g ( x ) = + 2018∫ f ( t ) dt , g ( x ) = f ( x ) Tính ∫ g ( x ) dx SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải A 1011 1009 B C 2019 D 505 Lời giải x Ta có g ( x ) = + 2018∫ f ( t ) dt ⇒ g ' ( x ) = 2018 f ( x ) = 2018 g ( x ) ⇒ g '( x) g ( x) t = 2018 ⇒ ∫ g '( x) t g ( x) dx = 2018∫ dx ⇒ ( ) g ( t ) − = 2018t (do g ( ) = )  1009  1011 ⇒ g ( t ) = 1009t + ⇒ ∫ g ( t ) dt =  t + t ÷|0 = Chọn A   Bài 2.8: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục [ 0;1] đồng thời thỏa mãn f ' ( 0) = f '' ( x ) +  f ' ( x ) − x  = Tính T = f ( 1) − f ( ) A T = + ln 2 C T = + ln B T = D T = − ln Lời giải f '' ( x ) +  f ' ( x ) − x  = ⇒ − f '' ( x ) − Lấy nguyên hàm hai vế − ∫ ' Do f ( ) = ⇒ C =  f ' ( x ) − x  = f '' ( x ) − 1 x dx = ∫ dx ⇒ ' = +C f ( x) − x  f ' ( x ) − x  1   ⇒ f ' ( x) = + x ⇒ ∫ f ' ( x ) dx = ∫  + x ÷dx x +1 x +  0 Vậy T = f ( 1) − f ( ) = ln + Chọn C 2.1.3 Bài tập tự luyện Bài 2.9: Cho ∫ A − a − b f ( x ) dx = a,∫ f ( x ) dx = b Khi B b − a ∫ B I = 34 ∫ f ( x ) dx bằng: C a + b Bài 2.10: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn A I = 32 D a − b f ( x ) dx = 10 Tính I = ∫  − f ( x )  dx C I = 36 10 D I = 40 SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải f ( x) Bài 2.32: Cho hàm số π ∫ f ' ( x ) cos  π có đạo hàm liên tục 0;  , thỏa mãn  2 π xdx = 10 f ( ) = Tích phân ∫ f ( x ) sin xdx 0 A I = −13 B I = −7 C I = D I = 13 Lời giải Xét π ∫ u = cos x du = − sin xdx ⇒  f ' ( x ) cos xdx = 10 , đặt  dv = f ' ( x ) cos xdx v = f ( x ) π Khi 10 = f ' ( x ) cos xdx = cos xf ( x ) ∫ π π 0 π π + ∫ f ( x ) sin xdx ⇔ 10 = − f ( ) + ∫ f ( x ) sin xdx ⇒ ∫ f ( x ) sin xdx = 10 + f ( ) = 13 Chọn D Bài 2.33: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn ∫ x f ′ ( x ) e f ( x) f ( 3) = ln Tính dx = I = ∫ e f ( x ) dx A I = B I = 11 I = + ln C I = − ln D Lời giải  u = x du = dx ⇒ Khi Đặt  f ( x) f ( x) dv = f ′ ( x ) e dx  v = e  3 0 3 0 f ( x) f ( x) ∫ x f ′ ( x ) e dx = x.e − ∫ e f ( x ) dx f ( 3) f ( x) f ( x) Suy = 3.e − ∫ e dx ⇒ ∫ e dx = − = Chọn A Bài 2.34: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục [ 0;1] , thỏa mãn ∫ f ( x − 1) dx = 1 f ( 1) = Tích phân ∫ x f ' ( x ) dx A −1 B − C Lời giải 18 D SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Ta có 1 t = x −1 f ( x − 1) dx =  → ∫ f ( t ) dt = hay ∫ ∫ f ( x ) dx = 3 t=x → Xét ∫ x f ' ( x ) dx  0 1 u = x du = dx 1   tf ' t d t = xf ' ( x ) dx Đặt  ⇒ ( ) ∫ ∫ 20 20 dv = f ' ( x ) dx  v = f ( x )  1  1 1 → ∫ tf ' ( t ) dt =  xf ( x ) −∫ f ( x ) dx  = [ − 3] = ChọnC Khi ∫ x f ' ( x ) dx  20  0  t = x2 Bài 2.35: Cho hàm số y = f ( x ) với f ( ) = f ( 1) = Biết rằng: ∫e x  f ( x ) + f ' ( x )  dx = ae + b Tính Q = a 2019 + b 2019 B Q = A Q = 22019 + C Q = D Q = 22019 − Lời giải x x   u = e  du = e dx ⇔ ⇒ ∫ e x f ' ( x ) dx = e x f ( x ) Đặt  dv = f ' ( x ) dx v = f ( x )   1 − ∫ e x f ( x ) dx 1 a = ⇔ ∫ e x f ' ( x ) dx + ∫ e x f ( x ) dx = e f ( 1) − f ( ) ⇔ ae + b = e − ⇒  Vậy Q = b = −  0 Bài 2.36: Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục [ 0; 2] Biết f ( 0) = (x I =∫ f ( x ) f ( − x ) = e2 x − 3x ) f ' ( x ) f ( x) A I = − −4 x với x ∈ [ 0; 2] Tính tích dx 14 B I = − 32 C I = − 16 D I = − Lời giải u = x − x 2  x − 3x ) f ' ( x ) (   du = ( x − x ) d x f '( x) ⇒  dx Đặt  Ta có I = ∫ d v = d x f x ( ) v = ln f x ( )    f ( x)  2 I = ( x − 3x ) ln f ( x ) 2 0 − ∫ ( 3x − x ) ln f ( x ) dx = − 3∫ ( x − x ) ln f ( x ) dx = −3J J = ∫ ( x − x ) ln f ( x ) dx = f ( ) =1 x = −t 0 ∫ ( − t ) 2 − ( − t )  ln f ( − t ) d ( − t )  = ∫ ( − x ) − ( − x )  ln f ( − x ) d ( − x ) = ∫ ( x − x ) ln f ( − x ) dx   phân 19 16 SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải 2 0 ⇒ J = ∫ ( x − x ) ln f ( x ) dx + ∫ ( x − x ) ln f ( − x ) dx = ∫ ( x − x ) ln f ( x ) f ( − x ) dx = ∫ ( x − x ) ln e 2 x2 −4 x dx = ∫ ( x − x ) ( x − x ) dx = 32 16 16 ⇒ J = Vậy I = − Chọn D 15 15 Bài 2.37: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( 1) = , ∫  f ′ ( x )  dx = A ∫ x f ( x ) dx = Tính ∫ f ( x ) dx B C D Lời giải 1 Xét ∫ x f ( x ) dx = Đặt du = f ′ ( x ) dx u = f ( x )  ⇒  x3 dv = x dx v =  1 1 1 1 ⇒ ∫ x f ( x ) dx = x3 f ( x ) − ∫ x f ′ ( x ) dx = − ∫ x f ′ ( x ) dx ⇒ ∫ x f ′ ( x ) dx = − 30 30 0 1  ∫  f ′ ( x )  dx = 0  Ta lại có  ∫ 14 x f ′ ( x ) dx = −14 0 1  ∫ 49 x dx = x =  1 1 ⇒ ∫  f ′ ( x )  dx + ∫ 14 x f ′ ( x ) dx + ∫ 49 x dx = ⇔ ∫  f ′ ( x ) + x  dx = 0 ⇔ f ′ ( x ) + x = 0, ∀x ∈ [ 0;1] ⇔ f ′ ( x ) = −7 x , ∀x ∈ [ 0;1] ⇒ f ( x ) = − Ta có f ( 1) = ⇔ C = ⇒∫ 7 ⇒ f ( x ) = ( − x4 ) 4 f ( x ) dx = ∫ ( − x ) dx = 40 7 x5  7 1 x −  ÷ =  − ÷ = Chọn A 4 0 4 5 Bài 2.38: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục R có đồ thị hình bên Đặt K = ∫ x f ( x ) f ′ ( x ) dx, K thuộc khoảng sau đây? 20 x4 +C SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải A ( −3; − ) 3  B  −2; − ÷   2 C  − ; − ÷ 2    D  − ; ÷ 3   Lời giải du = dx u = x  ⇒ Đặt  f ( x) dv = f ( x ) f ′ ( x ) dx v =  1 x f ( x) 1 − ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx Khi K = ∫ x f ( x ) f ′ ( x ) dx = 20 20 0 1 Từ đồ thị, ta thấy: • f ( x ) > − x, ∀x ∈ [ 0;1] ⇒ ∫ • f ( x ) < 2, ∀x ∈ [ 0;1] ⇒ ∫ f ( x) dx > ∫ ( − x) 2 f ( x) dx = ⇒ K = − ∫ dx < − 2 1 f ( x) f ( x) dx > ∫ dx = ⇒ K = − ∫ dx > − Chọn C 2 2 2.3.3 Bài tập tự luyện Bài 2.39: Biết F ( x ) nguyên hàm f ( x ) ¡ thỏa mãn F ( e ) = Tích phân ∫ e e ∫ F ( x ) d ( ln x ) = ln x f ( x ) dx A B -3 C D -2 Bài 2.40: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ thỏa mãn f ( 3) = , 0 ∫ f ( x ) dx = Giá trị ∫ xf ′ ( 3x ) dx A B C D 2 Bài 2.41: Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ f (2) = 16, ∫ f ( x)dx = Tính x I = ∫ xf '  ÷dx 2 A I = 12 B I = 112 C I = 28 21 D I = 144 SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Bài 2.42: Cho ∫ π f ( x ) dx = ∫ π π I = ∫  f ( x ) + x sin x − g ( x )  dx g ( x ) dx = −1 Tính B I = + 4π A I = + π Bài 2.43: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn C I = π − D I = + π ∫ ( x + 3) f ' ( x ) dx = 15 f ( ) − f ( 1) = Tính 2 I = ∫ f ( x ) dx 2 A I = B I = − C I = D I = − Bài 2.44: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ f ( x ) + f ( − x ) = x − x + ∀x ∈ ¡ Tích phân thỏa mãn f ( ) = ∫ xf ' ( x ) dx bằng: A − B C D − 10 Bài 2.45: Cho hàm số f ( x ) liên tục [ 0;1] thỏa mãn  2 ∫0  f ( x ) + ln e 1 2 dx = 2∫  f ( x ) ln ( x + 1)  dx Tích phân I = ∫ f ( x ) dx e  0 e A I = ln e B I = ln e C I = ln D I = ln  π π  Bài 2.46: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn 0;  f  ÷ = Biết  4 4 π ∫ π π π π f ( x ) dx = ; ∫ f ' ( x ) sin xdx = − Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx 4 A I = B I = C I = D I = Bài 2.47: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] f ( ) + f ( 1) = Biết ∫ A π f ( x ) dx = , ∫ f ' ( x ) cosπ xdx = Tính 2 3π B ∫ f ( x ) dx π C π 22 D π SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải 2.4 Sử dụng số tính chất đặc biệt để tính tích phân hàm ẩn Tính chất 2.4.1 Nếu f ( x ) hàm chẵn liên tục [ −m; m] , m > 0, k ∈ ¡ m f ( x) ∫ a kx + dx = ∫0 f ( x ) dx, a > −m m Để chứng minh tính chất bạn đọc đặt x = −t sử dụng tính chất hàm chẵn f ( − x ) = f ( x ) Thật m m f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) dx = dx + dx = I + ∫− m a kx + −∫m akx + ∫0 a kx + ∫0 a kx + dx m m kt m kx f ( x) f ( −t ) a f ( t) a f ( x) dt = ∫ kx dx Xét đặt x = −t ta I1 = ∫ kx dx = − ∫ − kt dt = ∫ kt a +1 a +1 a +1 a +1 −m m 0 m f ( x) dx = f ( x ) dx Từ suy ∫ kx ∫ a + −m m Bài 2.48 Cho hàm số chẵn y = f ( x ) liên tục ¡ ∫ −1 A B f ( 2x) dx = Tính 2x + C.8 Lời giải : Áp dụng tính chất 2.4.1 ta có = ∫ −1 f ( 2x) dx = ∫0 f ( x ) dx 2x +1 Đặt t = x sau đổi cận ta ∫ f ( x ) dx = 16 Đáp án D Tương tự: Tính chất 2.4.2 Nếu f ( x ) hàm số liên tục đoạn [ − a; a ] với a > a ∫ −a Chứng minh: a f ( x ) dx = ∫  f ( x ) + f ( − x )  dx a a a −a −a 0 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =∫  f ( x ) + f ( − x )  dx 23 ∫ f ( x ) dx D.16 SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Bài 2.49 Cho hàm số f ( x ) hàm số liêm tục ¡ thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = cos x Tính I = π ∫ f ( x ) dx −π A B C.-1 Lời giải : Áp dụng tính chất 2.4.2 ta có I = D.2 π π π −π 0 ∫ f ( x ) dx = ∫ ( f ( x ) + f ( − x ) ) dx = ∫ cos xdx = Đáp án B Tương tự: Bài 2.50: Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ thỏa f ( x ) + f ( − x ) = + cos x với x∈¡ Tính I = 3π − ∫ f ( x) d x 3π A I = −6 B I = C I = −2 D I = Lời giải Áp dụng tính chất Suy I = 3π ∫ 3π −  f ( x ) + f ( − x )  dx = 3π ∫ 3π − 3π 2 + cos xdx = ∫ cosx dx = 12 ⇒ I = Chọn D Tính chất 2.4.3 Nếu f ( x ) hàm số liên tục [ a; b ] thỏa mãn f ( x ) = f ( a + b − x ) b b a+b ∫a xf ( x ) dx = ∫a f ( x ) dx Tính chất chứng minh cách đặt t = a + b − x Bài 2.51: Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [ 1; 2] thỏa mãn f ( x ) = f ( − x ) 2 1 ∫ f ( x ) dx = Tính ∫ xf ( x ) dx A B C Lời giải: Áp dụng tính chất 2.4.3 ta có 2 1+ ∫1 xf ( x ) dx = ∫1 f ( x ) dx = = 12 Đáp án D 24 D.12 SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Tương tự Bài 2.52: Cho hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục [ 0;1] thỏa mãn m f ( x ) + n f ( − x ) = g ( x ) với m, n số thực khác m+n B m + n = A m + n = 1 0 ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = C m + n = D m + n = Lời giải Áp dụng tính chất b b a a ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( a + b − x ) dx Từ giả thiết m f ( x ) + n f ( − x ) = g ( x ) , lấy tích phân hai vế ta 1 0 ∫  m f ( x ) + n f ( − x ) dx = ∫ g ( x)dx Suy m + n ∫ f ( − x ) dx = (do 1 0 ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = ) ( 1) x = ⇒ t = 1 Xét tích phân ∫ f ( − x ) dx Đặt t = − x , suy dt = −dx Đổi cận:  x = ⇒ t = Khi ∫ 0 1 0 f ( − x ) dx = −∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = ( ) Từ ( 1) ( ) , suy m + n = Chọn C Tính chất 2.4.4 Nếu f ( x ) hàm số liên tục đoạn [ 0; a ] , a > a ∫ a f ( x ) dx = ∫ f ( a − x ) dx Ta dễ dàng chứng minh cách đặt t = a − x Bài 2.53 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ thỏa mãn π  f ( x ) + f  − x ÷ = sin x.cos x, ∀x ∈ ¡ , f ( ) = Tính 2  A − π B C Lời giải: Theo giả thiết ta có f ( ) = π  π  f ( x ) + f  − x ÷ = sin x.cos x, ∀x ∈ ¡ ⇒ f  ÷ = 2  2 25 π ∫ xf ′ ( x ) dx π Tính D − SKKN: Phương pháp giải số toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải   u = x  du = dx ⇒ Lúc  dv = f ′ ( x ) dx  v = f ( x ) Đặt  π π π π 2 π π  I = xf ( x ) − ∫ f ( x ) dx = f  ÷− f ( ) − ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx 2 0 0 Mặt khác theo tính chất 2.4.4 ta có π π 0 π π π    π ∫ f ( x ) dx = ∫ f  − x ÷ dx ⇒ I = − ∫  f ( x ) + f  − x ÷÷ dx = − ∫ ( sin x cos x ) dx = − 0 Vậy đáp án D 2.5 Sử dụng giả thiết có sẵn để xác định hàm ẩn Bài 2.54 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ( 0; +∞ ) thỏa mãn f ( x) f ′( x) + x = x + 3x; f ( 1) = Tính I = ∫ f ( x ) dx 20 A B 29 20 C 12 D 19 12 Lời giải : Từ giả thiết ta có xf ′ ( x ) + f ( x ) = x3 + 3x ⇒ ( xf ( x ) ) ′ = x + 3x ⇒ xf ( x ) = ∫ ( x + 3x ) dx = x + x + c 3 Thay f ( 1) = vào (1) ta c = ⇒ f ( x ) = x + x ⇒ I = ∫ ( x + x ) dx = Đáp số C 12 Nhận xét: Qua ví dụ ta khái quát cách giải cho toán tổng quát sau : Khi gặp tốn có giả thiết có dạng a ( x ) f ′ ( x ) + b ( x ) f ( x ) = c ( x ) ta tìm cách đưa vế trái dạng ( u ( x ) + f ( x ) ) ′ = c ( x ) sau sử dụng ngun hàm vế để tìm hàm ẩn f ( x ) Bài 2.55: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] , f ( x ) f ' ( x ) nhận giá trị dương ∫0  f ' ( x )  f ( x )  + 1dx = 2∫0 ∫  f ( x )  thỏa mãn dx B Phương pháp: f n ( x ) f ' ( x ) dx = ∫ [ 0;1] f ' ( x ) f ( x ) dx Tính 15 A đoạn 15 C 17 f n +1 ( x ) + C , ( n ≠ −1) n +1 Lời giải 26 D 19 f ( ) = 2, SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải 1 ∫0  f ' ( x )  f ( x )  + 1 dx = 2∫0 1 f ' ( x ) f ( x ) dx ⇔ ∫  f ' ( x )  f ( x )  − f ' ( x ) f ( x ) + 1 dx =   f ' ( x ) f ( x ) − = ⇒ f ( x ) f ' ( x ) = 1, ∀x ∈ [ 0;1] ⇔ ∫  f ' ( x ) f ( x ) − 1 dx = ⇒   x ⇒∫ f ( x) f ( x ) f ' ( x ) dx = ∫ 1dx ⇒ x x f ( x ) f ( 0) = x⇒ − =x 3 ( 3x + 8) Mà f ( ) = ⇒ f ( x ) = x + ⇒ ∫  f ( x )  dx = ∫ ( 3x + ) dx = 0 1 3 = 19 Chọn D Bài 2.56 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục [ 0;1] thỏa mãn 1 f ( 1) = 0; ∫  f ' ( x )  dx = 7; ∫ x f ( x ) dx = Tính 0 A B C ∫ f ( x ) dx D.4 u = f ( x ) ⇒ du = f ′ ( x ) dx  Lời giải : Xét ∫ x f ( x ) dx = Đặt  Lúc x3 dv = x dx ⇒ v =   x3 f ( x ) 1 ∫0 x f ( x ) dx = − ∫0 x f ′ ( x ) dx = Kết hợp với f ( 1) = ta suy Ta lại có ∫ x dx = ∫ ( f ′( x) + 7x ) ( ) Từ (1), (2) theo giả thiết Vậy (1) dx = ta suy 1 dx = ∫ ( f ′ ( x ) ) dx + 14∫ x f ′ ( x ) dx + ∫ x dx = + 14 ( −1) + 49 = 0 −7 7 x4 x + + c Lại f ( 1) = ⇒ f ( x ) = 4  −7  x + ÷dx = Đáp số B 4 ∫ f ( x ) dx = ∫  Nhận xét : Qua 2.56 ta thấy b ∫  f ' ( x )  dx = p; ∫ u ( x ) f ( x ) dx = q a b ∫ ( f ′( x) ) ∫ x f ′ ( x ) dx = −1 ⇒ f ′ ( x ) + x3 = ⇒ f ′ ( x ) = −7 x3 ⇒ f ( x ) = 1 a 27 gặp tốn có giả thiết SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Và cách sử dụng công thức tích phân phần ta đưa tích phân dạng b ∫ ( mf ′ ( x ) + nu ( x ) ) dx = ⇒ mf ′ ( x ) + nu ( x ) = a Bài tập tự luyện tổng hợp đánh giá kết học sinh Bài 2.57: Xét hàm số f ( x ) liên tục đoạn [ 0;1] thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = − x Tính I = ∫ f ( x ) dx A π π B C y = f ( x) Bài 2.58: Cho hàm số π 20 D π 16 xác định liên tục f ( x) 1 I = dx ∫ f ( x ) + f  ÷ = x + + Tính tích phân x + 1 x x 1   ;  , thỏa A I = C I = B I = D I = Bài 2.59: Cho số thực a > Giả sử hàm số f ( x ) liên tục dương đoạn [ 0; a ] a dx 1+ f ( x) thỏa mãn f ( x ) f ( a − x ) = 1, ∀x ∈ [ 0; a ] Tính tích phân I = ∫ A I = a C I = B I = a Bài 2.60: Cho hàm số chẵn y = f ( x ) liên tục R A B Bài 2.61 Cho hàm số f ( x) 2a D I = f ( x ) dx ∫ + 2019 x = Tính −1 C a ∫ f ( x ) dx D 16 có đạo hàm liên tục [ 0;1,] thỏa f ( x) + f ( 1- x) = 1- x2 Giá trị tích phân ò f '( x) dx A B Bài 2.62 Cho hàm số ò e x f ( x) C có đạo hàm liên tục [ 0;1,] thỏa mãn éf ( x) + f ¢( x) ùdx = ae+ b ë û Tính Q = a2018 + b2018 28 f( 0) = ( 1) = D Biết SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải A Q = 22017 +1 B Q = Bài 2.63 Cho hàm số y = f ( x) , y = g( x) D ò f ( x) g'( x) dx = Tính tích phân B I = - e2017 - I = ò B f ( x) Bài 2.65 Cho hàm số / ù I = òé ëf ( x) g( x) û dx C I = Bài 2.64 Cho ò f ( x) dx = Tính tích phân I = Q = 22017 - 2017 A Q = có đạo hàm liên tục [ 0;2] thỏa mãn ò f '( x) g( x) dx = 2, A C liên tục D I = D I = x ùdx .f é êln( x +1) û ú x2 +1 ë C I = I = I = p 0 ò f ( tan x) dx = 4, ò x 2f ( x) dx = Tính tích x +1 ¡ I = ò f ( x) dx phân A B I = f ( x) Bài 2.66 Cho hàm số C I = liên tục D I = I = p thỏa mãn ò tan x f ( cos2 x) dx = 1, ¡ e ò f ( ln2 x) e x ln x A I = dx = Tính tích phân B x dx C xác định liên tục I =ò Tính tích phân I = B f ( x) x2 +1 I = é1 ù êê2 ;2úú, ë û D I = thỏa dx I = D I = ¡ , thỏa f ( x + 4x + 3) = 2x +1 C I = y = f ( x) Bài 2.68 Cho hàm số ỉ1÷ f ( x) + f ỗ = x2 + + ỗ ữ ữ ỗ ốxứ x A f ( 2x) I = y = f ( x) Bài 2.67 Cho hàm số I =ò xác định liên tục với xỴ ¡ Tích phân ò f ( x) dx - A B Bài 2.69 Cho hàm số f ( x) C 10 xác định liên tục 32 [ 0;1], D thỏa mãn 72 f '( x) = f '( 1- x) với x Ỵ [ 0;1 ] Biết f( 0) = 1, ( 1) = 41 Tính tích phân I = ò f ( x) dx A I = 41 B C I = 21 I = 41 f ( x) Bài 2.70 Cho hàm số f ( x) thỏa mãn ò x f ¢( x) e dx = f ( 3) = ln3 Tính A I = B C I = 11 29 I = 8- ln3 D I = 42 I = ò ef ( x) dx D I = 8+ ln3 SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Bài 2.71 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục f ( 0) = é pù ê0; ú, ê ë 2ú û p thỏa mãn ò f '( x) cos2 xdx = 10 p Tích phân ò f ( x) sin2xdx A B I = - 13 C I = - D I = I = 13 y = f ( x) Bài 2.72 Cho hàm số có đạo hàm liên tục [ 0;1], thỏa mãn ò f ( x - 1) dx = 1 f ( 1) = f '( x2 ) dx Tích phân ò x A B - Bài 2.73 Cho hàm số f ( 0) = f ( x) - C D nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục [ 0;2] Biết f ( x) f ( 2- x) = e2x - 4x với x Ỵ [ 0;2] Tính tích phân I =ò A I =- 14 B Bài 2.74 Biết ò ln( 9- I =- 32 x2 ) dx = aln5+ bln2 + c C với I =- a, b, cẻ Â 16 Tớnh (x - 3x2 ) f '( x) f ( x) D dx I =- 16 P = a + b + c A B P = 13 C P = 18 P = 26 D P = 34 Những thơng tin cần bảo mật (nếu có): Khơng có Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Sách giáo khoa, ghi, máy tính cầm tay tài liệu tham khảo 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử Để thấy kết sát thực sáng kiến Tôi chọn lớp 12A3, 12A6 để tiến hành làm đối chứng cụ thể sau: Đầu tiên nhà cho học sinh tập: Từ ví dụ 2.1 đến 2.8 Yêu cầu học sinh làm tập giấy thu kết sau: Lớp 12A3 Sĩ số 38 12A6 38 Giỏi 0% 0% Khá 13.2% 5.3 % TB 15 39.5% 17 44.7% 30 3-4 21.1 10 26.3% 0-2 10 26.2% 23.7% SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Với kết tổng hợp bảng thực tế làm học sinh, thấy hầu hết học sinh khơng làm lúng túng việc giải tốn tìm tích phân hàm ẩn bế tắc hồn tồn Đứng trước thực trạng tơi định đưa sáng kiến dạy cho đối tượng học sinh kể học sinh có lực học trung bình Sáng kiến giúp học sinh biết cách đưa hướng giải toán cho tối ưu Tôi tập trung học sinh lớp 12A3, 12A6 học ngoại khoá vào tiết buổi chiều Trong tiết truyền thụ học sinh lĩnh hội kiến thức, kết sau cho học sinh làm 20 câu kiểm tra trắc nghiệm Lớp 12A3 Sĩ số 38 12A6 38 Giỏi 21.1% 15.8% Khá 18 47.37% 20 52.6 % TB 10 26.3% 21.1% 3-4 5.3% 10.5% 0-2 0% 0% Với kết thực tế làm học sinh nhận thấy phương pháp mà tơi đưa có kết tốt, giúp học sinh cảm thấy tự tin gặp tốn tích phân hàm ẩn, đồng thời giải tốt số tập đề thi minh họa THPT QG đề thi THPT Quốc Gia Mặc dù cố gắng qúa trình tìm tòi nghiên cứu, hạn chế mặt mặt lực thời gian nên trình bày sáng kiến khơng tránh khỏi thiếu sót, việc khai thác đề tài chắn chưa hoàn thiện triệt để Ở cố gắng đưa tình thực tế để học sinh giải quyết, việc đưa phương pháp giúp học sinh vận dụng kiến thức tốn học vào giải tình toán học thực tế vấn đề có điều kiện tơi nghiên cứu thêm Kính mong nhận xét, bổ sung góp ý quý thầy cô bạn 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số Tên tổ chức/cá TT nhân Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến 31 SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Lớp 12A3 Trường THPT Tam Đảo 2 Lớp 12A6 Trường THPT Tam Đảo Tam Đảo, ngày tháng Thủ trưởng đơn vị năm Tam Đảo, ngày 13 tháng năm 2019 Tác giả sáng kiến Trần Đức Hải 32 ... SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải 2.3 Tính tích phân hàm ẩn nhờ phương pháp tích phân phần 2.3.1 Phương pháp giải Định lí : Nếu u ( x ) v ( x ) hai hàm số có đạo hàm. .. SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải 1.4 Một số phương pháp tính tích phân 1.4.1 Phương pháp đổi biến số Định lý 1.1: Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [a; b] Giả sử hàm. .. tích phân hàm ẩn nhờ phương pháp đổi biến số 2.2.1 Phương pháp giải 11 D 338 ∫ f ( x ) dx SKKN: Phương pháp giải số tốn tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Từ hai định lý định lý phần 1.4.1 có hai phương