BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LÊ THỊ THU VÂN PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2016 Cơng trình hồn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS PHAN ĐỨC TUẤN Phản biện 1: TS Trương Công Quỳnh Phản biện 2: TS Hoàng Quang Tuyến Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp Đại Học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng năm 2016 Có thể tìm hiểu Luận văn tại: - Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tốn học mơn khoa học gắn liền với thực tiễn Trong toán học, giải tích chiếm vị trí vơ quan trọng Các kết nghiên cứu giải tích khơng áp dụng lĩnh vực Toán học mà áp dụng ngành khoa học khác Vật lý, Hóa học,Thiên văn học Để có kiến thức giải tích cách có hệ thống khoa học việc nắm vững hiểu sâu sắc kiến thức ban đầu giải tích: “ Phép tính tích phân” điều cần thiết quan trọng Vì lí chúng tơi lựa chọn đề tài: “Phép tính tích phân áp dụng” Mục tiêu nội dung nghiên cứu đề tài Mục tiêu đề tài nhằm giúp người đọc hiểu phép tính tích phân số áp dụng Một số điểm cố gắng đưa vào luận văn là: - Trình bày số định nghĩa liên quan đến phép tính tích phân, chứng minh chặt chẽ định lý liên quan - Giới thiệu số áp dụng cụ thể tích phân - Đưa nhiều ví dụ tập liên quan đến đề tài Nội dung đề tài dự định chia thành chương phụ lục: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Áp dụng phép tính tích phân Trong phần đưa vào ví dụ tập áp dụng cụ thể Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài tốn áp dụng tích phân Phạm vi nghiên cứu đề tài vận dụng phương pháp giải tốn thích hợp tích phân để giải toán bất đẳng thức giới hạn Phương pháp nghiên cứu Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến phép tính tích phân Tham gia buổi seminar thầy hướng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành hai chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương 1, luận văn trình bày: Các định nghĩa, khái niệm kết tích phân xác định; bất đẳng thức tích phân số ứng dụng hình học, vật lý của tích phân để làm sở cho chương sau Chương Các dạng tập áp dụng phép tính tích phân.Trong chương 2, luận văn trình bày: Các tốn liên quan tính chất tổng Darboux; bất đẳng thức tích phân giới thiệu số tốn áp dụng hình học, vật lý tích phân xác định CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại số kiến thức sở tích phân,bất đẳng thức có liên quan đến việc nghiên cứu chương Các nội dung trình bày chương chủ yếu tham khảo tài liệu [1], [3], [4], [5],[7] 1.1 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1.1.1 Bài tốn diện tích hình thang cong 1.1.2 Định nghĩa tích phân xác định Cho hàm 𝑓(𝑥) xác định [𝑎, 𝑏] Chia [𝑎, 𝑏] thành n-phần tùy ý điểm chia (ta gọi phân hoạch đoạn [𝑎, 𝑏]) 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏 Lấy điểm 𝑀𝑘 ∈ [𝑥𝑘 , 𝑥𝑘+1 ] , lập tổng tích phân 𝑛−1 𝑆𝑛 = ∑ 𝑓(𝑀𝑘 ) ∆𝑘 , ∆𝑘 = 𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 (Tổng Riemann) 𝑘=0 Ta cho max ∆𝑥𝑘 → 𝑆𝑛 tiến đến giới hạn hữu hạn mà không phụ thuộc cách chia [𝑎, 𝑏] cách lấy điểm 𝑀𝑘 giới hạn gọi tích phân xác định hàm 𝑓(𝑥) [𝑎, 𝑏] kí hiệu 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 Khi ấy, ta nói hàm 𝑓(𝑥) khả tích [𝑎, 𝑏] 1.1.3 Ý nghĩa hình học tích phân xác định 1.2 ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH 1.2.1 Điều kiện cần để hàm khả tích Định lí 1.1 Nếu hàm f khả tích đoạn [𝑎, 𝑏] bị chặn đoạn Chứng minh Ta giả sử ngược lại hàm 𝑓 không bị chặn [𝑎, 𝑏] Bởi hàm 𝑓 khơng bị chặn [𝑎, 𝑏] nên với phân điểm 𝑇 đoạn [𝑎, 𝑏], hàm𝑓 khơng bị chặn đoạn Để đơn giản cho việc chứng minh, ta giả sử khơng bị chặn [𝑥0 , 𝑥1 ] Khi đoạn lại [𝑥1 , 𝑥2 ], [𝑥2, 𝑥3 ], … , [𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 ] ta chọn điểm tùy ý ξ1, ξ2 , … , ξ𝑛 kí hiệu: 𝜎 ′ = 𝑓(ξ2 )∆𝑥2 + 𝑓(ξ3 )∆𝑥3 + ⋯ + 𝑓(ξ𝑛 )∆𝑥𝑛 (1.2.1) Do 𝑓 không bị chặn đoạn [𝑥0 , 𝑥1 ] nên với 𝑀 > 0, ta chọn ξ1 ∈ [𝑥0 , 𝑥1 ] cho: |𝑓(ξ1 )| |𝜎 ′ | + 𝑀 |∆𝑥1 | (1.2.2) Khi đó,|𝑓(ξ1 )| |∆𝑥1 | ≥ |𝜎 ′ | + 𝑀 tổng tích phân tương ứng |𝜎𝑛 | = |𝑓(ξ1 )∆𝑥1 + 𝜎 ′ | ≥ ||𝑓(ξ1 )||∆𝑥1 | − |𝜎 ′ || ≥ 𝑀 (1.2.3) Do đó, tổng tích phân 𝜎𝑛 khơng thể có giới hạn hữu hạn, điều nghĩa tích phân xác định hàm 𝑓 khơng tồn 1.2.2 Các tổng Darboux Giả sử hàm f xác định bị chặn [𝑎, 𝑏] Khi tồn số m M cho: 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀, ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] Ta xét phân điểm 𝑇 = {𝑥𝑘 } đoạn [𝑎, 𝑏] Kí hiệu: 𝑚𝑘 = inf 𝑓(𝑥) , 𝑀𝑘 = sup 𝑓(𝑥), 𝜔𝑘 = 𝑀𝑘 − 𝑚𝑘 𝑥 ∈ [𝑥𝑘−1 , 𝑥𝑘 ] 𝑥 ∈ [𝑥𝑘−1 , 𝑥𝑘 ] Đại lượng 𝜔𝑘 gọi giao động 𝑓 [𝑥𝑘−1 , 𝑥𝑘 ] Tổng 𝑛 𝑛 𝑆𝑛 = ∑ 𝑚𝑘 ∆𝑥𝑘 , 𝑆𝑛 = ∑ 𝑀𝑘 ∆𝑥𝑘 𝑘=1 (1.2.4) 𝑘=1 tổng tích phân Darboux tổng tích phân Darboux hàm 𝑓(𝑥) đoạn [𝑎, 𝑏] tương ứng với phân điểm T đoạn [𝑎, 𝑏] Nếu {𝑥𝑘 } phân điểm đoạn [𝑎, 𝑏], ta có bất đẳng thức sau: 𝑆𝑛 ≤ 𝜎𝑛 ≤ 𝑆𝑛 (1.2.5) 1.2.3 Các tính chất tổng tích phân Darboux 1.2.4 Dấu hiệu tồn tích phân xác định Định lý 1.2 Để hàm bị chặn 𝑓(𝑥) khả tích đoạn [𝑎, 𝑏] điều kiện cần đủ là: 𝑑 = max ∆𝑥𝑘 , lim (𝑆𝑛 − 𝑆𝑛 ) = 𝑘 𝑑→0 (1.2.10) Điều kiện (1.2.10) nghĩa là: ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 = 𝛿(𝜀) > 0, cho 𝑑 < 𝛿 thì: |𝑆𝑛 − 𝑆𝑛 | < 𝜀 (1.2.11) không phụ thuộc vào cách chọn điểm 𝜉𝑘 ∈ [𝑥𝑘−1 , 𝑥𝑘 ] 1.3 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN 1.3.1 Công thức Newton-Leibnitz Nếu hàm 𝑓(𝑥) liên tục đoạn [𝑎, 𝑏] 𝐹(𝑥) nguyên hàm 𝑓(𝑥) 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = 𝐹(𝑥)|𝑏𝑎 𝑎 1.3.2 Cơng thức tích phân phần Nếu hai hàm 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) khả vi liên tục [𝑎, 𝑏] 𝑏 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑔′ (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)|𝑏𝑎 − ∫ 𝑓 ′ (𝑥) 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 𝑎 1.3.3 Đổi biến số Giả sử thoả mãn điều kiện sau: 1) Hàm 𝑓(𝑥) liên tục đoạn [a,b] 2) Hàm 𝜑(𝑡) khả vi, liên tục đoạn [𝛼, 𝛽] 3) 𝜑([𝛼, 𝛽]) ⊂ [𝑎, 𝑏], 𝜑(𝛼) = 𝑎, 𝜑(𝛽) = 𝑏 Với điều kiện ta có cơng thức 𝑏 𝛽 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝜑(𝑡)) 𝜑′ (𝑡)𝑑𝑡 𝑎 𝛼 1.3.4 Các tính chất tích phân xác định Định lí 1.3 (Tính chất tuyến tính): Nếu 𝑓, 𝑔 hai hàm khả tích [𝑎, 𝑏] 𝑓 + 𝛽𝑔 , 𝛼, 𝛽 = cons𝑡 , khả tích [𝑎, 𝑏] 𝑏 𝑏 𝑏 ∫ (𝛼𝑓(𝑥) + 𝛽𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = 𝛼 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝛽 ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 𝑎 𝑎 Định lí 1.4 Nếu 𝑓, 𝑔 hai hàm khả tích [𝑎, 𝑏] tích hai hàm 𝑔 𝑓 khả tích [𝑎, 𝑏] Định lí 1.5 (Tính chất cộng tích phân) Cho ba đoạn [𝑎, 𝑏], [𝑎, 𝑐]và [𝑐, 𝑏] Nếu 𝑓(𝑥) khả tích đoạn có độ dài lớn khả tích đoạn lại 𝑏 𝑐 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 𝑎 𝑐 Định lí 1.6 Tính khả tích giá trị tích phân khơng thay đổi ta thay đổi giá trị số hữu hạn điểm Định lí 1.7 Giả sử𝑓(𝑥) khả tích [𝑎, 𝑏] 𝑏 𝑎) Nếu𝑓(𝑥) ≥ ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] , 𝑎 < 𝑏, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 𝑎 𝑏 𝑏) Nếu𝑓(𝑥) > ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] , 𝑎 < 𝑏, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 > 𝑎 Định lí 1.8 ( Tính đơn điệu) 𝑏 𝑏 Nếu 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 𝑎 Định lí 1.9 Nếu 𝑓(𝑥) khả tích [𝑎, 𝑏], |𝑓(𝑥)| khả tích [𝑎, 𝑏] 𝑏 𝑏 |∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 | ≤ ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 𝑎 𝑎 Định lí 1.10 (Đánh giá tích phân xác định) Nếu 𝑚 𝑀 tương ứng giá trị nhỏ lớn hàm 𝑓(𝑥) [𝑎, 𝑏], 𝑎 < 𝑏 thì: 𝑏 𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎) 𝑎 1.3.5 Các định lí giá trị trung bình Định lí giá trị trung bình thứ Giả sử𝑓(𝑥)khả tích [𝑎, 𝑏], (𝑎 < 𝑏)và 𝑚 = inf 𝑓 , 𝑀 = sup 𝑓 [𝑎,𝑏] [𝑎,𝑏] Khi đó∃𝜇 , 𝑚 ≤ 𝜇 ≤ 𝑀 cho: 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝜇(𝑏 − 𝑎) (1.3.1) 𝑎 Định lí giá trị trung bình thứ hai Giả sử a) 𝑓(𝑥) tích 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) khả tích [𝑎, 𝑏], 𝑎 < 𝑏 b) 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] c) 𝑔(𝑥) không đổi dấu [a,b] Khi với 𝑚 ≤ 𝜇 ≤ 𝑀 𝑏 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝜇 ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 (1.3.4) 𝑎 Đặt biệt 𝑓(𝑥) liên tục [𝑎, 𝑏] với 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] 𝑏 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑐) ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 (1.3.5) 𝑎 1.4 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC VỚI TÍCH PHÂN 1.4.1 Bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho 𝑓(𝑥) và𝑔(𝑥) hai hàm số liên tục đoạn [𝑎, 𝑏] Khi ta có 𝑏 𝑏 𝑏 (∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ) ≤ ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝑔2 (𝑥)𝑑𝑥 𝑎 𝑎 𝑎 1.4.2 Bất đẳng thức Chebyshev Cho 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) hàm số liên tục đoạn [𝑎; 𝑏] đoạn chúng đồng biến ( nghịch biến) Ta có 𝑏 𝑏 𝑏 (𝑏 − 𝑎) ∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) ≥ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 𝑎 𝑎 10 Ta có 𝑛 𝑏 𝑓(𝑥𝑖−1 ) + 𝑓(𝑥𝑖 ) (𝑥 ) ∑ 𝑖 − 𝑥𝑖−1 > ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 𝑖=1 Mệnh đề 1.3 Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥)liên tục không âm [𝑎, 𝑏] Khi với phép phân hoạch đoạn [𝑎, 𝑏] điểm chia 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏 Ta có: a Nếu 𝑓(𝑥) đồng biến [𝑎, 𝑏] thì: 𝑛 𝑛 𝑏 ∑ 𝑓(𝑥𝑖−1 )(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) < ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 < ∑ 𝑓(𝑥𝑖 )(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) 𝑎 𝑖=1 𝑖=1 b Nếu 𝑓(𝑥) nghịch biến [𝑎, 𝑏] thì: 𝑛 𝑛 𝑏 ∑ 𝑓(𝑥𝑖−1 )(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) > ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 > ∑ 𝑓(𝑥𝑖 )(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) 𝑎 𝑖=1 𝑖=1 1.4.6 Bất đẳng thức với số thực Mệnh đề 1.4 Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục, không âm đơn điệu tăng [0, 𝑐) với 𝑐 > Gọi 𝑓 −1 (𝑥) gọi hàm ngược Khi đó, ∀𝑎 ∈ [0, 𝑐), ∀𝑏 ∈ [𝑓(0), 𝑓(𝑐)) ta có: 𝑎 𝑓(𝑏) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓 −1 (𝑥)𝑑𝑥 ≥ 𝑎𝑏 𝑓(0) Dấu ′′ = ′′ xảy 𝑏 = 𝑓(𝑎) Mệnh đề 1.5.Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) liên tục, không âm đơn điệu tăng [𝛼, 𝛽), ≤ 𝛼 ≤ 𝛽 Khi ∀𝑎 ∈ [𝛼, 𝛽), ∀𝑏 ∈ [𝑓(𝛼), 𝑓(𝛽)) ta có: 𝑎 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝛼) 𝑓 −1 (𝑥)𝑑𝑥 ≥ 𝑎𝑏 − 𝛼𝑓(𝛼) 11 CHƯƠNG ÁP DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN Trong chương này, chúng tơi trình bày số tốn liên quan đến tính chất tổng Darboux,bất đẳng thức tích phân giới thiệu số toán liên quan đến hình học, vật lí tích phân xác định…Các kiến thức trình bày chương tham khảo tài liệu [1],[2],[3],[4],[6],[7] [8] 2.1 ÁP DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 2.1.1 Áp dụng tính tích phân xác định Bài toán 2.1 Giả sử hàm 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) liên tục [𝑎, 𝑏] Chứng minh 𝑛−1 lim 𝑚𝑎𝑥∆𝑥𝑖 →0 𝑏 ∑ 𝑓(𝜉𝑖 )𝑔(𝜃𝑖 )∆𝑥𝑖 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 𝑖=0 𝑥𝑖 ≤ 𝜉𝑖 ≤ 𝑥𝑖+1 , 𝑥𝑖 ≤ 𝜃𝑖 ≤ 𝑥𝑖+1 (𝑖 = 0,1, … , 𝑛 − 1) Bài toán 2.2 Giả sử 𝑓(𝑥) giới nội đơn điệu [0,1] Chứng minh 𝑛 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∑ 𝑓 ( ) = ( ) 𝑛 𝑛 𝑛 𝑘=1 Bài toán 2.3 Giả sử 𝑋𝑟 tập hợp tất điểm hữu tỉ đoạn [0,1], 𝜑(𝑥) hàm đặc trưng tập hợp này.Chứng minh tổng Darboux hàm 1, tổng Darboux hàm Bài toán 2.4 Giả sử 𝐹(𝑥) 𝐺(𝑥) hàm khả tích đoạn [0,1] đồng thời đoạn 𝐹(𝑥) ≤ 𝐺(𝑥) 12 Nếu hàm 𝑓(𝑥) 𝐺(𝑥) 𝑥 ∈ 𝑋𝑟 ,bằng F(x) 𝑥 ∉ 𝑋𝑟 (𝑋𝑟 kí hiệu giống toán trước), chứng minh 1 𝐼𝑓∗ = ∫ 𝐺(𝑥)𝑑𝑥 , 𝐼∗𝑓 = ∫ 𝐹(𝑥)𝑑𝑥 𝐼𝑓∗ tích phân Darboux hàm 𝑓(𝑥) [0,1] , 𝐼∗𝑓 tích phân Darboux hàm 𝑓(𝑥) [0,1] Bài toán 2.5 Tính tích phân xác định, xem chúng giới hạn tổng tích phân tương ứng phân chia đoạn lấy tích phân cách thích hợp 𝜋 2 𝑎) ∫ 𝑥 𝑑𝑥 𝑏) ∫ sin𝑥𝑑𝑥 𝑐) ∫ −1 𝑑𝑥 𝑥2 𝑏 𝑑) ∫ 𝑥 𝑚 𝑑𝑥 (0 < 𝑎 < 𝑏, 𝑚 ≠ −1) 𝑎 Bài toán 2.6 Giả sử hàm 𝑓(𝑥) khả tích [𝐴, 𝐵] Chứng minh 𝑓(𝑥) có tính chất liên tục tích phân tức là: 𝑏 lim ∫ |𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 = đây[𝑎, 𝑏] ⊂ [𝐴, 𝐵] ℎ→0 𝑎 Bài toán 2.7 Giả sử hàm 𝑓(𝑥) khả tích [𝑎, 𝑏] 𝑏 Chứng minh ∫𝑎 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) = tất điểm liên tục hàm 𝑓(𝑥) thuộc đoạn [𝑎, 𝑏] 2.1.2 Tính giới hạn tổng nhờ tích phân khơng xác định Bài tốn cách trình bày Cho 𝑆𝑛 = 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢𝑛 Tính lim 𝑆𝑛 𝑛→∞ Lời giải.Ngồi cách tính trực tiếp tổng 𝑆𝑛 thông qua công thức dãy cấp số cộng, cấp số nhân Ta tính tốn nhờ tích phân sau: 13 Biến đổi 𝑆𝑛 dạng 𝑛 𝑆𝑛 = 𝑏−𝑎 𝑏−𝑎 𝑏−𝑎 𝑏−𝑎 𝑏−𝑎 𝑏−𝑎 [𝑓 (𝑎 + ) + 𝑓 (𝑎 + ) + ⋯ + 𝑓 (𝑎 + 𝑛 )] = ∑ 𝑓 (𝑎 + 𝑖 ) 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑖−1 Chỉ hàm 𝑓 chứng minh 𝑓 liên tục [𝑎; 𝑏] 𝑏 Kết luận lim 𝑆𝑛 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑛→∞ Trong thực hành thương gặp dạng đơn giản 𝑎 = 0, 𝑏 = Khi giai đoạn rút gọn sau: Biến đổi 𝑆𝑛 dạng 𝑛 1 𝑛 𝑖 𝑆𝑛 = [𝑓 ( ) + 𝑓 ( ) + ⋯ + 𝑓 ( )] = ∑ 𝑓 ( ) 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑖−1 Chỉ hàm f chứng minh f liên tục [𝑎; 𝑏] 𝑏 Kết luận lim 𝑆𝑛 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑛→∞ Bài tốn 2.8 Tính lim 𝑆𝑛 = 𝑛→∞ 1 + + ⋯+ 𝑛+1 𝑛+2 𝑛+𝑛 Bài toán 2.9 Tính lim 𝑆𝑛 với𝑆𝑛 = 𝑛→∞ (𝑛 − 1)𝜋 𝜋 2𝜋 + ⋯ + sin (sin + sin ) 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 Bài tốn 2.10 Tính 1 lim 𝑆𝑛 với𝑆𝑛 = ( + + ⋯+ ) 2 2 𝑛→+∞ √4𝑛 − √4𝑛 − √4𝑛 − 𝑛2 Bài tốn 2.11 Tính 𝜋 2𝜋 𝑛𝜋 sin 2sin 𝑛sin 𝜋2 𝑛 𝑛 𝑛 lim ( + + ⋯ + ) 𝜋 2𝜋 𝑛𝜋 𝑛→+∞ 𝑛 2 + cos ( ) + cos ( ) + cos ( ) 𝑛 𝑛 𝑛 14 2.2 ÁP DỤNG CHỨNG MINH BẤT ĐẲ NG THỨC 2.2.1 Bất đẳng thức tích phân Bài tốn 2.12 Chứng minh 𝜋 𝜋 𝜋√2 ≤ ∫ (sin 𝑥 + cos 𝑥)𝑑𝑥 ≤ 4 Lời giải Đặt 𝜋 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 + cos 𝑥 = √2 sin (𝑥 + ) 𝜋 𝜋 Ta có 𝑓 ′ (𝑥) = √2 cos (𝑥 + ) và𝑓 ′ (𝑥) ≥ ∀𝑥 ∈ (0, ) 4 𝜋 𝜋 Do 𝑓(𝑥) hàm số tăng ∀𝑥 ∈ [0, ] , tức 𝑓(0) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓 ( ) 4 ⇒ ≤ sin 𝑥 + cos 𝑥 ≤ √2 𝜋 𝜋 𝜋 ⇒ ∫ 𝑑𝑥 ≤ ∫ (sin 𝑥 + cos 𝑥)𝑑𝑥 ≤ √2 ∫ 𝑑𝑥 ⇒ 0 𝜋 𝜋 𝜋√2 ≤ ∫ (sin 𝑥 + cos 𝑥)𝑑𝑥 ≤ 4 Bài toán 2.13 Chứng minh bất đẳng thức 𝜋 𝑚 2𝑥 𝜋 𝑚+2 𝜋 𝑚+3 ∫ 𝑥 𝑒 𝑑𝑥 > + ,𝑚 ∈ 𝑁 𝑚+2 𝑚+3 Bài toán 2.14 Chứng minh bất đẳng thức 1⁄ 𝑛 ∫ 𝑛 (∑(cos 𝑥)𝑘𝑚 + 𝑛sin𝑥 ) 𝑑𝑥 < 𝑘=1 , < 𝑚 ∈ 𝑁, 𝑛 ∈ 𝑁 ∗ Bài toán 2.15 Chứng minh bất đẳng thức 𝜋 ∫ 𝑥tan𝑛 𝑥𝑑𝑥 > 𝜋 𝑛+2 ( ) , 𝑛 ∈ 𝑁∗ 𝑛+2 15 Bài toán 2.16 Cho 𝑓(𝑥) liên tục đoạn [0;1], ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 1∀𝑥𝜖[0; 1] Chứng minh ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ (∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 ) Bài toán 2.17 Chứng minh √2𝜋 ∫ sin𝑥 𝑑𝑥 > 0 Bài toán 2.18 Chứng minh bất đẳng thức 𝑥 𝑒 − < ∫ √𝑒 2𝑡 + 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 < √(𝑒 𝑥 − 1) (𝑒 𝑥 − ) , 𝑥 > 𝑥 Lời giải Ta có 𝑥 𝑥 ∫ √𝑒 2𝑡 + 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑒 2𝑡 √𝑒𝑡 + 𝑒 −2𝑡 𝑑𝑡 (1) Theo bất đẳng thức Bunhiacovski, 𝑥 (∫ 𝑒 𝑡 2 √𝑒 𝑡 + 𝑥 𝑥 ≤ ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 ∫ (𝑒 𝑡 + 𝑒 −2𝑡 )𝑑𝑡 𝑒 −2𝑡 𝑑𝑡) 0 Từ (1), ta có 𝑥 1 (∫ √𝑒 2𝑡 + 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡) ≤ (𝑒 𝑥 − 1) (𝑒 𝑥 − − 𝑒 −2𝑥 ) 2 < (𝑒 𝑥 − 1) (𝑒 𝑥 − ) (2) Mặt khác, √𝑒 2𝑡 + 𝑒 −𝑡 > 𝑒 𝑡 , < 𝑡 < 𝑥 16 Nên 𝑥 𝑥 ∫ √𝑒 2𝑡 + 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 > ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑥 − (3) 0 Từ (2) (3), suy 𝑥 𝑒 𝑥 − < ∫ √𝑒 2𝑡 + 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 < √(𝑒 𝑥 − 1) (𝑒 𝑥 − ) Bài toán 2.19 Cho hàm số liên tục 𝑓: [0,1] → [−1,1] Chứng minh ∫ √1 − 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 ≤ √1 − (∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ) 0 Bài toán 2.20 Chứng minh 1 (𝑒 + 1) ∫ (𝑒 𝑥 − 1)2 𝑑𝑥 ≤ (𝑒 − 1) ∫ (𝑒 2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 0 Lời giải Bất đẳng thức cho tương đương với ∫ (𝑒 𝑥 − 1)2 𝑑𝑥 ≤ 𝑒−1 𝑥 ∫ (𝑒 − 1)(𝑒 𝑥 + 1) 𝑑𝑥 𝑒+1 Xét hàm số 𝑦= 𝑒𝑥 − , 𝑒𝑥 + 𝑦′ = 2𝑒 𝑥 (𝑒 𝑥 + 1)2 ∀𝑥 ∈ [0,1] 𝑒𝑥 − đồng biến trên[0,1] 𝑒𝑥 + 𝑒−1 𝑓(0) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(1) ⟺ ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑒+1 Do hàm số 𝑦 = Áp dụng bất đẳng thức Diaz cho 𝑔(𝑥) = 𝑒 𝑥 − 1, 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 + ≠ 0, ∀𝑥 ∈ [0,1]với 𝑚 = 0; 𝑀 = 𝑒−1 𝑒+1 17 1 𝑒−1 ∫ (𝑒 𝑥 + 1)2 𝑒+1 ∫ (𝑒 𝑥 − 1)2 𝑑𝑥 + ≤ 𝑒−1 𝑥 ∫ (𝑒 − 1)(𝑒 𝑥 + 1) 𝑑𝑥 𝑒+1 ⟺ ∫ (𝑒 𝑥 − 1)2 𝑑𝑥 ≤ 𝑒 − 1 2𝑥 ∫ (𝑒 − 1) 𝑑𝑥 𝑒+1 1 ⟺ (𝑒 + 1) ∫ (𝑒 𝑥 − 1)2 𝑑𝑥 ≤ (𝑒 − 1) ∫ (𝑒 2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 0 Bài toán 2.21 Cho 𝑎 ≥ 0, 𝑏 ≥ Chứng minh 𝑎√𝑎2 + + 𝑏√𝑏 − + ln 𝑎 + √𝑎2 + 𝑏 + √𝑏 − ≥ 2𝑎𝑏 Bài toán 2.22 Cho ≤ 𝑎 < 𝑏 ≥ Chứng minh arcsin 𝑎 + √𝑏 − ≥ arctg√𝑏 − + 𝑎𝑏 Bài toán 2.23 Cho 𝑎 ≥ 0, 𝑏 ≥ Chứng minh 𝑎[ln(𝑎2 + 1) − 𝑏 − 2] + [arctg 𝑎 + arctg√𝑒 𝑏 − + √𝑒 𝑏 − 1] ≥ Bài toán 2.24 Cho 𝑎 > 1, 𝑏 > Chứng minh 2𝑎2 + 𝑏 + + 𝑏√𝑏 − ≥ 4𝑎𝑏 + ln 𝑏 + √𝑏 − 2𝑎 Bài toán 2.25 Cho 𝑎 ≥ 2, 𝑏 ≥ Chứng minh (𝑎 − 2)√𝑎2 − 4𝑎 + + 𝑏√𝑏 − + 4𝑏 ≥ 2𝑎𝑏 + ln 𝑏 + √𝑏 − (𝑎 − 2) + √𝑎2 − 4𝑎 + 13 Bài toán 2.26 Cho 𝑛 ∈ 𝑁 ∗ Chứng minh 4𝑛 + 𝑛√𝑛 < √1 + √2 + √3 + ⋯ + √𝑛 < √𝑛 18 Bài toán 2.27 Cho 𝑛 số tự nhiên lớn Chứng minh 22 33 … 𝑛𝑛 > 𝑛 𝑛(𝑛+1) 𝑛2 −1 𝑒 Lời giải Bất đẳng thức cho tương đương với ln + ln 22 + ln 33 + ⋯ + ln 𝑛𝑛 > ln 𝑛 𝑛(𝑛+1) − ln 𝑒 𝑛2 −1 ⟺ ln + ln + ln + ⋯ + 𝑛 ln 𝑛 > 𝑛2 𝑛 𝑛2 ln 𝑛 + ln 𝑛 − + 2 4 (Chú ý ∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 𝑥2 ln 𝑥 − + 𝐶) Xét hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥 ln 𝑥 liên tục, khơng âm [1, 𝑛] Ta có 𝑓 ′ (𝑥) = ln 𝑥 + > ∀𝑥 > và𝑓 ′′ (𝑥) = ∀> 𝑥 ⇒ 𝑓(𝑥) hàm lõm trên[1, 𝑛] Chia đoạn [1, 𝑛] thành 𝑛 − phần điểm chia 𝑥𝑖 = 𝑖 (𝑖 = 1, 𝑛).Theo mệnh đề 1.2 ta có: 𝑛 ∑ 𝑖=2 𝑛 𝑓(𝑥𝑖−1 ) + 𝑓(𝑥𝑖 ) (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) > ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑛 ⟺∑ 𝑖=2 𝑛 (𝑖 − 1) ln(𝑖 − 1) + 𝑖 ln 𝑖 > ∫ 𝑥 ln 𝑥𝑑𝑥 Mà 𝑛 ∑ 𝑖=2 (𝑖 − 1) ln(𝑖 − 1) + 𝑖 ln 𝑖 19 𝑛 = ln + ln + ln + ⋯ + 𝑛 ln 𝑛 − ln 𝑛 Và 𝑛 ∫ 𝑥 ln 𝑥𝑑𝑥 = 𝑛2 𝑛2 ln 𝑛 − + 4 Do ln + ln + ln + ⋯ + 𝑛 ln 𝑛 − 𝑛 𝑛2 𝑛2 > ln 𝑛 − + 2 4 Hay ln + ln 22 + ln 33 + ⋯ + ln 𝑛𝑛 > ln 𝑛 𝑛(𝑛+1) − ln 𝑒 𝑛2 −1 Suy 22 33 … 𝑛𝑛 > 𝑛 𝑛(𝑛+1) 𝑒 𝑛2 −1 (đpcm) Bài toán 2.28 Chứng minh + 𝑥 ln(𝑥 + √1 + 𝑥 ) ≥ √1 + 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝑅 Lời giải Xét hàm số 𝑓(𝑡) = ln (𝑡 + √1 + 𝑡 ) , 𝑡 ∈ 𝑅 Rõ ràng 𝑓(𝑡) > với 𝑡 > 𝑓(𝑡) = 𝑡 = Do với 𝑥 < 0, ta có 𝑥 ∫ ln (𝑡 + √1 + 𝑡 ) 𝑑𝑡 > 0 Suy 𝑥 𝑡 ln (𝑡 + √1 + 𝑡 ) |0𝑥 − ∫ 𝑡𝑑𝑡 √1 + 𝑡 > 20 Hay 𝑥 ln (𝑥 + √1 + 𝑥 ) − √1 + 𝑡 |0𝑥 > Do 𝑥 ln (𝑥 + √1 + 𝑥 ) − √1 + 𝑡 + > Với 𝑡 < ln (𝑡 + √1 + 𝑡 ) = − ln (−𝑡 + √1 + 𝑡 ) < Nên 𝑥 < 0, ta có: ∫ ln (𝑡 + √1 + 𝑡 ) 𝑑𝑥 < 𝑥 suy điều phải chứng minh Với 𝑥 = bất đẳng thức thành đẳng thức Bài toán 2.29 Chứng minh với 𝑥 > 𝑦 > 0, (𝑥 − 𝑦)[2 − (𝑥 + 𝑦)] < ln 1+𝑥 1+𝑦 Lời giải Nhận xét rằng, với 𝑡 dương, > − 𝑡 1+𝑡 Vậy nên, < 𝑦 < 𝑥, ta có: 𝑥 ∫ 𝑦 𝑥 𝑑𝑡 > ∫ (1 − 𝑡)𝑑𝑡 1+𝑡 𝑦 hay (ln|1 + 𝑡|)|𝑦𝑥 > (𝑡 − 𝑡2 𝑥 )| 𝑦 21 Vậy nên ln 1+𝑥 𝑥2 − 𝑦2 > (𝑥 − 𝑦) − 1+𝑦 Từ thu ln 1+𝑥 > (𝑥 − 𝑦)[2 − (𝑥 + 𝑦)] 1+𝑦 Nhận xét rằng, việc áp dụng kiến thức trình bày trên,để sử dụng tích phân xác định việc chứng minh bất đẳng thức, ta sử dụng quan trắc trực giác từ hình học Bài tốn 2.30 Chứng minh bất đẳng thức 1 ln(𝑛 + 1) < + + ⋯ + , 𝑛 ∈ 𝑁 ∗ 𝑛 Bài toán 2.31 Chứng minh 𝑛! < 𝑛𝑛+2 𝑒 1−𝑛 , 𝑛 ∈ 𝑁 ∗ \{1} 2.2.2 Áp dụng toán cực trị Bài toán 2.32 Cho trước 𝑛 ∈ 𝑁 ∗ Tìm giá trị nhỏ hàm số 𝑥 𝑓(𝑥) = ∫ 𝑡tan𝑛 𝑡𝑑𝑡 − 𝑥 𝑛+2 , 𝑥 ≥ 𝑛+2 Lời giải Ta có tan 𝑡 ≥ 𝑡 nên 𝑡tan𝑛 𝑡 ≥ 𝑡 𝑛+1 Suy 𝑥 𝑥 ∫ 𝑡tan𝑛 𝑡𝑑𝑡 ≥ ∫ 𝑡 𝑛+1 𝑑𝑡 = 0 𝑥 𝑛+2 𝑛+2 Do đó: 𝑥 ∫ 𝑡tan𝑛 𝑡𝑑𝑡 − 𝑥 𝑛+2 ≥ 𝑛+2 Vậy, giá trị nhỏ hàm số 𝑥 = 22 Nhận xét: Nếu ta cố định cận 𝑥 = 𝜋 đặt: 𝜋 𝐼𝑛 = ∫ 𝑥 tan𝑛 𝑥𝑑𝑥, 𝑛 ∈ 𝑁 ∗ 𝜋 𝑛+2 𝐼𝑛 > ( )( ) 𝑛+2 Bài tốn 2.33 Cho trước 𝑚 ∈ 𝑁 ∗ Tìm giá trị nhỏ hàm số 𝑥 𝑓(𝑥) = ∫ 𝑡 𝑚 𝑒 2𝑡 𝑑𝑡 − ( 𝑥 𝑚+3 𝑥 𝑚+2 + ) , 𝑥 ≥ 𝑚+3 𝑚+2 Bài toán 2.34 Cho hàm số 𝑓(𝑥) liên tục nghịch biến [0, 𝑏] 𝑎 ∈ [0, 𝑏] Chứng minh 𝑎 𝑏 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 0 Bài tốn 2.35 Tìm giá trị lớn hàm số 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3𝑥 + 6𝑥 − 11𝑥, 𝑥 ∈ [0,1] Bài tốn 2.36 Tìm giá trị lớn hàm số 𝑔(𝑥) = sin3 𝑥 + sin 𝑥 − 4√sin 𝑥 với 2𝑘𝜋 ≤ 𝑥 ≤ (2𝑘 + 1)𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍 Bài tốn 2.37 Tìm giá trị nhỏ hàm số 𝑓(𝑥) = (3 + ln 2)𝑥 − 2𝑥+1 − ln 2𝑥 , 𝑥 ∈ [0,2] 2.3 ÁP DỤNG TRONG HÌNH HỌC, VẬT LÝ 2.3.1 Tính diện tích hình phẳng Bài tốn 2.38 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường 𝑦 = 𝑥 (𝑥 ≥ 0), 𝑦 = − 𝑥 23 2.3.2 Tính độ dài đường cong phẳng Bài tốn 2.41 Tính độ dài cung đường cycloid có phương trình { 𝑥 = 𝑎(𝑡 − sin 𝑡) (0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋) 𝑦 = 𝑎(1 − cos 𝑡) 2.3.3 Tính thể tích vật thể Bài tốn 2.43 Tính thể tích vật thể tròn xoay hình phẳng giới hạn đường 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 𝑦 = khi: 1/ Xoay quanh trục 0𝑥 2/ Xoay quanh trục 0𝑦 2.3.4 Diện tích mặt tròn xoay Bài tốn 2.45 Tính diện tích mặt tạo nên quay đường 𝑥 = 𝑦2 parabol { quanh trục 0𝑥 0≤𝑦≤1 24 KẾT LUẬN Dưới hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn tơi hồn thành luận văn tiến độ đạt mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu đề Cụ thể luận văn đạt kết sau: Luận văn trình bày cách rõ ràng, có hệ thống tổng quan kiến thức liên quan đến công thức phép tính tích phân Luận văn lựa chọn phân loại hệ thống tập phong phú từ đến nâng cao Kết luận văn nhằm giúp người đọc hiểu rõ phép tính tích phân luận văn tài liệu tham khảo cho sinh viên tìm hiểu thêm phép tính tích phân áp dụng Tuy nhiên, hạn chế mặt thời gian, kinh nghiệm luận văn bước đầu cho việc nghiên cứu khoa học nên kết đạt luận văn khiêm tốn ... phép tính tích phân số áp dụng Một số điểm cố gắng đưa vào luận văn là: - Trình bày số định nghĩa liên quan đến phép tính tích phân, chứng minh chặt chẽ định lý liên quan - Giới thiệu số áp dụng. .. nghĩa, khái niệm kết tích phân xác định; bất đẳng thức tích phân số ứng dụng hình học, vật lý của tích phân để làm sở cho chương sau Chương Các dạng tập áp dụng phép tính tích phân. Trong chương... vững hiểu sâu sắc kiến thức ban đầu giải tích: “ Phép tính tích phân điều cần thiết quan trọng Vì lí chúng tơi lựa chọn đề tài: Phép tính tích phân áp dụng Mục tiêu nội dung nghiên cứu đề tài